Complementi di Analisi Matematica

Corso di Laurea Specialistica in Informatica


A.A. 2003/2004

Materiale didattico

 

Prove

PROVE IN ITINERE
I prova in itinere del 31-03-04:  testo  HTML  ,  DVI  ,   PDF  ,  soluzioni   HTML  ,     DVI    ,     PDF  ;   II prova in itinere del 19-05-04:  testo    DVI  ,   PDF  ;  


PROVE FINALI

 I prova finale del 4-06-04     DVI  ,   PDF  ;  II prova finale del 25-06-04     DVI  ,   PDF  ;  III prova finale del 16-07-04     DVI  ,  PDF   ;   IV  prova finale del 17-09-04  DVI  ,  PDF   ; V  prova finale del 13-01-05 New  DVI   ;

   Esercizi-appunti-registro

 

Esercizi


  I foglio di esercizi 18-2-04/ 3-3-04 
           HTML ,     PDF  ,    DVI 
    II foglio di esercizi  3-3-04/ 10-3-04 
           HTML ,     PDF  ,    DVI
      III foglio di esercizi  10-3-04/ 16-3-04 
           HTML ,     PDF  ,    DVI

  IV foglio di esercizi  17-3-04/ 24-3-04 
           HTML ,     PDF  ,    DVI
 
   V foglio di esercizi  7-4-04 
          (forme ed integrazione orientata)
 
     VI foglio di esercizi  28-4-04/ 30-4-04 
            PDF   DVI
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

   Teoria 

Appunti  I lezione :18-2-04 
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 Schema   II-III lezione :3/5-3-04 
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    Note alle lezioni VI-VII-VIII  lezione:17/24-3-04 
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     Note ed aggiunte VIII lezione:24-3-04 
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    Appunti  IX lezione  e prima parte della  X lezione:2/7-4-04
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Appunti seconda parte X lezione
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  Appunti lezioni XI, XII, XIII: 28/30-4-04 e 5-5-04
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Argomenti sussidiari su equazioni differenziali ordinarie lineari
(lezioni XI, XII e XIII: 28/30-4-04)
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Note XIII lezione: 5-5-04
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Rif. Lezioni

I lezione 18-2-04,  2h: struttura lineare di Rn, prodotto scalare, determinante minori e loro significato geometrico, distanza, funzioni di piu' variabili vettoriali. Courant-John: Vol. II 
Cap. 1.2,  riassunto ed integrazione Cap. 2, 
Cap. 4.1-4.Ap.1 
        Fusco-MArcellini-Sbordone : Cap.2.13-14-16-17 

           II lezione 3-3-04, 1 h: limiti di successioni, successioni di Cauchy e completezza, aperti, chiusi punti di accumulazzione, limiti di funzioni, continuita' in un punto su un insieme, limitati 
C.-J:  V.II Cap. 1.1-3-Ap.1.b 

          III  lezione 5-3-04, 1 h: continuita' e successioni, preimmagini di aperti, uniforme continuita' separata continuita'  e controesempi,  lineari sono continue, composizione di continue, aperti relativi, compatti connessi  e funzioni continue 
C.-J:  V.II Cap. 1.3-Ap. 1a- 1b -Ap. 2 
Fusco-MArcellini-Sbordone:  Cap.2.22-23 

          IV  lezione 10-3-04, 2 h: uniforme continuita' su compatti, derivate parziali, derivate direzionali, controesempi alla continuita', derivate miste controesempie teorema di Schwarz, differenziale teorema del differenziale totale, diseguaglianza del valor medio, interpretazione geometrica del gradiente, regola della catena 
 C.-J:  V.II Cap. 1.4-5-6-7b Cap. 3.3e 
Fusco-MArcellini-Sbordone:  Cap.3 Teo. Cantor 
Cap.  3..27-28-29-30-31 

V  lezione 12-3-04, 1 h: funzione differenziale, differenziali iterati e derivate successive,  identificazione lineari in lineari con bilineari, multiindici, formula di Taylor con resti di Peano e Lagrange. 
C.J.: V.II Cap. 1.7; F.M.S.: Cap.3.35

VI  lezione 17-3-04, 2 h: le funzioni continue con derivate p. nulle su un connesso sono costanti, cond. nec. di massimo, cond. suff. di massimo, funzioni convesse, cammini: regolari, semplici, chiusi, def. di sempl. conn.,  k-superficie param. regolare, k-varieta' e coordinate locali. 
C.J.: V.I Cap. 4.1.a-b-c-d-e,   V.IICap.1.10.d Cap. 3.3.a-b-c, 3.4-a  (senza forme), Cap. 3.7.a-b-f; F.M.S.: Cap.3.32-36-37-38-39-40, Cap.6.60-61-67, Cap 10.94-95-96

VII lezione 19-3-04, 1 h: enunciato ed esemplificazioni del teorema delle funzioni implicite in due variabiili, notazione vettoriale per i differnziali di restrizioni a sottospazi, enunciato teorema del rango, enunciato del teorema di invertibilita' locale, controesempi
C.J.: V.II Cap. 3.1.a-b-c-d-e, Cap. 3.2 b-c,  Cap. 3.3 a-b-c-d-e-f-g-h-i; F.M.S. Cap. 11.101-102-103 

VIII lezione 24-3-04, 2 h: enunciato e dimostrazione teorema dei moltiplicatori di Lagrange, derivata tangenziale,  definizione di misurabilita' alla Peano-Jordan e di integrabilita' alla Riemann, sottografici, media integrale per funzioni continue, enunciato caratterizzazione di misurabilita' con fontiere di misura nulla, funzioni sommabili ed integrale in senso generalizzato, linearita' additivita'  monotonia dell'integrale in senso generalizzato, invarianza per traslazioni, diseguaglianza triangolare (enunciati), enunciato  teorema di Tonelli e relazione con gli integrali iterati, enunciato teorema di cambiamento di variabili ed esemplificazioni, lunghezza di cammini, enunciato teorema di rettificabilita', integrale di una funzione su un cammino ed elemento di lunghezza, definizione di k-volume per k-superficie parametriche regolari semplici, elemento di k-volume e integrazione di funzioni su k-superficie, esemplificazioni, regola di Guldino per superficie di rotazione di curve piane
C.J.: V.I Cap. 4.1 f-g, V.II Cap.  3.2 a, Cap. 3.4 a, Cap. 3.7 b-c-d-e-f, Cap.4.1 a-c, Cap. 4.2 a-b-c-d-e. Cap. 4.3, Cap. 4.5 a-b-c-d, Cap. 4.6 a-b, Cap. 4.7 a-b-c, Cap. 4.8 a-b-c, Cap. 4.10, Cap. 4.11a-c, Cap. 4.A1-A.2-A.3-A.4; 
F.M.S.: Cap.6.62-63, Cap. 8.74-75-77-78-79-80-81-82, Cap. 9.92

IX lezione 2-4-04, 2 h: concentrazione dell'integrale di funzioni sommabili;  convergenza uniforme: definizone ed esemplificazioni, limite uniforme di funzioni continue, convergenza uniforme e composizione con u.c.; passaggio al limite per convergenza uniforme nell'integrale di Riemann e nell'integrale generalizzato su domini di misura finita e non: sommabilita' uniforme, convergenza dominata, dimostrazioni e controesempi; derivata sotto segno di integrale per funzioni continue su rettangoli; formula elementare di Gauss-Green nel piano per domini normali ed integrali non orientati.
C.J.: V.II Cap. 4.12 a(-b), Cap. 5.1-2-3;
F.M.S. Cap. 1.1-2-3

X lezione 7-4-04, 2 h:enunciato dei teoremi di convergenza monotona e convergenza dominata, relativo criterio di derivabilita' per integrali dipendenti da parametro con dimostrazione; criterio per la derivata del limite di una successione con dimostrazione; cammini regolari a tratti e loro equivalenza, somma e opposto di un cammino, curve orientate, omotopia di cammini con estremi fissati in un aperto; lavoro di un campo di vettori; integrale di un campo su  un cammino orientato; 1-forme differenziali ed integrali su cammini orientati ed indipendenza da parametrizzazioni equiorientate; differenza tra funzioni vettoriali  e campi o forme rispetto ai cambiamenti di coordinate; rimontato di una forma; campi conservativi e forme esatte, forme chiuse;
caratterizzazione forme esatte (cenno di dimostrazione); enunciato del lemma di Poincare su domini stellati, forme localmente esatte; enunciato dell'invarianza per omotopia; enunciato dell'esattezza di forme localmente esatte su domini semplicemente connessi.
C.J.: V.II Cap. 1.9 a-b-c, 1.10 a-b-c-d-e
F.M.S. Cap. 1.2, Cap. 7.68-69-70-71-72-73


XI lezione 28-4-04, 2 h: teorema di Gauuss-Green con integrazione di forme,
forma dell'area, generalita' sulle equazioni differenziali, deteterminismo, problema di Cauchy, nozioni di esistenza locale e globale, riduzione di equazioni lineari (sistemi) di ordine N a sistemi lineari di ordine 1, esempi di non esistenza, non unicita' non esistenza globale per il problema ai dati iniziali , enunciato teorema di Peano, Lipsichitzianita' locale enunciato teorema di Cauchy-Lipschitz, principio di esistenza globale (cenno di dimostrazione) e criterio di esistenza globale con crescita lineare.
C.J.: V.II Cap. 6.1 a-(b-c non svolto),
 Cap. 6.4 a-b-c
F.M.S. Cap. 4.42-43-44-45 (pag.245) enunciati ed esempi

XII lezione 30-4-04, 1 h: equazioni a variabili separabili, metodo risolutivo, condizione di unicita' della soluzione costante per zeri isolati del coefficiente;
relazione tra equazioni lineari del primo ordine omogenee e forme differenziali, formula della soluzione per le equazioni lineari del primo ordine
C.J.: V.II Cap. 6.2 a-b
F.M.S. Cap. 4.46-47-48-49, Cap.5.pagg 279-281, Cap.5 55-57 (esercitazione),

XIII lezione 5-5-04, 1 h: sistemi lineari enunciato esistenza globale ed unicita', spazio vettoriale delle soluzioni e derivata del determinante (dimostrazione), approccio genereale alla soluzione, lo spazio delle soluzioni nel caso di coefficienti costanti per equazioni del secondo ordine dimostrazione, enunciato del metodo dei coefficienti indeterminati, metodo della variazione delle costanti con dimostrazione nel caso di sistemi ed equazioni, principio di Duhamel.


XIV lezione 7-5-04, 1 h: spazi metrici: definizione e principali concetti (palle, aperti, chiusi, forontiera parte interna, chiusura), convergenza di successioni, funzioni continue tra spazi metrici, uniforme continuita', sequenziale compattezza, limitatezza, distanza geodetica indotta. Esempi spazi euclidei, spazi di successioni con distanze l^p, funzioni continue su uno spazio metrico compatto con la distanza del massimo delle distanze tra i valori, non compattezza della palla unitaria per le successioni limitate, esistenza di infiniti `punti medi' per la distanza del massimo nel piano, distanza discreta (palla chiusa e chiusura della palla aperta).


XV lezione 12-5-04, 2 h: distanze invarianti per traslazioni e positivamente omogenee su spazi vettoriali, norma. esempi: funzioni limitate a valori in uno spazi normato, R^n e insiemi delle successioni con serie delle potenze p-esime sommabili con le norme l^p, iniseme delle successioni limitate, funzioni continue con potenza p-esima sommabile in senso generalizzato alla Riemann. diseguaglianza di Young, Holder, diseguaglianza triangolare l^p ed L^p per funzioni continue (con dimostrazioni). Prodotti scalari ed hermitiani, diseguaglianza di Cauchy (con dimostrazione) norma indotta ed identita' del parallelogramma. Esempi l^2, L^2. Completezza successioni di Cauchy: chiusi di spazi completi, completezza delle funzioni continue su compatti con la distanza uniforme, non completezza della funzioni continue con le norme integrali, insiemi di misura nulla alla Lebesgue. Vibrazione di una corda come sovrapposizione di vibrazioni fondamentali, azione linearizzata per la vibrazione di una corda, principio di azione stazionaria e deduzione dell'equazione delle corde vibranti,  cenno al metodo di separazione delle variabili per tale equazione, analisi spettrale della derivata seconda per le funzioni periodiche con derivate prime periodiche, simmetria della derivata seconda rispetto al prodotto scalare di L^2 in quato spazio, ortogonalita delle auttofunzioni, coefficienti di Fourier e serie di Fourier. Enunciati: le serie di Fouriere di funzioni C^1-periodiche convergno uniformemente alla funzione, vi sono funzioni continue le cui serie di Fourier non convergono uniformemente, le serie di Fourier di funzioni a quadrato sommabile sono di Cauchy in L^2, le serie di Fourier di Cauchy in L^2 danno il completamenteo rispetto alla convergenza L^2 delle funzioni continue. Completamenti astratti,
la teoria dell'integrazione di Lebesgue permette di rappresentare i completamenti astratti delle funzioni continue con le diverse norme integrali.

XVI lezione 14-5-04, 2 h: dimostrazione della diseguaglianza di Tschebyshev per funzioni Riemann integrabili, funzioni non negative con integrale generalizzato di Riemann nullo, insiemi di misura nulla a la Lebsegue ed estensione delle diseguaglianze di Holder e triangolare per norme L^p alle funzioni Riemann sommabili in senso generalizzato.
Dimostrazione del teorema delle contrazioni, punto fisso in ipotesi di completezza, dipendenza continua dei punti fissi da parametri, stime di approssimazione, dimostrazione del Teorema di Cauchy Lipschitz, cenno alle dimostrazioni del teorema di Peano, cenno alla dimostrazione del teorema di invertibilita' locale mediante il metodo delle tangenti e il teorema delle contrazioni.
FINE