\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \font\pic=cmr7 \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \newcommand{\R}{{\bf R}} \newcommand{\N}{{\bf N}} \begin {document} \centerline{\bf Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche} \\ \centerline{V foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli} \centerline{dal 28 ottobre 2003 al 4 novembre 2004} \noindent{\pic http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html --$\scriptstyle {\!>}$ ALTRI CORSI DI LAUREA --$\scriptstyle{ \!>}$ Corso di laurea *****} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini del piano o dello spazio: \noindent - simmetria rispetto al punto $(1,2)$ \noindent - simmetria rispetto alla generica retta passante per l'origine \noindent - simmetria rispetto alla retta passante per $(2,3)$ e parallela a $(3,4)$ \noindent - rotazione antioraria di un sesto di `angolo giro' attorno all'origine \noindent - rotazione antioraria di un ottavo di `angolo giro' attorno al punto $(4,5)$ \noindent - simmetria rispetto al punto $(1,2,3)$ \noindent - simmetria rispetto al piano $x-y+z=0$ \noindent - simmetria rispetto al piano $x-y+z=3$ \noindent - rotazione antioraria di un angolo retto attorno all'asse verticale $(0,0,1)$ \noindent - rotazione di un angolo retto attorno all'asse orientato positivamente dall'origine a $(1,1,1)$ in senso antiorario. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano o dello spazio: \noindent - la dilatazione di centro $(1,1)$ e fattore di scala $\frac 12$; \noindent - la dilatazione anisotropa di centro $(1,1)$ e fattore di scala $\frac 12$ nella direzione $(1,2)$ e fattore $2$ nella direzione $(2,1)$. \noindent - dilatazione anisotropa di centro l'origine e fattori di scala $2,~ 4,~ -1$ rispettivamente nelle direzioni $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,2,3)$ \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 3 A che trasformazioni del piano o dello spazio corrsipondono le seguenti funzioni: $(x,y)\mapsto (-y ,x)$,$ (\frac 35 x+ \frac 45 y +1,\frac 45 x + \frac 35 y-1)$, $(x-y ,x+ y)$; $(x,y,z)\mapsto (x, -y, -z)$, $(x,y,0)$, $(\frac 12 x , 2y ,0)$ \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 4 - Date due rette nel piano che trasformazione si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad una di esse e quindi la simmetria rispetto la seconda? \noindent - Scambiando l'ordine di queste simmetrie quando si ottiene lo stesso risultato? \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ ESERCIZIO n. 5 Una trasformazione che manda ogni retta in un'altra retta parallela alla prima e non lascia nessun punto fisso del piano \`e una traslazione. \noindent - Una trasformazione che manda ogni retta in un'altra retta parallela alla prima e lascia un punto del piano fisso \`e una dilatazione rispetto ad un punto. \noindent -Dati due segmenti paralleli quante sono le traslazioni e le dilatazioni che trasformano uno nell'altro? \noindent -Dati quattro punti $A\not= B$, $C\not= D$ vi \`e un'unica traslazione o dilatazione che trasforma $A$ in $C$ e $B$ in $D$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 6 Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano $x^2+y^2=1$ in se? \noindent -Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano $\vert x\vert +\vert y\vert =1$ in se? %\noindent -Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive %che trasformano $ x^2+4y^2 +4xy +x+y+1=0 $ in se? \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:\R^2\to \R^2$, definita da $$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$ definisce una {\em rotazione} del piano (attorno all'origine). Si provi che: \begin{description} \item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$; \item[\rm{(ii)}] posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente; \item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. \end{description} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:\R^2\to \R^2$, definita da $$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$ definisce una {\em simmetria} del piano (rispetto all'origine). Si provi che: \begin{description} \item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2 + \eta^2 = x^2 + y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$; \item[\rm{(ii)}] posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente; \item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi - \xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. \end{description} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.9 Si provi che tutte e sole le trasformazioni lineari del piano che conservano il prodotto scalare sono le isometrie lineari (rotazioni e riflessioni). \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10$^{\bf **}$ Le trasformazioni $T$ bigettive del piano che mandano rette in rette sono tutte e sole le trasformazioni affini ($ T(x,y) -T(0,0)$ \`e lineare) e bigettive. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11$^{\bf **}$ Le trasformazioni del piano che conservano le distanze sono affini e la loro parte lineare \`e data da matrici con colonne ortogonali di norma $1$, che rappresentano rotazioni e riflessioni. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.12 Le trasformazioni lineari del piano che conservano gli angoli tra due semirette sono tutte e sole quelle del tipo $(x, y)\mapsto (ax+ by , -bx +ay), ~(ax+ by , bx -ay)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 13 Si considerino i luoghi dei punti di $\R^2$ descritti dalle seguenti equazioni: $$\begin{array}{llll} \textrm{(i)} & x^2+y^2-1=0, & \textrm{(v)} & x^2+y^2+xy=0,\\ \textrm{(ii)} & x^2+y^2=0, & \textrm{(vi)} & x^2-y^2=0,\\ \textrm{(iii)} & x^2+y^2+1=0, & \textrm{(vii)} & x^2+y^2+2x+2y+2=0,\\ \textrm{(iv)} & x^2+y^2+2xy=0, & \textrm{(viii)} & (x^2-1)^2+y^2=0, \end{array}$$ e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta: $$\begin{array}{llll} \textrm{(a)} & \textrm{nessun punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(d)} & \textrm{una retta,}\\ \textrm{(b)} & \textrm{un punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(e)} & \textrm{due rette,}\\ \textrm{(c)} & \textrm{due punti,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(f)} & \textrm{una circonferenza.}\end{array}$$ \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 14 Riconoscere che tipo di coniche definiscono rispettivamente i seguenti luoghi di zeri: \noindent $x^2+y^2 +2xy =0$, $xy=1$, $(x-y)^2=(x+y)^2$, $x^2 +y^2 -6 xy -x +4=0$, $xy -23y +8y -1=0$, $3x^2 +2y^2 -3xy +x+y -100=0$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 15 Verificare che: \noindent - un ellisse \`e il luogo dei punti con somma delle distanze da due punti fissi costante; \noindent - un iperbole \`e il luogo dei punti con differenza delle distanze da due punti fissi costante; \noindent - una parabola \`e il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa e da un punto fisso. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ OSSERVAZIONE si pu\`o verificare dando la nozione di tangenza che se una retta interseca una conica non degenere in un sol punto \`e ad essa tangente in quel punto. \noindent DEFINIZIONE - Si dice cammino di riflessione rispetto ad una retta per un suo punto l'unione di due semirette (lati) con origine nel punto e simmetriche rispetto all'asse perpendicolare alla retta nel punto. \noindent - Un cammino di riflessione rispetto ad un insieme in un suo punto \`e un cammino di riflessione rispetto all'eventuale retta tangente all'insieme dato in questo suo punto. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ ESERCIZIO n. 16 Verificare che: \noindent - i cammini di riflessione rispetto ad una parabola con un lato parallelo all'asse della stessa hanno l'altro che passa per il fuoco della parabola; \noindent - i cammini di riflessione rispetto ad un'elisse che hanno un lato che passa per un fuoco hanno il secondo lato che passa per l'altro fuoco; \noindent - i cammini di riflessione rispetto ad un iperbole che hanno un lato passante per un fuoco hanno prolungamento del secondo lato passante per l'altro fuoco. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ %ESERCIZIO n. seno e coseno iperbolico come coordinate sull'iperbole equilatera \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %ESERCIZIO n. Quali regioni dello spazio vengono trasformate in se stesse %solamente da tutte rotazioni rispetto ad una retta passante per l'origine? %- Quali regioni dello spazione vengono trasformate in se stesse %da tutte le simmetrie rispetto ai piani coordinati? \end{document} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 15 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 16 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 17 Si considerino i luoghi dei punti di $\R^2$ descritti dalle seguenti equazioni: $$\begin{array}{llll} \textrm{(i)} & x^2+y^2-1=0, & \textrm{(v)} & x^2+y^2+xy=0,\\ \textrm{(ii)} & x^2+y^2=0, & \textrm{(vi)} & x^2-y^2=0,\\ \textrm{(iii)} & x^2+y^2+1=0, & \textrm{(vii)} & x^2+y^2+2x+2y+2=0,\\ \textrm{(iv)} & x^2+y^2+2xy=0, & \textrm{(viii)} & (x^2-1)^2+y^2=0, \end{array}$$ e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta: $$\begin{array}{llll} \textrm{(a)} & \textrm{nessun punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(d)} & \textrm{una retta,}\\ \textrm{(b)} & \textrm{un punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(e)} & \textrm{due rette,}\\ \textrm{(c)} & \textrm{due punti,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(f)} & \textrm{una circonferenza.}\end{array}$$ \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 18 Si verifichi che ogni angolo convesso \`e l'intersezione di due semipiani. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 19 Si provi che ogni triangolo in $\R^2$ \`e l'intersezione di tre semipiani. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 20 Si provi che ogni quadrilatero in $\R^2$ \`e l'intersezione di quattro semipiani. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 21 Verificare che gli insiemi $$A=\{(x,y)\in \R^2:\ |x|\le 1,\ |y|\le 1\}, \ \ B=\{(x,y)\in \R^2: \ |x|+|y|\le 1\}$$ sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 22 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:\R^2\to \R^2$, definita da $$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$ definisce una {\em rotazione} del piano (attorno all'origine). Si provi che: \begin{description} \item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$; \item[\rm{(ii)}] posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente; \item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. \end{description} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 23 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:\R^2\to \R^2$, definita da $$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$ definisce una {\em simmetria} del piano (rispetto all'origine). Si provi che: \begin{description} \item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2 + \eta^2 = x^2 + y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$; \item[\rm{(ii)}] posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente; \item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi - \xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. \end{description} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 24 Si provi che se $A,B$ sono vettori linearmente indipendenti in $\R^2$, allora per ogni $P\in \R^2$ esiste un'unica coppia di numeri reali $\lambda, \mu$ tali che $P=\lambda A + \mu B$. \end{document}