Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

III foglio di esercizi dal 22 ottobre al 26 ottobre 2001

————————————————————————————————————————– I foglio di compendio alla teoria, Proposizione 1:

ERRATA: ∃ lim_{x→x_{0}} φ(x) = l ⟺ ∃ lim_{n→∞} l_{n} = l.

CORRIGE: 1) ∃ lim_{n→∞} l_{n} ∈ R , 2) ∃ lim_{x→x_{0}} φ(x) = lim_{n→∞} l_{n} =: l

DIM.: 1) |l_{n} − l_{m}| ≤ |l_{n} − φ_{n}(x)| + |φ_{n}(x) − φ_{m}(x)| + |φ_{m}(x) − l_{m}| ≤ ≤ |l_{n} − φ_{n}(x)| + sup |φ_{n} − φ_{m}| + |φ_{m}(x) − l_{m}|.

i) Si passa al limite per x → x_{0}: |l_{n} − l_{m}| ≤ sup |φ_{n} − φ_{m}| ≤ sup |φ_{n} − φ| + sup |φ_{m} − φ|;

ii) per la convergenza uniforme delle φ_{n} ne segue che la successione l_{n} è di Cauchy e quindi, per completezza, convergente ad un numero reale.

2) (si prosegue come nell’originale) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si dica in quali sottoinsiemi di R le seguenti successioni di funzioni, per n → +∞, convergono puntualmente, in quali uniformemente, giustificando la risposta:

x^{n} ; nx^{n} ; \frac{1}{1 + x^{2n}}; \frac{n^{2}}{1 + x^{2n}}; \frac{1}{1 + (x − n)^{2}} ; min\{n; \frac{1}{x^{2}} \} ; \frac{(1 + x^{2})^{n+1} − 1}{(1 + x^{2})^{n}} ; \frac{1}{x^{n} + nx} ;

sin \frac{x}{n} ; sin \frac{x^{n}}{1 + x^{2n}} ; n^{2}xe^{−nx} ; n^{\sqrt{x}}e^{− \frac{n}{x}} ; e^{−n(e^{−nx})} ; x^{\sqrt{n}}e^{− \frac{x}{n}} ; |n + x|^{n+x} ; e^{−nx} log nx ;

(sin x)^{n}; (\frac{1}{n} + sin^{2} x)^{n} ; ∫_{1}^{n} \frac{e^{−xy}}{1 + y^{2}} dy .

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ESERCIZIO n. 2 Per n ∈ N si definisca: g_{n}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}(cos x)^{n}}{1−cos x} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix} , x ∈ [−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ]

Si studi la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni (g_{n})_{n∈N}.

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ESERCIZIO n. 3 Si studi la convergenza puntuale ed uniforme sui sottoinsiemi di R della

successione di funzioni: \frac{n^{2} sin^{2} (\frac{x}{n})}{1 + n^{2} sin^{2} (\frac{x}{n})}.

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ESERCIZIO n. 4 Si provi che la successione di funzioni: f_{n}(x) = (sin(nx))^{2n} , x ∈ [0; 2π] , non converge in tutti i punti del dominio. Si studi la convergenza verso zero delle successioni numeriche date dai seguenti integrali:

∫_{0}^{2π} f_{n}(x)dx , ∫_{0}^{2π} nf_{n}(x)dx.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si dica in quali sottoinsiemi di R le seguenti serie di funzioni, convergono puntualmente, in quali uniformemente, in quali totalmente, giustificando la risposta:

∑_{n} \frac{1}{1 + x^{n}} ; ∑_{n} \frac{1}{x^{n} + nx}, x > 0 ; ∑_{n} \frac{x^{3}}{1 + x^{2n}} ; ∑_{n} \frac{x^{n}}{1 − x^{n}}; ∑_{n} sin \frac{x}{2^{n}} ; ∑_{n} \frac{sin nx}{n^{2}}

∑_{n} n(sin x)^{n}; ∑_{n} ∫_{1}^{∞} e^{−xny^{2}}dy; ∑_{n} (artan(nx + n) − artannx) ; (∗) ∑_{n} \frac{1}{n + (x − n)^{2}} , x ∈ R.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.6 Si studi la convergenza puntuale ed uniforme sui sottoinsiemi dei domini specificati delle successione di funzioni {f_{n}}_{n∈N}, e detto f il limite si studi la convergenza puntuale ed uniforme e totale della serie ∑_{n}(f_{n} − f):

\{ \begin{matrix}f_{0}(x) = 1 , x ∈ [0; 1] \\ f_{n+1}(x) = \sqrt{xf_{n}(x)} \end{matrix} \{ \begin{matrix}f_{0}(x) = cos x , x ∈ R \\ f_{n+1}(x) = cos (f_{n}(x)) \end{matrix} \{ \begin{matrix}f_{0}(x) , x ∈ [0; A] \\ f_{n+1}(x) = ∫ _{0}^{x}f_{n}(y)dy \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Dopo aver giustificato che le integrande sono integrabili si calcolino gli

integrali giustificando la risposta: ∫_{log 2}^{log 3} (∑_{n} ne^{−nx}) dx , ∫_{0}^{∞} (∑_{n} \frac{1}{4^{n} + x^{2}} ) dx.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Si calcolino le somme delle seguenti serie di potenze

∑_{n} \frac{x^{4n−1}}{4n − 1} , ∑_{n} \frac{x^{4n}}{4n − 3} , ∑_{n} \frac{(−x)^{n+1}}{n(n + 1)}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.9 Si studi il dominio di convergenza delle serie di potenze

∑_{n} x^{4n−2} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} x^{n}10^{n} , ∑_{n} \frac{(−x)^{n}}{n} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n10^{n−1}} , ∑_{n} \frac{x^{n} sin n!}{n(n + 4)} ,

∑_{n} x^{n}n! , ∑_{n} x^{2(n−1)}2^{n−1} , ∑_{n} \frac{x^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} \frac{(−x)^{n}}{n − log n} , ∑_{n} \frac{(n!)^{2}x^{n}}{(2n)!} , ∑_{n} x^{n!}

∑_{n} 2^{n}x^{n^{2}}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Si studi la convergenza puntuale, uniforme e totale delle seguenti serie di funzioni della variabile x

∑_{n} \frac{log(1 + nx)}{nx^{n}} , ∑_{n} \frac{a^{n}}{n^{x}} (a > 1) , ∑_{n} \frac{a^{n}}{n^{x}} (a < 1) , ∑_{n} x^{n^{2}}a^{n} , ∑_{n} \frac{log n}{n^{x}}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Si studi il seguente problema di Cauchy per serie di potenze e si discuta

la convergenza della serie determinata: \{ \begin{matrix}(1 + x^{2})y′′(x) + y(x) = 0 , x ∈ R \\ y(0) = y′(0) = 1 \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.12 Si studino le seguenti serie di potenze in campo complesso all’interno del dominio di convergenza e si calcoli il limite delle prime due:

∑_{n} z^{n} , ∑_{n} \frac{z^{n}}{n(n + 1)} , ∑_{n} \frac{z^{n}}{n!} , (∗) ∑_{n} \binom{α}{n}z^{n} (α ∈ C).

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