\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=26cm \begin {document} \noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica} \centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli} \centerline{IV foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} \centerline{dal 3 aprile 2003 al 10 aprile 2003} \medskip \noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$ El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03 \medskip \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 1 \noindent a - Si mostri che vi sono funzioni, da ${\bf R}$ in ${\bf R}$, che trasformano ogni intervallo in un intervallo ma non sono continue. \smallskip \noindent b $^{\bf *}$ - Si mostri che vi sono funzioni, da ${\bf R}$ in ${\bf R}$, che trasformano ogni intervallo in un intervallo e non sono continue in alcun punto. %$x-y\in {\bf Q}$ \`e una relazione di equivalenza %la partizione indotta ha la stessa cardinalit\`a di $\bf R}$ ... % %la bigezione tra ${\bf R}$ e tale partizione sia $x\mapsto P_x$. %$P_x$ denso in ${\bf R}$, $P_x\cap P_y =\emptyset $ se $x\not=y \in {\bf R}$, %$\bigcup_{x\in{\bf R}} P_x={\bf R}: % per ogni intervallo $I$ e per ogni $x\in {\bf R}$ si ha $P_x\cap %I\not=\emptyset$. Si definisce $f(z)=x$ se $z\in P_x$. % per ogni intervallo $I$ la sua immagine \`e tutto ${\bf R}$ e in particolare in ogni %intervallo vi sono elemnti di $P_0$ e di $P_1$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 2 \noindent a - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha solo discontinuit\`a di tipo salto. \smallskip \noindent b - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha al pi\`u un insiem numerabile di punti in cui non \`e continua. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 3 Si provi che $f:{\bf R}\to {\bf R}$ limitata \`e continua se e solo se $x_n\to x\in {\bf R}$ e $f(x_n)\to y\in {\bf R}$ allora $y=f(x)$. Si mostri che ci\`o non \`e vero se $f$ non \`e limitata. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 4$^{\bf *}$ Si provi che $f$ da ${\bf R}$ in se \`e continua e non decrescente se e solo se per ogni successione limitata $x_n$ si ha ${\rm maxlim}_{n\to \infty} f(x_n ) = f({\rm maxlim }_{n\to \infty} x_n )$ ~[${\rm maxlim}_{n\to \infty } y_n =\inf_n\sup_{k\geq n} y_k= \lim_{n\to \infty} \sup_{k\geq n} y_k$]. \smallskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent DEFINIZIONE $f$ si dice {\it uniformemente continua} su $I$ se e solo se \smallskip \centerline{$\forall\varepsilon >0~\exists\delta >0 ~\forall x,~y\in I ~(\vert x-y\vert\le \delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert \le \varepsilon)$} \smallskip \noindent ovvero \centerline{ $\displaystyle{\lim_{\delta\to 0} \sup_{{x,y\in I}\atop{\vert x-y\vert\le \delta}} \vert f(x) -f(y)\vert =0}$.} \medskip \noindent TEOREMA: \noindent Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato \`e ivi uniformemente continua. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 5 \noindent a - Si provi che $x\mapsto \sqrt{x}$ \`e $\frac 12$-h\"olderiana su $[0;+\infty[$ ma non lipschitziana. \smallskip \noindent b - Si provi che $x\mapsto x^2$ e $x\mapsto sin (x^2)$ non sono uniformemente continue su ${\bf R}$ e sono lipscitziane sugli intervalli limitati. \smallskip \noindent c - Si provi che $x\mapsto \frac 1{(\log \vert x\vert )^2}$, $x\not= 0$, \`e uniformemente continua ma non \`e h\"olderiana. \smallskip \noindent d - Si provi che le funzioni h\"olderiane e lipschitziane sono uniformemente continue. \smallskip \vfill \eject \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 6 \noindent a - $f:I\to {\bf R}$ \`e continua se e solo se per ogni successione $x_n\to x\in I$ di elementi di $I$ si ha $f(x_n)\to f(x)$. \smallskip \noindent b - $f:I\to {\bf R}$ se e solo se date due successioni di elementi di $I$ per cui $x_n -y_n\to 0$ si ha anche $f(x_n)-f(y_n )\to 0$. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 7 Una funzione continua da ${\bf R}$ in se con limiti all'infinito \`e uniformemente continua. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 8 Al variare di $a, ~b\in {\bf R}$ si studi l'h\"olerianit\`a di $x^a \sin (x^b )$ su $[1; +\infty [$. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 9 Una funzione $f$ uniformemente continua da ${\bf R}$ in se \`e a crescita lineare ($f(x)\le A +B\vert x\vert$). \medskip \noindent------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------ \end{document} \noindent ESERCIZIO n. 9 \smallskip \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 10 \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 11 \smallskip \medskip \end{document} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 12 \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 13 \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 14 \medskip serie complesse elementari esponenziale complessa come limite \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 15 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 16 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 17 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 18 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 19 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 20 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 21 \medskip \bigskip \end{document}