\documentclass[,italian,a4paper]{article} \message{lezioni di cam} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} %\documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule \newcommand{\e}{{\bf e}} %% e grassetto %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 %\documentstyle [12pt]{article} %\pagestyle{empty} %\topmargin=-2cm %\oddsidemargin=-0.5cm %\textwidth=16.6cm %\textheight=25cm \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \begin {document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{V.M. Tortorelli} \centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04} \centerline{Appunti dell' ottava lezione: 24 marzo 2004} \medskip \noindent{\bf Moltiplicatori di Lagrange e gradiente tangenziale} \smallskip \noindent {\bf Misurabilit\`a alla Peano-Jordan} - Un $n$-rettangolo (cartesiano) in $\R^n$ \`e il prodotto cartesiano di $n$ intervalli: $R= I_1 \times \dots I_n$, $I_i$, $1\le i\le n$ intervalli limitati con o senza estremi inclusi in $\R$. - La misura elementare di un $n$ rettangolo e il prodotto delle differnze degli estremi dei suoi lati. \noindent {\bf Definizione} se $A\subset \R^n$ non vuoto e {\it limitato} si dice {\it misurabile secondo Peano-Jordan} se i seguenti numeri coincidono: $\sup \sum_{R\in {\cal F}} me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal F}~ \hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti contenuti in }~ A$ (approssimazione interna) $\inf \sum_{R\in {\cal G}} me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal G}~ \hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti con unione contenente}~ A$ (approssimazione esterna) \noindent Nel caso il comune valore se dice misura ($n$-dimensionale) di Peano-Jordan e si denota con $m(A)$. $m_n (A)$. Si pone inoltre $m(\emptyset)=0$. { \centerline{ \begin{tabular}{| c |} \hline ~\\ $m(R)=me(R)$ se $R$ \`e rettangolo cartesiano\\ ~\\ $m(A\cup B)= m(A)+m(B)$ se $A\cap B=\emptyset$\\ ~\\ \hline \end{tabular} }} \medskip \noindent {\bf Integrabilit\`a alla Riemann} Una funzione {\it limitata} $f$ a valori in $\R$ si dice Riemann integrabile su un $n$-rettangolo $Q$ (nulla fuori da $Q$) se i seguenti numeri coincidono: $\sup \sum_{R\in {\cal F}} \inf_R f me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal F}~ \hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli con parti interne disgiunte con unione }~ Q$ (approssimazione inferiore) $\inf \sum_{R\in {\cal G}}\sup_R f me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal G}~ \hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli con parti interne disgiunte con unione}~ Q$ (approssimazione superiore) \medskip \noindent In tal caso il comune valore si dice integrale di Riemann di $f$ su $Q$ e si indica con $\int_Q f(x) dx$. \noindent {\bf i}- $A$ \`e P.-J. misurabile se e solo se $\delta A$ lo \`e e $m(\delta A )=0$ se e solo se $\chi_A$ \`e R.-integrabile. \noindent {\bf ii}- se $f\geq 0$ allora $f$ \`e R.-integrabile su $Q$ se e solo se il suo sottografico su $Q$ `\e P.J.-misurabile in $\R^{n+1}$. Nel caso $m_{n+1} (\{ (x,y) : ~x\in Q, ~ 0\le y\le f(x)\})=\int_Q f(x)dx$. (DOMINI NORMALI). \noindent {\bf iii}- una funzione continua $f$ su un rettangolo $R$ \`e R.-integrabile. \noindent Grazie al teorema degli zeri e al teorema di Weiestrass si ha che vi \`e $\xi\in R$ per cui $\frac 1{m(R)}\int_R fdx = f(\xi )$. \noindent {\bf iv}- se $f$ e $g$ sono R.-integrabili tale \`e $fg$. Se $g=\chi_A$ l'integrale di questo prodotto si indica con $\int_A f(x) dx$. \medskip \noindent {\bf Sommabilit\`a.} \noindent - Sia $f$ una funzione a valori reali {\it non negativa}. Essa si dice {\it sommabile} in senso generalizzato se: - $\forall m\in \N$ $f\wedge m$ \`e R.-integrabile su $[-m;m]^n$, - $\lim_{m\to \infty} \int_{[-m;m]^n}f(x)\wedge m dx \in \R$. \noindent Tale limite si dir\`a integrale in senso generalizzato e si indicher\`a con $\int fdx$. \noindent Una funzione a valori reali si dice sommabile se lo sono la sua parte positiva e la sua parte negativa. Il suo integrale in senso genaralizzato sar\`a la differenza tra quelli delle sue parti. \medskip \noindent {\bf Propriet\`a principali} \noindent {\bf 1}- le funzioni sommabili formano uno spazio vettoriale e l'integrale \`e un funzionale lineare; \noindent {\bf 2}- il minimo e il massimo tra due funzioni sommabili sono anch'essi sommabili (reticolo), \noindent - se $f\geq g$ allora $\int f\geq \int g$ (monotonia dell'integrale), \noindent {\bf 3}- $\left\vert \int f\right\vert \le \int\vert f\vert $ (diseguaglianza triangolare), \noindent {\bf 4} - se $A$ e $B$ sono misurabili in senso generalizzato tali sono $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ (propriet\`a di semialgebra), \noindent - se $f$ \`e sommabile sull'unione allora $\int_{A\cup B} f=\int_A f+ \int_B f -\int_{A\cap B} f$ (additivit\`a). \noindent {\pic NOTA: se $\scriptstyle{f}$ e $\scriptstyle{g}$ sono sommabili non \`e detto che il loro prodotto lo sia: e.g. $\scriptstyle{f=g= \frac 1 {\sqrt{x}}}$. Se una delle due \`e limitata si.} \noindent {\bf 5}- $\int f(x+v) dx = \int f(x) dx$ (invarianza per traslazioni). \noindent {\bf 6}- TEOREMA DI FUBINI-TONELLI Posto $x= (x^\prime , x^{\prime\prime}) \in \R^n$, con $x^\prime \in \R^k$, $ x^{\prime\prime}\in\R^{n-k}$ se: - $x\mapsto f(x)$ \`e sommabile in $\R^n$ - e per ogni $x^{\prime\prime}\in\R^{n-k}$ la $x^\prime\mapsto f(x^\prime, x^{\prime\prime})$ \`e sommabile in $\R^{k}$ \noindent allora - $x^{\prime\prime}\mapsto \int f(x^\prime, x^{\prime\prime}) dx^\prime$ \`e sommabile in $\R^{n-k}$ e $\int_{\R^n} f(x) dx = \int_{\R^{n-k}}\left(\int_{\R^k} f(x^\prime, x^{\prime\prime} )d x^\prime\right) dx^{\prime\prime}$. \medskip \noindent NOTA: per avere un teorema pi\`u soddisfaciente \`e necessario estendere la nozione di sommabilit\`a ad una classe pi\`u ampia di funzioni. In particolare con le nozioni qui date \`e {\it falso} che se - per ogni $x^{\prime\prime}\in\R^{n-k}$ la $x^\prime\mapsto f(x^\prime, x^{\prime\prime})$ \`e sommabile in $\R^{k}$ - $x^{\prime\prime}\mapsto \int f(x^\prime, x^{\prime\prime}) dx^\prime$ \`e sommabile in $\R^{n-k}$ \noindent ne segua che $x\mapsto f(x)$ sia sommabile in $\R^n$: \noindent si consideri una funzione {\it non Riemann integrabile} di una variabile $x^{\prime\prime}\mapsto \varphi (x^{\prime\prime} )$ per esempio la funzione che vale $1$ sui razionali in $[0;1]$ e $0$ altrove, e la funzione $x^\prime \chi_{[-2; 2]} (x^\prime )$. Si consideri $f(x^\prime , x^{\prime\prime} )= \chi_{[-2; 2]} ( x^\prime - \varphi (x^{\prime\prime}))$: la funzione non \`e R.-integrabile poich\`e in ogni rettangolo contenuto in $[-2; 3]\times [0; 1]$ ha estermo superiore $1$ ed estremo inferiore $0$. Ma la funzione $x^\prime\mapsto \chi_{[-2; 2]} ( x^\prime - \varphi (x^{\prime\prime}))$ \`e R.-integrabile per ogni $x^{\prime\prime}$ e il suo integrale non dipende da $x^{\prime\prime}\in [0;1]$ essendo sempre la lunghezza dell'intervallo $[-2;2]$ o del suo traslato $[-1;3]$, cio\`e $4$. In particolare \`e una funzione costante di $x^{\prime\prime}$ in $[0;1]$ e quindi R.-integrabile. \medskip \noindent {\bf 7}- TEOREMA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILE: Sia $\Phi :y\in A\mapsto x=\Phi (y)\in \Phi (A)$ {\it iniettiva}, differenziabile con continuit\`a, $A$ e $\Phi (A)$ siano aperti misurabili di $\R^n$ e $d\Phi_y$ sia sempre invertibile. Allora se $x\mapsto f(x)$ \`e sommabile su $\Phi (A)$: - $y\mapsto f(\Phi (y)) \vert det \nabla\Phi(y)\vert$ \`e sommabile su $A$ - $\int_{\Phi (A)} f(x) dx =\int_A f(\Phi (y)) \vert det \nabla\Phi(y)\vert dy $. \noindent Si noti che per il teorema di invertibilit\`a locale l'inversa di $\Phi$ \`e anch'essa differenziabile con continuit\`a. Invadendo $A$ con compatti misurabili ci si riduce al caso in cui $\infty>C\geq \vert det \nabla\Phi(y)\vert\geq c>0$, e $\Phi$ \`e interscambiabile con $\Phi^{-1}$. \medskip \noindent {\bf Lunghezza di un cammino} Definizione ed enunciato della dimostrazione del teorema di rettificabilit\`a. Elemento di lunghezza ed integrali di funzioni su cammini. \noindent {\bf $k$-Volume di $k$-superficie parametrica regolare semplice} Integrazione di funzioni su superficie parametrica. Indipendenza dalla parametrizzazione (esercizio). Formule di Guldino. \end{document}