%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % II A P P E L L O , 7.2.2003 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\data{7.2.03} \def\intestazione{Secondo appello, 7 febbraio 2003} \SEZIONE{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % TESTO % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \primapart % % \spazio\item{1.} Trovare una primitiva di $e^{|x|}$. % % \spazio\item{2.} Determinare il dominio della funzione $f(x)= \log\big(1+\sqrt{x^2-1} \big)$. % % \spazio\item{3.} Determinate la parte principale di $\dps{\sin(x^8) \over \log(1+x^4)}$ per $x\to 0$. % % \spazio\item{4.} Determinare $a\in\R$ tale che $\dps\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)-x}{x^2}$ esiste ed \`e finito, e calcolarlo. % % \spazio\item{5.} Calcolare $\dps\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{2x}-e^x$ e $\dps\lim_{x\to-\infty} x^4 2^x$. % % % \spazio\item{6.} Calcolare $\dps\int_{-2}^6 \root 3 \of {x+2} \, dx$. % % \spazio\item{7.} Risolvere $y''+4y=0$ con dati iniziali $y(0)=1$, $y'(0)=-2$. % % \spazio\item{8.} Sia $f(x)$ la funzione in figura. Disegnare il grafico di $f(|x|)$ e di $|f(x)|$. \medskip \centerline{\figureps{EA-03-02-07-secondoappellot1}} % % \secondapart % % \spazio\item{1.} a)~Dato $\lambda\in (0,1)$, calcolare il valore minimo di $f(x):=x^{1-\lambda} + x^{-\lambda}$ per $x\in(0,+\infty)$. \acapo b)~Trovare la pi\`u grande costante $C$ per cui vale la seguente diseguaglianza: $$ a+b \ge Ca^\lambda b^{1-\lambda} \quad\hbox{per ogni $a,b$ reali positivi.} $$ c)~Come nel punto b), ma con $a,b$ interi positivi. \acapo d)~Come nel punto b), ma con $a,b$ potenze (intere positive) di $2$ e $\lambda=3/4$. % % \spazio\item{2.} Si consideri, per $x>0$, l'equazione lineare del secondo ordine $$ y'' + {y' \over x} - a {y \over x^2} =c(x) \eqno (*) $$ a)~Risolvere (*) per $a=1$ e $c(x)=0$ (suggerimento: cercare soluzioni della forma $y=x^\lambda$). \acapo b)~Risolvere (*) per $a$ reale e $c(x)=0$. \acapo c)~Risolvere (*) per $a>0$ e $c(x)=x$. % % \spazio\item{3.} Calcolare il numero $\log(12/10)$ con un errore inferiore a $10^{-3}$. % % \spazio\item{4.} Calcolare, al variare di $a\in [0,+\infty)$, l'area della regione limitata del piano compresa tra la curva di equazione $y=(-x^2+4x-3)^{-1}$ e la retta di equazione $y=a$. % % \FINESEZIONE \SEZIONE{2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % SOLUZIONI % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \primapart % % \spazio\item{1.} Una primitiva $f$ \`e data da $f(x):=e^x-1$ per $x \ge 0$ e $f(x):=-e^{-x}+1$ per $x<0$. Infatti $f$ deve essere della forma $e^x+a$ per $x \ge 0$ e della forma $-e^{-x}+b$ per $x \le 0$, quindi $a$ e $b$ devono essere scelti in modo tale che le due funzioni coincidano in $0$, vale a dire $a+1=b-1$. % % \spazio\item{2.} Deve essere $x^2-1\ge 0$, ovvero $x\ge 1$ e $x\le -1$. % % \spazio\item{3.} $\dps {\sin(x^8) \over \log(1+x^4)} = {x^8+o(x^{23}) \over x^4 + o(x^7)} \sim x^4$. % % \spazio\item{4.} $\dps{\sin(ax)-x \over x^3} = {(a-1)x+o(x^2) \over x^2}$. Il limite \`e finito solo per $a=1$, e in tal caso vale $0$. % % \spazio\item{5.} Sono $+\infty$ e $0$, rispettivamente. % % \spazio\item{6.} $\dps\int_{-2}^6 \root 3 \of {x+2} \, dx =\int_0^8 t^{1/3} \, dt =\Big| {3\over 4} t^{4/3}\Big|^8_0 =12$. % % \spazio\item{7.} La soluzione generale dell'equazione \`e $y=a\cos(2x)+b\sin(2x)$ con $a,b\in\R$. Le condizioni iniziali danno $y=\cos(2x) - \sin(2x)$. % % \spazio \item{8.} \par \centerline{\figureps{EA-03-02-07-secondoappellofig1}} % % \secondapart % % \def\la{\lambda} \spazio\item{1.} a)~La funzione $f$ tende a $+\infty$ per $x\to 0^+$ e $x\to+\infty$, e studiandone la derivata si vede che \`e strettamente descrescente per $x\le x_\la$, e strettamente crescente per $x\ge x_\la$, dove $x_\la:=\la/(1-\la)$. Dunque il valore minimo viene assunto in $x_\la$, ed \`e $$ C_\la:=f(x_\la)={1\over \la^\la(1-\la)^{1-\la}} $$ b)~Dividendo entrambe i termini per $b$ e ponendo $a/b=x$, la disequazione $a+b \ge Ca^\lambda b^{1-\lambda}$ pu\`o essere riscritta come $x+1\ge Cx^\lambda$, ovvero $f(x)\ge C$. La miglior costante \`e dunque il minimo dei valori $f(x)$ per $x>0$, e cio\'e $C_\lambda$. \spazio\item{} c)~Si procede come nel punto b): la costante miglire \`e allora il minimo dei valori $f(x)$ con $x$ rapporto di interi positivi, ovvero con $x$ razionale positivo. Siccome $f$ \`e continua ed i razionali approssimano i reali, tale valore minimo \`e di nuovo $C_\lambda$ (per essere precisi, dovremmo parlare in questo caso dell'estremo inferiore dei valori $f(x)$ con $x$ razionale positivo, in quanto il punto $x_\lambda$ in cui $f$ raggiunge il valore $C_\lambda$ potrebbe non essere razionale). \spazio\item{} d)~Si procede come nel punto b): la costante miglire \`e allora il minimo dei valori $f(x)$ con $x$ rapporto di potenze intere positive di $2$, ovvero con $x$ della forma $2^n$ con $n$ intero relativo. Per $\la=3/4$, $x_\la=3$, che non \`e una potenza di $2$. Dunque il valore minimo viene raggiunto in $2$ oppure in $4$. Siccome $f(2)=2^{1/4}/2$ \`e minore di $f(4)= 2^{1/2}\cdot 3/4$, la costante cercata \`e $f(2)=2^{1/4}/2$. % % \spazio\item{2.} b)~Per $c=0$, l'equazione $(*)$ \'e lineare omogenea del secondo ordine, e dunque l'insieme delle soluzioni \`e uno spazio vettoriale di dimensione $2$; basta dunque trovarne due linearmente indipendenti (cio\`e che non siano una multipla dell'altra). Prendendo $y$ della forma $x^\la$, l'equazione diventa $(\la^2-a)x^{\la-2}=0$, ed \`e verificata se e solo se $\la^2=a$. Dunque, per $a>0$, due soluzioni di $(*)$ sono $x^{\pm\sqrt a}$, e la soluzione generale \`e $$ y=\alpha x^{\sqrt a}+ \beta x^{-\sqrt a} \quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.} $$ Per $a<0$, le radici di $a$ sono immaginarie: $\pm i\sqrt{-a}$. Quindi $$ x^{\pm i\sqrt{-a}}=e^{\pm i\sqrt{-a} \, \log x}= \cos(\sqrt{-a} \, \log x) \pm i \sin(\sqrt{-a} \, \log x) \ . $$ La soluzione generale di $(*)$ \`e $$ y=\alpha \cos(\sqrt{-a} \, \log x) + \beta \sin(\sqrt{-a} \, \log x) \quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.} $$ Per $a=0$, l'equazione diventa $y''-y/x=0$, e ponendo $y'=z$ otteniamo l'equazione a variabili separabili $z'=z/x$, che ha per soluzione $z=\alpha/x$ con $\alpha\in\R$. Infine $$ y=\alpha \log x + \beta \quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.} $$ c)~Per risolvere l'equazione non omogenea, basta trovare una soluzione particolare. Prendendo $y$ della forma $y=\gamma x^3$, l'equazione diventa $(9-a)\gamma x=x$ (la scelta dell'esponente $3$ \`e obbligata dal fatto che il termine a sinistra dell'equazione deve essere un multiplo di $x$). Dunque, per $a\ne 9$, la soluzione generale \`e $$ y=\alpha x^{\sqrt a}+ \beta x^{-\sqrt a} +{1\over 9-a}x^3 \quad\hbox{con $\alpha,\beta\in\R$.} $$ Per $a=9$, si pu\'o ricorrere alla riduzione dell'ordine (omettiamo i conti). % % \spazio\item{3.} Usando lo sviluppo di Taylor di $\log(1+x)$ all'ordine $3$ per $x:=2/10$ otteniamo $$ \log \Big( {12\over 10} \Big) ={2\over 10} -{1\over 2} \cdot {4\over 100} + {1\over 3} \cdot {8\over 1000} +R_3 \Big( {2\over 10} \Big) $$ e $$ \Big| R_3 \Big( {2\over 10} \Big)\Big| ={1\over 4}\cdot {1\over (1+\xi)^4} \cdot {16\over 10^4} \le {4\over 10^4} < 10^{-3} \ . $$ % % \spazio \lineafigura{.2}{\figureps{EA-03-02-07-secondoappellofig2}} \spazio {\rightskip 4 cm \item{4.} Siccome $-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$, ed il problema \`e chiaramente invariante per traslazioni orizzontali, possiamo sostituire la curva $y=(-x^2+4x-3)^{-1}$ con $y=(1-x^2)^{-1}$. Poich\'e $1-x^2$ \`e positiva nell'intervallo $(-1,1)$, nulla in $\pm 1$ e negativa altrove, il grafico di $(1-x^2)^{-1}$ risulta essere come in figura. A questo punto, la regione che ci interessa \`e vuota per $a<1$, mentre per $a\ge 1$ la sua area \`e data dal seguente integrale, dove si \'e posto $\alpha:=\sqrt{1-1/a}$: $$ \eqalign{ A =\int_{-\alpha}^\alpha a-{1\over 1-x^2} \, dx & =2\alpha a + \int_0^\alpha {1\over x-1} - {1\over x+1} \, dx \cr & =2\alpha a +\log\Big( {1-\alpha\over 1+\alpha} \Big) \ . \hskip 4 cm\cr } $$ \par } % % \errori \spazio\item{$\circ$} Esercizio 1, prima parte: moltissimi errori. % % \spazio\item{$\circ$} Esercizio 2, seconda parte: una soluzione pi\`u elegante si ottiene con il cambio di variabile $t=\log x$. Ponendo infatti $z(t)=z(\log x)=y(x)$, l'equazione $(*)$ diventa $z''-az=c(e^t) \, e^{2t}$, che \`e lineare a coefficienti costanti. % % \FINESEZIONE