Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica Guasoni, Modica, Tortorelli III foglio di compendio alla teoria lezione del 10 dicembre 2001: appunti dattiloscritti da Andrea Carpignani e Vincenzo M. Tortorelli

Notazioni. Per x ∈ ℝ^{n} si pone x = (x̂, y) con x̂ ∈ ℝ^{n−1} e y ∈ ℝ. Con B(z_{0}, R) si indica la palla di ℝ^{n−1}: {z ∈ ℝ^{n−1} : |z − z_{0}| < R}, e con C(x_{0}, R, r) il cilindro di ℝ^{n}: {(x̂, y) ∈ ℝ^{n} : x̂ ∈ B(x̂_{0}, R), |y − y_{0}| < r}.

Teorema (Dini). Siano f : A ⊆ ℝ^{n} → ℝ, con A aperto e f di classe C^{1}, Γ = {x ∈ A : f(x) = 0}, x_{0} ∈ Γ. Se D_{n}f(x_{0}) = \frac{∂ f}{∂ x_{n}} (x_{0}) ≠ 0, allora esistono R > 0, r > 0, e φ : B(x̂_{0}, R) → ℝ tali che:

Γ ∩ C(x_{0}, R, r) = {x = (x̂, y) ∈ ℝ^{n} : x̂ ∈ B(x̂_{0}, R), y = φ(x̂)}  (1)

ovvero in C(x_{0}, R, r) il luogo di zeri di f coincide con il grafico di una funzione. Inoltre

φ ∈ C^{1} (B(x̂_{0}, R))  (2)
(D_{i}φ)(x̂) = −\frac{D_{i}f(x̂, φ(x̂))}{D_{n}f(x̂, φ(x̂))}  (3)

Dimostrazione: Si supponga D_{n}f(x_{0}) > 0 e si ponga m = D_{n}f(x_{0}) > 0, k = |∇f(x_{0})| > 0. Nel caso D_{n}f(x_{0}) < 0 la dimostrazione è analoga. Essendo f di classe C^{1} esistono (per la continuità di ∇f e il teorema della permanenza del segno)

R′ > 0 e r > 0 tali che D_{n}f(x) ≥ \frac{m}{2}, |∇f(x)| ≤ 2k per ogni x ∈ C(x_{0}, R′, r).

1) Proviamo il primo asserto:

i) Si consideri la funzione: ψ(t) = f(x̂_{0}, y_{0} + t), |t| < r, la restrizione di f sulla fibra verticale sopra x̂_{0}. Si ha: ψ(0) = f(x_{0}) = 0, ψ′(t) = D_{n}f(x̂_{0}, y_{0} + t) ≥ \frac{m}{2} > 0. Ne segue che:

ψ(r) = f(x̂_{0}, y_{0} + r) = ∫_{0}^{r} ψ′(t) dt ≥ \frac{mr}{2} > 0, ed analogamente ψ(−r) ≤ −\frac{mr}{2} < 0.

ii) Per permanenza del segno vi sono R′′ > 0 ed R′′′ > 0 tali che: \{ \begin{matrix}f(x̂, y_{0} + r) ≥ \frac{mr}{4} & x̂ ∈ B(x̂_{0}, R′′), \\ f(x̂, y_{0} − r) ≤ −\frac{mr}{4} & x̂ ∈ B(x̂_{0}, R′′′) \end{matrix}

Sia R = min{R′, R′′, R′′′}. Fissiamo x̂ ∈ B(x̂_{0}, R) e poniamo: ψ(t) = f(x̂, y_{0} + t), |t| < r.

Quindi si ha: ψ(r) ≥ \frac{mr}{4} > 0, ψ(−r) ≤ −\frac{mr}{4} < 0. Inoltre ψ′(t) = D_{n}f(x̂, y_{0} + t) ≥ \frac{m}{2} > 0. iii) Essendo ψ continua per il teorema degli zeri esiste \overline{t} ∈] − r; r[ tale che ψ(t̄) = 0.

Essendo iniettiva (poichè strettamente crescente) tale zero è unico. Quindi si è provato che:

∀ x̂ ∈ B(x̂_{0}, R) ∃! \overline{t} ∈] − r, r[ : f(x̂, y_{0} + \overline{t}) = 0.

Poichè \overline{t} dipende da x̂ quando questo varia in B(x̂_{0}, R), si è quindi definita φ(x̂) = y_{0} + \overline{t}, ovvero una funzione:

φ : B(x̂_{0}, R) →]y_{0} − r; y_{0} + r[  tale che  f(x̂, φ(x̂)) = 0.

Quindi il grafico di φ su B(x̂_{0}, R) è contenuto in C(x_{0}, R, r) ∩ Γ. iv) Viceversa si consideri x = (x̂, y) ∈ C(x_{0}, R, r) ∩ Γ, cioè f(x̂, y) = 0. Si ha: x̂ ∈ B(x̂_{0}, R).

Per tali x̂ ed y: ψ(y − y_{0}) = f(x̂, y_{0} + (y − y_{0})) = 0. Per iniettività di ψ si ha y − y_{0} = \overline{t} cioè y = φ(x̂). Concludendo si è provato che C(x_{0}, R, r) ∩ Γ coincide con il grafico di φ su B(x̂_{0}, R).

Γ ∩ C(x_{0}, R, r) = grafico di φ = {(x̂, y) : x̂ ∈ B(x̂_{0}, R), y = φ(x̂)}

2) Proviamo i rimanenti asserti:

i) Siano x_{1} = (x̂_{1}, y_{1}), x_{2} = (x̂_{2}, y_{2}) ∈ C(x_{0}, R, r) ∩ Γ. Si ha: y_{1} = φ(x̂_{1}), y_{2} = φ(x̂_{2}), f(x_{1}) = f(x_{2}) = 0.

Si consideri la funzione ψ(t) = f(tx_{1} + (1 − t)x_{2}) = f(t x̂_{1} +(1 − t) x̂_{2}, ty_{1} + (1 − t)y_{2}), 0 ≤ t ≤ 1 (f ristretta al segmento tra x_{1} ed x_{2}). Essendo ψ di classe C^{1} si può applicare il teorema di Lagrange: si deduce che esiste τ ∈]0, 1[ tale che

ψ(1) − ψ(0) = ψ′(τ)(1 − 0) = ψ′(τ) =
= ∑_{i=1}^{n−1}(D_{i}f)(τ x̂_{1} +(1 − τ) x̂_{2}, τy_{1} + (1 − τ)y_{2})(x̂_{1} − x̂_{2})_{i} +
+(D_{n}f)(τ x̂_{1} +(1 − τ) x̂_{2}, τy_{1} + (1 − τ)y_{2})(y_{1} − y_{2}) =
= ˆ∇f(τx_{1} + (1 − τ)x_{2}) · (x̂_{1} − x̂_{2}) + [D_{n}f(τx_{1} + (1 − τ)x_{2})](y_{1} − y_{2}) =
= ˆ∇f(ξ, η) · (x̂_{1} − x̂_{2}) + [D_{n}f(ξ, η)](y_{1} − y_{2}),

Si è usata la seguente notazione: ˆ∇ è il gradiente rispetto alle variabili x̂, ξ = τ x̂_{1} +(1−τ) x̂_{2} ∈ B(x̂_{0}, R), η = τy_{1} + (1 − τ)y_{2} ∈]y_{0} − r; y_{0} + r[. Quindi (ξ, η) ∈ C(x_{0}, R, r).

ii) Essendo 0 = f(x_{1}) − f(x_{2}) = ψ(1) − ψ(0), poichè y_{1} = φ(x̂_{1}), y_{2} = φ(x̂_{2}), D_{n}f(x) ≥ \frac{m}{2} > 0 per x ∈ C(x_{0}, R, r), ne segue:

ˆ∇f(ξ, η) · (x̂_{1} − x̂_{2}) + [D_{n}f(ξ, η)](y_{1} − y_{2}) = 0 ,  φ(x̂_{1}) − φ(x̂_{2}) = \frac{ˆ∇f(ξ, η) · (x̂_{1} − x̂_{2})}{D_{n}f(ξ, η)}  (4)

iii) Siccome, per la diseguaglianza di Schwarz, il valore assoluto del prodotto scalare è minore eguale al prodotto dei moduli, si ha la seguente stima:

|φ(x̂_{1}) − φ(x̂_{2})| ≤ \frac{| ˆ∇(ξ, η)|| x̂_{1} − x̂_{2} |}{|D_{n}f(ξ, η)|} ≤ \frac{2k}{\frac{m}{2}} | x̂_{1} − x̂_{2} | ≤ \frac{4k}{m} | x̂_{1} − x̂_{2} |.  (5)

In particolare φ è lipschitziana e dunque continua.

iv) Si prova ora che esiste D_{i}φ(x̂), per x̂ ∈ B(x̂_{0}, R), i = 1, ⋯, n − 1.

Posto x̂_{1} = x̂ +te_{i} e x̂_{2} = x̂ si calcola:

D_{i}φ(x̂) = lim_{t→0} \frac{φ(x̂ +te_{i}) − φ(x̂)}{t} = lim_{t→0} (−\frac{ˆ∇f(ξ_{t}, η_{t}) · te_{i}}{tD_{n}f(ξ_{t}, η_{t})} ) = lim_{t→0} −\frac{D_{i}f(ξ_{t}, η_{t})}{D_{n}f(ξ_{t}, η_{t})} = −\frac{D_{i}f(x̂, φ(x̂))}{D_{n}f(x̂, φ(x̂))}.

Infatti per t → 0 si ha ξ_{t} → x̂ e η_{t} → φ(x̂).

v) Poichè f è di classe C^{1} e φ continua allora D_{i}φ è continua. Per il teorema del differenziale totale è C^{1}. C.V.D.

Osservazione 1: Se f è C^{k} si ottiene che φ è anch’essa C^{k}. Infatti si procede per induzione sul grado di differenziabilità k a partire dalla formula (3) che lega D_{i}φ con φ. Infatti D_{i}φ è C^{k} e quindi f è C^{k+1}. In particolare se f è C^{∞} anche φ è C^{∞}.