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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
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\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
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\pagestyle{empty}

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\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2004-2005} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{I prova in itinere, 7 aprile 2005} 

\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%\centerline{ I PARTE: si dia 
% la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

%\noindent-------------
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
%\medskip

%\noindent  1- Si calcoli l'area del parallelogramma di vertici $(1,1,1),~ (2,3,4),~(5,6,7),~
%(6,8,10)$.
%\medskip

%R.:

%\medskip

%\noindent 1-a Si calcoli il volume del tetraedro tridimensionale in $\R^{n+3}$  di vertici 

%$(0,\dots 0), (1,\dots 1),$  $(1, 1, 0,\dots ,-2), (2,-1,0\dots ,-1)$ .


%\medskip

%R.:


\medskip

\noindent 1- Si calcoli la dimensione del sottospazio delle forme tri-lineari
alternanti su $\R^5$ che si annullano sulle terne del tipo 
$((1,1,1,1,1), (1,1,-2,1,-1), (x,y,z,v,w))$. 
%(0,1,0,-1,0))$

\medskip

R.:


\medskip

\noindent 2-a Se esiste si calcoli $\displaystyle{\lim_{{(x,y)\to (0,0),\atop ~ 
2x\le y\le x^2+2x}} \frac{x^3-y^3}{x^2y-xy^2}}$
\medskip

R.:

\medskip

\noindent 2-b Si calcoli lo sviluppo di Taylor del terzo ordine della funzione 
 $\displaystyle{(\tan\log (1+xyz) , \cos(x+yz ))}$ nel punto $(0,1,0)$.
\medskip

R.:


\medskip

\noindent  3-a La successione di funzioni $f_n (x)= 
\frac {n}{(1+\vert n^2-nx\vert )^{n}}$ 
converge rispetto alla distanza indotta dalla norma $\Vert f\Vert_\infty=
\sup_{x\in\R} \vert f(x)\vert$ ?
\medskip

R.:


\medskip

\noindent  3-b Per quali $p\geq 1$ 
 converge  rispetto alle norme $\Vert f\Vert_p=
\left(\int_{\R} \vert f(x)\vert^p dx \right)^{\frac 1p}$ alla funzione nulla? 
%E se si integra solo 
%su $[-1 ;1]$?
 \medskip

R.:


\medskip




\noindent  4- Si calcolino i polinomi del tipo $x\mapsto ax^2 +a^2x +c$ 
che minimizzano la distanza dalla funzione $ x\mapsto x^3$ rispetto alla 
norma $\displaystyle{\Vert f\Vert=
\sqrt{\int_{-1}^{1}  \vert f(x)\vert ^2 dx}}$. 
\medskip

R.:


\medskip

%\noindent 4-b Si trovi la minima distanza tra punti dell'insieme definito dalle
%condizioni $x^2+y^2-z^2=1,~ x+y+z=1$ e punti dell'insieme ....      
                             

%Si calcolino i punti di massimo assoluto della funzione $xz+ yw$ nel

%dominio definito dalle condizioni $x^2+y^2+z^2+w^2=1$, $xw-yz=\frac{1}{16}$.

%SI FA CON I NUMERI COMPLESSI

%\medskip

%R.:

%\medskip 

\noindent 5- Si calcoli $\frac{\partial x}{\partial v}_{\vert_{u=0,v=e}}$ ove
$u=\sin x\sin y, ~v=e^{x+y}$, 
 relativamente ad un intorno di $(x,y)=(1,0)$
 

\medskip

R.


\medskip



%\noindent 5-b Si caratterizzi in termini matriciali 
% lo spazio tangente, nel punto matrice identit\`a,
 % all'insieme delle matrici $2\times 2$ per cui $X\,  ^t\! X= Id$.
 


%\medskip 

 
%R.:

%\medskip

\end{document}