\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \newcommand{\R}{{\bf R}} \newcommand{\N}{{\bf N}} \begin {document} \centerline{\bf Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche} \\ \centerline{ V.M. Tortorelli} \medskip \centerline{VIII foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} \centerline{dal 9 dicembre 2003 al 16 dicembre 2003} \medskip %\noindent Programma e materiale relativo al corso % essere reperito in rete % selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale %Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando %ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea ***** \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent DEFINIZIONE: Una funzione $x\mapsto F(x)$ definita su un intervallo $I$ si dice {\it primitiva sull'intervallo} \noindent di una funzione $x\mapsto f(x)$ se: $F$ \`e derivabile su $I$ e $F^\prime =f$ su $I$. La {\it famiglia delle primitivedi $f$} su un intervallo si indica con $\int^x f$ \noindent TEOREMA [FONDAMENTALE DEL CALCOLO: area calcolata con le primitive] \noindent Se $f$ \`e continua su $[a;b]$ allora: i- La funzione integrale $\int_a^x f(y)dy$ \`e una primitiva ii- Poich\`e le primitive su un intervallo diffreiscono per una costante per ogni altra $F$ primitiva di $f$ su $[a;b]$ si ha: ~~$\int^b_a f(x)dx = F(b)-F(a)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 a- [PRIMITIVE DI BASE] Si determinino le primitive nulle in $x=0$ delle seguenti funzioni: $e^x,~ x^2, ~\sqrt{x},~x^a ~(a\not= -1), \frac 1{x+1} ,~ \sin x,~ \cos x, ~\frac 1{\cos^2 x},~ 1+\tan^2 x,~ ,~ \frac 1{ 1+x^2},~ \frac 1{1-x^2},~\frac 1{\sqrt{ 1+x^2}}$ \noindent$[{\rm R.}~ \log (x+\sqrt{1+x^2}) ~:~~{\rm l'inversa ~dell'} ~arcosenoiperbolico:~ {\rm arsinh}x =\frac{ e^x- e^{-x}}2]$. \medskip \noindent b- [SOSTITUZIONE] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti tenendo presente la {\it regola della catena}~~ $F(x)=G(t(x))~:~~\frac {dF}{dx}(x)=\frac {dG}{dt}{\scriptstyle{(t(x))}} \frac {dt}{dx}{\scriptstyle{(x)}}$, $ t=t(x)$: \smallskip \noindent $ {2x}{e^{x^2}},~ 10 x(1+x^2)^4,~ \sqrt{ 5x+9},~ \frac 1{\sqrt{5x +9}},~\frac 1{ 5x +e},~ \frac {4x}{144 +x^2},~\frac{\log (1+x)}{1+x},~\tan x,~ \frac {g^\prime(x)}{g(x)},~ e^{2x}\cos e^{2x},~ \cos x\sin^{501} x,$~ \noindent $\frac {1}{144 +x^2},~ \frac {e^x}{1+ 2e^x +e^{2x}}, ~\frac {\cos x}{\sqrt 9- \sin^2 x},~ \sin^2 x ~[1-2\sin^2 x= \cos^2 x -\sin^2 x = \cos 2x],~ \frac 1{\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$. \medskip \noindent c- [RAZIONALI SEMPLICI] $\frac x{(x^2+1)^n},~ \frac 1{(x+1)^n}, ~\frac 1{x^2 -1},~ \frac x{1+x},~ \frac {x+4}{(x+1)^2 -6(x+1)},~ \frac 1{x^2+1},~ \frac 1{x^4+1},~ \frac 1{( x^2 +1)^2}$. \medskip \noindent d- [PARTI] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti tenendo presente la regola della {\it derivata di un prodotto} ~~~$F^\prime =G^\prime H= (GH)^\prime - GH^\prime$ \smallskip \noindent $ x\sin x,~ xe^x, ~ x^2e^x,~ x^3\cos x,~ x\sin ^2 x, ~{\rm arsin} x, ~ x^a\log x,~ \log^2 x ,~ e^x (1+x)\log x, ~\sin ax\cos bx$ \medskip \noindent e- [SOSTITUZIONE INVERSA] $G(t)=F(x(t))~:~~\frac {dF}{dx}{\scriptstyle{(x(t))}}=\frac {dG}{dt}{\scriptstyle{(t)}} \left(\frac {dx}{dt}{\scriptstyle{(t)}}\right)^{-1}$,~ $x=x(t)$, per avere la risposta bisogna quindi trovare l'inversa di $t\mapsto x(t)$: \smallskip \noindent $ \frac {\sqrt {2+x}}{1+x} ~[x =t^2 -2],~\frac 1{1+\tan^2 x}~ [x={\rm artan}~t],~ \sqrt{1 -x^2} ~[ x=\cos t], ~\cos (\log (x+1) ) ~[x+1=e^t]$ \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 2 Si provino le formule: $\int \log^n x = x\log^n x -n\int\log^{n-1} +c, ~ \int x^n e^x = x^n e^x- n\int x^{n-1} e^x, ~\int x\sin x = -x^n \cos x +n\int x^{n-1} \cos x ,~ \int x^a \log^n x = \frac {x^{a+1}\log^n x}{a+1} -\frac n{a+1}\int x^a \log^{n-1} x$ \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent RICETTE Se $R(x,y),~ R(x,y,z)$ sono rapporto di due polinomi le primitive di una funzione del tipo $R(\cos x, \sin x)$ si trovano con la sostituzione $t=\tan \frac x2$, di una del tipo $R(x, \sqrt{ 1-x^2})$ con $t=\sqrt{\frac {1-x}{1+x}}$ o $x=\sin t$, di una $R(x, \sqrt{ 1+x^2})$ con $t= x+\sqrt{ 1+x^2}$, di $R(x, \sqrt{ x^2- 1})$ con $t=\sqrt{\frac {x-1}{1+x}}$, di $R\left(x, \left({\frac {ax +b}{cx +d}}\right)^{\frac nm} \right)$ con $t^m =\frac{ax +b}{cx +d}$, di $R(x, \sqrt {ax +b}, \sqrt{cx +d})$ con $t=\sqrt {ax +b}$. \noindent Inoltre di molte funzioni non si possono calcolare le primitive. Esempi: $\frac 1{\sqrt{ a_0 + \dots a_n x^n}}$,~ $\frac {e^x}x$, ~ $e^{\pm x^2}$, $\frac {\sin x}x$, $\frac 1{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 3 Si calcolino i seguenti integrali: $$\int_1^{e^3} \frac {dx}{x\sqrt{1+\log x}}, ~\int_{\frac 1{\pi}}^{\frac 2{\pi}} \frac {\sin \frac 1x}{x^2} dx,~ \int_0^{\sqrt{7}} \frac {x^3 dx}{~^{\! 3}\sqrt{1+x^2}}, ~\int_0^1 {\rm arsin}^4 x dx $$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 4 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 5 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 6 \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ \noindent ESERCIZIO n. 7 \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ \noindent ESERCIZIO n. 8 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 9 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 10 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 11 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 12 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 13 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 14 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 15 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 16 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 17 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 18 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 19 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 21 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 22 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 23 \end{document} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 24 \end{document}