\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \newcommand{\R}{{\bf R}} \newcommand{\N}{{\bf N}} \begin {document} \centerline{\bf Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche} \\ \centerline{P.Acquistapace e V.M. Tortorelli} \medskip \centerline{X foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} \centerline{dall' 11 gennaio 2005 al 13 gennaio 2005} \medskip %\noindent Programma e materiale relativo al corso % essere reperito in rete % selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale %Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando %ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea ***** \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Stabilre se i seguenti integrali impropri sono convergenti: \medskip $\displaystyle{ \int_0^\infty\frac {x^{\alpha -1}}{1+x}dx ~,~ \int_0^\infty\frac {(2+\cos x)\log x}{x^\alpha}dx~~ ~\hbox{\rm (al~variare ~del~ parametro}~\alpha\in {\bf R}{\rm )}~,}$ \medskip $\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{e^x\arctan x}{ ((2x)^x -1)^2}\, dx ~,~~ \int_0^\infty \left(1-\sqrt{\frac t{t+1}}\right) dt~,~~ \int_1^\infty \frac {e^{-x^2}x^x -e^{x-2}} {1 -x^x}dx~,~~}$ \medskip $\displaystyle{ \int_1^\infty \frac 1 {\sqrt{x^3 -x^2}} dx ~,~~ \int_0^{\pi} \frac 1{\log (\cos x^2)^{\frac 13}} dx ~,~~ \int_1^\infty \left((x^8 -1)^{-\frac 19} - x^{-\frac 89} \right)dx.}$ \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2 Si studi l'integrabilit\`a, e quindi la convergenza degli integrali, al variare dei parametri reali $\alpha$ e $\beta$ delle funzioni: $\displaystyle{\frac 1{ x^\alpha |\log |x||^\beta}}$, su ognuno dei domini $]0;\frac 12]$, $[\frac 12 ; 1[$, $]1;\frac 32]$, $[\frac 32 ; +\infty[$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 3 Si studi l'integrabilit\`a, e quindi la convergenza degli integrali, delle seguenti funzioni sui rispettivi domini: \medskip $\displaystyle{\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x\log (1+\sqrt x)}~,~~x\in]0;1[~;~~ \frac {1-(\cos x )^{\frac 14} ~+~\log (1+ x^{\frac 12})}{ (\sin x +1- e^{\frac x2})^{\frac 12}}~,~~ x\in ]0;1]~;~~ }$ \medskip $\displaystyle{ \frac{\arctan x}{ ((2x)^x -1)^2}~,~~0 1 ~;}$ \medskip $\displaystyle{ \frac 1{\frac{\pi}2 -{\rm arsin} x}~,~~ x\in]0;1[~;~~\frac 1{1- |\cos (x^\alpha)|}~,~~ x\in ]0;\pi [~ ~\hbox{\rm (al~variare ~del~ parametro}~\alpha\in {\bf R}{\rm )}~.}$ \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 4 Studiare la convergenza delle serie: $\sum \sin \frac 1n,~ \sum \cos \frac 1n -1,~ \sum \frac{\log n}{n^3}, ~\sum \frac 1{\left(\log n\right)^{\log n}} $ \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 5 Studiare la convergenza delle serie: \noindent $\sum \frac {n^{n+1} n! (n+2)!}{(3n-1)!}, ~\sum \frac {3n\cdot n^{n-3} n!(n-2)!} {(3n+1)!}, ~ \sum \frac{n^n n!(2n -2)!}{(4n+1)!}, ~ \sum \frac {n^n}{(n!)^2}$. \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 6 Studiare la convergenza delle serie: $\sum \frac {(-1)^n}{40^{\frac 1n}}, ~\sum \frac {(-1)^n}{\log n}, ~\sum 2^{-\log n}\cos\pi n, ~$. \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 a) Si provi mediante integrazione per parti e confronto che $\frac{ \sin x}x$ ha integrale in senso improprio su $]0; +\infty[$ finito. b) Si provi che se $x\mapsto g(x)$ \`e una funzione defimita su $[0;+\infty [$, decrescente ed infinitesima per $x\to +\infty$, e quindi non negativa, allora la funzione $g(x)\sin x $ ha integrale in senso improprio su $[0;+\infty]$ finito. c) Che dire sull'integrale improprio di $|g(x)\sin x|$? \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Si studi l'integrabilit\`a in senso improprio, ed eventualmente la convergenza degli integrali, su $]0;+\infty[$ delle funzioni $\sin (x^2)$, $ \left(\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)\right)^2$ e $\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)$. \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Studiare il dominio e il comportamento asintotico agli estremi dello stesso delleseguenti funzioni $x\mapsto f(x)$: $$\int_{2x-3}^{x+5} \frac {te^{t-1}}{2t -7}dt~;~~\int_0^{x^2}\frac {\sin t}{\sqrt{1-t^2}} dt~;~~ \int_0^{\tan x} \frac {\cos t}{1+t^2} dt~.$$ \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10 Posto $\displaystyle{ F(x)=\int_0^x f(t)\, dt}$, si studi il limite del rapporto $\displaystyle{ \frac {F(x)}{f(x)}}$, $x\to+\infty$, nei seguenti casi: $$f(x)=\frac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x}~,~~f(x)=e^x~,~~ f(x)= xe^{x^2}~,~~f(x)=\log x~.$$ \bigskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 Si consideri $\displaystyle{\Gamma (\alpha )= \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha -1} dx}$, $\alpha >0$. Si provi che \`e ben definito e quindi che $\Gamma (n)=(n-1)!$ per $n\in{\bf N}$. \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 12 Si considerino gli integrali $$ {\displaystyle \frac 13 {\large T(\kappa )~=~ \int_0^{1} \: \frac{1}{\sqrt{1-t^2}\cdot\sqrt{1-\kappa^2 t^2}} }\: dt \quad ,\quad \quad \kappa \in [0;1[. } $$ a) Si calcoli $T(0)$ e si provi che per ogni $\kappa\in [0;1[$ tali integrali sono finiti. \smallskip b) Si studi al variare di $\alpha\in{\bf R}$ il comportamento di $\left(T(\kappa ) -T(0)\right)\cdot \kappa^{-\alpha}$ per $\kappa\to 0$. %\smallskip %c) Si calcoli $T(\frac 14 )$ con un errore inferiore ad un centesimo. \bigskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 13 ${\bf *}$ Si provi che $\sum \sin n$ non converge. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 14 Per quali $x\in {\bf R}$ convergono rispettivamente le serie: \noindent $ \sum (-2)^n e^{-nx}, \sum \frac n{n+1}(x-1)^n, ~ \sum \frac {(n!)^3 x^n}{n (3n)!}, \sum \frac {n}{x^2 +n^x}$. %\noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- % \noindent ESERCIZIO n. 15 Si considerino le successioni %$a_0 =0, ~a_{n+1}= a_n^2 +\frac 14$, e $b_0=\alpha>0,~ %b_{n+1}=\frac {b_n}{b_n +1}$. %Si provi che sono monotone, se ne calcolino % i limiti $a$ e $b$ e si studino le serie $\sum (a-a_n)^2$, $\sum (b-b_n)$. %\noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %ESERCIZIO n. 16 ${\bf *}$ Si calcoli usando la definizione % $\lim_{x\to\infty}\sum_n \frac 1{n^2+x^2}$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %ESERCIZIO n. 23 Si provi che la funzione $x\mapsto \sum_n \frac 1{n^2+x^2}$ %ha massimo su ${\bf R}$ ma non ha minimo. %\noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \end {document}