Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica

G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli

VII foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 30 aprile 2003 al 21 maggio 2003

http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03

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LEMMA $${a_1, ~b_1 ,~ \dots ,~ b_n\in {\bf C}~~ \sum_{k=m}^n a_kb_k =a_n\sum_{k=m}^n b_k - \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1} -a_k)\sum_{j=m}^k b_j}$$

TEOREMA

a - $${ a_n\to 0,~ \sum_{k=0}^{+\infty} \vert a_k -a_{k+1}\vert<+\infty,... ...ight\vert \le M <+\infty \Longrightarrow \sum_{k=0}^n a_kb_k ~{\rm converge}}$$

b - $${ \sum_{k=0}^{+\infty} \vert a_k -a_{k+1}\vert<+\infty, ~\sum_{k=0}^n b_k ~{\rm converge}~\Longrightarrow \sum_{k=0}^n a_kb_k ~{\rm converge}}$$

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ESERCIZIO n. 1 Si mostri che la serie $\sum_n \frac {\cos nx}{\sqrt{n}},~ x\not\in 2\pi{\bf Z}$ è convergente.

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ESERCIZIO n. 2 Si consideri la successione $a_n =\frac1n + \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$. Si provi che pur essendo infinitesima e a segni alterni la sua serie non è convergente. Si mostri quindi che per le serie a termini di segno variabile non vale il criterio del confronto asintotico.

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ESERCIZIO n. 3

a - Si provi mediante integrazione per parti e confronto che $\frac{ \sin x}x$ ha integrale in senso generalizzato su $]0; +\infty[$ finito. Si provi che il suo valore assoluto non ha integrale finito.

b - Si provi che se $x\mapsto g(x)$ è una funzione definita su $[0;+\infty [$, decrescente ed infinitesima per $x\to +\infty$, e quindi non negativa, allora la funzione $g(x)\sin x$ ha integrale in senso generalizzato su $[0;+\infty]$ finito. Che dire sull'integrale di $\vert g(x)\sin x\vert$ su $[0;+\infty [$?

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ESERCIZIO n. 4 Si studi l'integrabilità in senso generalizzato, ed eventualmente la convergenza degli integrali, su $]0; +\infty[$ delle funzioni $\sin (x^2)$, $\left(\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)\right)^2$ e $\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)$.

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ESERCIZIO n. 5 Si calcolino le somme delle seguenti serie:

$${\sum_n nx^n, ~\sum_n \frac {x^{n}}{n},~ \sum_n \frac {x^{4n-1}}{... ...sum_n \frac {(-1)^n}{2n+1}, ~ \sum_n \frac n{2^n},~ \sum_n \frac {(-1)^n}{n} }$$.

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ESERCIZIO n. 6 Si espliciti in termini di funzioni elementari $${f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n} x^n,~ 0\le x\le 1}$$.

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ESERCIZIO n. 7

a - Si studi il dominio di convergenza in ${\bf R}$ delle serie di potenze:

$${ \sum_n x^{4n-2} ~,~~ \sum_n \frac {x^n}{n(n+1)}~,~~\sum_n x^n10^... ... ~,~~ \sum_n \frac {x^n}{n10^{n-1}}~,~~\sum_n \frac {x^n\sin n!}{n(n+4)}~,~~ }$$

$${ \sum_n x^n n! ~,~~\sum_n x^{2(n-1)} 2^{n-1} ~,~~ \sum_n \frac {x... ...rac {(-x)^n}{n-\log n}~,~~ \sum_n \frac {(n!)^2 x^n}{(2n)!} ~,~~\sum_n x^{n!} }$$

$${ \sum_n 2^n x^{n^2}. }$$

b - Si determini il raggio di convergenza in ${\bf C}$ delle serie di potenze:

$${ \sum_n z^n ~,~~ \sum_n \frac {z^n}{n(n+1)} ~,~~\sum_n \frac {z^n}{n!} ~,~~ (*)~ \sum_n { {\alpha}\choose{n}}z^n ~(\alpha\in{\bf C} ). }$$

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ESERCIZIO n. 8

a - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente: $${\sum_{n=0}^\infty \frac {(n!)^2 x^{n}}{(2n)!}}$$.

b - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente: $${\sum_{n=0}^\infty \frac {(n!)^3 x^{(n^2)}}{(2n)!}}$$.

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ESERCIZIO n. 9 Si studi il seguente problema di Cauchy per serie di potenze e si discuta

la convergenza della serie determinata: $${ \left\{ {\begin{array}{ll} (1+x^2)y^{\prime\prime} (x) + y(x)=0 ~,~~x\in {\bf R}& \\ ~& ~\\ y(0)=~y^\prime (0)=1 & \\ \end{array}} \right.}$$