\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=26cm \begin {document} \noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica} \centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli} \centerline{V foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} \centerline{dal 29 aprile 2003, 30 aprile 2003} \medskip \noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$ El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03 \medskip \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 1 Si trovi il rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani, interamente contenuto in $\{ (x, y):~ x^2 \le y \le 1 ~\}$ di area massima. \smallskip \noindent \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 2 \noindent a - Si provi $\displaystyle{ D^n (f\cdot g)=\sum_{k=0}^n {n\choose k} D^k f D^{n-k}g}.$ \smallskip \noindent b$^*$ - Si determini una relazione di ricorrenza per i termini della successione numerica data dalle derivate successive calcolate in $0$ della funzione $x\mapsto {\rm arsin} ~x$. %$D((1- x^2) Du )=D(\sqrt{ 1-x^2}) =-x Du, Newton = -D^n(xDu)= %D^{n+1}((1-x^2) Du) =Newton:~ Du=1, D^2u=0, D^{n+2}u = n^2 D^nu,~ %D^{2m-1}u=\frac{(2m-1)!}{2^{m-1} (m-1)!}$ % \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 3 Sia $f$ una funzione reale definita e continua in $[x_0 ; x_0 +a[$, $x_0\in {\bf R}$, $a>0$. Se $f$ \`e derivabile in $]x_0 ; x_0 +a[$ e $\exists\lim_{x\to x_0} f^\prime (x)=\lambda$ allora $\exists f^\prime (x_0 )=\lambda$. Si mostri con un esempio che non \`e vero il viceversa. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 4 Sia $f$ derivabile in un intorno di $x_0\in {\bf R}$. \smallskip \noindent a - Se %$\exists f^\prime (x)$, $\vert x-x_0\vert\le a$, e $\exists f^{\prime\prime} (x_0)$ allora $\displaystyle{\exists\lim_{h\to 0}\frac {f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)} {h^2} ~=~f^{\prime\prime} (x_0)}$. \smallskip \noindent b - Si mostri che se vi \`e tale limite non \`e detto che vi sia la derivata seconda nel punto $x_0$. %Sia $f(x)$ derivabile una volta, $m(x)$ continua, per %$x\in{\bf R}$. Sia poi $\varepsilon (x,y)$ una funzione continua nel complesso delle due %variabili, cio\`e: %$\displaystyle{\lim_{|x-a|+|y-b|\to 0} \varepsilon (x,y)=\varepsilon (a,b)}$, %per cui si abbia per ogni fissato $x$: $\varepsilon (x,0)=0$. Si provi che %$\displaystyle{ \exists f^{\prime\prime} =m}$. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 5$^*$ Si provi che le funzioni che sono derivate su tutto un intervallo hanno la propriet\`a del {\it valore intermedio}, ossia: se $g(x)= f^\prime (x)$, $a \frac 4{(b-a)^2}\int_a^b \vert f(x)\vert \, dx $$ \noindent b - Se $g\in C^1 ([a;b])$, $g^\prime (0)=g^\prime (1) =g(0)=0 ,~ g(1)=1$, e $\forall x\in ]0;1[\exists g^{\prime\prime} (x),$ allora \noindent $\exists \xi\in ]0;1[ ~\vert g^{\prime\prime} (\xi )\vert >4$. \smallskip %$\vert f^\prime (x)\le \frac 4 {(b-a)^2}\int_a^b \vert f(t)\vert dt =: k %\hbox{\rm il ~grafico ~\`e ~contenuto ~in ~un~ parallelogramma ~vertici ~in ~a~e ~b %~ e~lati ~con~pendenza ~k~ rispetto~l'asse~ orizzontale} %~Lagrange ~\vert f(x)\vert \le kx ,~x\in[0;\frac 12 ], ~~ %\vert f(x)\vert \le k(1-x) ,~x\in[\frac 12 ;1 ] %\hbox{\rm integrando~si ~ha ~l'assurdo} \end{document} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 8 \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 9 \medskip \noindent------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------ \end{document} \noindent ESERCIZIO n. 9 \smallskip \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 10 \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 11 \smallskip \medskip \end{document} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 12 \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 13 \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 14 \medskip serie complesse elementari esponenziale complessa come limite \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 15 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 16 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 17 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 18 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 19 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 20 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 21 \medskip \bigskip \end{document}