| PRIMA PROVA IN ITINERE 6 dicembre 2005, testo e
soluzioni DVI
, PDF
; SECONDA PROVA IN ITINERE 30 gennaio 2006, testo e soluzioni DVI , PDF ; |
| PRIMA PROVA FINALE
2 febbraio
2006 , testo e soluzioni DVI
, PDF ; SECONDA PROVA FINALE 20 febbraio 2006 , testo e soluzioni DVI , PDF ; TERZA PROVA FINALE 12 giugno 2006 nessun presente; QUINTA PROVA FINALE 11 settembre 2006 ; SESTA PROVA FINALE 29 settembre 2006 ; |
Esercizifoglio 2, 14-28 ottobre 2005: DVI , PDF . foglio 3,4-15 novembre 2005:DVI , PDF . foglio 4,13 dicembre 2005- 10 gennaio 2006: DVI , PDF . foglio 5, 10-13 gennaio 2006: DVI , PDF . foglio 6, 17-20 gennaio 2006: DVI , PDF . foglio 7, 17-20 gennaio 2006: DVI , PDF . |
TeoriaContinuita' DVI , PDF . Differenziabilita' DVI , PDF . Integrazione DVI , PDF . Equazioni differenziali e notazione complessa DVI , PDF . |
AppuntiFormule trigonometriche 4-12 ottobre 2005: DVI , PDF .Breve compendio sul determinante 4-12 ottobre 2005: DVI , PDF . Diseguaglianza tra medie aritmetica e geometrica, numero e. 18 ottobre 2005: DVI , PDF . |
| 4-10-05 lezione 1 (Tortorelli) confronto relativo tra
grandezze e numeri come riferimento assoluto, incommensurabilta' e
numeri non razionali (processo infinito di confronto tra lato di un
quadrato e diagonale, prova per assurdo che un numero il cui quadrato e'
2 non puo' essere espresso come frazione), il sistema dei numeri reali e
l'assioma di completezza. Notazioni insiemistiche di appartenenza, inclusione insieme vuoto, notazioni per successioni, N Q R R^2. Definizioni: I numeri naturali sono il piu' piccolo sottoinsieme che contiene 1 e chiuso per successore, insieme limitato superiormente, inferiormente, maggioranti minoranti, massimo minimo, estremo superiore, estremo inferiore, parte intera, modulo, successioni di Cauchy, successioni convergenti, sottoinsiemi densi, area (volume) elementare di rettangoli (parallelepipedi) con lati paralleli agli assi, sottoinsiemi del piano che ammettono area. Enunciati: Ogni successione di Cauchy di numeri reali ha un limite reale; Ogni sottoinsieme di numeri naturali ha minimo; I numeri naturali non sono limitati superiormente nei reali: I numeri razionali sono densi nei reali; Ogni numero ammette una radice aritmetica dispari e ogni non negativa pari; Diseguaglianza triangolare. 6-10-05 lezione 2 (Novaga) Insiemi che ammettono volume: plurirettangoli, misura esterna e misura interna, misurabilita' alla Peano-Jordan. Punti e vettori nel piano e nello spazio, R^n somma e prodotto per un numero reale, prodotto scalare. La nozione di spazio vettoriale. Seno e coseno di un numero reale (come misura di un'area), principali identita' e diseguaglianze trigonometriche. Notazioni : simboli per somme e prodotti iterati. Esercitazione 7-10-05 (Novaga) Esercizi sulle principali identita' e diseguaglianze trigonometriche. 11-10-05 lezione 3 (Tortorelli) Interpretazione del fattoriale, del fattore binomiale delle potenze di 2, le grandezze trigonometriche e il fattoriale non sono esprimibili come polinomi. Equazioni implicite per il cerchio e la sfera e diseguaglianze per il disco e la palla, piani e rette come luoghi di zeri. Notazioni : sommatoria, fattoriale, binomiale, per ogni, esiste Definizioni: polinomi in una e piu' variabili e loro grado, rappresentazione di numeri in data base, definizione di serie generata da una successione, definizione di fattoriale per ricorrenza, definizione di fattore binomiale per ricorrenza, definizione di sommatoria per ricorrenza Enunciati : Regola di Ruffini per le radici di un polinomio (dimostrazione), divisibilita' tra polinomi di una variabile, sviluppo di Newton di un binomio (dim.), diseguaglianza di Bernoulli (dim.), le potenze di base in modulo minore di 1 sono infinitesime al tendere dell'esponente all'infinito (dim.), regola dei due Carabinieri, serie geometrica sua espressione esplicita e suo limite (dimostrazione), confronto asintotico tra 2^n e n^h, 2^n e n! (dim.), tra n! e n^n (dim.). Esercitazione 11-10-05 (Tortorelli) fattorizzazione della differenza di due potenze, quadrato di un binomio, quadrato della somma di n addendi, deduzione della formula per le radici di un trinomio di secondo grado, diseguaglianza tra radice del prodotto di due numeri non negativi e loro semisomma e sua interpretazione geometrica, espressione binaria di 1023 13-10-05 lezione 4 (Novaga) Rette e piani in forma parametrica e come luogo di zeri. Matrici e prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice, suo significato intuitivo, orientazione. Definizioni: parallelepipedo, determinante. Enunciati: Il modulo del determinante di una matrice e' eguale al volume alla Peano-Jordan del parallelepipedo generato dall'origine e dai vettori aventi come coordinate le colonne della matrice. Esercitazione 13-10-05 (Novaga) Esercizi su rette e piani e su matrici. 18-10-05 lezione 5(Tortorelli) Radici razionali di polinomi in Z . Riscrittura in simboli della definizione di succ. di Cauchy e di succ. convergente. Seconda dimostrazione per induzione della formula per il binomio di Newton Notazioni : parentesi `graffe' per denotare insiemi, intersezioni ed unioni finite ed arbitrarie Definizioni: Successioni divergenti, monotone, serie armonica, intersezione ed unione di coppie di insiemi e di famiglie di insiemi, principio di induzione. Enunciati: La successione che genera una serie convergente e' infinitesima (dim.), caratterizzazione di estremi superiore ed inferiore (cenno dim.), caratterizzazione come punti limite, limiti di successioni monotone (dim.), esistenza di successioni estrartte monotone, esistenza di almeno una succeesione estratta convergente di una data successione limitata. Esercitazione 18-10-05 (Tortorelli) divergenza della serie armonica e convergenza della serie dei reciproci quadrati, il reciproco di una successione divergente converge a zero (ma non viceversa), notazione insiemistica e sistemi unioni e intersezioni di intervalli (esempi), paradosso di Russel, uso dell'induzione sulle definizioni ricorrenti, prova per induzione della formula per il binomio di Newton. 20-10-05 lezione 6 (Novaga) Dipendenza lineare e dimensione di uno spazio vettoriale, basi. Il concetto astratto di funzione: funzioni lineari e matrici Definizioni: dimensione di uno spazio vettoriale, dominio immagine di funzioni, iniettivita', surgettivita', funzioni lineari. 21-10-05 lezione 7(Tortorelli) Proprieta' dell'esponenziale, tasso di interesse composto, numero e, concetto estensionale di funzione, sottinsiemi di un prodotto cartesiano che sono grafici, numero delle funzioni tra insiemi finiti. Notazioni : prodotto cartesiano, immagine di una funzione su un insieme Definizioni: esponenziale reale, logaritmo, numero di Nepero e , media aritmetica, media geometrica, prodotto cartesiano, grafico, dominio, codominio, immagine, Enunciati: diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica (cfr. appunti), monotonia della successione per il tasso di interesse (dim.), coincidenza del suo limite con l'esponenziale in base e . 25-10-05 lezione 8(Tortorelli) Principali funzioni reali di variabile reale e grafici: lineari e rette nel piano in forma implicita, monomiali, polinomiali, razionali, modulo, esponenziali e logaritmo, seno coseno tangente ed inverse delle loro restrizioni. Esistenza di soluzioni in equazioni numeriche, esistenza e unicita' e concetti astratti relativi. Grafico dell'inversa di una funzione. Monotonia e segno del rapporto incrementale. Studio dell'andamento di una funzione: quota, monotonia e convessita'. Problematica di una metodologia generale per tale studio. Tangenza di iperpiani a insiemi come approssimazione con la proiezione ortogonale con `errore relativo piccolo' e relazione con la derivata. Definizioni: Monotonia di funzioni, rapporto incrementale, insiemi convessi e rette-segmenti in forma parametrica, sopragrafico, funzioni convesse, funzioni pari, dispari, iniettive, surgettive, bigettive (biunivoche), inversa. Massimo e minimo tra due funzioni . Definizione di tangenza di una varieta' lineare ad un insime in un punto, definizione con la distanza di limite di una funzione (da uno spazio euclideo ad un altro spazio euclideo) in un punto, definizione di derivata di una funzione reale di variabile reale. Enunciati: una funzione e' convessa se e solo se il sopragrafico e' convesso, il grafico del quadrato e' una parabola, l'esponenziale e' biunivoca tra R e R+ (per ogni numero positivo e' definito il logaritmo in data base), una funzione e' biunivoca se e solo se ha inversa, le funzioni trigonometriche che danno il seno e il coseno sono ben definite per ogni numero reale, la retta con coefficiente angolare la derivata e passante per un punto del grafico e' tangente allo stesso. Esercitazione25-10-05 (Tortorelli) Osservazione sulla legge di incremento relativo (tasso di variazione rispetto all'unita' di tempo) della successione del tasso di interesse composto. Grafici come immagini di funzioni vettoriali, grafici come luoghi di zeri di funzioni con un numero maggiore di variabili, convessita' della funzione ``quadrato di un numero'', significato geometrico delle composizioni di una funzione reale con la somma per un dato numero. 27-10-05 lezione 9 (Novaga) Trasformazioni notevoli del piano: simmetria rispetto a rette per l'origine, rotazioni. Matrici come applicazioni lineari, iniettivita' e surgettivita' delle trasformazioni di uno spazio euclideo. Definizioni: nucleo di un'applicazione lineare. 3-11-05 lezione 10 (Novaga) Sistemi lineari medoti risolutivi e diagonalizzazione di forme quadratiche. Definizioni: forma quadratica, autovalori autovettori ed autospazi, conica, quadrica Enunciati: Formula di Cramer (dim.), teorema di Rouche-Capelli (dim.), digonalizzazione. 4-11-05 lezione 11(Tortorelli) - Parziale ripetizione dell'ottava lezione: rapporto incrementale e monotonia, le definizioni dei limiti di funzioni, definizione di derivata, derivata e tangenza. - Esempi con la funzione modulo e la sua radice quadrata e dimostrazione della loro non derivabilita' nell'origine, definizione di continuita' di una funzione in punto e esistenza di massimi e minimi, teorema del valor medio ed esemplificazione geometrica per curve piane. Derivate e monotonia, derivate in punti di massimo e minimo interni. Definizioni: continuita' di una funzione in punto di un intervallo Enunciati: teorema di Lagrange, teorema di Rolle (dim.), teorema di Cauchy, le funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato assumono valore massimo e minimo, monotonia del limite, segno della derivata e monotonia su intervalli, derivata e punti estremali interni 8-11-05 lezione 12(Tortorelli) - Continuita' di funzioni vettoriali definite in domini di spazi euclidei in un punto, continuita' e limiti, derivabilta' e continuita'. - Proprieta' dei limiti. - Derivate notevoli Notazioni: notazione di Leibniz, notazione per la derivata in punctis versus le funzione derivata Definizioni: continuita' in un punto di funzioni vettoriali definiti su domini di spazi euclidei, operatore derivata Enunciati: teorema di Weistrass su intervalli chiusi e limitati; proprieta' dei limiti: unicita' (dim), limiti di funzioni e limiti di successioni, sostituzone nei limiti (dim), sostituzione in funzioni continue (dim), limiti di somme, prodotti, monotonia (dim) e permanenza del segno (dim), regola dei carabinieri (dim); limitata per infinitesima; continuita' dei polinomi (dim) e delle radici (dim); derivata di seno, coseno, esponenziale (dim); derivata di somme, prodotti, quozienti, composta, inversa (dim) 10-11-05 lezione 13(Novaga) Classificazione delle coniche e di quadriche a centro. 11-11-05 lezione 14 (Tortorelli) -Schema della dodicesima lezione: continuita' di una funzione vettoriale su un insieme di uno spazio euclideo in un punto, enunciato del teorema di Weiestrass su intervalli chusi e limitati, proprieta' dei limiti (unicita', relazione con successioni, sostituzione, sostituzione e continuita', monottonia, permanenza del segno), prime derivate notevoli, proprieta' della derivata (derivata di somme, prodotti, rapporti, composizioni, inverse), operatore di derivata, derivate successive. - Derivate notevoli di polinomi, tangente, logaritmo, arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Polinomi a coefficienti 0 ed 1 (pari dispari). Richiami sulle funzioni convesse di una e piu' variabili. In una variabile convessita' e derivate. Enunciati: su un intervallo una funzione con derivata nulla e' costante (dim), principio di identita' dei polinomi in R , le funzioni derivabili su un intervallo sono uno spazio vettoriale di dimensione infinita e l'operatore di derivata e' lineare (dim), una funzione di variabile reale e' convessa su un intervallo se e solo se sul complementare di un qualsiasi segmento e' maggiore della funzione affine individuata dalla corda del suo grafico su tale segmento (dim) se e solo se il rapporto incrementale di centro un qualisiasi punto dell'intervallo e' una funzione crescente (dim), una funzione derivabile su un intervallo e' ivi convessa se e solo se la derivata e' una funzione crescente (dim Lagrange e monotonia), una funzione derivabile due volte su un intervallo e' ivi convessa se e solo se la derivata seconda e' non negativa in ogni punto (dim). 15-11-05 lezione 15 (Tortorelli) -Schema della precedente lezione sulla convessita' ripetizione della dimostrazione della relazione tra monotonia della derivata e convessita'. Enunciati: una funzione derivabile e' convessa se e solo se in ogni punto il suo grafico sta sopra la retta tangente ad esso nel punto stesso (dim), teoremi dell'Hopital. Esercitazione 15-11-05 (Tortorelli) retta per un punto di dato coefficiente angolare, retta per due punti, esemplificazione dei teoremi dell'Hopital, un esempio di limite di rapporto ove si mettono in evidenza le parti principali infinite, grafici di esponenziale, logaritmo, monomi, seno, coseno, tangente, primo punto esercizio 5 - I foglio. Esercitazione 17-11-05 (Novaga) esercizi di geomeria analitica e studi di funzione. Esercitazione 18-11-05 (Novaga) studi di funzione x sin1/x. 22-11-05 lezione 16 (Tortorelli) Richiamo sul principio di identita' dei polinomi reali e sulla divisibilita' tra polinomi: formula per i coefficienti del prodotto di due polinomi. Esercitazione 22-11-05 (Tortorelli) svolti con gli studenti gli esercizi 9-14-15 del primo foglio Esercitazione 24-11-05 (Tortorelli) Insiemi limitati esercizi 16 e 19 del primo foglio. Esercitazione 24-11-05 (Novaga) Esercizi su sistemi lineari. Esercitazione 24-11-05 (Novaga) Esercizi su estremo superiore ed inferiore, livelli di funzioni di piu' variabili, esercizi 9 e 13 del terzo foglio. 1-12-05 lezione 17 (Tortorelli)Definizioni k-parllelepipedo generato da k+1 vettori nello spazio euclideo n dimensionale, proiezioni ortogonali e prodotto vettore. Enunciati il modulo del determinante di una matrice e' eguale alla misura di Peano-Jordan del parallelepipedo generato dall'origine e dalle colonne della matrice, il k-volume di un parallelepipedo di dimensione k generato dall'origine e da k vettori nello spazio euclideo di dimensione n e' eguale alla radice quadrata del determinante del prodotto, nell'ordine, della matrice che ha per righe le coordinate dei vettori con quella che le ha come colonne a sua volta eguale alla radice della somma dei quadrati della k misure dei parallelepipedi proiettati ortogonalmenmte su i k piani coordinati. Esercitazione 1-12-05 (Tortorelli) quanti sono i k piani coordinati nello spazio di dimensione n, es.3-I, es.5,9-II, es. 5-III. Esercitazione 2-12-05 (Tortorelli) es.2-III ultima parte, es. 3-b-c-III. 2-12-05 PRIMA PROVA IN ITINERE 13-12-05 lezione 18 (Novaga) Coordinate polari e sferiche, proiezioni stereografica, di Mercatore, linee lossodromiche, mappe conformi. 15-12-05 lezione 19 (Tortorelli) Quadro sistematico delle principali proprieta' delle funzioni di piu' variabili vettoriali continue su un insieme, esempi di uso del teorema del valor medio per stabilire la surgettivita' di una funzione continua. Sottolivelli e livelli di funzioni continue. Le funzioni continue non e' detto trasformino aperti in aperti e chiusi in chiusi (esempi arcotangente), le funzioni continue lungo rette non e' detto siano continue (esempio caratteristica di [1/2;1] calcolata nel rapporto tra modulo della seconda variabile su quadrato della prima) Definizioni punto interno di un insieme in spazi euclidei, aperto di spazio euclideo, chiuso di spazio euclideo, aperti e chiusi relativi a un sottoinsieme, connessi per archi (cammini continui), funzioni lipschitziane. Enunciati teorema degli zeri su intervalli, una funzione continua su un intervallo assume tutti i valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore, una funzione e' continua se e solo se e' continua per successioni. Una funzione e' contiuna su un insieme se e solo se le preimmagini di aperti, ovvero chiusi, relativi dell'immagine sono aperti, rispettivamente chiusi, relativi dell'insieme. Teorema di Bolzano-Weiestrass: una successione a valori in un chiuso-limitato C ha una sottosuccessione che converge ad un elemento di C. Un aperto dello spazio euclideo e' connesso per archi se e solo se e' connesso per poligonali (anche con lati paralleli agli assi coordinati) se e solo se e' connesso per cammini derivabili con derivata continua. Le funzioni continue trasformano connessi per archi in connessi per archi, chiusi-limitati dello spazio euclideo in chiusi-limitatti, teorema di Weiestrass: una funzione continua su un chiuso-limitato assume valore massimo e valore minimo. Composizioni di funzioni contiue e' continua, le funzioni lipschitiziane sono continue, quindi le funzioni lineari sono continue. 16-12-05 lezione 20 (Tortorelli) La continuita' e l'esistenza delle derivate direzionali non comporta che vi sia il piano tangente al grafico. Definizioni derivata direzionale, derivata parziale, approssimazione lineare, differenziale Enunciati continuta' del prodotto di variabili (dim.), continuita' del reciproco, il grafico di una funzione differnziabile ha piano tangente, per funzioni vettoriali di una variabile differenzibilita' e derivabilita' sono equivalenti, una funzione con tutte le derivate parziali prime continue in un punto e' ivi differenziabile (teorema del differnziale totale). Dimostrazione della lipschitzianita delle funzioni lineari tra spazi euclidei, non lipschitzianita' della funzione `quadrato di un numero', esempi di funzioni contiunue con tutte le derivate direzionali ma con grafico che non ammette piano tangente. 20-12-05 lezione 21 (Tortorelli) Derivate parziali, derivate direzionali, differenziale e matrice associata, tangente ad immagini e a luoghi di zeri. Definizioni differenziale di una funzione in un punto, gradiente Enunciati in un connesso per archi aperto una funzione e' costante se e solo se ha derivate parziali nulle (dim), il gradiente non nullo di una funzione differenziabile da la direzione di massima crescita, una funzione differenziabile e' continua, teorema del differenziale totale, la derivata di un cammino in un istante se non nulla da la direzione tangente all'immagine per tempi vicini al dato istante del cammino. Differenziale di funzioni costanti e lineari (dim), differenziale di un prodotto, differenziale della composizione di due funzioni e prodotto righe per colonne: regola della catena. Teorema delle funzioni implicite per funzioni a valori reali, ortogonalita' del gradiente ai livelli di una funzione differenziabile. 10-1-06 lezione 22 (Tortorelli) Riepilogo precedente lezione, teoremi del rango, tangente ad immagini e a luoghi di zeri con esemplificazioni, superficie e curve. Derivate successive in piu' variabili, notazione simbolica per polinomi di secondo grado in piu' variabili e osservazione sulla simmetria della matrice. Definizioni notazioni per i differenziali parziali e minori della matrice Jacobiana, derivate parziali successive, funzione diffrenziale, differenziale secondo e matrice Hessiana, polinomio di Taylor e resto di Lagrange. Enunciati Teorema delle funzioni implicite teorema del rango per una immersione, Teorema di Schwartz con una sola derivata mista continua, simmetria della matrice Hessiana per funzioni due volte differenziabili, teorema di Taylo per funzioni di una variabile con resto di Peano e di Lagrange, formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di due variabili. 12 -1-06 lezione 23 (Novaga) Massimi e minimi di funzioni di piu' variabili ed esmplificazioni. Enunciati carattere dei punti critici e segnatura della matrice Hessiana, Teorema dei moltiplicatori di Lagrange Esercitazione 13-1-06 (Novaga) esercizi di calcolo differenziale. 17 -1-06 lezione 24 (Tortorelli) Integrazione, formula di cambiamento di variabile ed elemento di volume come volumi di parallelepipedi tangenti. Definizioni integrabilita' alla Riemann, sommabilita' in senso generalizzato, domini compresi tra grafici, elemento di lunghezza, superficie parametrica semplice k-dimensionale, elemento di volume k-dimensionale, integrali su una k-superficie Enunciati relazioni tra integrabilita' e misura: volumi di sottografici e integrali di caratteristiche; le funzioni coninue su rettangoli chiusi sono Riemann integrabili; teorema della media integrale (dim.); le funzioni sommabile sono uno spazio vettoriale e l'integrazione e' un funzionale lineare; proprieta' di reticolo; diseguaglainza triangolare e monotonia dell'integrale; gli insiemi misurabili in senso generalizzato formano una semialgebra; additivita' dell'integrale; teorema di Fubini-Tonelli e iterazione della formula di riduzione; teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli; teorema di sostituzione per integrali di una variabile; indipendenza dalla parametrizzazione degli integrali su una superficie (dim. per curve); formula per l'integrale di una derivata integrabile (dim.) e teorema fondamentale del calcolo (dim.); regola di sostituzione (dim.) regola di integrazione per parti (dim.); riduzione delle funzioni razionali a funzioni razionali semplici. Esercitazione 19-1-06 (Tortorelli) Seno iperbolico, coseno iperbolico, primitive elementari, esempi di integrazione per sostituzione, e per funzioni razionali. 19 -1-06 lezione 25 (Novaga) Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabilei e lineari. 20 -1-06 lezione 26 (Novaga) Notazione complessa, equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, termini noti del tipo polinomio per esponenziale complessa. Esercitazione 24-1-06 (Tortorelli) Esrecizi su differenziabilita' , derivate parziali, funzioni implicite, massimi e minimi vincolati, conservazione degli angoli della proiezione stereografica. Esercitazione 26-1-06 (Novaga) Esercizi su: integrali in una variabile per parti e razionali, riduzione di semplici integrali in due variabili, equazioni lineari a coefficienti costanti, metodo della variazione delle costanti. Esercitazione 27-1-06 (Tortorelli) Esercizi su: equazioni differenziali lineari del secondo ordine con termine noto polinomio per funzione trigonometrica, integrali in senso generalizzato, riduzione di integrali doppi. |
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