3-10-06 lezione 1 (Tortorelli)
Confronti tra grandezze, incommensurabilita' tra diagonale e lato del
quadrato, numeri come riferimento assoluto: naturali, interi, razionali.
L'equazione x^2=2 non ha soluzioni razionali. Il sistema dei numeri
reali come riferimento per trattare `processi a precisione
infinita'. La successione dei reciproci dei naturali e' di Cauchy.
Notazioni: N, Z, Q, R,
minore o eguale,appartenenza, inclusione, insieme vuoto, per ogni,
esiste, modulo, n=2m, n=2m+1=2k-1
Definizioni: multiplo,
numero primo, regole per i numeri, modulo di un numero, massimo
elemento di un insime, inclusione, assioma di completezza, successione
di Cauchy, successione convergente a un numero reale.
Enunciati: fattorizzazione
in primi, quadrato di un binomio (dim), diversi enunciati
della diseguaglianza triangolare (dim), ogni successione di cauchy di
numei reali converge ad un numero reale, equivalenza con l'assioma di
completezza.
Esercitazione 1
5-10-06 (Tortorelli) Esercizi in
classe 1. La successione dei reciproci dei naturali tende a zero.
A^2-B^2=(A_B)(A+B), A^n-B^n= (A-B)(A^{n-1} + ... A^^{n-k-1} B^k +...
B^{n-1})
6-10-06 lezione
2 (Tortorelli) Le principali conseguenze
dell'assioma di completezza e alcune definizioni rigorose, di noti
concetti, che possono essere date grazie a questo assioma.
Notazioni: R^3, R^2,
radice ennesima, esponenziale reale, logaritmo, coppie ordinate, terne
ordinate, ``ennuple'' ordinate, sup, inf, max, min, sin x, cos x.
Definizioni: insieme
limitato, maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore,
estremo inferiore, successione crescente, successione decrescente,
successione limitata, sottosuccessione, radice ennesima, esponenziale
reale, logaritmo, piano e spazio cartesiani, semipiani, cerchio e
circonferenza, settori circolari ed archi, area e volume secondo
Peano-Jordan, ``pi-greco'' (\pi), seno e coseno di un numero (doppio
dell'area del settore).
Enunciati: caretterizzazione
di estremo superiore ed estremo superiore, equvalenza tra l'assioma di
completezza e l'esistenza di estermo superiore ed inferiore di un
insieme non vuot e limitato (cenno dim), una successione crescente
(decrescente) e limitata ha limite e questo e' l'estremo superiore
(risp. inferiore) dell'insieme dei suoi valori (dim), ogni successione
limitata di numeri reali ha una sottosuccessione convergente,
esistenza e unicita' della radice ennesima aritmetica di un numero non
negativo, esistenza ed unicita' del logaritmo, i settori circolari hanno
area secondo Peano-Jordan, per ogni numero reale x tra 0 e 2\pi vi e' un
settore circolare del cerchio unitario con area eguale ad x/2 .
10-10-06 lezione 3 (Tortorelli)
ragionamento formale e insiemi definiti da proprieta', operazioni
insiemistiche e loro significato, (e.g. U_i {x: x^2+i=1} con i in N) numeri interi, induzione
(e.g. 2^n>n), progressione geometrica, allineamenti decimali e
conteggio, formula di Newton
per le potenze di un binomio
Notazioni: {x:
p(x) e' valida}, p ==> q, [a,b], [a,b[, ]a,b[,]a,b], [a, + oo[, ]a, +
oo[, ] - oo,c], ] -oo , c[, AUB, A \cap B, A\B,
U_A ... , U_i A_i .... , n!, (n
su k), Sommatoria, Produttoria
Definizioni: intervalli e
semirette, distanza in R^3,
palla cerchio circonferenza e sfera, implicazione come disgiunzione tra
la negazione della premessa e conseguenza ( (non p) o q),
intersezione e unione di due o un numero finito di insiemi,
complemento relativo, unione ed intersezione di una famiglia
di insiemi, parte intera, insieme denso, n fattoriale come numero
dei modi di ordinare n oggetti , fattore binomiale F_nk come
numero di modi di scegliere k tra n oggetti
Enunciati: negazione
per congiunzioni disgiunzioni e
quantificatori, negazione dell'implicazione (dim), complemento relativo
di unioni e di intersezioni (dim),
i numeri naturali sono l'intersezione di (il piu' piccolo tra) tutti i
sottoinsiemi dei reali che hanno 0 come elmento e che se hanno x
come elemento hanno anche x+1 come elemento:
ogni sottoinsieme di numeri naturali ha minimo, principio di induzione
(dim),
i razionali sono densi nei reali, gli allineamenti decimali
rappresentano successioni convergenti, ogni numero reale e' limite di un
allineamento decimale (dim),
espressione ricorsiva del fattoriale (dim), significato di m^n e in
particolare di 2^n di come disporre n oggetti in m scatole, F_(n+1)k=
F_n(k-1) + F_nk (dim con il testimone), F_nk=F_n(n-k), F_nn=1,
espressione di F_nk con i fattoriali n!( k! (n-k)!)^{-1} (dim
fissato un ordinamento di n oggetti i primi k sono una scelta
arbitraria a meno di riordinamenti separati di questi k e degli
n-k rimanenti),
formula di Newton per la potenza di un binomio (dim (a+b)^n ogni
addendo dello sviluppo e' del tipo a^k b^{n-k}, fissato k un addendo di
questo tipo si ottiene scegliendo a in esattamente k degli n fattori
della potenza),
a=1+d>1
allora se n e' abbastanza grande a^n > n (dim a^n > (n su
2) d^2= (n^2-n) d^2/2 )
Esercitazione 2
12-10-06 (Novaga) Esercizi in
classe 2: conteggi, polinomi, trigonometria
Esercitazione 3
13-10-06 (Novaga) Esercizi:
trgonometria, estremo superiore ed estremo inferioriore
17-10-06 lezione 4 (Tortorelli)
confronto tra successione delle potenze, successione degli
esponenziali, successione dei fattoriali e n^n, serie armonica e serie
dei reciproci delle potenze, successioni divergenti, confronto, tasso di
inetresse composto e numero e.
Sistemi di riferimento nel piano e nello spazio
(e.g. fissare n+1 punti, ordinarli e considerare il primo come origine)
identificazione tra una n-pla ordinata di numeri reali e il
punto che si raggiunge partendo dall'origine con cammini paralleli
agli assi di ``lunghezze'' i dati numeri reali. Identificazione
tra punti e traslazioni. Rette in forma parametrica e parallelismo.
Trasformazioni lineari e matrici, una trasformazione lineare da R^m in R^n come n-pla di
trasformazioni lineari da R^m
in R.
Notazioni:
(a,b), (x,y,z), (x_1 , ... , x_n), R^n,
U+ r V, notazioni per le matrici e prodotto righe per colonne,
colonne come coordinate dei trasformati del sistema canonico,
M^{-1}, M^t
Definizioni: Numero e, vettori, somma di vettori,
prodotto per numeri di vettori, regola del parallelogramma, retta
per un punto parallela ad un vettore, trasformazione lineare da
R^m in R^n, matrice associata ad una
trasformazione in un sistema di riferimento, prodotto righe per colonne,
matrce identita', matrce inversa. matrice trasposta
Enunciati:
dieseguaglianza di Bernoulli (dim), limiti di n^k/ (1+d)^n,
(1+d)^n/n!, n!/n^n (dim), divergenza serie armonica e delle serie dei
reciproci delle potenze di esponente minore di 1 (dim), convergenza
della serie dei reciproci dei quadrati (dim), criterio dei ``due
carabinieri'', diseguaglianza tra media aritmetica e medi geometrica, la
successione di ``tasso di interesse composto'' x e'
definitivamente crescente (dim), sua limitatezza (dim), il suo limite e'
e^x, il limite di
n^{1/n}.
Teorema fondamentale dell'algebra lineare, la matrce associata alla
composizione di due trasformazioni e' data dal prodotto righe per
colonne delle matrcie rispettivamente associate alle trasformazioni nel
dato ordine (dim)
19-10-06 lezione 5 (Tortorelli)
Arbitrarieta' del sistema di riferimento e basi, coordinate relative ad
una base, dipendenza lineare nel piano ed allineamento con l'origine e
proporzionalita' delle quattro coordinate (s(a,b) +t (c,d)=(0,0) se solo
se ad-bc=0), dipendenza lineare nello spazio e complanarita' con
l'origine. cambiamenti di base,
matrce di un cambiamento di base, come cambia la matrice associata ad
una trasformazione lineare cambiando base.
Notazioni:
matrice associata ad un cambiamento di base
Definizioni: spazio con
somma e prodotto per numero reale in astratto, insieme di generatori,
combinazione lineare a coefficienti in R,
insieme di vettori linearmente indipendenti, forma parametrica di un
k-piano per un punto in R^n
generato da k vettori linearmente indipendenti
Enunciati: ogni
vettore si puo' esprimere in modo unico come combinazione lienare degli
elementi di una base, esistenza delle basi in astratto, ogni base
dello stesso spazio ``ha lo stesso numero di elementi'' ,
coordinate di un vettore in una base C espresse con le coordinate
dello stesso in una base B, la matrice associata al cambiamento di
coordinate da una base B ad una base C e' quella che ha come colonne le
coordinate nella base C degli elementi della base B (dim), M(B,C)
T(B) M(C,B)= T(C), la matrice associata al cambiamento da una base
B ad una base C e' la matrice inversa di quella associata al cambiamento
dalla base C alla base B (dim),
20-10-06 lezione 6 (Novaga)
Segmenti in forma parametrcia e definizione di convessita'.
Esercitazione
4 20-10-06 (Novaga)
Esercizi in classe terzo foglio, esercizi vari dal terezo foglio.
24-10-06 lezione 7 (Tortorelli)
Distanza, norma, prodotto scalare e determinante: significato intuitivo
della distanza euclidea basata sul Teorema di Pitagora, significato
intuitivo del determinante basato sull'area orientata di un
parallelogramma e sul volume orientato di un parallelepipedo.
Notazioni:
Definizioni: distanza
euclidea, norma e prodotto scalare in R^n,
determinante di matrici due per due e tre per tre, bilinerita',
trilinearita', forme simmetriche ed alternanti.
Orientazione relativa di una base, rotazioni e riflessioni per rette
passanti per l'origine nel piano, determinante di una trasformazione
lineare, prodotto vettore nello spazio, area di un parallelogramma nello
spazio.
Ortogonalita'.
Enunciati:
Proprieta' della norma euclidea e derivate per la distanza relativa: ||
P||>0 se P non nullo (positivita'), ||r P|| =|r| ||P||
(positiva omogeneita'), || P-Q||< || P||+||Q|| se P e Q sono line.
indip. e vale l'eguaglianza se e solo se sono allineati con
l'origine tra i due (dis. triangolare) (dim).
Proprieta' del prodotto scalare: (P+rR| Q)= (P|Q)+ r(R|Q), (P|rR+ Q)=
r(P|R)+ (P|Q) (bilinearita'), (P|Q)=(Q|P) (simmetria), (P|P) >0
se P non nullo (positivita'). (dim)
Le trasformazioni lineari a valori nella ertta sono tutti e soli i
prodotti scalari per un assegnato vettore.
|(P|Q)| < ||P|| ||Q|| se P e Q sono indip. e vale
l'eguaglianza se e solo se sono linearmente dipendenti
(diseguaglianza di Schwarz)(dim)
Proprieta' dell'area con segno di un parallelogramma orienatato:
A(u+rw, v)=A(u,v)+rA(w,v) e A(u,rw+ v)=rA(u,w)+A(u,v)
(bilinearita'), A(u,v)=-A(v,u) (alternante)
Analoghe proprieta' del volume con segno di un parallelepipedo
orientato: trilinearita' ed alternante
Esiste un'unica forma (tri)bilineare e alternante nelle colonne di una
matrice (tre per tre) due per due che vale 1 sulla matrice identica
a c
det = ad-bc
(dim)
b d
Altre proprieta' del determinante:
- il determinante di una matrice e' eguale a quello della trasposta;
- il determinante della matrice data dal prodotto righe per colonne di
due matrici e' il prodotto dei determinanti
quindi il detreminante non cambia cambiando sistema di
coordinate (detrminante di una trasformazione lineare )
- il determinante si annulla se e solo se le colonne sono vettori
linearmente dipendenti
-La misura di Peano-Jordan di un parallelepipedo di vertici 0, P,Q,
R,P+Q,P+R,Q+R, P+Q+R e' |det(P,Q,R)|
Se un sottoinsieme A dello spazio euclideo ha misura di
Peano-Jordan e T e' una trasformazione lineare allora
mis (T(A))=|det T| mis (A)
Area di un parallelogramma nello spazio di vertici (0,0,0), (a,b,c),
(A,B,C), (a+A, b+B , c+C)=
a b c
a A
=[det
b B ]^{1/2} = [ (aB-Ab)^2 +
(Ac-Ca)^2 + (bC-Cb)^2]^{1/2}= || (a,b,c)X(A,B,C)|| =
A B C
c C
= radice della somma dei quadrati delle aree dei parallelogrammi
proiettati ortogonalmente sui piani coordinati
Relazione tra prodotto scalare detrminante e prodotto vettore
x a A
det y b B = ((x,y,z)| (a,b,c,)X(A,B,C))
z c C
Le trasformazioni (lineari) che mantengono le distanze con determinante
positivo (rotazioni) sono rappresentate dall'azione sulle
a -b
coordinate di matrici con a^2
+b^2 =1
b a
Le trasformazioni (lineari) che mantengono le distanze con determinante
negativo (riflessioni) sono rappresentate dall'azione sulle
a b
coordinate di matrici con a^2
+b^2 =1
b -a
Per invarianza per rotazioni e traslazioni della misura di Peano Jordan
si ha la relazione fondamentale
|(P|Q)|
__________ = cos POQ
||P|| ||Q||
Analogamente
||PXQ ||
__________ = | sin POQ |
||P|| ||Q||
Esercitazione 5
26-10-06 (Tortorelli) Esercizi in classe IV e
III: piani e rette come luoghi di zeri, prodotto scalare e determinante,
distanza di un piano e di una retta dall'origine.
Nota: i
luoghi di zeri di prodoti scalari sono rette nel piano e piani nello
spazio
27-10-06 lezione 8 (Novaga)
Formula di Grassmann e regola di Cramer.
Notazioni: rk,
ker
Definizioni: determinante
di una matrice quadrata, rango di una matrice per righe e per colonne
come numero
massimo delle rispettive linearmente indipendenti, nucleo di una matrice
come dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare
omogeneo, (conseguentemente rango e nucleo di una trasformazione lineare)
Enunciati: il rango per
righe e' uguale a quello per colonne ed e' uguale alla massima
sottomatrice quadrata a determinante non nullo, sviluppo del
determinante per righe o per colonne, metodo di sostituzione, formula di
Cramer
Esercitazione 6
27-10-06 (Novaga) esercizi relativi agli
argomenti della lezione 8.
Esercitazione
7 30-10-06 (Tortorelli)
risoluzione degli esercizi della terza prova in itinere (gruppo D).
2-11-06 lezione 9 (Tortorelli)
Funzioni come grafici: F(x)=1, F(x)=1+x^2/1+x^2, F(x)=1-x/1-x, funzioni
tra insiemi finiti, successioni
come funzioni, funzioni
vettoriali a valori in R^n
come ennuple di funzioni a valori in R
, funzioni lineari e affini,
immagine, preimmagine, dominio, codominio, iniettivita', surgettivita',
bigettivita'. Interpretazione della formula di Grassmann con i concetti
di immagine, preimmagine e dominio, iniettivita' e surgettivita' di
funzioni lineari ed interpretazione funzionale dei sistemi lineari. Vari
esempi: Ker ax+by = Graf -ax/b = Im (-bt , at), 0<x ----> x^2 e'
iniettiva,
l'immagine di (cos t , sin t) e' una circonferenza il suo grafico
un'elica cilindrica.
Iniettivita' come unicita'di un'eventuale soluzione di
un' equazione con termine noto generico.
Surgettivita' come esistenza della soluzione di un' equazione con
termine noto generico.
Notazioni: AxB,
AxBxC, identificazione tra (a, (b,c)) e (a,b,c) ... , C^{-1}, y=f(x),
f^{-1}(D) preimmagine, Im_G f, f(G) immagine, f |_G
Definizioni: prodotto
cartesiano di insiemi, grafico, insieme di coppie inverso, dominio,
codominio, restrizione, immagine, preimmagine,
iniettivita', surgettivita', bigettivita', inversa di una funzione:
radici aritmetiche dispari, log, inverse di restrizioni: artan,
arsin, arcos, radici aritmmetiche pari
Enunciati: il numero
delle funzioni iniettive da un insieme con m elementi ad uno con n
elementi se m non e' piu' piccolo di n e'
m(m-1)...(m-n+1) (dim).
Se f e' lineare da R^m
in R^n : la preimmagine di
{(0, ....0)} e' un sottospazio di R^m
detto nucleo di Ker f, l'immagine di f e' un sottospazio di R^n , il grafico di f e' un
sottospazio di R^{m +n},
se e' surgettiva allora m non e' piu' piccolo di n e il rango della
matrice associata e' n, se e' iniettiva allora n non e' piu' piccolo di
m e il Ker ha dimensione 0.
Una funzione e' iniettiva se e solo se la sua inversa e' una
funzione.
3-11-06 lezione 10 (Tortorelli)
Funzioni lineari e affini,
immagine, preimmagine, dominio, codominio, iniettivita', surgettivita',
bigettivita'. Interpretazione della formula di Grassmann con i concetti
di immagine, preimmagine e dominio, iniettivita' e surgettivita' di
funzioni lineari ed interpretazione funzionale dei sistemi lineari. Cammini
come funzioni di una variabile reale a valori in R^n, un grafico in una variabile e'
l'immagine di una cammino.
Composizione di funzioni, funzione identita', matrce identita'.
Polinomi, funzioni razionali in piu' variabili reali.
Funzioni (a valori) reali di una variabile (reale): le principali
funzioni e le loro inverse. Andamento di una funzione, segno del
rapporto incrementale e significato geometrico come coefficinete
angolare della retta secante il grafico nei due punti.
Argomento euristico di come dai coefficienti angolari delle tangenti
all'immagine di un cammino si risale al coefficiente angolare delle
secanti.
Necessita' di una definizione di limite per esprime il concetto di
retta tangente e studiare l'andamento di una funzione studiando il segno
dei coefficienti amgolari delle tangenti.
Notazioni:
rf^{-1}, gof, f(t)=(f_1 (t), ... , f_n (t))
Definizioni: grafico,
insieme di coppie inverso, dominio, codominio, restrizione,
immagine, preimmagine, iniettivita', surgettivita', bigettivita',
inversa di una funzione, identita' su un insieme. Funzioni convesse (con
sopragrafico convesso).
Proiezioni canoniche. Camini.
Funzioni crescenti, decrescenti su un intervallo, rapporto incrementale.
Enunciati: le funzioni
affini crescenti sono quelle il cui grafico e' una retta con
coefficiente angolare non negativo.
7-11-06 lezione 11 (Tortorelli)
Riassunto e schema dei principali concetti introdotti nelle precedenti
lezioni.
Limite di una funzione vettoriale di piu' variabili: |segno di x|,
xy/(x^2+y^2)
Derivata in un punto di una funzione di una variabile reale anche
a valori in R^n e loro
interpretazione geometrica:
derivata ed approssimazione lineare.
Utilizzo delle derivate per lo studio dell'andamento di grafici:
enunciato del teorema di Lagrange.
Regole di derivazione.
Regola della catena e notazione di Leibniz.
Notazioni:
f(Q)---> L se Q--->P con Q in A, lim_{Q-->P, Q in A} f(Q)=L, f
' (x_0), dy/dx , df(x)/dx |x=x_0 (notazione di Leibniz), notazioni per
le derivate parziali.
Definizioni: definizione
di limite per funzioni di m variabili reali a valori in R^n:
sia f definita su A, P approssimabile con elementi di A (vi e' Q_n in A
per cui Q_n --> P per n -->+oo)
p.o. e>0 esiste r>0 per cui
se Q\not = P e Q in A e dist (Q,P)< r allora
dist (f(Q), L)< e.
Derivata, derivata destra derivata sinistra di un cammino in un punto
di un intervallo, derivata di una funzione reale.
Retta tangente all'immagine di un cammino (cammino iniettivo e derivata
non nulla ), retta tangente al grafico di una funzione reale.
Funzione derivata.
Derivate parziali.
Enunciati: f(Q) ---> L ( Q-->P) se e solo se ||
f(Q)-L||-->0 ( Q-->P) se e solo se f_1(Q) --> L_1, ... ,
f_n(Q) --> L_n ( Q-->P).
Approssimazione lineare: f(x)= f(x_0) + a (x-x_0) + r , a
=f '(x_0), r/(x-x_0) --->0 per x --->x_0 (dim),
La derivata di un cammino e' il vettore che ha come componenti le
derivate delle funzioni componenti.
Se una funzione ha derivata in un punto allora ha limite in quel punto
eguale al suo valore (dim).
Teorema di Lagrange per grafici e per curve piane con derivata non
nulla, controesempio per curve nello spazio.
Una funzione con derivata non negativa (non positiva) in un
intervallo e' crescente (decrescente) in quell'intervallo.
Le funzioni derivabili in un punto sono uno spazio vettoriale e la
derivazione un funzionale lineare, derivata di un prodotto ed
esemplificazione algebrica, derivata del reciproco e del rapporto,
derivata dell'inversa ed esemplificazione geometrica, derivate di
costanti di polinomi (dim), derivate delle funzioni trigonometriche
(dim), derivata dell'esponenziale e peculiarita' della base e. Derivata della composizione e
regola della catena
9-11-06 lezione 12 (Tortorelli)
Tangente ``locale`` all'immagine di un cammino :
se x ---> f(x) =(f_1 (x), f_2 (x) ... ), a< x<b, e' un cammino
con f '(t) non= (0,0 ... ), a< t< b, la retta immagine del
cammino affine
s ---> f(t) +s f '(t) (passante per f(t) e parallela a f '(t))
e' tangente all'immagine del cammino ristretto a un intervallo
abbastanza piccolo centrato in t.
Divergenza di funzioni e limiti
all'infinito.
Le principali proprieta' delle funzioni, vettoriali di piu' variabili
reali, continue: teoremi di esistenza di zeri e di punti estermali.
Le principali proprieta' delle funzioni convesse.
Notazioni: f(x) ---> L se x---> + oo, - oo;
f(x) ---> + oo , - oo ; f '' .
Definizioni : limiti
all'infinito in una variabile, funzioni divergenti. Funzione continua
in un punto:
se A e' un sottoinsieme del dominio di una funzione vettoriale f di
piu' variabili reali , e se x in tale dominio e' approssimabile
con punti di A diversi dallo stesso da f(t) ---> f(x), per t -->x,
t in A segue che la restrizione della funzione ad A e' continua in x.
Funzione continua su un insieme: funzione che rstretta all'insieme e'
continua in tutti i suoi punti.
Sottoinsieme di R^n
chiuso (per successioni), sottoinsieme limitato.
Funzioni continue in un punto in ogni direzione ma non continue nel
punto.
Derivata seconda .Funzioni convesse.
Enunciati: Teorema degli zeri, una funzione reale
definita e continua su un intervallo assume su tale intervallo tutti i
valori strettamente compresi tra estremo superiore ed estremo inferiore
dell'immagine dell'intervallo.
Per un sottoinsieme C di R^n
limitato e chiuso da ogni successione di suoi elementi x_n si
puo' estrarre una sottosuccessione x_{n_k} convergente (Teorema di
Bolzano-Weierstrass), l'immagine di un insieme limitato e
chiuso con una funzione continua su di esso e' un insieme limitato e
chiuso, una funzione a valori reali continua su un insieme limitato e
chiuso ammette una valore massimo e in valore minimo su tale insieme
(Teorema di Weiestrass).
Permanenza del segno nei limiti e per le funzioni continue (dim).
Le preimmagine di chiusi mediante funzioni continue sono chiusi
relativi: A sottoinsieme di R^m,
f :A ---> R^n continua su
A, D chiuso in R^n allora
esite C chiuso inR^m per cui
f^{-1}(D)= A intersecato C.
Composizione di funzioni continue e' continua, il reciproco di una
funzione continua non nulla e' continuo (dim). le funzionmi lineari sono
continue (dim), le funzioni bilineari sono continue, i polinomi sono
continui, le funzioni elementari sono continue ove
definite.
Una funzione e' convessa (epigrafico convesso) se e solo se il
suo grafico sta sotto le corde con estremi su di esso
(f(s x+(1-s)y)<_= sf(x)+(1-s)f(y) , s in [0;1]) se e solo se il suo
grafico sta sopra i complementari di tali corde se e
solo sono convesse le sue restrizioni a rette parallele agli
assi coordinati. Un funzione di variabile reale e' convessa se e solo se
i rapporti incrementali di centro fissato sono crescenti. Una funzione
derivabile in un intervallo e' convessa se e solo se il suo grafico sta
sopra le rette a lui tangenti (f(x) =_> f(y) + f '(y) (x-y)) se e
solo se la funzione derivata prima x ---> f ' (x) e' crescente.
Una funzione derivabile due volte in un intervallo e' convessa se e
solo se f '' e' non negativa.
Esercitazione 8
10-11-06 (Novaga) studi di funzione in una
variabile.
14-11-06 lezione 13 (Tortorelli)
Definizioni : parametrizzazione,
sistema di coordinate, sistema di coordinate locali.
Enunciati: Crirteri
di sostituzione dei limiti: funzione esterna continua nel valore limite
altrimenti funzione interna diversa dal valore limite in punti
abbastanza vicinie diversi dal punto limite.
Un funzione continua su un intervallo
a valori reali e' iniettiva
se e solo se e' monotona nel caso la sua inversa e' continua.
Esercitazione 9
14-11-06 (Tortorelli) Esercizi su surgettivita',
iniettivita', teorema degli zeri, coordinate non lineari, coordinate
polari, coordinate sferiche e cilindriche. Controesempi alla continuta'
dell'inversa di una funzione continua, alla sostituzione nei limiti.
17-11-06 lezione 14 (Novaga)
richiamo dei limiti in piu` variabili e continuita`, piano tangente al
grafico, differenziabilita` e relative proprieta` in due variabili.
Definizioni : derivate
parziali, gradiente, differenziale, punto stazionario e max/min
Enunciati: una funzione con derivate parziali continue e'
differenziabile, il vettore gradiente se non nullo e' ortogonale ai
cammini di egual livello, regola della catena derivata di funzione
composta
21-11-06 lezione 15 (Tortorelli)
richiamo della differenziabilita' in due variabili e
differenziabilita' di funzioni vettoriali di piu' variabili. Esempi di
funzioni con tutte le derivate direzionali in ogni punto ma non
differnziabili in un punto: f(x,y)=xg (y/x^2) con
g(t) = h(t) h(1-t) e h(t) = e^{-1/t^2} per t>0 e nulla
altrimenti (sua derivabilita').
Intrepretazione geometrica del gradiente quando non nullo come
direzione di massima crescita e normale alle tangenti all'iniseme di
livello.
Differenziabilita' di funzioni affini e differenziabilita' del
prodotto,
la regola della catena e la composizione di differenziali con prodotto
righe per colonne delle matrici delle derivate parziali.
Gradiente e derivate direzionali.
Tangenti a (restrizioni di) luoghi di zeri e a immagini (di
restrizioni) come (traslati) di luoghi di zeri e rispettivamente
immagini dei differenziali.
Definizioni : derivate
direzionali, differenziabilita' di una funzione vettoriale di piu'
variabili, ``piano tangente al grafico'', gradiente,
Notazioni: d_p f, notazione per derivata direzionale,
notazione per gradiente
Enunciati: teorema
del differenziale totale, regola della catena e differenziale della
funzione composta come composizione di differenziali d_p gof= d_f(p) g
d_pf, teorema del rango e tangenza a immagini, teorema del Dini delle
funzioni implicite per funzioni reali di due variabili e suo
corollario riguardo la retta tangente ad un insieme di livello
23-11-06 conclusione lezione 15
Corollario del teroema delle funzioni implicite generale: se f: R^{h+k} --> R^h e differenziabile con continuita'
e il rango della matrice delle sue derivate parziali in un punto P e'
massimo h, cioe' dim Im d_P f = h, allora vi e' un R per cui
{x: f(x)= f(P)} intersecato B(P,R) ha k-piano tangente dato dal luogo
di zeri affine d_P f (x-P) +f(P)=0
28-11-06 enunciato: teorema di
invertibilita' locale come caso limite del teorema del rango e del
teorema delle funzioni implicite.
Esercitazione 10
23-11-06 (Tortorelli) esercizi ed esempi su
tangenti a superficie in forma parametrica e come luoghi di zeri.
Esercitazione
11 24-11-06 (Novaga)
esercizi in classe 5:
Esercitazione
12 28-11-06 (Tortorelli)
esercizi in classe 5: tangenti, derivate di funzione implicita, mappe
conformi, proiezione stereografica
1-12-06 lezione 16 (Novaga)
Formula di Taylor con resto di Peano per funzioni di una variabile
reale, i criteri dell'Hospital, formula di Taylor del secondo ordine per
funzioni di piu' variabili.
5-12-06 lezione 17 (Tortorelli)
sviluppo di Taylore con resto di Lagrange, approssimazioni piu' che
lineari, uso dello sviluppo di Taylor per i limiti. Sviluppo di Taylor
al secondo ordine per funzioni di piu' variabili, ricerca di
massimi e minimi: metodi diretti, metodi indiretti, condizioni
necessarie e condizioni sufficienti per punti di massimo o minimo
relativi.
Definizioni : sviluppo
di Taylor di dato centro e di grado n, polinomio di Taylor di grado n e
di dato centro, forma bilineare associata ad una matrcice quadrata,
forma quadratica associata ad una matrice (polinomi omogenei di grado 2
in n variabili), differenziale secondo, matrice delle derivate seconde,
punto di massimo e minimo relativo
Notazioni: o(B) O(B), d^2_p f, D^2f(p), ^tvMu,
vMu
Enunciati: unicita' dello
sviluppo di grado n per una funzione n volte derivabile in un punto,
resto di Lagrange (dim), sviluppi di sin x in 0,
sin x in 1, e^x in 0, log x in 1, log (1+x) in 0,
calcolo di sviluppi di funzioni composte usando l'unicita',
formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di due
variabili (dim : usando lo sviluppo in una variabile, il teorema
di Cauchy e la definizione di differenziabilita' di funzioni vettoriali)
esemplificazione nel caso di due e di tre variabili, in un punto
di minim o relativo interno una funzione due volte differenziabile ha
differenziale nullo e forma quadratica associata alla matrice delle
derivate seconde non negativa, se una funzione due volte differenziabile
in un punto ha diffrenziale nullo e forma quadratica associata alla
matrice delle derivate seconde sempre strettamente positiva allora il
punto e' di minimo relativo.
7-12-06 lezione 18 (Tortorelli)
Sunto: sviluppo di Taylor al secondo ordine in piu' variabili con le
derivate direzionali, forme quadratiche matrici simmetriche: s_11 u_1^2
+ .... s_nn u_n^2 + 2s_12 u_1 u_2 + .... 2s_ij u_iu_j + .... s_n-1 n
u_n-1u_n i<j.
Condizioni di convessita', come cambiano le ennuple se intese come
punti o se intese come funzionali lineari, come cambiano le matrci se
intese come trasformazioni lineari o se intese come forme bilineari.
Problema max e min relativi <- segnatura di una forma quadratica =
segno degli autovalori =segno delle radici di un polinomio di una
variabile, segno degli autovalori e segno dei coefficienti del polinomio
caratteristico nel caso n=2.
Definizioni : autovalori
soluzioni det (zId-M)=0, autovettori ker (zId -M), polinomio
caratteristico di una matrice:
det(zId -M), traccia di una matrcie quadrata M: m_11+ ... +m_nn
Notazioni : sv
Enunciati : una funzione
due volte differenzabile se ha forma quadratica delle derivate seconde
non negativa in un intorno di un punto p ove il differnziale e'
nullo ha uin p un punto di minimo relativo (dim); una funzione una volta
differenziabile su un convesso e' convessa se esolo se `` sta sopra ogni
suo piano tangente'' f(x) >_= f(p) + d_p f( x-p):
ne segue che se una funzione convessa ha differenziale nullo in un
punto allora quel punto e di minimo assoluto
(f(x) >_= f(p)).
una funzione due volte differnziabile (su un insiem convesso) e' ivi
convessa se e solo se in ogni punto la forma quadratica delle derivate
seconde e' non negativa.
- Teorema fondamentale sulle forma quadratiche o di diagonalizzazione
delle matrici simmetriche:
prima versione: dato un polinomio omogeneo P di secondo grado
nelle coordinate cartesiane x_1 ... x_n vi e' un sistema di coordinate
cartesiane y_1 ...y_n in cui P(x_1 ... x_n)= a_1 y_1^2 +.... +a_n y_n^2
seconda versione: data una matrice simmetrica S vi e' una matrice
ortonormale V per cui ^tV SV e' una matrice diagonale
| a_1 0 ... 0 ... 0|
| 0 a_2 0 ...
0|
| 0 ... 0 a_3 ... 0|
| ... ..... ... ... ..... |
| 0 ... ... 0 a_n|
terza versione: se una funzione lineare si rappresenta con una matrcie
simmetrica vi e' una base ortogonale di autovettori.
Corollario: una forma quadratica e' definita non negativa se e solo se
gli autovalori della matrice simmetrica associata sono tutti non
negativi (dim).
- Coefficienti del trinomio di secondo grado z^2 + A z + B: A = -
somma radici, B =prodotto radici
| z 0 | | a b |
det | | - |
| =z^2 -(a+c) z + ac-b^2 = z^2 - Traccia matrice z + Determinante
matrice=z^2- somma autov z+prod autov.
| 0 z | | b c |
Per una funzione di due variabili con gradiente nullo in p e con
forma delle derivate seconde in p con determinante non nullo:
se il determinante e' negativo p e' un punto di
sella
se il determinante e' positivo:
con traccia positiva allora p e' pto di
minimo relativo
con traccia negativa allora p e' pto di massimo
relativo
- In generale si osserva che il polinomio caratteristico di una
matrice e':
det (zId -M) z^n = z^n - tracciaM z^{n-1} + ...
+ (-1)^n det M
- Qualsiasi cambiamento di cooordinate lineare lascia inalterati
la traccia e il determinante delle due matrici associate ad un funzione
lienare : det M = det N^{-1} M N, tra M = tra N^{-1} MN
12-12-06 lezione 19 (Tortorelli)
Sunto: Problema max e min relativi <- segnatura di una forma
quadratica = segno degli autovalori =segno delle radici di un polinomio
di una variabile, segno degli autovalori e segno dei coefficienti del
polinomio caratteristico nel caso n=2.
Segno delle n radici di un polinomio monico di grado n, espressione dei
coefficienti di un polinomio monico di grado n il termini di somme
alterne dei prodotti delle radici. Criterio dei segni dei minori
principali crescenti.
Strategia generale per la ricerca di massimi e minimi assoluti:
esistenza,
considerazioni dirette
o confronto dei valori nei punti critici (eventuale studio della
segnatura delle derivate seconde), nei punti di non differenziabilita',
nei punti del bordo.
Valori estremali con vincoli con parametrizzazioni e con luoghi di
zeri: metodo dei moltiplicatori di Lagrange in codimensione 1.
Definizioni :
Notazioni :
Enunciati : in un
polinomio monico a coefficienti reali di grado n, con somma delle
molteplicita' delle radici eguale ad n
contando le radici con la loro molteplicita' r_1, r_2 .... r_n il
coefficiente del termine di grado n-k e'
(-1)^k somma dei prodotti di k tra gli r_1 .... r_n; il polinomio
caratteristco det(zId -S) di una matrice simmetrica S e' monico di grado
n e il cofficiente del termine di grado n-k e' (-1)^k somma dei
determinanti delle sottomatrici kxk sulla diagonale principale;
una matrice simmetrica S e' non negativa se e solo se i coefficienti
del polinomio cartteristico sono di segno alterno
una matrice simmetrica S e' non positiva se e solo se i coefficienti
del polinomio cartteristico sono dello stesso segno
una matrice simmetrica S e' strettamente positiva se e solo se detS
\not=0 e i coefficienti del polinomio cartteristico sono di segno alterno
una matrice simmetrica S e' strettamente negativa se e solo se
detS \not=0 e i coefficienti del polinomio cartteristico sono dello
stesso segno
| S_11 S_12 |
una matrice simmetrica S e' strettamente positiva se e solo se
S_{11}>0, det |
| >0, .... , det S>0
| S_12 S_22 |
| S_11 S_12 |
una matrice simmetrica S e' strettamente negativa se e solo se
S_{11}<0, det |
| >0, .... , (-1)^n det S>0
| S_12 S_22 |
Per una
funzione differenziabile il gradiente non nullo e' ortogonale agli
insiemi di livello e la funzione cresce nella sua direzione(dim); se un
insieme di livello di una funzione differnziabile con gradiente non
nullo e' trasversale ad un luogo di zeri regolare i punti di
intersezioni non possono essere ne di massimo ne di minimo relativo
(dim); un vettore e' ortogonale allo spazio orogonale di un altro
vettore se e' multiplo di quest'ultimo; i punti di {x: g(x)=0} in cui
una funzione f assume valori di estermo relativo su {x: g(x)=0} sono da
cercare tra:
i punti ove f non e' differenziabile,
i punti nell'intorno dei quali g non e' differenziabile con
continuita',
i punti in cui si annulla il differenziale di g,
e i punti P nell'intorno dei quali g e' differenziabile con continuita'
| gradf
(P)= m grad g(P)
per cui vi e' un numero m
| grad g(P)\not=0
(dim)
| g(P)=0
ovvero i punti ove si annulla il differenziale di
L(P,m)= f(P)- m g(P).
Nel caso in cui f(tx)=t^a f(x), h(tx)=t^a h(x), h differenziabile con
continuita' tranne al piu' nell'origine, valendo le relazioni
<x|grad f(x)> =a f(x), <x|grad h(x)> =a h(x), posto
g(x)=h(x)-1, il massimo e il minimo di tali m sono il massimo e il
minimo di f su {x: h(x)=1} (dim)
Esercitazione 13
12-12-06 (Tortorelli) x^4+2x^3y natura punti
critici interni a x^4+y^4<1, impostazione dello studio qualitativo
dei punti di estremo sul bordo: esplicitando il bordo e con i
moltiplicatori di Lagrange.
14-12-06 lezione 20 (Tortorelli)
Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange ed eseplificazioni:
genericamente l'intersezione di due superficie e' una curva il cui
ortogonale e' un piano generato dalle rette ortogonali alle due
superificie, la tangenza di una superficie ad una curva e' equivalente
al fatto che la sua normale giaccia nel piano normale alla curva. Il
gradiente non nullo di un luogo di zeri e' ad esso ortogonale.
Enunciati : siano f:
A---> R e g: A ---> R^k due funzioni differenziabili con
continuita' in un aperto A di R^n
se P e':
- un punto di massimo o minimo relativo di f su {x in A: g(x)=0}
- il rango di d_P g e' massimo
allora
{x: f(x)=f(P)} e' tangente in P a {x: g(x)=0} cioe' in termini di
ortogonali
vi sono m_1 .... m_k per cui:
grad f(P)= m_1 grad g_1(P)+
....+m_kgrad g_k(P)
Quindi per i punti di {x: g(x)=0} in cui una funzione f assume valori
di estermo relativo su {x: g(x)=0} sono da cercare tra:
-i punti ove f non e' differenziabile,
-i punti nell'intorno dei quali g non e' differenziabile con
continuita',
-i punti in cui il differenziale di g non ha rango massimo,
- e i punti P nell'intorno dei quali g e' differenziabile con
continuita'
|
grad f (P)= m_1 grad g_1 (P) + ....+m_kgrad g_k(P)
per cui vi e' un vettore m in R^k | rango d_P g
massimo
|
g(P)=0
ovvero i punti ove si annulla il differenziale di L(P,m)= f(P)- (m
|g(P)).
Esercitazione 14
19-12-06 (Tortorelli) sesto foglio di esercizi
in classe su: polinomio di Taylor, massimi e minimi, segnatura di forme
quadratiche, moltiplicatori di Lagrange, segno del mmoltiplicatore.
Esercitazione 15
9-01-07 (Novaga) svolgimento
esercizio della sesta prova in itinere.
11-01-07 lezione 21 (Novaga)
Misura di Peano-Jordan nel piano ed integrale di Riemann in una
variabile, area del sottografico e misurabilita' con frontiera nulla
12-01-07 lezione 22 (Novaga)
Teorema fondamentale del calcolo integrale, primitive e funzioni
integrali, primitive elementari, integrazione per parti e per
sostituzione
Esercitazione 16
12-01-07 (Novaga) esercizi su
integrali di una funzione in una variabile.
16-01-07 lezione 23 (Tortorelli) Integrali e
misura in piu' dimensioni, integrali non orientati su curve e
superficie.
Notazioni :
Definizioni : misurabilita'
alla Peano-Jordan per domini limitati e integrabilita' alla
Riemann di funzioni limitate in piu' variabili, sommabilita' in
senso generalizzato alla Riemann, integrali iterati, lunghezza e
integrale non orientato per curve regolari a tratti,
area e integrale non orientato per superficie, elemento di lunghezza e
d'area, integrale di funzioni vettoriali, baricentri
Enunciati : una funzione
limitata non negativa e' Riemann integrabile su un n-rettangolo se e
solo se il suo sottografico e ' Peano-Jordan misurabile nel caso la
misura del sottografico e' eguale all'integrale; le funzioni
continue e limitate sono Riemann integrabili su unioni, intersezioni
finirte e differenze di sottografici di funzioni continue con una
variabile in meno; le funzioni sommabili sono uno spazio vettorilae e
l'integrale e' una funzione lineare su di esso; il minimo e il massiomo
tra due funzioni sommabili e' sommabile; l'integrale di una funzione
sempre maggiore di un'altra e' maggiore dell'integrale della piu'
piccola; diseguaglianza triangolare; unione intersezione finite e
differenza di insemi misurabili in senso generalizzato lo e';
proproieta' di additivita' della misura e dell'integrale; invarianza per
translazioni; teorema di Fubini Tonelli e riduzione ad integrali
iterati; cambiamento di variabile negli integrali multipli (motivazione
intuitiva con approssimazione dei rettangoli curvilinei con i
parallelogrammi tangenti); cambiamneto di variabile orientato per
integrai in una variabile; invarianza rispetto acambiamenti di
parametrizzazione degli integrali non orientati per curve e superficie;
formule di Guldino.
Esercitazione 17
18-01-07 (Tortorelli) Esercizi 2 e 3 del VII
foglio su primitive e integrali in una variabile.
Esercitazione
18 19-01-07 (Tortorelli)
Esercizi 4, 5, 13 del VII foglio su integrali generalizzati in una
variabile e area di superficie.
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