Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

V prova in itinere C 30 novembre 2006

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.1 Il volume del triangolo di vertici (1, 2, 3), (4, 6, 8), (1001, 1002, 1003) è

•1000\sqrt{\frac{3}{2}} • 1000\sqrt{\frac{5}{2}} • 0 • 3000 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Quali delle seguenti funzioni sono surgettive sul codominio:

• ( \begin{matrix}x + y + z + w \\ 2x + 2y + z + w \\ −x − y + z + w \end{matrix} ); • ( \begin{matrix}x^{2} + y + z + w \\ 2x + 2y^{2} + z + w \\ −x − y + z^{2} + w \end{matrix} ); • \frac{3e^{3}x+1}{\sqrt{4+4e^{x}+5e^{4x}}};

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 L’angolo di incidenza tra la tangente all’immagine del cammino (t, t, \frac{1}{\sqrt{2}}(t− 1)^{2}) e la normale al tangente di x^{2} + y^{2} − 2\sqrt{2}z = 2 è:

•\frac{π}{6} • π • \frac{π}{4} • \frac{π}{3} , ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Quali tra le seguenti funzioni assumono valore massimo sui domini rispettivamente specificati

•x sin \frac{1}{x}, x > 0; •\frac{log x+1}{\sqrt{1+log x+log^{2} x}}, x > 0; •\frac{x^{3}y+x^{2}y^{3}}{x^{4}+y^{4}} , (x, y) ∈ R^{2} \ \{(0, 0)\};

————————————————————————————————————————– ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Giustificando i principali passaggi si studi la funzione tracciandone un approsimatvio grafico mettendo in risalto le zone monotonia, le posizione relativa di punti e valori di massimo e minimo locale, le zone di convessità:

\frac{e^{2t}}{(e^{2t} + 1)^{2}}