Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica

G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli

VI foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 30 aprile 2003 al 8 maggio 2003

http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03

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ESERCIZIO n. 1

a - Si studi la convergenza delle seguenti serie:

$\sum_n e^{\frac 1n},~\sum_n (\frac 1n -\frac 1{n^2}),~ \sum_n \sin \frac 1n ,~ ... ...+\sqrt{n}}~(\alpha ,~\beta \in {\bf R} ),~ \sum_n \frac {e^n -n^6}{e^{2n} +n},$

$\sum_n \sin^2 n ,~\sum_n (^n\!\!\sqrt{n} -1), ~\sum_n \left( \left( 1+\frac 1n\... ... ~\sum_n \left( \frac n {n+1}\right)^{n^2},~\sum_n \frac {n! +n^2}{3^n + n^n},$

$\sum_n \frac 1{3^{\sqrt{n}}},\sum_n \frac {n!}{n^n}, \sum_n\frac{n^n} {3^n n!}... ...} a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_{n-1}}\qquad &\\ a_1=2,~ a_2=1&\\ \end{array}\right.$

$\sum_{n\geq 2}\frac 1{ n^\alpha (\log n)^\beta}~(\alpha, \beta\in {\bf R}),$

$\sum_n \sum_{k=n}^{n^2} e^{-k},~ \sum_n \sum_{k=2}^n \frac 1{n^k},~ \sum_n \int... ..._0^3 \frac{\sin (t^{n^2})}{t^{n^2}} \, dt,~ \sum_n \frac 1{(\log n)^{\log n}}$

b - Stabilre se i seguenti integrali generalizzati sono convergenti:

$\int_0^\infty\frac {x^{\alpha -1}}{1+x}dx ~,~ \int_0^\infty\frac {(2+\cos x)\l... ... ((2x)^x -1)^2}\, dx ,~ \int_0^\infty \left(1-\sqrt{\frac t{t+1}}\right) dt,~ ~$

$\int_1^\infty \frac {e^{-x^2}x^x -e^{x-2}} {1 -x^x}dx,~ \int_1^\infty \frac 1 {... ... 13}} dx ,~ \int_1^\infty \left((x^8 -1)^{-\frac 19} - x^{-\frac 89} \right)dx.$

$\int_0^{\frac 12}\frac 1{ x^\alpha \vert\log \vert x\vert\vert^\beta} dx,~ \int... ... 1{ x^\alpha \vert\log \vert x\vert\vert^\beta} dx~(\alpha , \beta\in{\bf R}),$

$\int_0^1\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x\log (1+\sqrt x)}\, dx,~ \int_0^1\frac {1-(\cos... ...infty}\left(\frac 1{\sin \frac 1x} - \frac 1{\log (x+1) - \log x}\right)\, dx$

$\int_0^1\frac 1{\frac{\pi}2 -{\rm arsin} x}\, dx ,~ \int_0^{\pi}\frac 1{1- \ver... ...\int_0^{+\infty}\left(\left(\frac 2 {1+e^{-x}}\right)^{\frac 1x} -1\right)\, dx$

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ESERCIZIO n. 2

a - Si provi che le serie di Taylor di centro 0 di $x\mapsto \log (1+x)$è convergente alla funzione stessa per $\vert x\vert <1$.

b - Si provi che le serie di Taylor di centro 0 delle funzioni $x\mapsto e^x, ~\sin x , ~\cos x$ sono assolutamente convergenti per ogni $x\in {\bf R}$, e quindi che rispettivamente convergono alle funzioni di cui sono sviluppo.

c - Si provi che il resto dello sviluppo di Taylor in 0 di grado 2n+2della funzione $x\mapsto{\rm artan} x$ è in modulo minore di $\frac {\vert x\vert^{2n+3}}{2n+3}$. (Per esempio si può usare la serie gometrica di ragione -x²).

d - Si trovi una funzione la cui serie di Taylor in 0 converge per ogni $x\in {\bf R}$, ma non converge alla funzione stessa.

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ESERCIZIO n. 3^* Si pone $${ {\alpha \choose n}= \frac {\alpha \dots (\alpha -n +1)}{n!},~ \alpha \in {\bf C},~ n\in {\bf N}}$$. Si calcoli lo sviluppo di Taylor in 0 della funzione $x\mapsto (1+x)^\alpha,~ \alpha\in {\bf R}$ e si provi che converge alla funzione stessa per $\vert x\vert <1$.

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ESERCIZIO n. 4 Si ocnsideri $x\mapsto \int_0^{\tan x} \frac{\sin t}{1+t^2} dt~, ~ t\not = \frac {\pi}2 +k\pi ~(k\in{\bf Z})$.

a - Si provi che tale funzine può essere estesa con continuità a tutto ${\bf R}$.

b^*- Si studi la derivabiltà di tale estensione.

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ESERCIZIO n. 5

Posto $${ F(x)=\int_0^x f(t)\, dt}$$, si studi il limite del rapporto $\frac {F(x)}{f(x)}$, $x\to+\infty$, nei seguenti casi: $f(x)=\frac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x}~,~~f(x)=e^x~,~~ f(x)= xe^{x^2}~,~~f(x)=\log x~.$

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ESERCIZIO n. 4 Sia $${ a_n=\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^n t\,dt, ~n\geq 0}$$.

a - Si provi che $1\geq \frac {a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{n}{n+1}$ e quindi $a_{2m} = \frac{\pi}2 \frac {(2m-1)(2m-3 )\dots 5\cdot 3}{2m(2m-2)\dots 4\cdot 2}$, $a_{2m+1}= \frac {2m(2m-2 )\dots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\dots 5\cdot 3}$.

b - Si deduca che $\lim_{m\to \infty }\frac {2m(2m-2 )\dots 4\cdot 2} {(2m-1)(2m-3 )\dots 5\cdot 3} \frac 1{\sqrt{2m+1}} =\sqrt{\frac{\pi}2}$ [Formula di Wallis].

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ESERCIZIO n. 5

a - Si provi che $\left(\frac ne\right)^n e \le n! \le \sqrt{n}\left(\frac ne\right)^n e$, valutando $\int_1^n \log x \, dx \le \log n! \le \int_1^n \log x \, dx + \hbox{\rm somma di aree di triangoli}$.

b - Si provi che $n! = \left(\frac ne\right)^n \sqrt{n} e^{1-D_n}$, si dia un interpretazione geometrica alla successione D_n mostrando tra l'altro che è crescente.

c - Detto D il limite di D_n si provi che $D-D_n\le \log \sqrt{1+\frac1{2n}}$.

d - Usando la formula di Wallis si provi che $e^{1-D} = \sqrt{2\pi}$ e quindi la formula di Stirling

$\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n < n!< \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n \sqrt{1+\frac 1{2n}}$.

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ESERCIZIO n. 6

a - Si consideri $${\Gamma (\alpha )= \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha -1} dx}$$, $\alpha >0$. Si provi che è ben definito e quindi che $\Gamma (n)=(n-1)!$ per $n\in{\bf N}$.

b - Sia $${\Lambda (\beta )= \int_1^2 e^{-x} x^{\beta} dx}$$, $\beta\in {\bf R}$. Si provi che è derivabile con derivata eguale a $${ \int_1^2 e^{-x} x^{\beta}\log x dx}$$.

c - Si studi il caso $${\Lambda (\beta )= \int_1^{+\infty} e^{-x} x^{\beta} dx}$$.

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ESERCIZIO n. 7 Si considerino gli integrali

$${\displaystyle \frac 13 {\large T(\kappa )~=~ \int_0^{1} \: \... ...-\kappa^2 t^2}} }\: dt \quad ,\quad \quad \kappa \in [0;1[. }$$

a) Si calcoli T(0) e si provi che per ogni $\kappa\in [0;1[$ tali integrali sono finiti.

b) Si studi al variare di $\alpha\in{\bf R}$ il comportamento di $\left(T(\kappa ) -T(0)\right)\cdot \kappa^{-\alpha}$ per $\kappa\to 0$.

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ESERCIZIO n. 8

questioni numeriche

funzioni continue mai derivabili

insiemi di cantor

funzioni definite con integrali o serie

serie di errori di successioni definite per ricorrenza

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ESERCIZIO n. 9