\documentclass[,italian,a4paper]{article} \message{lezioni di cam} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} %\documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule \newcommand{\e}{{\bf e}} %% e grassetto %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 %\documentstyle [12pt]{article} %\pagestyle{empty} %\topmargin=-2cm %\oddsidemargin=-0.5cm %\textwidth=16.6cm %\textheight=25cm \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \begin {document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{V.M. Tortorelli} \centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04} \centerline{Schema della seconda e terza lezione: 3-5 marzo 2004} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent {\bf Convergenza di successioni.} Si dice che una successione ${\bf x}:\N\rightarrow \R^N$ converge a $x\in\R^N$, e scriveremo $\lim_{n\to \infty} {\bf x}^{n} =x$ o ${\bf x}^n\to x$, $n\to \infty$, se: { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ $\forall \varepsilon \exists n_\varepsilon \forall n\geq n_\varepsilon ~d({\bf x}^n, x)\le \varepsilon $ \\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular}, cio\`e se $\lim_{n\to \infty} d ({\bf x}^n , x) =0$. \smallskip \noindent - Se $y\in\R^N$ si ha $\vert y_i\vert_1 \le \vert y\vert_N \le \vert y_1\vert +\dots \vert y_N\vert $. Quindi una successione converge se e solo se le $N$ successioni di numeri reali date dalle sue coordinate cartesiane convergono rispettivamente alle componenti omologhe del suo limite. Questo permette di estendere le propriet\`a dei limiti in $\R^N$. \noindent - La propiet\`a di {\it completezza} di $\R$ viene estesa ad $\R^N$ grazie alla nozione di successione ${\bf x}:\N\rightarrow \R^N$ di Cauchy: { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ $\forall \varepsilon \exists n^\prime_\varepsilon \forall m, n\geq n^\prime_\varepsilon ~ d({\bf x}^n, {\bf x}^m)\le \varepsilon $ \\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular}. \smallskip \noindent TEOREMA { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ Cauchy in $\R^N$ $\Longleftrightarrow $ convergente in $\R^N$ \\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular}. \smallskip \noindent {\bf Aperti, chiusi, bordo, punti di accumulazione:} cfr. Courant-John Vol.2 Cap. 1.1. \noindent - Se $C\subseteq D\subseteq \R^N$ allora $C$ si dice {\it aperto (chiuso) relativamente a} $D$ se vi \`e $A$ aperto (risp. chiuso) per cui \noindent ~~$C=D\cap A$. \smallskip \noindent {\bf Limiti di funzioni.} Se $C\subseteq D\subseteq \R^N$, $P\in \R^N$ di accumulazione per $C$, $f: D\to \R^M$ e $L\in \R^M$, si dice che $f$ converge a $L$ per $x$ che tende a $P$ su $C$ se: { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ $\forall \varepsilon \exists \delta_\varepsilon >0 \forall x ~x\in C, ~x\not=P,~ 0 < d(x, P)\le \delta_\varepsilon \Rightarrow d(f(x) ,L)\le \varepsilon $ \\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular}, cio\`e $\lim_{x\in C, ~d(x, P)\to 0} d(f(x), L) =0$. Si scriver\`a $\lim_{x\in C, ~x\to P} f(x)= L$, o $f\to L$ se $x\to P,~ x\in C$. \smallskip \noindent - $f\to L$, $x\to P,~ x\in C$ se e solo se per ogni ${\bf x}^n \to P, ~ {\bf x}^n\in C, ~{\bf x}^n\not= P$ si ha $f({\bf x}^n )\to L$; \smallskip \noindent - se e solo se per ogni divisione di $C$ in un numero finito di parti che abbiano $P$ come punto di accumulazione $f$ ha limite in ognuna di queste parti e tali limiti sono tutti eguali ad $L$. \noindent {\it e.g.} $f(x,y) = \frac yx$, $ D= \{ (x,y):~ x\not= 0\}$, $C=\{ (x,x):~x\not= 0\}$, $P=(0,0)$: $f$ ha limite $1$ in $P$ su $C$, ma non ha limite in $P$ su $D$. \smallskip \noindent {\bf Limitati:} $C\subseteq\R^N$ si dice (metricamente) {\it limitato} se \`e contenuto in una palla: $\exists M\geq 0 \forall x\in C \vert x\vert \le M$. \noindent - Una funzione si dice {\it limitata} su $A\subseteq \R^N$ se i valori di $f$ su $A$ formano un insieme limitato. \noindent - Se $C$ \`e un insieme non limitato ed $f$ \`e definita su $C$ si dice che $f$ tende ad $L$ {\it all'infinito} su $C$ se { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ $\forall \varepsilon >0 \exists r \forall x\in C ,~ \vert x \vert \geq r \Rightarrow d(f(x), L)\le\varepsilon$\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular}, cio\`e $\lim_{\vert x\vert\to \infty, ~x\in C} d(f(x), L)=0$. \noindent - Se una funzione ha limite per $x\to P$ (o all'infinito), $x\in C$ allora \`e {\it limitata} su $C$ intersecato una palla di centro $P$ (il complementare di una palla). In particolare se una successione ha limite allora \`e limitata. \smallskip \noindent {\bf Funzioni continue} $C\subseteq D\subseteq \R^N$, $P\in C$ $f: D\to \R^M$: si dice che $f$ \`e continua in $P$ su $C$, o che $P$ \`e un punto di continuit\`a di $f$ su $C$ se { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ $P$ \`e di accumulazione per $C$ e $\lim_{x\in C, ~x\to P} f(x)= f(P)$,\\ oppure $P$ \`e un punto isolato per $C$\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular} %$P$ \`e di accumulazione per $C$ e %$\lim_{x\in C, ~x\to P} f(x)= f(P)$, oppure se $P$ \`e % un punto isolato per $C$. \noindent -$f$ \`e continua in $P$ su $C$ se e solo se per ogni ${\bf x}^n\to P$, ${\bf x}^n\in C$ si ha $f({\bf x}_n )\to f(P)$. \noindent - {\bf Definizione.} $f$ \`e continua su $C$ se \`e continua in ogni punto su $C$. \noindent - {\bf Definizione.} $f$ \`e {\it uniformemente continua} su $C$ se { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ $\forall \varepsilon \exists \delta_\varepsilon >0 \forall x, y\in C, d(x, y)\le \delta_\varepsilon \Rightarrow d(f(x) ,f(y))\le \varepsilon $ \\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular} ovvero $\lim_{\delta\to 0} \sup_{x,~y\in C,~d(x,y)\le \delta} d(f(x), f(y))=0$. \noindent {\pic ESERCIZIO: $\scriptstyle{ f}$ \`e uniformemente continua su $\scriptstyle{C}$ se e solo se date due successioni $\scriptstyle{{\bf x}^n\in C, ~{\bf y}^n\in C}$ per cui $\scriptstyle{d({\bf x}_n,{\bf y}_n)\to 0}$ si ha anche $\scriptstyle{d(f({\bf x}_n),f({\bf y}_n))\to 0}$}. \break \smallskip \vfill \eject \noindent - le funzioni $(x, y)\in \R^N\times \R^N \mapsto x+y\in \R^N$ ($\scriptstyle{\vert (x+y)- (u+v)\vert \le \vert x-u\vert +\vert y-v\vert}$), $(\lambda ,x)\in \R\times \R^N\mapsto \lambda x \in\R^N$ ({\pic $\scriptstyle{ \vert \lambda x-\gamma y\vert\le \vert\lambda\vert\vert x-y\vert + \vert \lambda -\gamma\vert \vert y\vert}$}) sono continue. \noindent - composizione di funzioni continue \`e continua. \noindent Se ne deduce che le funzioni continue su un insieme a valori in $\R^M$ ``ereditano'' la struttura lineare di $\R^M$. Essendo la dimensione di $\R^N$ finita se ne deduce che le funzioni lineari sono continue. \noindent{\pic Un'altra dimostrazione \`e la seguente: $\scriptstyle{x\in\R^n\mapsto Ax\in\R^M}$ \`e lineare con $\scriptstyle{A}$ matrice di componenti $\scriptstyle{ A_{ij},~ 1\le i\le M, ~1\le j\le N}$. Basta provare la continuit\` a in $\scriptstyle{O\in\R^N}$ poich\`e $\scriptstyle{ Ax-Ay= A(x-y)}$. Quindi $\scriptstyle{\vert Ax\vert^2_M = \sum_i (\sum_j A_{ij} x_j)^2\le {\pic (Schwartz) } \sum_i\sum_j A_{ij}^2 \sum_j x_j^2 = \vert x\vert^2_N\sum_{ij} A_{ij}^2}$} \noindent E.g. per composizione con la somma e il prodotto si ha che le funzioni le cui componenti sono funzioni razionali a denominatore non nullo sono continue. \smallskip \noindent - $f$ \`e continua su $C$ se e solo se %le preimmagini di aperti sono aperte {\it relativamente} a $C$ % se e solo se le preimmagini di chiusi sono chiuse {\it relativamente} a $C$ { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ le preimmagini di aperti sono aperte {\it relativamente} a $C$\\ le preimmagini di chiusi sono chiuse {\it relativamente} a $C$\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular} \noindent {\bf Nota:} In particolare {\it i luoghi di zeri} di funzioni continue di $\R^N$ sono chiusi. \smallskip \noindent {\bf Compatti per successioni} Un sottoinsieme $C$ di $\R^N$ si dice {\it comaptto} (per successioni) se da ogni successione a valori in $C$ si pu\`o estrarre una sottosuccessione che converge e il cui limite \`e un elemento di $C$. \noindent - I sottoinsiemi compatti sono chiusi. I sottoinsiemi finiti sono compatti \noindent TEOREMA { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ $C\subseteq \R^N$ \`e compatto se e solo se \`e limitato e chiuso.\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular} \noindent {\pic ESERCIZIO un sottoinsieme compatto o ha un punto di accumulazione o \`e fatto da un insieme finito di punti.} \noindent TEOREMA { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ L'immagine di un compatto mediante una funzione continua \`e un compatto.\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular} \noindent {\bf NOTA:} non \`e vero in generale che l'immagine di aperti (chiusi) mediante funzioni continue sia aperta (chiusa). \noindent TEOREMA{ \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ Se $C$ \`e compatto $f:C\to \R$ allora $f$ ha un punto di massimo e un punto di minimo su $C$\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular}, \noindent cio\`e $\exists a\in C~ b\in C ~\forall x\in C ~f(a)\le f(x)\le f(b)$ \smallskip \noindent TEOREMA { \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ Se $f$ \`e continua su $C$ compatto allora \`e uniformemente continua su $C$.\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular} \smallskip \noindent {\bf Connessi.} Un sottoinsieme $C$ di $\R^N$ si dice {\it connesso} se solo se {\it non} \`e unione di due aperti (chiusi) relativamente a $C$, non vuoti e disgiunti. \noindent Cio\`e se $A, ~B$ sono entrambi aperti o chiusi di $\R^N$ per cui $A\cap C \not=\emptyset, ~B\cap C \not=\emptyset, ~C\subseteq A\cup B$ allora $A\cap B\cap C\not=\emptyset$. \noindent In altri termini {\it non} vi \`e una $f: C\to \{ 0,1\}$ surgettiva e continua su $C$. \noindent {\pic ESERCIZIO: i connessi di $\R$ sono $\emptyset$, $\R$, intervalli e semirette.} \smallskip \noindent - {\bf Definizione:} Un insieme $C$ si dice {\it connesso per archi} se ogni coppia di punti pu\`o essere congiunta da un cammino continuo interamente contenuto in $C$. \noindent Cio\`e per $x,~ y\in C$ vi \`e $\gamma_{xy} :t\in [0;1] \mapsto \gamma (t)\in C$ {\it continuo} per cui $\gamma (0)=x $ e $\gamma (1)=y$. \noindent - Ogni connesso per archi \`e anche connesso in quanto gli intervalli in $\R$ sono connessi. \noindent Il sottoinsieme di $\R^2$ dato dall'unione di $\{0\}\times [-1; 1]$ con grafico della funzione $\sin \frac 1x$ \`e connesso ma non connesso per archi. \smallskip \noindent PROPOSIZIONE Un sottoinsieme aperto e connesso \`e anche connesso per archi. \noindent TEOREMA ~~{ \begin{tabular}{| l |} \hline %%\[ %%\begin{array}{ll} ~\\ L'immagine di un connesso (connesso per archi) mediante una funzione continua\\ \`e ancora connessa (connessa per archi).\\ ~\\ %%\end{array} %%\] \hline \end{tabular}. \noindent In particolare una funzione continua su un connesso a valori reali assume tutti i valoi compresi tra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiore. %\noindent{\pic Courant-John Vol.2 Cap. 1.2, complementi e riassunto Cap. 2, Cap. 4.1, Cap. 4.App. 1} %\noindent{\pic Fusco-Marcellini-Sbordone Cap. 2.13-14-15-16-17.} \end{document}