\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \begin {document} \noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica} \centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli} \centerline{VII foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} \centerline{dal 30 aprile 2003 al 21 maggio 2003} \medskip \noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$ El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03 \medskip \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent{\bf LEMMA } $\displaystyle{a_1, ~b_1 ,~ \dots ,~ b_n\in {\bf C}~~ \sum_{k=m}^n a_kb_k =a_n\sum_{k=m}^n b_k - \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1} -a_k)\sum_{j=m}^k b_j}$ \medskip \noindent{\bf TEOREMA} \noindent a - $\displaystyle{ a_n\to 0,~ \sum_{k=0}^{+\infty} \vert a_k -a_{k+1}\vert<+\infty,~ \sup_{n\in{\bf N}} \left\vert \sum_{k=0}^n b_k\right\vert \le M <+\infty \Longrightarrow \sum_{k=0}^n a_kb_k ~{\rm converge}}$ \noindent b - $\displaystyle{ \sum_{k=0}^{+\infty} \vert a_k -a_{k+1}\vert<+\infty, ~\sum_{k=0}^n b_k ~{\rm converge}~\Longrightarrow \sum_{k=0}^n a_kb_k ~{\rm converge}}$ \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 1 Si mostri che la serie $\sum_n \frac {\cos nx}{\sqrt{n}},~ x\not\in 2\pi{\bf Z}$ \`e convergente. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 2 Si consideri la successione $a_n =\frac1n + \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$. Si provi che pur essendo infinitesima e a segni alterni la sua serie non \`e convergente. Si mostri quindi che per le serie a termini di segno variabile non vale il criterio del confronto asintotico. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 3 \noindent a - Si provi mediante integrazione per parti e confronto che $\frac{ \sin x}x$ ha integrale in senso generalizzato su $]0; +\infty[$ finito. Si provi che il suo valore assoluto non ha integrale finito. \noindent b - Si provi che se $x\mapsto g(x)$ \`e una funzione definita su $[0;+\infty [$, decrescente ed infinitesima per $x\to +\infty$, e quindi non negativa, allora la funzione $g(x)\sin x $ ha integrale in senso generalizzato su $[0;+\infty]$ finito. Che dire sull'integrale di $|g(x)\sin x|$ su $[0;+\infty [$? \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 4 Si studi l'integrabilit\`a in senso generalizzato, ed eventualmente la convergenza degli integrali, su $]0;+\infty[$ delle funzioni $\sin (x^2)$, $ \left(\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)\right)^2$ e $\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)$. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 5 Si calcolino le somme delle seguenti serie: \noindent $\displaystyle{\sum_n nx^n, ~\sum_n \frac {x^{n}}{n},~ \sum_n \frac {x^{4n-1}}{4n-1} ,~ \sum_n \frac {x^{4n}}{4n-3},~\sum_n \frac {(-x)^{n+1}}{n(n+1)} ,~\sum_n \frac 1{(2n)!},~ \sum_n \frac {(-1)^n}{2n+1}, ~ \sum_n \frac n{2^n},~ \sum_n \frac {(-1)^n}{n} }$. %Studiare il dominio e il comportamento asintotico agli estremi dello stesso delle %seguenti funzioni $x\mapsto f(x)$: %$$\int_{2x-3}^{x+5} \frac {te^{t-1}}{2t -7}dt~;~~\int_0^{x^2}\frac {\sin %t}{\sqrt{1-t^2}} dt~;~~ \int_0^{\tan x} \frac {\cos t}{1+t^2} dt~.$$ \medskip \bigskip \bigskip \vfill \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 6 Si espliciti in termini di funzioni elementari $\displaystyle{f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n} x^n,~ 0\le x\le 1}$. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 7 \noindent a - Si studi il dominio di convergenza in ${\bf R}$ delle serie di potenze: \medskip $\displaystyle{ \sum_n x^{4n-2} ~,~~ \sum_n \frac {x^n}{n(n+1)}~,~~\sum_n x^n10^n~,~~\sum_n \frac {(-x)^n}n ~,~~ \sum_n \frac {x^n}{n10^{n-1}}~,~~\sum_n \frac {x^n\sin n!}{n(n+4)}~,~~ }$ $\displaystyle{ \sum_n x^n n! ~,~~\sum_n x^{2(n-1)} 2^{n-1} ~,~~ \sum_n \frac {x^n}{n(n+1)} ~,~~\sum_n \frac {(-x)^n}{n-\log n}~,~~ \sum_n \frac {(n!)^2 x^n}{(2n)!} ~,~~\sum_n x^{n!} }$ $\displaystyle{ \sum_n 2^n x^{n^2}. }$ \noindent b - Si determini il raggio di convergenza in ${\bf C}$ delle serie di potenze: $\displaystyle{ \sum_n z^n ~,~~ \sum_n \frac {z^n}{n(n+1)} ~,~~\sum_n \frac {z^n}{n!} ~,~~ (*)~ \sum_n { {\alpha}\choose{n}}z^n ~(\alpha\in{\bf C} ). }$ \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 8 \noindent a - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente: $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac {(n!)^2 x^{n}}{(2n)!}}$. \noindent b - Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze seguente: $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac {(n!)^3 x^{(n^2)}}{(2n)!}}$. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 9 Si studi il seguente problema di Cauchy per serie di potenze e si discuta \smallskip la convergenza della serie determinata: $\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{ll} (1+x^2)y^{\prime\prime} (x) + y(x)=0 ~,~~x\in {\bf R}& \\ ~& ~\\ y(0)=~y^\prime (0)=1 & \\ \end{array}} \right.}$ \end{document} \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 8 \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 9 \medskip \bigskip \end{document} questioni numeriche funzioni continue mai derivabili insiemi di cantor funzioni definite con integrali o serie serie di errori di successioni definite per ricorrenza