Complementi di Analisi Matematica

 V.M.Tortorelli  A.A. 2005/2006

Materiale didattico

  CALENDARIO ESAMI:    
PRIMA PROVA IN ITINERE
SECONDA PROVA IN ITINERE 
PRIMA PROVA FINALE      
 SECONDA PROVA FINALE 

Esercizi

foglio I, 14/23-2-06 : DVI  PDF    
New foglio II, 28-2-06/9-3-06: DVI  PDF    


   Teoria 

New sunto dei principali argomenti nel caso euclideo,  16-2-06/9-3-06  PDF ,  DVI  

                 
     

Complementi

 Coniche DVI , PDF .
  14-2-06  lezione 1 Richiamo di elementi di analisi di una variabile: confronto relativo tra grandezze e numeri come riferimento assoluto, incommensurabilta' e numeri non razionali (processo infinito di confronto tra lato di un quadrato e diagonale, prova per assurdo che un numero il cui quadrato e' 2 non puo' essere espresso come frazione), il sistema dei numeri reali e l'assioma di completezza, significato geometrico della derivata di una funzione di una variabile, numeri complessi. Il piano cartesiano e le principali proprieta' astratte da esso. Punti e spostamenti. Lo spazio delle ennuple di numeri reali. Matrici simmetriche  e prodotti scalari nel piano euclideo. Le norme p-esime nel piano, lo spazio normatto delle funzioni continue su un intervallo chiuso.
Notazioni:.
Definizioni: Successioni di Cauchy e successioni convergenti, spazi vettoriali reali e complessi, spazi metrici e distanze, spazi normati, forme bilineari, prodotti scalari, funzioni continue tra spazi metrici, lunghezza di un cammino in uno spazio metrico, funzioni lineari.
Enunciati: Ogni successione di Cauchy di numeri reali ha un limite reale,  diseguaglianza triangolare per la norma euclidea nel piano e negli spazi euclidei a piu' dimensioni (dim.), diseguaglianza di Cauchy-Scharz per prodotti scalari (dim.),  relazione tra prodotto scalare e coseno, teorema fondamentale dell'algebra, teorema fondamentale dell'algebra lineare.
16-2-06  lezione 2 Applicazioni lineari e matrici, interpretazione delle colonne di una matrice, esempi di norme che non derivano da prodotti scalari (norme p-esime nel piano con p diverso da 2 e p >1, norme infinito), esempi di insiemi in forma parametrica come immagini di funzioni (varieta' affini, circonferenza, sfera),  identificazione grazie al prodotto scalare euclideo degli spazi euclidei con i loro duali, lo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato non ha dimensione finita (es.)
Notazioni: prodotto righe per colonne
Definizioni: forme bilineari Hermitiane,  combinazioni lineari, generatori, indipendenza lineare, basi, dimensione, rette, segmenti, k-piani e k-parallelepipedi in forma parametrica (lineare), duale di uno spazio vettoriale, funzione trasposta o duale, base duale, isometrie lineari, matrici ortogonali, rotazioni, riflessioni, spazio metrico completo, funzioni vettoriali.
Enunciati: Identita' del parallelogramma e caratterizzazione delle norme che derivano da prodotto scalare, ogni spazio vettoriale ha una base, se vi e' una base finita ogni famiglia piu' numerosa e' lienarmente dipendente (cenno dim.), se vi e' una base finita un sistema linearmente indipendente si puo' completare ad una base con elementi della data e le basi hanno lo stesso numero di elementi, una funzione lineare da uno spazio euclideo in se conserva il prodotto scalare se e solo se e' ortogonale la matrice associata se e solo se lo e' la sua trasposta (dim.), ogni funzione lineare continuo a valori reali su uno spazio vettoriale con prodotto scalare completo si rappresenta con il prodotto scalare per un elemento dello spazio.
Esercitazione 21-2-06 Esercizi elementari di geometria affine, rotazioni nello spazio, combinazioni baricentriche, la norma hilbertiana sullo spazio delle funzioni continue, incompletezza (cenno all'essenziale incompletezza), la norma hilbertiana sullo spazio delle successioni a quadrato sommabile, limitatezza in uno spazio metrico, le succesioni di Cauchy in uno spazio metrico sono limitate, parte della dimostrazione che lo spazio delle successioni a quadrato sommabile con la norma hilbertiana e' completo (convergenza punuale ad un elemento dello spazio stesso), lo spazio delle successioni limitate con la norma del massimo modulo,  norma di un operatore lineare tra spazi normati, gli operatori lineari con norma finita sono tutti e soli quelli continui e sono un sottospazio vettoriale tra gli operatori, in dimensione finita tutti gli operatori lineari sono continui, vi sono spazi di dimensione infinita con sottoinsiemi chiusi-limitati senza punti di accumulazione: le successioni ``coordinate'', calcolo della norma come operatore di una funzione lineare di due variabili.
23-2-06  lezione 3 Luoghi di zeri di funzioni lineari-affini in coordinate, sistemi di condizioni di ortogonalita' e dimensione dello spazio delle soluzioni, nucleo e immagine di un operatore lineare, forme quadratiche e matrici simmetriche, sottolivelli di funzioni convesse, contiuita' di funzioni lineari e norme in dimensione finita.
Notazioni: polare e antipolare, somma diretta
Definizioni: chiuso (per successioni), polare, sommadiretta in dimensione finita, base duale, sommadiretta in spazi normati di dimensione inifnita, continuita' di mappe tra spazi metrici, uniforme continuta', limitato in  spazi metrici.
Enunciati: un operatore lineare tra normati e' continuo se e solo se e' limitato (dim.), un funzionale lineare su un normato e' continuo se e solo se il nucleo e' chiuso, formula dim Ker+ dim Im =dim Dom (dim.), dimensione del duale eguale alla dimensione dello spazio in dimensione finita, identita' di polarizzazione tra un operatore e il suo trasposto in dimensione finita (dim.), dimensione del polare di A complemento della dimensione di A, dimensione dell'immagine di un operatore e del suo trasposto:  rango per righe eguale rango per colonne (dim.), metodo della matrice orlata per il rango (dim.), caratterizzazione continuita' ed uniforme continuita' per successioni, teoremi di Weierstrass e di Bolzano Weierstrass in spazi euclidei (dim.), equivalenza delle norme in dimensione finita (dim.), ogni sottospazio di dimensione finita di un normato e' chiuso (dim.), in uno spazio normato di dimensione inifinita  vi sono successioni limitate metricamente che non sono di Cauchy (cenno dim in Hilbert) .
27-2-06  ripetizione lezione 3
28-2-06  lezione  4 Spazi vettoriali complessi, il prodotto canonico su C^n  per ottenere una norma non e' bilineare, matrice trasposta e matrice aggiunta  associate all'operatore trasposto coniugato con l'isomorfismo di Riesz per il prodotto scalare canonico, moltiplicazione per un numero complesso come operatore R-lineare su R^2 e sua diagonalizzazione in C^2 , operatori di ``shift''.
Notazioni: complessificato di uno spazio e di un operatore lineare.
Definizioni: funzionali semi/anti-lineari, forme sesquilineari, forme Hermitiane, prodotti scalari complessi, operatore duale  (o aggiunto) relativamente ad un prodotto scalare (risp. Hermitiano) di uno spazio di Hilbert e relazione con l'operatore trasposto, operatori simmetrici ed operatori autoaggiunti rispetto ad un prodotto scalare (Hermitiano), autovettori e autovalori, molteplicita' algebrica e geometrica, ordine di una autovalore, operatori algebrici
Enunciati: teorema di rappresentazione di Riesz nel caso complesso, per un operatore lineare che annulla un polinomio (operatore algebrico) i nuclei delle potenze sono definitivamente stazionari (dim.), forma di Jordan complessa, decomposizione dello spazio in autospazi generalizzati (nuclei delle potenze dei polinomi di primo grado nell'operatore), forma di Jordan reale, decomposizione dello spazio con potenze dei nuclei dei polinomi di secondo grado irriducibili.
2-3-06  lezione  5 osservazioni conclusive sulla forma di Jordan  e la decomposizione dello spazio in somma diretta di
Ker (z Id -A)^n per un operatore algebrico, corrispondenza lineare bigettiva tra forme bilineari ed operatori lineari a valori
operatori lineari, una matrice simmetrica non corripsondead un operatore simmetrico rispetto ad un qualsiasi prodotto scalre in R^n  , diagonalizzazione di operatori autoagginti, esempio in dimensione infinita della derivata seconda sullo spazio delle funzioni periodiche con derivata periodica.
Notazioni:
Definizioni:base di Hilbert, serie di Fourier.
Enunciati: diseguaglianza di Cauchy-Schwarz per forme sesquilineari semidefinite positive (dim.),  corrispondenza tra  operatori lineari (continui)  in uno spazio di Hilbert una forma sesquilineare  (continua) (dim.),  caratterizzazione della loro iniettivita' nel caso semidefinito positivo (dim) , procedimento di ortogonalizzazione in dimensione finita: ogni spazio di Hilbert di dimensione finita si identifica con C^n -R^n (dim), gli autovalori di un operatore lineare autoaggiunto sono reali e autospazi relativio ad autovalori diversi sono ortogonali (dim) , ogni operatore lineare autoaggiunto in uno spazio di Hilbert di dimensione finita  si diagonalizza coniugandolo con un operatore ortogonale in una matrice diagonale reale (dim Bolzano-Weiestrass),  caratterizzazione con min-max sulla sfera unitaria degli autovalori enumerati con ripetizione.
In uno spazio di Hilbert di dimensione infinita  per un operatore A: lineare, continuo, autoaggiunto, che trasforma successioni limitate in successioni con sottosuccessioni convergenti si ha:
dim Ker (r I- A) e'  finita se  r e' non nullo;
A agisce sull'ortogonale a Ker A;
vi e' una successione  di autovettori m_1 ...m_n ... ortonormali per cui ogni elemento v  si scrive in modo unico come somma di un elemento di Ker A e del  limite (rispetto alla norma del prodotto scalare) di a_1 m_1 + ... a_n m_n  appunto a_i = <v: m_i>;
gli autovalori non nulli formano una successione infinitesima;
per ogni r non autovalore rI -A e' bigettivo con inversa continua.
6-3-06  ripetizione lezione  5
7-3-06  lezione 6 i non misurabilta' alla peano Jordan dei razionali, cenno a come modificare  l'insieme di Cantor per mostrare che la misura di Peano-Jordan da  una distanza integrale essenzialmente incompleta
Notazioni: parte interna, chiusura, frontiera
Definizioni: aperto, chiuso, intorno, frontiera, punto isolato, punto di accumulazione, parte interna e chiusura, misurabilita' alla Peano Jordan, misura di Peano-Jordan in senso generalizzato per insienmi non limitati, misura esterna di Lebesgue, insieme di Cantor, compatti, proprieta' dell'intersezione finita, totalmente limitato
Enunciati: in uno spazio metrico i chiusi sono tutti e soli i chiusi per successioni (dim.), intersezione di una arbitraria famigli  di  chiusi  e' chiusa e unione arbitraria di aperti e' aperta (dim.), una funzione continua su un compatto e' uniformemente continua (dim.), in uno spazio metrico i compatti sono tutti e soli i compatti per successioni, caratterizzazioone di compattazza con la proprieta' dell'intersezione finita, caratterizzazione di compattezza di sottoinsiemi  di spazi metrici  con completezza e totale limitatezza; additivita' , monotonia, invarianza per traslazioni e  omogeneita' della misura di Peano-Jordan, unicita' della misura di Peano-Jordan, un insieme ha misura di Pean-Jordan se e solo se la sua frontiera ha misura nulla (cenno dim.),  i grafici di funzioni continue su un rettangolo cartesiano chiuso e nulle al di fuori hanno misura di Peano Jordan nulla (dim.)
9-3-06  lezione  7    introduzione ingenua del determinante come ``misura orientata'' di un parallelogramma, interpretazione geometrica dei determinanti di minori, invarianza del detreminante per cambiamenti di coordinate
Definizioni. forme k lineari, forme k lineari alternanti, determinante, orientazione (relativa), base indotta delle k forme lineari alternanti
Enunciati: vi e' un'unica n-forma lineare alternante in R^n che vale 1 sulla base canonica (dim.), sviluppo per colonne del determinante e di forme k-lineari alternanti (dim.), determinante del prodotto (dim. unicita'), determinante nullo caratterizza la dipendenza lineare (dim.), determinante della matrice trasposta (dim.), formula per l'inversa di una matrice e formula risolutiva per un sistema lienare (dim.), formula del seno per il determinante, la misura di Peano-Jordan di un n-parallelepipedo in R^n e' eguale al modulo del determinante della matrice delle coordinate (dim. cenno), la misura del trasformato di un un insieme mediante un operatore lineare e' il modulo del determinante dell'operatore per la misura dell'insieme,  somma dei quadratie dei minori  di dimensione k eguale al determinante della trasposta per la matrice  con n righe e k colonne (dim.),  formula di Cauchy-Pitagora
il k-volume di un k-parellepipedo in R^n e' la radice quadrata della somma dei k-volumi delle proiezioni ortogonali sui k-piani coordinati (dim.)
14-3-06  lezione  8    Cenno alla nozione di spazio topologico ed esempio di spazi topologici non di Hausdorff a differenza degli spazi metrici, limiti di successioni e funzioni in spazi metrici ed esemplificazione con esempi di funzioni di due variabili, sostituzione nei limiti, limiti e intorni, insieme dei punti di continuita' e continuita' di una funzione su un insieme, continuita' di funzioni a valori in spazi euclidei, immagini continue di aperti, o chiusi, non e' detto siano aperte, rispettivamente chiuse, una funzione continua bigettiva puo' non avere inversa continua (esempio proiezione/argomento),
Notazioni: limite di successioni in uno spazio metrico, limite di funzioni tra spazi metrici, limiti all'infinito
Definizioni: intorno, denso, spazio topologico, spazio di Hausdorff, aperti e chiusi relativi, limite di una successione in uno spazio metrico, limite di una funzione, continuita' di una funzione in un punto, continuita' di una funzione, coordinate polari nel piano, coordinate sferiche nello spazio
Enunciati: versione qualitativa del teorema di Stone-Weiestrass per funzioni reali  continue su un intervallo, caratterizzazione della continuita' con intorni (dim.), caratterizzazione continuita' con preimmagini di chiusi ed aperti (dim.), una funzione reale continua trasforma intervalli in intervalli se iniettiva su un intervallo e' monotona e con inversa continua, continuita' per successioni (dim)
Esercizi: scrivere in  coordinate sferiche un punto di R^n .
16-3-06  lezione  9    principali teoremi sulle funzioni continue ed uniformemente continue, esemplificazioni in dimensione finita ed infinita, confronto con il caso di funzioni reali di una variabile.
Definizioni: uniforme continuita', lipschitzianita', holderianita', connesso, connesso per archi, convergenza uniforme, algebra,  limitatezza in spazi metrici, funzioni continue e limitate, compattezza e sequenziale compattezza, connessione e connessione per archi.
Enunciati: le funzioni uniformemente continue trasformano successioni di Cauchy in successioni di Cauchy caratterizzazione di uniforme continuita' (dim.), funzioni continue su un compatto sono uniformemente continue (dim.),  i compatti di uno spazio metrico (o di Hausdorff) sono chiusi  e i chiusi di un compatto sono compatti (dim.), l'immagine continua di un compatto e' un compatto e teorema di Weiestrass (dim.), l'inversa di una funzione continua su un compatto e' continua (dim.),
 una funzione uniformemente continua a valori in uno spazio completo si estende con continuita' alla chiusura in modo unico (dim.), composizione di continue e' continua (dim.), il prodotto e' continuo (dim.), immagine continua di un connesso o connesso per archi e' connessa rispettivamente connessa per archi, un aperto connesso in uno spazio normato e' connesso per archi, lo spazio delle funzioni continue limitate a valori in uno spazio metrico con l'estremo superiore delle distanze dei valori e' uno spazio metrico (dim.), lo spazio delle funzioni continue limitate a valori in uno spazio completo con la norma uniforme e' completo (cenno dim.), dimostrazione del teorema di Stone-Weiestrass con i polinomi di Berstein (dim), un'algebra di funzioni complesse continue chiusa per coniugio che contiene le costanti e separi i punti e' densa nelle funzioni continue complesse,
 Esercitazione 16-3-06  esempio di funzione continua in ogni direzione ma non continua, esempi di funzioni lineari non continue,
esempio di funzione continua con inversa non continua, l'integrale del quadrato non e' una funzione continua rispetto alla norma dell'integrale del modulo, esempio di connesso non connesso per archi, studio della continuita' di una funzione di due variabili, derivate direzionali.