Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

I foglio di esercizi dal 1 ottobre 2001 al 5 ottobre

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ESERCIZIO n. 1

Stabilre se i seguenti integrali impropri sono convergenti:

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α−1}}{1 + x}dx , ∫_{0}^{∞} \frac{(2 + cos x) log x}{x^{α}}dx (al variare del parametro α ∈ R) ,

∫_{1}^{∞} \frac{e^{x} arctan x}{((2x)^{x} − 1)^{2}} dx , ∫_{0}^{∞} (1 − \sqrt{\frac{t}{t + 1}}) dt , ∫_{1}^{∞} \frac{e^{−x^{2}}x^{x} − e^{x−2}}{1 − x^{x}} dx ,

∫_{1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{x^{3} − x^{2}}} dx , ∫ \sqrt{\frac{π}{2}}_{0} \frac{1}{log(cos x^{2})^{\frac{1}{3}}} dx , ∫_{1}^{∞} ((x^{8} − 1)^{− \frac{1}{9}} − x^{− \frac{8}{9}} ) dx.

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ESERCIZIO n. 2

Si studi l’integrabilità, e quindi la convergenza degli integrali, al variare dei parametri

reali α e β delle funzioni: \frac{1}{x^{α}| log |x||^{β}}, su ognuno dei domini ]0; \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}; 1[, ]1; \frac{3}{2}], [\frac{3}{2}; +∞[.

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ESERCIZIO n. 3

Si studi l’integrabilità, e quindi la convergenza degli integrali, delle seguenti funzioni sui rispettivi domini:

\frac{\sqrt{1 − cos x}}{x log(1 + \sqrt{x})} , x ∈]0; 1[ ; \frac{1 − (cos x)^{\frac{1}{4}} + log(1 + x^{\frac{1}{2}} )}{(sin x + 1 − e^{\frac{x}{2}} )^{\frac{1}{2}}} , x ∈]0; 1] ;

\frac{arctan x}{((2x)^{x} − 1)^{2}} , 0 < x < \frac{1}{2} ; \frac{1}{sin \frac{1}{x}} − \frac{1}{log(x + 1) − log x} , x > 1 ;

\frac{1}{\frac{π}{2} − arsinx} , x ∈]0; 1[ ; \frac{1}{1 − | cos(x^{α})|} , x ∈]0; π[ (al variare del parametro α ∈ R) .

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ESERCIZIO n. 4

a) Si provi mediante integrazione per parti e confronto che \frac{sin x}{x} ha integrale in senso generalizzato su ]0; +∞[ finito.

b) Si provi che se x ↦ g(x) è una funzione defimita su [0; +∞[, decrescente ed infinitesima per x → +∞, e quindi non negativa, allora la funzione g(x) sin x ha integrale in senso generalizzato su [0; +∞] finito.

c) Che dire sull’integrale generalizzato di |g(x) sin x|?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5

Si studi l’integrabilità in senso generalizzato, ed eventualmente la convergenza degli integrali, su ]0; +∞[ delle funzioni sin(x^{2}), (sin π (x + \frac{1}{x}))^{2} e sin π (x + \frac{1}{x}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6

Studiare il dominio e il comportamento asintotico agli estremi dello stesso delle seguenti funzioni x ↦ f(x):

∫_{2x−3}^{x+5} \frac{te^{t−1}}{2t − 7}dt ; ∫_{0}^{x^{2}} \frac{sin t}{\sqrt{1 − t^{2}}} dt ; ∫_{0}^{tan x} \frac{cos t}{1 + t^{2}} dt .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7

Posto F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt, si studi il limite del rapporto \frac{F (x)}{f(x)}, x → +∞, nei seguenti casi:

f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} , f(x) = e^{x} , f(x) = xe^{x^{2}} , f(x) = log x .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8

Si consideri Γ(α) = ∫_{0}^{+∞} e^{−x}x^{α−1}dx, α > 0. Si provi che è ben definito e quindi che Γ(n) = (n − 1)! per n ∈ N. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9

Si considerino gli integrali

\frac{1}{3}T (κ) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − t^{2}} · \sqrt{1 − κ^{2}t^{2}}} dt , κ ∈ [0; 1[.

a) Si calcoli T (0) e si provi che per ogni κ ∈ [0; 1[ tali integrali sono finiti.

b) Si studi al variare di α ∈ R il comportamento di (T (κ) − T (0)) · κ^{−α} per κ → 0.