| PRIMO
APPELLO: martedi 12 giugno ore 9 aulaC1 SECONDO APPELLO: martedi 3 luglio ore 9 aula C1 |
Esercizi |
Teoria |
Complementi |
| 20-2-07 lezione 1 Richiamo di elementi di analisi di una
variabile: limite di funzioni di una variabile reale, approssimazione lineare, rapporto incrementale e derivata, sviluppo di Taylor, integrale di Riemann, teorema fondamentale del calcolo integrale. Spazi affini e spazi vettoriali, punti e spostamente, dilatazioni con centro e traslazioni, trasformazioni lineari, rette in forma parametrica e parallelismo in spazi vettoriali, teorema fondamentale dell'algebra lineare. Generatori, lineare indipendenza, basi e dimensione di uno spazio vettroiale. Lo spazio delle ennuple di numeri reali. Trasformazioni lineari e matrici: prodotto righe per colonne. Lo spazio vettoriale dei polinomi, lo spazio vettorile delle funzioni continue , enunciato del teorema di Stone-Weiestrass per funziono reali di variabile reale su un intervallo chiuso e limitato. Numeri complessi, come quoziente di polinomi, identificazione con il piano cartesiano, forma trigonometrica ed esponenziale, argomento e logaritmo complesso. Le matrici associate alle trasformazioni del piano che sono lineari sul campo dei complessi. Distanza tra punti del piano e limite di successioni di punti del piano. 22-2-07 lezione 2 Cenno alla dimostrazione dell'esistenza di una base in uno spazio vettoriale, lemma di Zorn, estensione di una famiglia indipendente ad una base. Uno spazio vettoriale di dimensione finita con una sua base si identifica con lo spazio delle n-ple sul campo numerico e la base canonica. Cambiamenti di base, matrici ad essi associate, prodotto righe per colonne come combinazione lineare delle colonne. Distanza euclidea dall'origine nello spazio delle n-ple di numeri reali, dimostarzione diretta della diseguaglianza triangolare e diseguaglianza di Cauchy-Schwarz (dim). Forme bilineari e sesquilineari su spazi vettoriali, in dimensioone finita e base fissata matrice associata ad una forma bilineari. Frome bilineari come prodotti. Forme simmetriche, e Hermitiane. Prodotti scalari e prodotti scalari hermitiani: dimostrazione diseguaglianza di Cauchy-Schwarz in astratto. Il prodotto scalare Hermitiano canonico per uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo complesso con base fissata. Relazione tra coseno e prodotto scalare euclideo (dim). Punto di minima distanza euclidea di una retta dall'origine e sua unicita'. Estensione di un sistema con prodotti scalare dei suoi elementi nulli ad una base con la stessa proprieta', matrici ortogonali. Ogni prodotto scalare da una sua nozione di ortogonalita'. Forma quadratica associata ad un pordotto scalare, polinomi omogenei di secondo grado. Norme, norme derivanti da un prodotto scalare: le norme nel piano cartesiano date rispettivamente dalla somma dei moduli delle coordinate e dal massimo tra i moduli delle coordinate non derivano da prodotto scalare (dim), altre norme nel piano pur con unicita' del punto di minima distanza non derivano da prodotto scalare, la norma uniformne delle funzioni limtate non deriva da prodotto scalare. In astratto: ortogonalita' a un vettore rispetto ad un prodotto scalare e' equivalente al fatto che tale vettore e' l'unico punto di minima distanza (relativa alla norma indotta dal prodotto scalare) dall'origine del translato del suo orogonale. 27-2-07 lezione 3 Identificazione fissata una base in uno spazio di dimensione finita, tramite le coordinate e il prodotto scalare associato alla base, tra punti, traslazioni e funzionali lineari ; cambiamenti di base: cambiamento delle coordinate dei punti e cambiamento di coordinate dei funzionali lineari; matrice trasposta e operatore lineare trasposto (rispetto a una base). Segmento tra due punti in uno spazio affine, convessita'. Per le norme derivanti da prodotto scalare una retta ha un unico punto di minima distanza dall'origine: la norma uniforme sullo spazio delle funzioni continue non deriva da un prodotto scalare. Norme p-esime nel piano, eguaglianza del parallelogramma e caratterizzazione delle norme derivanti da prodotto scalare (senza dim). Insiemi convessi e bilanciati e norme. Funzioni sommabili in senso generalizzato alla Riemann. Diseguaglianze di Young. 1-3-07 lezione 4 Densita', combinazioni baricentriche, dimostrazione diseguaglianze di Minkowski per integrali con densita' e successioni. Equivalenza tra funzioni sommabili alla Riemann. Spazi di successioni. Lo spazio delle successioni a quadrato sommabile l^2. Spazi topologici, aperti, chiusi e chiusura. Topologa discreta, topologia dei cofiniti. Continuita' in punctiis e convergenza in spazi topologici. Spazi metrici, spazi vettoriali metrici con distanza derivante da norma. Palle aperte, palle chiuse, chiusura di palle (esercizio lasciato). Aperti in spazi metrici, caratterizzazione sequenziale dei chiusi in spazi metrici (solo enunciato). Continuita' e convergenza in spazi metrici. Ogni elemento di l^2 e' limite delle combinazioni lineari con coefficienti i suoi termini degli elementi (1, 0 ...), (0,1, 0 ...) (0,0 ,1,0 .....) .... . Spazi prehilbertiani. Uno spazio prehilbertiano completo rispetto alla distanza indotta si dice spazio di Hilbert. Teorema 1: un convesso chiuso in uno spazio di Hilbert ha un unico punto di minima norma. Teorema 2: per ogni funzionale lineare continuo F su uno spazio di Hilbert con prodotto B vi e' un unico elemento v per cui Fx=B(x,v) Spazi topologici separabili. Lo spazio l^2 come spazio di coordinate ``euclidee'': ogni spazio di Hilbert separabile e' linearmente isometrico a l^2 (verso le serie di Fourier). 6-3-07 lezione 5 Caratterizzazione sequenziale di convergenza e continuita' in spazi metrici. Caraterizzazione di continuita' in punctis: le preimmagini di intorni del valore in un punto sono intorni del punto. Caratterizzazione di continuita' globale: preimmagini di aperti sono aperti, preimmagini di chiusi sono chiusi. In spazi metrici i punti sono chiusi. Topologie e distanza indotte, continuita' della restrizione, insieme dei punti di continuita'. Composizione di funzioni continue e' continua. Esempi di funzioni continue tra spazi euclidei, luoghi di zeri. Studio della continuita' del funzionale integrale del quadrato sullo spazio delle funzioni continue su un intervallo con la norma uniforme e quindi con la norma dell'integrale del modulo. Diseguaglianza di Jensen per integrali con densita'. Caso discreto (esercizio). Di seguaglianza di Holder. Inclusione tra gli spazi delle funzioni con modulo a potenza sommabile (con densita' finite). Inclusioni ``inverse'' tra gli spazi l^p. Funzionali lineari continui tra spazi normati: equivalenza con la continuita' nell'origine, equivalenza con avere il nucleo chiuso, equivalenza con l'avere la pendenza superiore finita. Norma di un operatore e sue caratterizzazioni. 8-3-07 lezione 6 Insiemi di generatori in uno spazio normato. Sistemi ortonormali in spazi prehilbertiani, sistemi ortogonali completi o basi hilbertiane. Teorema 3 (Gram-Schmidt) In uno spazio prehilbertaiano separabile i sistemi ortonormali completi sono al piu' numerabili. In particolare ogni sistema di generatori linearmente indipendente numerabile puo' essere modificato in una sistema ortonormale completo: e_1= b_1^ , e_{n+1}= (b_{n+1} - (b_{n+1}: e_1)e_1 - ... -(b_{n+1}:e_n)e_n)^ C'e' proiezione ortogonale p di un vettore v su un sottospazio W se e solo se vi e' un elemento di W che miinimizza la distanza da W : |v-w|^2 = |v-p +p-w|^2= |v-p|^2 +|p-w|^2 >_= |v-p|^2 , ((v-p): w)=0. L'operatore di proiezione ortogonale su sottospazi di dimensione finita espresso in termini di un sistema ortonormale : riduzione al caso di dimensione finita. Se e^1 , ..., e^n ... e' un sistema oronormale e S_n= x^n_1 e^1 + ....+ x^n_n e_n converge a v allora x^n_k converge a (v:e_k). Se e^1 ... e^n ... e' completo, per proprieta' di minima norma T_n = (v:e_1)e_1 + ... + (v:e_n)e_n converge a v per n--> oo. Successione dei coefficienti di Fourier astratti relativi ad un sistema ortonormale: {(v:e_n)}_n in N . Teorema 4 (Diseguaglianza di Bessel) Dato un sistema ortonormale |v|^2 >_= lim_{n --> oo} |(v:e_1)|^2 + ... + |(v:e_n)|^2 (Identita' di Parceval ) Se il sistema e' completo |v|^2 = lim_{n --> oo} |(v:e_1)|^2 + ... + |(v:e_n)|^2 In altri termini ogni spazio prehilbertiano separabile dato un sistema ortonormale completo la funzione che associa ad un elemento la successione dei suoi coefficienti e una funzione lineare in l^2 e conserva le distanze. Esercizio: dato un sistema ortonormale completo e^1 ... e^n ... in uno spazio prehilbertiano separabile ______ ______ (v: w)= lim_{n--> oo}(v:e^1) (w:e^1) + ... + (v:e^n) (w:e^n) 13-3-07 lezione 7 Punto della situazione: sottofondo teorico generale: geometria affine ed algebra lineare, nozione di spazio topologico e di continuita', nozione di spazio metrico e carterizzazioni sequenziali, nozioni di spazio normato e di operatore lineare continuo - ``limitato'', nozione di spazio prehilbertiano; strumenti: diseguaglianze di Cauchy-Schwartz, Minkowsy, Holder, Jensen e convessita', Young, spazi con norma uniforme (enunciato di Stone-Weiestrass per funzioni continue su intervalli chiusi), norme integrali e spazi di successioni; teoria degli spazi prehilbertiani e di Hilbert: equivalenza tra perpendicolarita' ad un sottospazio (minima norma) e ortogonalita', proiettori su sottospazi di dimensione finita, sistemi oronormali completi, immersioni lineari isometriche nello spazio delle successioni con serie dei quadrati dei moduli convergenti. Polinomi trigonometrici complessi e reali. Unicita' del problema ai dati iniziali y"(t)=a y(t), y(0)=b, y'(0)=c (integrazione e controllo del massimo su intervallo piccolo), soluzioni generali dell'equazione. L'equazione della corda vibrante (Eulero) e risoluzione con sviluppi formali in termini di polinomi trigonometrici, riduzione a sistemi lineari numerici nela caso di segnali filtrati. Onde fondamentali: se y"(t)= a y(t), y(0)=y(2 pig), y'(0)=y'(2 pig) allora o a = - k^2 con k intero e y(t) =b cos kt + c sin kt oppure per altri coefficienti a y(t)=0. Invertibilita' dell'operatore lineare di derivata seconda dallo spazio delle funzioni derivabili due volte con continuita' , a media nulla e periodiche allo spazio delle funzioni continue a media nulla; scrittura dell'operatore inverso, soluzione del problema -y"(t)= f(t), y(0)=y(2pig), y'(0)=y"(2pig), integrale di y nullo- data f con integrale nullo. Energia e lavoro nell'equazione y"=f. Simmetria dell'operatore lineare di derivata seconda sullo spazio delle funzioni regolari periodiche rispetto al prodotto integrale di u per il conigato di v. Ortogonalita' di autovettori relativi a di versi autovalori e ``realta' " degli autovalori di operatori autoaggiunti rispetto a un prodotto scalare Hermitiano. Esmplificazione nel caso di matrici autoaggiunte e prodotto Hermitiano standard tra ennuple. Relazioni di ortogonalita' per cos kt e sin kt e e^{ikt}. Esercizio: provare le relazioni di ortogonalita' per le trigonometriche a frequenza intera direttamente. Le serie trigonometriche (con convergenza data dalla (semi)norma della radice degli integrali dei quadrati) si inquadreanno quindi nella teoria prehilbertiana una volta dimostrato che i polinomi trigonometrici sono densi rispetto a tale seminorma nello spazio delle funzioni con modulo al quadrato di integrale finito. Altri metodi permetteranno in certi casi di migliorare il tipo di convergenza. 15-3-07 lezione 8 Coefficienti di Fourier. Densita' in norma integrale delle funzioni nulle fuori da intervalli e Riemann integrabili nello spazio delle funzioni sommabili in senso generalizzato: Densita' in norma integrale delle funzioni semplici nello spazio delle funzioni Riemann integrabili. Densita' in norma integrale delle funzioni continue nello spazio delle funzioni semplici. Densita' in norma integrale delle funzioni continue periodiche nello spazio delle funzioni continue sull'intervallo del periodo. Diseguaglianza di Tchebychev per misura esterna di Peano-Jordan ed integrale superiore di Riemann. Convoluzione di successioni e coefficienti del prodotto di due polinomi. Convoluzione di funzioni nulle fuori da intervalli e Riemann integrabili. Esercizi lasciati: problema degli autovalori per la derivata seconda con condizioni nulle al bordo, e problema con derivata nulla al bordo. Coefficienti di Fourier di un prodotto e di una convoluzione. 20-3-07 lezione 9 Densita' delle funzioni Riemann integrabili (limitate e nulle fuori da intervalli) per le norme integrali nelle funzioni p-sommabili in senso generalizzato ( (a+b) inf x < a inf x+ b inf x < (a+b) inf 2x , convergenza monotona, serie telescopica, (t-1)^p < t^p -1, t>1) Uniforme continuita', successioni di Cauchy, caratterizzazione dell'uniforme continuita' come proprieta' di trasformare successioni di Cauchy in successioni di Cauchy Totale limitatezza. Enunciato: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato e' uniformemente continua. Chiusura per convergenza uniforme degli spazi delle funzioni continue e limitate, delle funzioni continue periodiche, continue nulle fuori da un intervallo. Continuita' nelle norme integrali dell'operatore di translazione (prima per funzioni continue nulle fuori da intervalli, e poi per densita') Convoluzione tra funzioni Riemann integrabili (limitate, nulle fuori da un intervallo): simmetria, monotonia sulle positive, diseguaglianze sup |f*g| < inf{ sup |f| int |g|, int |f| sup |g|} < inf{ mis I, mis J} sup |f| sup |g| (prime prorpieta' dell'operatore di convoluzione rispetto alle norme integrali e a quella del sup), uniforme continuita' della funzione convoluta di due Riemann integrabili. Approssimazione dell'identita'. Densita' dei polinomi trigonometrici rispetto alla norma uniforme nello spazio delle funzioni continue periodiche. 22-3-07 lezione annullata |
| |
| |