\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=26cm \begin {document} \noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica} \centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli} \centerline{III foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} \centerline{dal 6 marzo 2003 al 13 marzo 2003} \medskip \noindent http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$ El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03 \medskip \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 1 \noindent a - Calcolare i seguenti limiti senza usare le funzioni esponenziali e logaritmiche, cercando di usare la definizione di limite, diseguaglianze e le principali propriet\`a dei limiti: \noindent $^n\!\!\!\sqrt a ,~a>0$; $^n\!\!\!\sqrt n$, (si provi inoltre che \`e decrescente); $^n\!\!\!\sqrt{n^k},~k\in {\bf Z}$; $\displaystyle{\left( 1+\frac an +\frac b{n^2} \right)^n}$, $a,~b\in {\bf R}$; \noindent $\displaystyle{\frac{(n+1)^k -n^k}{n^{k-1}},~ k\in{\bf Z}\setminus\{0\};~\sin a_n ,~ \frac{ \sin a_n}{a_n} ,~ \frac{1-\cos a_n}{{a_n}^2}~, a_n\rightarrow 0}$ \smallskip \noindent b - Calcolare gli stessi usando gli elementi di calcolo noti. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 2 Calcolare i limiti delle seguenti successioni \smallskip \noindent $^n\!\!\!\sqrt{n!}$;~~ $^n\!\!\!\sqrt {a^n + b^n} ,~a\geq \vert b\vert$; $^n\!\!\sqrt{2^n +6^{n^2}}$; $^n\!\!\!\sqrt{3^n +2^{2n+3}}$; $^n\!\!\!\sqrt{\sqrt n -2\cdot ^3\!\!\!\sqrt{n-1}}$, $(1+\frac 1{n^2})^n$, $(1-\frac 1{n^2})^n $, \noindent $(\cos \frac 1n )^n ,~(\cos \frac 1{\sqrt n} )^n $,~ $(1+\frac 1{\sqrt{n}})^n, ~(1-\frac 1{\sqrt{n}})^n$, $(1+\frac 1{{n}})^{n^2}, ~(1-\frac 1{{n}})^{n^3}$, $(1+\frac 1{{2n}-1})^{n}$ \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 3 Si provino le seguenti implicazioni, e si mostri che le implicazioni inverse non sono vere. \smallskip \noindent a - $b_n >0$, $^n\!\!\!\sqrt {b_n} \longrightarrow l >1,~ (<1)$ $\Rightarrow ~b_n\longrightarrow +\infty , ~ (0)$ esponenzialmente. \noindent b - $b_n >0$, $\displaystyle{\frac {b_{n+1}}{b_n}\longrightarrow l >1,~ (<1)}$ $\Rightarrow ~b_n\longrightarrow +\infty , ~ (0)$ esponenzialmente. \noindent c - $a_n >0$, $ {a_n} \longrightarrow l\in [0 ;+\infty ]$ $\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_1 +\ldots +a_n}n},~^n\!\!\!\sqrt{a_1\ldots a_n} \longrightarrow l$. \noindent d - $a_n >0$, $\displaystyle{\frac {a_{n+1}}{a_n}\longrightarrow l\in [0 ;+\infty ]}$ $\Rightarrow $ $^n\!\!\!\sqrt {a_n} \longrightarrow l$. \noindent e - $a_n\longrightarrow \pm\infty$, $a_{n+1}-a_n\longrightarrow l\in \overline{\bf R}$ $\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_n}{n}} \longrightarrow l$. \noindent f {\bf *} - $a_n\longrightarrow {\pm\infty\atop {(0)}}, ~ {{b_{n+1}> b_{n}\longrightarrow +\infty}\atop{ (b_{n}> b_{n+1}\longrightarrow 0)}}, ~\displaystyle{\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1} -b_n}}\longrightarrow l\in \overline{\bf R}~\Rightarrow\displaystyle{\frac{a_n}{b_n}} \longrightarrow l$. \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 4 Calcolare il limiti all'infinito delle seguenti successioni (in alcuni casi converr\`a usare i crtieri del precedente esercizio): \smallskip \noindent $\displaystyle{\frac {2^n n!}{n^n}; ~\frac {3^n n!}{n^n};~\frac{(n!)^2}{n^n};~ \frac{(2n)!}{n^n};~\frac{(2n)!}{n^{2n}};~\frac{(2n)!}{{(2n)}^n};~ \frac{n2^n}{{{2n}\choose {n}}};~^n\!\!\!\sqrt{\frac{n!}{n^n}};~ ^n\!\!\!\sqrt{\frac{(2n)!}{n^n n!}};~k^n \frac{(n!)^2}{(2n+1)!},~ k\in{\bf R}\setminus\{4\};~}$ \noindent $\displaystyle{\frac{^n\!\!\!\sqrt{n!}}{n^p},~p\in{\bf Q};~ \frac{n\log n}{\log n!};~\frac{1 +2^k\ldots +n^k}{n^{k+1}};~ \frac{1 +\frac 12\ldots +\frac 1n}{n} }$ \smallskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 5 Si provi che $4^n\displaystyle{\frac {(n!)^2}{(2n+1)!}}$ \`e decrescente e che il suo estremo inferiore \`e non nullo. \smallskip \medskip \break \vfill \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 6 \smallskip \noindent a - Si provi per induzione $n!\geq \displaystyle{\left(\frac ne\right)^n}$. \noindent b - Utilizzando lo sviluppo di Taylor per $\log (1+x)$ si provi che per ogni $\alpha <\displaystyle{\frac 12}$: \noindent definitivamente $1 \geq (n+\alpha )\log\displaystyle{\left(1 +\frac 1n\right)}$ e quindi definitivamente $n!\displaystyle{\left(\frac en\right)^n\frac1 {n^{\alpha}}}$ \`e crescente. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 7 \smallskip %\begin{enumerate} %\item \noindent Si calcoli il limite $l\in {\bf R}$ di $\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1}=\frac{a_n +\frac x{a_n}}{2}\qquad &\\ &\\ a_1> 0,~a_1^2>x>0&\\ \end{array}\right.}$. Si valuti l'infinitesimo $\vert a_n -l\vert$. \smallskip \noindent Si provi che $\exists \displaystyle{\lim_{n\to \infty }a_n =\lim_{n\to \infty}{ b_n}}$ ove: $\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},~ b_{n+1}=\frac{a_n +{b_n}}{2}\qquad &\hbox{se $n\geq 1$}\\ &\\ a_10&\\ \end{array}\right.}$~ \medskip \noindent------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------ \noindent ESERCIZIO n. 9 \smallskip \noindent a - Dato $M>0$, studiare la convergenza $\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll} a_{n+1}={a_n}- M{a_n}^2\qquad &\hbox{se $n\geq 1$}\\ &\\ a_1=\alpha&\\ \end{array}\right.}$~ \smallskip \noindent b {\bf *} - Studiare la convergenza di $n^\beta a_n$. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 10 Si consideri la successione $\sqrt n -[\sqrt n]$, $n\in{\bf N}$. \smallskip \noindent a - Si provi che non converge. \noindent b {\bf *} - Quali sono tutti i valori limite di sottosuccessioni della successione data? \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 11 Una successione di numeri complessi $z_n\in {\bf C}$, $n\in {\bf N}$ converge ad un numero complesso $z\in {\bf C}$ se e solo se: ~~ $\forall ~\varepsilon ~\exists \nu ~\forall n\geq \nu~ \vert z_n -z\vert \le\varepsilon$ , cio\`e se e solo se $\vert z_n - z\vert\rightarrow 0$. Provare: \smallskip \noindent a - $z_n\rightarrow z$ $\Leftrightarrow$ ${\cal R}\! e z_n\rightarrow {\cal R}\! e z$ e ${\cal I}\! m z_n\rightarrow {\cal I}\! m z$ $\Leftrightarrow$ $\vert z_n\vert \rightarrow \vert z\vert$ e ${\rm arg} z_n +2k_n \pi\rightarrow {\rm arg} z$. \smallskip \noindent b - se $z=x+iy\in {\bf C}$, $\displaystyle{\left( 1+\frac zn\right)^n\rightarrow e^x(\cos y + i \sin y)}$. (Si assuma che $\displaystyle{\left( 1+\frac an\right)^n\rightarrow e^a ,~a\in{\bf R}}$). \medskip \end{document} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 12 \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 13 \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 14 \medskip serie complesse elementari esponenziale complessa come limite \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 15 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 16 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 17 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 18 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 19 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 20 \medskip \bigskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 21 \medskip \bigskip \end{document}