\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \newcommand{\R}{{\bf R}} \newcommand{\N}{{\bf N}} \begin {document} \centerline{\bf Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche} \\ \centerline{P. Acquistapace, V.M. Tortorelli} \bigskip \centerline{III foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli} \centerline{dal 21 ottobre 2003 al 23 ottobre 2003} \medskip \noindent Programma e materiale relativo al corso essere reperito in rete selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea ***** \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 1 Dimostrare che il sistema $$\left\{ \begin{array}{l} ax+by+c=0 \\ a'x+b'y+c'=0 \end{array} \right. $$ \`e risolubile univocamente se e solo se risulta $ab'-ba'\neq 0$; in tal caso se ne scriva la soluzione $(x,y)$. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 2 Determinare la retta passante per $(2,-1)$ e perpendicolare alla retta di equazione $4x-3y+12=0$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 3 Determinare la retta passante per $(0,0)$ e per il centro della circonferenza di equazione $x^2+y^2-2x+y=0$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 4 Si calcoli la distanza del punto $(-3,2)$ dalla retta di equazione $4x-3y+12=0$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 5 Si suddivida il segmento di estremi $(1,2)$ e $(2,1)$ in quattro parti di egual lunghezza mediante i tre punti $P,Q,R$. Si calcolino le coordinate di tali punti. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 6 Dati $P=(-2,5)$ e $Q=(4,13)$, trovare le coordinate di un punto $R$ sul segmento $PQ$ tale che $|P-R|=2\ |Q-R|$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ ESERCIZIO n. 7 Sia $R=(2,3)$ il punto medio del segmento $PQ$, ove $P=(7,5)$. Determinare le coordinate di $Q$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\ ESERCIZIO n. 8 Dimostrare che per ogni $P,Q \in \R^2$ si ha $$|P-Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 - 2\ P\bullet Q \ .$$ \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Provare che il triangolo di vertici $(2,-1)$, $(4,2)$ e $(5,1)$ \`e isoscele. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10 Provare che il triangolo di vertici $(-3,3)$, $(-1,3)$ e $(11,-1)$ \`e rettangolo. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto $A$ relativa al triangolo $ABC$, ove $A=(-1,1)$, $B=(0,-6)$, $C=(-10,-2)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 12 Scrivere l'equazione dell'asse del segmento di estremi $(0,2)$ e $(2,1)$ (l'asse di un segmento \`e il luogo dei punti che sono equidistanti dai vertici del segmento). \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 13 Si provi che le rette di equazioni parametriche $X=P+tQ$, $t\in \R$ e $X=A+sB$, $s\in \R$ sono fra loro parallele se e solo se esiste $\lambda\in \R$, non nullo, tale che $Q=\lambda B$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 14 Si provi che le rette di equazioni $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono fra loro parallele se e solo se esiste $\lambda \in \R$ tale che $a'=\lambda a$ e $b'=\lambda b$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 15 Si provi che le rette di equazioni $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono fra loro perpendicolari se e solo se esiste $\lambda\in \R$ tale che $\lambda a=-b'$, $\lambda b=a'$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 16 Si provi che le rette di equazioni $X=P+tQ$, $t\in \R$, e $ax+by+c=0$ sono fra loro perpendicolari se e solo se i vettori $Q$ e $(a,b)$ sono proporzionali, e sono parallele se e solo se i vettori $Q$ e $(b,-a)$ sono proporzionali. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 17 Si considerino i luoghi dei punti di $\R^2$ descritti dalle seguenti equazioni: $$\begin{array}{llll} \textrm{(i)} & x^2+y^2-1=0, & \textrm{(v)} & x^2+y^2+xy=0,\\ \textrm{(ii)} & x^2+y^2=0, & \textrm{(vi)} & x^2-y^2=0,\\ \textrm{(iii)} & x^2+y^2+1=0, & \textrm{(vii)} & x^2+y^2+2x+2y+2=0,\\ \textrm{(iv)} & x^2+y^2+2xy=0, & \textrm{(viii)} & (x^2-1)^2+y^2=0, \end{array}$$ e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta: $$\begin{array}{llll} \textrm{(a)} & \textrm{nessun punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(d)} & \textrm{una retta,}\\ \textrm{(b)} & \textrm{un punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(e)} & \textrm{due rette,}\\ \textrm{(c)} & \textrm{due punti,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(f)} & \textrm{una circonferenza.}\end{array}$$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 18 Si verifichi che ogni angolo convesso \`e l'intersezione di due semipiani. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 19 Si provi che ogni triangolo in $\R^2$ \`e l'intersezione di tre semipiani. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 20 Si provi che ogni quadrilatero convesso in $\R^2$ \`e l'intersezione di quattro semipiani. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 21 Verificare che gli insiemi $$A=\{(x,y)\in \R^2:\ |x|\le 1,\ |y|\le 1\}, \ \ B=\{(x,y)\in \R^2: \ |x|+|y|\le 1\}$$ sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 22 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:\R^2\to \R^2$, definita da $$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$ definisce una {\em rotazione} del piano (attorno all'origine). Si provi che: \begin{description} \item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$; \item[\rm{(ii)}] posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente; \item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. \end{description} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 23 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:\R^2\to \R^2$, definita da $$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$ definisce una {\em simmetria} del piano (rispetto all'origine). Si provi che: \begin{description} \item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2 + \eta^2 = x^2 + y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$; \item[\rm{(ii)}] posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per $O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente; \item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi - \xi')^2 + (\eta - \eta')^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. \end{description} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 24 Si provi che se $A,B$ sono vettori linearmente indipendenti in $\R^2$, allora per ogni $P\in \R^2$ esiste un'unica coppia di numeri reali $\lambda, \mu$ tali che $P=\lambda A + \mu B$. \end{document}