\documentclass[,italian,a4paper]{article} \message{lezioni di cam} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} %\documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule \newcommand{\e}{{\bf e}} %% e grassetto \newcommand{\f}{{\bf f}} %% f grassetto %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 \font\pib=cmbx7 \newcommand{\scr}[1]{\scriptstyle{#1}} %\documentstyle [12pt]{article} %\pagestyle{empty} %\topmargin=-2cm %\oddsidemargin=-0.5cm %\textwidth=16.6cm %\textheight=25cm \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25.5cm %\left\{ \right. \begin {document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{V.M. Tortorelli} \centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04} \centerline{Note per la lezione tredicesima: 5 maggio 2004} \medskip %\centerline{\bf Principio di Duhamel} \noindent {\bf Principio di Duhamel} Una ``giustificazione'' del metodo della variazione delle costanti per una soluzione di $W^\prime (t)= A(t) W(t) +F(t)$ \`e dato dal seguente principio dovuto alla linearit\`a: {\it una soluzione del problema non omogeneo si ottiene per ``sovrapposizione di infiniti impulsi istantanei'', eguali al termine forzante $F$, all' ``evoluzione omogenea''} \noindent - Formulato nel presente contesto il principio diventa: \medskip \centerline{ \begin{tabular}{| l |} \hline ~\\ $\left\{ \begin{array}{lr} Y_s^\prime (t)= A(t)Y_s (t), & t\in A\\ ~&~\\ Y_s(s)=F(s)& ~ \right. \end{array} ,~~~ W(t)=\int^t Y_s (t) ds$ ~\\ ~\\ \hline \end{tabular} } \smallskip \noindent Derivando formalmente sotto il segno di integrale si ha che $W$ \`e in effetti soluzione. \medskip \noindent - Nel caso delle equazioni del primo ordine $w^\prime =aw +f$, tale formula da esattamente il secondo addendo della soluzione generale: $\int^t e^{-\int_s^t a(x)dx} f(s) ds$. \noindent Se $M(t)$ \`e la matrice data da una base dello spazio delle soluzioni dell'omeogenea sar\`a $Y_s(t) = M(t) c(s)$, con $c(s)=M^{-1}(s)F(s)$, e si ottiene \centerline{$W(t)=M(t)\int^t M^{-1} (s) F(s)ds$} \noindent che giustifica completamente i passaggi fatti e mostra come tale soluzione sia quella ottenuta dal metodo della variazione delle costanti. \noindent {\pic NOTA: nel caso di {\underline{coefficienti costanti}} $\scr{W(t)}$ viene espressa come $\scr{\int_{0}^t Z_s(t-s)ds}$ e $\scr{Z_s(0)=F(s)}$.} \medskip \noindent {\bf Risolvente di un sistema} Se si considera una base di soluzioni del sistema omogeneo $Y^\prime (t)= A(t) Y(t)$ che all'istante $s$ dia la base cartesiana di $\R^n$ indicando con $S_s(t)$ la matrice con colonne tali vettori si ha direttamente dalla definizione e dall'unicit\`a delle soluzioni del problema di Cauchy: \smallskip \centerline{\hbox{ \begin{tabular}{| l |} \hline ~\\ $\left\{ \begin{array}{lc} S_s^\prime (t)= A(t)S_s (t), &~~\\ ~&~\\ S_s(s)=Id& \right. \end{array}$ ~\\ ~\\ \hline \end{tabular}} ~~~~ \begin{tabular}{| l |} \hline ~\\ $S_{\sigma}(t)S_s (\sigma )= S_s (t) $\\ ~\\ $S_s(t) S_t(s) =Id$~\\ ~\\ \hline \end{tabular} } } \medskip \noindent tale matrice di funzioni si chiama {\it risolvente} del sistema. \medskip \noindent - \`E interessante esprimere le soluzioni generali del sistema non omogeneo $U^\prime (t)=A(t)U(t) +F(t)$ considerando la soluzione particolare data dalla variazione delle costanti arbitrarie $W(t)= S_{t_0}(t)\int S_{t_0}^{-1} (s)F(s)ds$ e le relazioni di invertibilit\`a del risolvente: \smallskip \centerline{\hbox{ \begin{tabular}{| l |} \hline ~\\ $U(t) = S_{t_0} (t) U_0 + \int_{t_0}^t S_s(t) F(s)ds $\\ ~\\ \hline \end{tabular} }} \smallskip \noindent ottenedo l'analogo della formula per le equazioni del primo ordine. \medskip \noindent NOTA: per un'equazione di ordine $n$ con termine noto $f(t)$, se $u_1, \dots u_n$ \`e una base dello spazio delle soluzioni e si cerca una soluzione particolare del tipo $c_1(t) u_1(t) +\dots c_n (t) u_n(t)$, essendo una base del sistema del primo ordine associato data dai vettori delle prime $n-1$ derivate di tali funzioni, ci si riduce a risolvere il sistema lineare numerico: \centerline{$\left(\begin{array}{ccccc} u_1(t)& \dots & \dots &\dots & u_n(t)\\ u_1^\prime (t)& \dots & \dots&\dots &u_n^\prime (t)\\ \vdots&\vdots & \dots &\dots &\vdots\\ u_1^{(n-1)}(t)& \dots&\dots &\dots & u_n^{(n-1)}(t)\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} c_1^\prime(t)\\ c_2^\prime(t)\\ \vdots\\ c_n^\prime (t)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ f (t)\end{array}\right) $} \medskip \noindent Per equazioni del secondo ordine $n=2$, si ha: $\displaystyle\left\{\begin{array}{lcl} u_1c^\prime_1 +u_2c^\prime_2 &=& 0\\ &&\\ u_1^\prime c^\prime_1 +u_2^\prime c^\prime_2& =& \frac fa\\ \end{array}\right.}$ \end{document}