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\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
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\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}


\centerline{Note alle elzioni sesta, settima ed ottava: 17-24 marzo 2004}


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\noindent {\bf Cammini.} - Si dir\`a {\it cammino} una funzione continua 
$\gamma :I\to \R^n$, ove $I\subseteq \R$ 
 \`e un intervallo.

\noindent - Un cammino si dir\`a  {\it semplice} se $\gamma$ \`e iniettiva.

\noindent - Un cammino si dir\`a {\it chiuso} se $I$ \`e un intervallo chiuso 
$[a;b]$ e $\gamma (a)=\gamma (b)$ (in altri termini corrisponde ad 
 una funzione continua dalla circonferenza unitaria in $R^n$, ovvero una funzione 
 continua su $\R$ che sia $b-a$ periodica).

\noindent - Un cammino si dir\`a {\it semplice chiuso} se \`e chiuso ed \`e iniettivo
 tranne che negli estermi (la funzione che induce sulla circonferenza \`e iniettiva) .

\noindent - Un cammino si dir\`a $C^k$ se \`e differenziabile con continuit\`a
 $k$ volte.

\noindent - Un cammino si dir\`a $C^k$-$chiuso$ se \`e $C^k$ e le sue prime $k$ 
derivate sono cammini chiusi (ovvero induce una funzione su $\R$ che sia periodica 
e $C^k$).

\noindent - Un cammino si dir\`a {\it regolare} se \`e differenziabile e 
$\frac {d\gamma}{dt} \not= 0$ 


\noindent - Un cammino si dir\`a $C^k$, ovvero regolare, {\it a tratti},  
se $I$ \`e unione di un numero finito di intervalli su ognuno dei quali 
 $\gamma$ \`e $C^k$, rispettivamente regolare.



\noindent {\bf Parametrizzazioni.} I cammini possono avere la stessa immagine ma rappresentare modi diversi 
di ``percorrerla'': e.g. $t\in [0;2\pi]\mapsto (\cos t , \sin t)$, 
$t\in [0;\pi]\mapsto (\cos 2t , \sin 2t)$, $t\in [0;2\pi]
\mapsto (\cos 2t , \sin 2t)$, 

\noindent $t\in [-\sqrt{2\pi}; \sqrt{2\pi}]\mapsto (\cos t^2 , \sin t^2)$

\noindent tutti hanno come immagine la circonferenza unitaria, 
il primo la percorre una volta 
con ``velocit\`a '' in modulo costante eguale ad $1$, il secondo 
eguale a $2$, il terzo 
la percorre due volte nello stesso senso, il quarto due volte in 
senso differente.


\noindent - Volendo mettere in evidenza quante volte e in che verso 
viene percorsa
 l'immagine di un cammino piuttosto che ``quanto velocemente'' diremo 
che due cammini $\gamma :I\to \R^n$ e $\varphi :J\to \R^n$ sono 
{\it equivalenti con la stessa orientazione} se 

 $\gamma (t) =\varphi (h(t))$, $h:I\to J$ continua, invertibile crescente
 e quindi con inversa continua

\noindent - Se non si `\e interessati ai versi di percorrenza 
si pu\`o introdurre una nozione di equivalenza meno stringente 
ammettendo riparametrizzazioni $h$ continue e strettamente monotone.

\medskip

\noindent NOTA: se un cammino  $C^1$ a tratti \` e regolare 
 sulle {\it parti interne} di 
un numero finito di intervalli che ricoprono $I$ allora \`e equivalente 
 a un cammino $C^1$-regolare a tratti



\noindent {\bf Curve} I cammini solo continui possono avere immagini 
non aderenti all'idea intuitiva di curva: si possono trovare cammini 
che ricoprono l'intero quadrato $[0;1]\times [0;1]$ nel piano!
D'altronde un concetto geometrico che riguardi l'immagine di un cammino 
 se formalizzato in termini di cammini non deve dipendere da
 parametrizzazioni equivalenti.

\noindent - Quindi in termini di cammini una {\it curva orientata} 
\`e la classe di 
 equivalenza di cammini con un rappresentante regolare a tratti che 
tranne per un numero finito di parametri risulti iniettivo 
(che corrispondono ad un numero finito di ``autointersezioni'' dell'immagine).


%\noindent - Volendo parlare semplicemente di 
%curve si non solo si  considerer\`a la seconda relazione
% di equivalenza ma ci si restrnger\`a a cammini semplici eventualmente chiusi.

\noindent {\bf Tangente} Tranne un numero finito di punti un 
insieme che pu\`o essere visto come immagine di una 
parametrizzazione regolare a tratti del tipo precedente 
 ha una {\it direzione tangente } data dal versore tangente
$\frac{\gamma^\prime}{\vert \gamma^\prime\vert}$.

\noindent In particolare  poich\`e $\gamma^\prime (t_0)\not= 0$ 
 dalla definizione di differenziabilit\`a e per la diseguaglianza triangolare 
 si ha:


\centerline{ $\displaystyle{\frac{dist(\gamma (t), \gamma (t_0) 
+\gamma^\prime (t_0) (t-t_0))}
{dist( \gamma (t_0) ,\gamma (t))}\to 0,~ t\to t_0}$}

\noindent ovvero l'errore   dato dall'approssimazione lineare \`e 
infinitesimo relativamente a ci\`o che si desidera misurare.


\noindent {\bf $k$-superficie parametrica regolare} - Si dice $k$-{\it superficie 
(parametrica) regolare} una funzione 

\noindent $\psi : A\subseteq \R^k\to \R^n$  ove $A={\overline A}^{\!\!\!{^{\circ}}}$ 
\`e connesso, e $k\le n$, 
 per cui:

i- la $\psi $ \`e restrizione di una funzione $C^1$ su una perto 
 contenente $\overline A$ 

ii- i vettori $\frac {\partial \psi}{\partial t_1},\dots
\frac{\partial \psi}{\partial t_1}$
 generano un sottospazio di dimenzione $k$ in $\R^n$: ovvero vi siano 
 $k$ indici  $m_1, \dots m_k$ 

per cui 
 $det (\frac{\partial \psi_{m_i}}{\partial t_j})_{1\le i,~ j\le k}\not =0$


\noindent - Una superficie parametrica si dir\`a {\it semplice} se 
 \`e iniettiva.

\noindent NOTA: una $fA\subseteq \R^k \to \R^{n-k}$ che sia
 $C^1$ intorno alla chiusura di $A$ da naturalmente una $k$-superficie 
che parametrizza il suo grafico $x\mapsto \psi (x)=(x, f(x))$

\noindent NOTA: il teorema del rango assicura che 
 l'immagine di una superficie {\it semplice} 
\`e almeno localmente nel codominio un grafico. 



\noindent - Come per le curve si ha che l'immagine di una
 $k$-superficie ha in ogni suo punto $\psi (\overline t )$ 
 un piano tangente dato da $\psi (\overline t ) + 
s_1 \frac {\partial \psi}{\partial t_1} (\overline t )
 +\dots s_k \frac {\partial \psi}{\partial t_k} (\overline t )$ 
 al variare di $s\in \R^k$.



\noindent {\bf $k$-variet\`a} I teoremi del Dini e del rango rendono 
la seguente definizione naturale, in quanto non tutti i luoghi di zeri possono
essere visti come immagine di una superficie regolare semplice:


\noindent - Un {\it sottoinsieme } $V$ di $\R^n$ si dice $k$-variet\`a se:

\noindent per ogni $P\in V$ vi \`e un intorno $U_P$  di $P$ 
 e una $X_P: V\cap U\to \R^k$

i- $X(P) =0$ e: o  $X(U\cap V) =B(0)$ 

ii- $X$ \`e $C^1$ ed iniettiva

iii- $X^{-1}$ \`e $C^1$ 

%punto di bordo ...


\noindent - La famiglia $(V\cap U_P , X_P),~ P\in V$ si dice sistema 
di {\it coordinate locali} per $V$, mentre le $X^{-1}_P$ parametrizzazioni 
locali.

\noindent NOTA: ogni $X^{-1}$ risulta una $k$-superficie parametrica semplice: 
 il suo differenziale ha rango massimo  poich\`e composto con quello 
di $X$ deve dare l'applicazione identica di $\R^k$.



\noindent {\bf Lunghezza} - Si dice {\it lunghezza di un cammino}
 
$\displaystyle{{\cal L}(\gamma )=\sup\{ \sum_{i=0}^{N-1} dist(\gamma (t_i ) ,\gamma ( t_{i+1})) :~
a=t_0 <t_1 <\dots  t_N=b \}}$


\noindent - La lunghezza di un cammino \`e eguale per cammini equivalenti.

\noindent - Un cammino si dice {\it rettificabile} se ha lunghezza finita.

\noindent NOTA: intuitivamente la lunghezza defita non corrisponde alla 
misura dell'immagine ma alla misura del percorso fatto: ci\`o accade per cammini 
semplici.


 \noindent {\bf Teorema} Se $\gamma: [a;b] \to \R^n$ \`e $C^1$ a tratti 
\begin{tabular}{| l |}
\hline
%%\[
%%\begin{array}{ll}
~\\
${\cal L} (\gamma ) = \int_a^b \vert \gamma^\prime (t)\vert dt$\\
~\\
%%\end{array}
%%\]
\hline
\end{tabular}

\noindent {\bf Integrazione non orientata di funzioni su superficie parametrica}
 Sulla falsariga del teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli, 
 considerando la corrispondenza tra somma dei determinanti minori $k\times k$ 
 di $k$ vettori in $\R^n$ e $k$-volume del $k$-parellepipedo da essi generato
  sembra naturale definire per una $k$-superficie $\psi$ il suo $k$ volume
 come ``somma infinita'' dei $k$-volumi  dei parellelpipedi ``infinitesimi'' 
 dati dall'approssimazione lineare 
  

\centerline{$\displaystyle{
Vol_k (\psi ) =
\int_A \sqrt{\sum_{1\le m_1< \dots m_k\le n} 
det\left(\frac {\partial \psi_{m_i}}{\partial t_j}\right)^2} dt_1\dots dt_k },~~~ 
d Vol_k =\sqrt{\sum_{1\le m_1< \dots m_k\le n} 
det\left(\frac {\partial \psi_{m_i}}{\partial t_j}\right)^2} dt_1\dots dt_k$}

\noindent NOTA: per una superficie semplice in effetti ci\`o corrisponde all'dea intuitiva 
 di misura della sua immagine. Altrimenti tale nozione tiene conto delle diverse
 ``sovrapposizioni'' 
(su sottoinsiemi di misura non nulla del dominio) date dalla parametrizzazione.

\noindent - Data una funzione continua $g$ sull'immagine di una 
$k$-superficie $\psi$ condominio misurabile si definisce

\centerline{$\displaystyle{ \int_\psi g dVol_k =\int_A g(\psi (t_1, \dots t_k))
\sqrt{\sum_{1\le m_1< \dots m_k\le n} 
det\left(\frac {\partial \psi_{m_i}}{\partial t_j}\right)^2} dt_1\dots dt_k }$}

\noindent - Nel caso di ipersuperficie che sia un  grafico $\psi (t) = (t, f(t))$
 ovvero $k=n-1$ e $f: A\subseteq \R^{n-1} \to \R$, si ottiene: 
$\displaystyle{ \int_\psi g dVol_k =\int_A g(t_1, \dots t_k , f(t_1\dots t_k))
\sqrt{ 1 + \vert \nabla f (t_1 , \dots t_k )\vert ^2} dt_1\dots dt_k }$

\noindent - Nel caso di cammini, per i quali la definizione si estende direttamente 
nel caso $C^1$ a tratti, si ottiene: 
$\displaystyle{ \int_\gamma g d{\cal L} = \int_a^b f(\gamma (t))\vert \gamma^\prime (t)\vert dt}$


\noindent {\bf Propopsizione} $\vert\int_\psi g\vert \le 
\sup_{p\in\psi (A)} \vert g(p)\vert Vol (\psi )$.

\noindent - Se $h: D\subseteq \R^k  \to A\subset \R^k$ \`e  un cambiamento di variabile 
regolare (con $A$ e $D$ misurabili e $h$ iniettiva con differenziale invertibile )   
 dal teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli segue 
 che gli integrali rispetto a una superficie $t\mapsto\psi (t) $ su $A$ 
sono eguali a quelli 
 rispetto alla superficie $s\mapsto \psi(h(s))$


\noindent NOTA: in particolare l'integrazioni di funzioni su un cammino non 
dipendono dall'orientazione relativa di riparametrizzazioni.


\noindent - Nel caso di un insieme $C$
 paramettrizzato da (che \`e immagine di ) una $k$-superficie semplice 
 ha senso scrivere $\int_C g(P) d Vol_k $


\medskip
\noindent {\bf Integrazione su variet\`a} Per integrare una funzione su una variet\`a 
si espime questa come unione di immagini di parametrizzazioni locali, 
 ovvero si scrive la funzione come somma di funzioni nulle fuori dagli intorni in 
cui la variet\`a \`e immagine di una parametrizzazione locale, si integra su queste 
e si somma. 



\medskip {\bf Volumi e aree di figure di rotazione: formule di Guldino}

\medskip {\bf Domini semplicemente connessi} cfr. app. seconda parte lez. X.

\smallskip

\end{document}