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\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2003-2004, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{P. Acquistapace, V.M. Tortorelli}

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\centerline{II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 14 ottobre 2003 al  16 ottobre 2003}
\medskip

\noindent Programma e materiale relativo al corso 
 essere reperito in rete 
 selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

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ESERCIZIO n. 1  a- Traslando il grafico di $x\mapsto x^2$ con uno spostamento di $(4,0)$ 
di quale funzione si ottiene il grafico?

b- Traslando il grafico di $x\mapsto x^3$ con uno spostamento di $(-1,0)$ 
di quale funzione si ottiene il grafico?

c- Traslando il grafico di $x\mapsto \vert x\vert$ con uno spostamento di $(-1,2)$ 
di quale funzione si ottiene il grafico?


d- Il simmetrico rispetto all'asse verticale del grafico di $x\mapsto (x-1)^2+ \sin (x-\sqrt{3})$ di 
che funzione \`e grafico?

e-  Il simmetrico rispetto all'asse verticale del grafico di $x\mapsto x^3 -6x -\cos x$ di 
che funzione \`e grafico?

f- Il simmetrico del grafico di $x\mapsto (x-2)^3+1$ rispetto alla bisettrice degli assi 
di che funzione \`e grafico? 

g- Che dire della stessa simmetria per il grafico di $x\mapsto x^2$?

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ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo o approssimativo i grafici delle funzioni:

a-  $x\mapsto \vert x\vert$, 
$x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^3$ $x\mapsto x^5$, $x\mapsto x^4$,  $x\mapsto \vert x\vert^7$; 

b- $x\mapsto \sqrt{ x}$, $x\mapsto\sqrt[3]{ x}$, $x\mapsto\sqrt[4]{ \vert x\vert}$;

c- $x\mapsto \sqrt[15]{x+5} -3$,  $x\mapsto -\sqrt{2-x}$, $x\mapsto \sqrt[3]{ 3x -3}$. 



 


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ESERCIZIO n. 3  Mostrare con metodi elementari che il raggio del cerchio inscritto in un triangolo
 \`e dato dall'area del triangolo diviso met\`a della lunghezza del perimetro dello stesso.
  

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ESERCIZIO n. 4 Trovare le coordinate del baricentro (definito come punto di incontro delle mediane) 
di un triangolo conoscendo le coordinate dei 
suoi tre vertici.




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ESERCIZIO n. 5 Si scrivano le rette tangenti al cerchio 
$\{ (x,y)\in {\bf R}^2 :~ (x-5)^2 +(y-3)^2 = 4\}$ e passanti per l'origine.



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ESERCIZIO n. 6  Trovare l'estermo superiore dei coefficienti angolari delle rette passanti
 per l'origine che intersecano la regione del piano $\{ (x,y): (3x-y)(x-\frac y2)=1\}$. 


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\centerline{\bf FORMULARIO}

$
\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1,$

$\sin (\alpha + \beta) =\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin
\beta,$ $\cos (\alpha + \beta) =\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin
\beta,$

Per $ 0 <\alpha < \frac{\pi}2$:~~ $\sin \alpha < \alpha$,~~ 
$\cos \alpha \le \frac{\sin \alpha}{\alpha} \le 1 ,$


$
\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin(\alpha
-\beta)}2, \ \sin \alpha \sin \beta = \frac{-\cos (\alpha + \beta)
+ \cos(\alpha -\beta)}2$, ~$
\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha
-\beta)}2,$

$
\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2
\right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right), \ \cos \alpha
+ \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}2 \right) \cos
\left( \frac{\alpha - \beta}2 \right)$

$
\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2
\right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right)
\sin \alpha  -\sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2
\right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right)
$

$\cos^2 \frac x2 =\frac {1+\cos x}2, ~\sin^2\frac x2 =\frac{1-\cos x}2$

$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \ \cot \alpha =
\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
$
\arcsin x = \alpha , x \in [-1,1] \Leftrightarrow \sin \alpha = x
\  \alpha \in [-\pi/2, \pi/2] ,$

$
\arccos x = \alpha , x \in [-1,1] \Leftrightarrow \cos \alpha = x
\ \alpha \in [0, \pi] ,$

$
\arctan x = \alpha , x \in (-\infty,\infty) \Leftrightarrow \tan
\alpha = x \ \alpha \in [-\pi/2, \pi/2] ,$

$
\sin x = \sin x_0 \Leftrightarrow x = x_0  + 2k\pi , \pi - x_0 +
2k\pi, \ \cos x = \cos x_0 \Leftrightarrow x = \pm x_0  + 2k\pi
,$

$
\tan x = \tan x_0 \Leftrightarrow x = x_0  + k\pi $.

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ESERCIZIO n. 7 Calcolare $\cos \frac{\pi}{12}$, $\sin \frac{5\pi}{12}$ , ~$\sin\frac{7\pi}8$.

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ESERCIZIO n. 8  Verificare le seguenti relazioni ed interpretarle geometricamente:

$\cos (x+\pi )= \cos (x-\pi)= -\cos x ,~~
\sin (x+\pi )= \sin (x-\pi)= -\sin  x $;

$\cos (x+\frac{\pi}2 )= -\sin x ,~ 
\sin (x+\frac{\pi}2 )=\cos x,~ 
\vert \sin x\vert   \le \vert x\vert \le 
\vert \tan x \vert ~
( {\rm se} ~ \vert x \vert \le \frac{\pi}2$

$\vert \cos x -\cos y\vert \le \vert x - y\vert,~
\vert \sin x -\sin y\vert \le \vert x - y\vert$.
 






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ESERCIZIO n. 9  Trovare l'intersezione
 $A \bigcap B$ dove
 
$ A = \{ x \in {\bf R} : x^4 + |x-3| = \sin \left(x
 \frac{\pi}2 \right) \} $ e $B  = \{ x \in {\bf R} :|x| \leq 2
 \}.$

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ESERCIZIO n. 10 Risolvere le seguenti equazioni: $3\sin x -\sqrt{3}\cos x=0$, 
$\sin x +3\vert \sin x\vert =2$, 
$ -\cos^6 x + \sin^3 x \cos^3 x + \sin^6 x =0$.

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ESERCIZIO n. 11  Trovare tutti gli $x$ per cui rispettivamente: $ \sin x < \frac 12$, 
$4\sin x\tan x> \frac 3{\cos x}$, $\frac{1+ \cos^2 x}{1+\sin x} > 2.$


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ESERCIZIO n. 12 Calcolare l'estremo superiore ed inferiore dell'insieme:

$\{ \sin \frac {n-1}{2n} \pi :~ n\in {\bf N}~\}$.



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ESERCIZIO n. 13 Disegnare i grafici delle funzioni: $x\mapsto -\sin x$,  $x\mapsto \sin 3x$, 
 $x\mapsto  \cos \frac x2$, 
 $x\mapsto  3\sin x$,
 $x\mapsto  \tan (x -\frac{\pi}2 )$, 
 $x\mapsto  \vert \sin x\vert$, ~
 $x\mapsto  \sin^2 x$.




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ESERCIZIO n. 14 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo:
$x\mapsto  \sin (\pi^2 -\pi x)$, $x\mapsto  \vert \sin  x\vert + \vert \cos x \vert$, 
$x\mapsto \sin (x^2)$,   
$x\mapsto 3\sin^2 x  + \sin \frac x2$, $x\mapsto  \sin^5 x +3\cos^7 2x + 1$.




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ESERCIZIO n. 15  Mostrare che 
$\frac 12 + \cos x  = 
\frac{\sin \frac 32 x}{2 \sin (x/2)}.$



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ESERCIZIO n. 16 Provare le seguenti formule: ~~
$\sin x = \frac{2\tan\frac{x}2}{1+\tan^2 \frac{x}2}, ~ 
\cos x  = \frac{1-\tan^2 \frac{x}2}{1+\tan^2 \frac{x}2}$,




\end{document}
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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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\end{document}