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\begin {document}

\noindent{\bf Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, 
Matematica} \\

\centerline{G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli}

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\centerline{I foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 20 febbraio 2003 al  25 febbraio 2003}
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\noindent Programma e materiale relativo ai corsi di Elemnti di Analisi Matematica I e II pu\`o
essere reperito in rete 
 selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
Elementi di Analisi Matematica Uno e Due A.A. 2002/03.

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ESERCIZIO n. 1  Calcolare :~~
$\displaystyle{\frac1{4i -3},~
\frac {6i+4}{(7+3i)^2 },~ (\sqrt{3}+i)^6 ,~(1+i)^{60},~\vert \pi - \sqrt{2}\vert,~
\left\vert\frac{1+i\sqrt{5}}{2+i\sqrt{5}}\right\vert}$
\medskip

Scrivere in coordinate polari i numeri complessi
$\displaystyle{2-i2,~ \sqrt{ 3}+i,~ \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3, (1-\sqrt{3})^{14}}$

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Calcolare :~~ $\displaystyle{\left((1+i)^n+(1-i)^n\right),~~
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n
}$

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Dimostrare :~~$\displaystyle{{\cal I}\! m z=\frac{z-\overline z}{2i},~
{\cal R}\! e z
=\frac{z+\overline z}2,~ \vert z\vert^2= z\overline z ,~\frac 1z =\frac{\overline
z}{\vert z\vert^2},~
 \vert z+w\vert \le \vert z\vert +\vert w\vert}$

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ESERCIZIO n. 2 ~Risolvere:

\noindent  $z^5=\sqrt{3}-i,~~z^3 =8,~~ z^4+1=i\sqrt{3}, ~~ z^2+ 5z +8=0,~~z^2 +iz + i-3=0,
~{z^3-3iz^2-4z+2i=0,}~~$

\noindent ${iz^3=\vert z\vert },~~ z^2+\vert z\vert
+1=0,~~z^2+\overline{z}^2=\vert z\vert^2,~~ z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$


\noindent Disegnare le regioni del piano complesso ripettivamente specificate dalle seguenti
condizioni: $\vert z-1\vert\le 1-\vert z\vert,~\vert z-\overline{z}\vert\le \vert z+\overline{z}\vert,~\left\vert \frac{z-1}{z+1}\right\vert\le 1,~ \vert z\vert^4
=z^2+\overline{z}^2$


 
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ESERCIZIO n. 3 Dimostrare che se $z_1\cdot \ldots z_n\not=0$ si
ha:~~$\displaystyle{\vert z_1 +\ldots z_n\vert =\vert z_1 \vert +\ldots \vert z_n \vert 
\Longleftrightarrow \frac{z_i}{z_j} >0}$ 

\noindent Se ne dia un'interpretazione geometrica.










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ESERCIZIO n. 4 
 Si provi che il prodotto di somme di due quadrati di numeri interi \`e
la somma di due quadrati di numeri interi.
%\medskip

% Si provi che se 
% un numero intero \`e somma di due quadrati lo sono anche i suoi fattori primi.


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ESERCIZIO n. 5

a- Dati $v$, $z$, $w\in {\bf C}$ si provi che l'area del triangolo che li ha
come vertici \`e $\frac12 \left\vert{\cal I}\! m (w-v)\overline{(z-v)}\right\vert$
\medskip


b- Dati due numeri complessi $z$ e $w$ si dia un'interpretazone geometrica a ${\cal
R}\! e z\overline{w}$ e a ${\cal I}\! m z\overline{w}$.


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ESERCIZIO n. 6  Le soluzioni di $z^n =1$ sono $e_{h+1}=e^{i2\pi \frac hn}$, $0\le h<n$. Per quali
$h$ si ha che $\{e_{h+1}, \ldots e_{h+1}^n\} =\{ e_1 ,\ldots e_n \}$? 



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ESERCIZIO n. 7

a- Si definisce $e^z = e^{{\cal R}\! e z}e^{i{\cal I}\! m z}$. Dato $z\in {\bf C}$ si 
 trovino le soluzoni  di $w=e^z$.

b- Si disegni la regione determinata da 
 $\vert e^z -1\vert \le 1$ e la sua immagine tramite
  $z\mapsto e^z$.
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ESERCIZIO n. 8

a- Si provi che un polinomio con coefficienti reali ha radici non reali complesse 
coniugate.

b- Si provi che ogni polinomio a coefficienti reali \`e prodotto di potenze di binomi
di primo grado e di potenze di somme di numeri positivi con quadrati di binomi di
primo grado.


c- Si trovi una primitiva di $\frac 1{t^4 +1}$ .








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ESERCIZIO n. 9 Una funzione da ${\bf R}$ in ${\bf C}$ si dice derivabile se lo sono
le sue componenti. In particolare $e(t)=e^{it}$ lo \`e ed \`e l'unica soluzione di
 $e^\prime (t) =i e(t)$ per cui $e(0)=1$.

Se $z^2 +bz +c= (z-\mu) (z-\lambda )$, si  provi che tutte e sole le soluzioni
dell'equazione differenziale 
$ u^{\prime\prime}(t) +bu^\prime (t) +c u(t) =(D^2 +bD +cI)u(t)=0$, 
 sono del tipo $\alpha e^{i\mu t} +\beta e^{i\lambda t}$, o del tipo
$\alpha e^{i\mu t} +\beta t e^{i\mu t}$, al variare di $\alpha$ e $\beta$ tra tutti i
numeri complessi. 





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ESERCIZIO n. 10 


a- Dati $\alpha$, $\beta\in {\bf C}$ e $\lambda \not= 1$ 
mostrare che $\vert z-\alpha \vert
= \lambda \vert z-\beta\vert$ determina una circonferenza.

b- Cosa determina $\vert z-\alpha \vert= \vert z-\beta\vert$? 

c- Le funzioni $z\mapsto \frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}$ o sono costanti o
trasformano cerchi e rette in cerchi o rette.

d- Trovare l'immagine del cerchio unitario e della bisettrice pricipale mediante
l'applicazione  

$z\mapsto \frac 12(z+z^{-1})$.












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ESERCIZIO n. 11 
a- Identificando ${\bf C}$ con ${\bf R}^2$ e dato $w\in{\bf C}$ l'associazione
$z\mapsto w\cdot z$ definisce
un'applicazione lineare da ${\bf R}^2$ in se. Si caratterizzino le matrici reali
$2\times 2$ che corrispondono alla moltiplicazione per un numero complesso.


b- Da considerazioni elementari si ottiene che una trasformazione del piano in se 
che mantiene le distanze e ha tre punti fissi non
allineati \`e l'identit\`a. 


c- Si provi che tutte e sole le trasformazioni del piano in se che mantengono le
distanze e hanno l'origine fissa sono del tipo $z\mapsto w\cdot z$ o 
$z\mapsto w\cdot \overline{z}$, con $\vert w\vert=1$. In particolare sono lineari.



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ESERCIZIO n. 12







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ESERCIZIO n. 13
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serie complesse elementari 

esponenziale complessa come limite




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ESERCIZIO n. 14
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sup inf max min di insiemi di funzioni


sup inf ed area


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ESERCIZIO n. 15
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diseguaglianze e diseguaglianze strette ottimali




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ESERCIZIO n. 16
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proprieta di archimede

densita

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ESERCIZIO n. 17
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sottogruppi di R e generatore 

razionalita e sottogruppi

definizione di pi greco

irrazionalita pi greco




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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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