Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica

G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli

III foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 6 marzo 2003 al 13 marzo 2003

http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03

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ESERCIZIO n. 1

a - Calcolare i seguenti limiti senza usare le funzioni esponenziali e logaritmiche, cercando di usare la definizione di limite, diseguaglianze e le principali proprietà dei limiti:

$^n\!\!\!\sqrt a ,~a>0$; $^n\!\!\!\sqrt n$, (si provi inoltre che è decrescente); $^n\!\!\!\sqrt{n^k},~k\in {\bf Z}$; $${\left( 1+\frac an +\frac b{n^2} \right)^n}$$, $a,~b\in {\bf R}$;

$${\frac{(n+1)^k -n^k}{n^{k-1}},~ k\in{\bf Z}\setminus\{0\};~\sin a_n ,~ \frac{ \sin a_n}{a_n} ,~ \frac{1-\cos a_n}{{a_n}^2}~, a_n\rightarrow 0}$$

b - Calcolare gli stessi usando gli elementi di calcolo noti.

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ESERCIZIO n. 2 Calcolare i limiti delle seguenti successioni

$^n\!\!\!\sqrt{n!}$;   $^n\!\!\!\sqrt {a^n + b^n} ,~a\geq \vert b\vert$; $^n\!\!\sqrt{2^n +6^{n^2}}$; $^n\!\!\!\sqrt{3^n +2^{2n+3}}$; $^n\!\!\!\sqrt{\sqrt n -2\cdot ^3\!\!\!\sqrt{n-1}}$, $(1+\frac 1{n^2})^n$, $(1-\frac 1{n^2})^n$,

$(\cos \frac 1n )^n ,~(\cos \frac 1{\sqrt n} )^n$,  $(1+\frac 1{\sqrt{n}})^n, ~(1-\frac 1{\sqrt{n}})^n$, $(1+\frac 1{{n}})^{n^2}, ~(1-\frac 1{{n}})^{n^3}$, $(1+\frac 1{{2n}-1})^{n}$

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ESERCIZIO n. 3 Si provino le seguenti implicazioni, e si mostri che le implicazioni inverse non sono vere.

a - b_n >0, $^n\!\!\!\sqrt {b_n} \longrightarrow l >1,~ (<1)$ $\Rightarrow ~b_n\longrightarrow +\infty , ~ (0)$ esponenzialmente.

b - b_n >0, $${\frac {b_{n+1}}{b_n}\longrightarrow l >1,~ (<1)}$$ $\Rightarrow ~b_n\longrightarrow +\infty , ~ (0)$ esponenzialmente.

c - a_n >0, ${a_n} \longrightarrow l\in [0 ;+\infty ]$ $\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_1 +\ldots +a_n}n},~^n\!\!\!\sqrt{a_1\ldots a_n} \longrightarrow l$.

d - a_n >0, $${\frac {a_{n+1}}{a_n}\longrightarrow l\in [0 ;+\infty ]}$$ $\Rightarrow$ $^n\!\!\!\sqrt {a_n} \longrightarrow l$.

e - $a_n\longrightarrow \pm\infty$, $a_{n+1}-a_n\longrightarrow l\in \overline{\bf R}$ $\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_n}{n}} \longrightarrow l$.

f * - $a_n\longrightarrow {\pm\infty\atop {(0)}}, ~ {{b_{n+1}> b_{n}\longrightarrow +\... ...in \overline{\bf R}~\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_n}{b_n}} \longrightarrow l$.

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ESERCIZIO n. 4 Calcolare il limiti all'infinito delle seguenti successioni (in alcuni casi converrà usare i crtieri del precedente esercizio):

$${\frac {2^n n!}{n^n}; ~\frac {3^n n!}{n^n};~\frac{(n!)^2}{n^n};~ \... ...frac{(2n)!}{n^n n!}};~k^n \frac{(n!)^2}{(2n+1)!},~ k\in{\bf R}\setminus\{4\};~}$$

$${\frac{^n\!\!\!\sqrt{n!}}{n^p},~p\in{\bf Q};~ \frac{n\log n}{\log n!};~\frac{1 +2^k\ldots +n^k}{n^{k+1}};~ \frac{1 +\frac 12\ldots +\frac 1n}{n} }$$

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ESERCIZIO n. 5 Si provi che $4^n\displaystyle{\frac {(n!)^2}{(2n+1)!}}$ è decrescente e che il suo estremo inferiore è non nullo.

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ESERCIZIO n. 6

a - Si provi per induzione $n!\geq \displaystyle{\left(\frac ne\right)^n}$.

b - Utilizzando lo sviluppo di Taylor per $\log (1+x)$ si provi che per ogni $\alpha <\displaystyle{\frac 12}$:

definitivamente $1 \geq (n+\alpha )\log\displaystyle{\left(1 +\frac 1n\right)}$ e quindi definitivamente $n!\displaystyle{\left(\frac en\right)^n\frac1 {n^{\alpha}}}$ è crescente.

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ESERCIZIO n. 7

Si calcoli il limite $l\in {\bf R}$ di $${\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1}=\frac{a_n +\frac x{a_n}}{2}\qquad &\\ &\\ a_1> 0,~a_1^2>x>0&\\ \end{array}\right.}$$. Si valuti l'infinitesimo $\vert a_n -l\vert$.

Si provi che $\exists \displaystyle{\lim_{n\to \infty }a_n =\lim_{n\to \infty}{ b_n}}$ ove: $${\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},~ b_{n+1}=\frac... ... +{b_n}}{2}\qquad &\hbox{se $n\geq 1$ }\\ &\\ a_1<b_1&\\ \end{array}\right.}$$

Si provi che la successione $${\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1}=a_n +\frac 1{a_n}\qquad &\hbox{se $n\geq 1$ }\\ &\\ a_1=1,&\\ \end{array}\right.}$$ diverge. Si calcoli $${\lim_{n\to \infty} \frac {a_n}{n^k},~k\in{\bf N}}$$

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ESERCIZIO n. 8 * Studiare la convergenza della successione:    $${\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1}=\alpha^{a_n}\qquad &\hbox{se $n\geq 1$ }\\ &\\ a_1=\alpha >0&\\ \end{array}\right.}$$ 

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ESERCIZIO n. 9

a - Dato M>0, studiare la convergenza $${\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1}={a_n}- M{a_n}^2\qquad &\hbox{se $n\geq 1$ }\\ &\\ a_1=\alpha&\\ \end{array}\right.}$$ 

b * - Studiare la convergenza di $n^\beta a_n$.

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ESERCIZIO n. 10 Si consideri la successione $\sqrt n -[\sqrt n]$, $n\in{\bf N}$.

a - Si provi che non converge.

b * - Quali sono tutti i valori limite di sottosuccessioni della successione data?

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ESERCIZIO n. 11 Una successione di numeri complessi $z_n\in {\bf C}$, $n\in{\bf N}$converge ad un numero complesso $z\in {\bf C}$ se e solo se:    $\forall ~\varepsilon ~\exists \nu ~\forall n\geq \nu~ \vert z_n -z\vert \le\varepsilon$, cioè se e solo se $\vert z_n - z\vert\rightarrow 0$. Provare:

a - $z_n\rightarrow z$ $\Leftrightarrow$ ${\cal R}\! e z_n\rightarrow {\cal R}\! e z$ e ${\cal I}\! m z_n\rightarrow {\cal I}\! m z$ $\Leftrightarrow$ $\vert z_n\vert \rightarrow \vert z\vert$ e ${\rm arg} z_n +2k_n \pi\rightarrow {\rm arg} z$.

b - se $z=x+iy\in {\bf C}$, $${\left( 1+\frac zn\right)^n\rightarrow e^x(\cos y + i \sin y)}$$. (Si assuma che $${\left( 1+\frac an\right)^n\rightarrow e^a ,~a\in{\bf R}}$$).