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\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
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%\left\{ \right.

\begin {document}



\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 

\centerline{V.M. Tortorelli}

\centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04}




\centerline{Note per le lezioni undicesima, dodicesima e tredicesima: 28-30 aprile e 5 maggio 2004}

\medskip

\centerline{\bf Equazioni di base} 

\noindent {\bf ``Quadratura'' semplice} Se $f:A\to \R$ \`e continua su $A$ segmento in $\R$, 
per il teorema fondamentale del calcolo la $t\mapsto y_0+ \int_{t_0}^t f(s)ds$ \`e l'unica soluzione del 
problema di Cauchy 
%\hfill  
%\begin{tabular}{| l |}
%\hline
%~\\
$\left\{
\begin{array}{lr} 
y^\prime (t)= f(t), & t\in A\\
~&~\\
y(t_0)=y_0& ~
\right. 
\end{array}$
%\\
%~\\
%\hline
%\end{tabular}

\smallskip



\noindent {\bf Variabili separabili} Se $f:A\to \R$, $g:B\to \R$ sono funzioni continue 
 su $A$ e su $B$, segmenti in $\R$, si tratta di trovare le $y\in C^1 (I)$, $I$ segmento incluso in $A$, 
 per cui  
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$y^\prime (t)= f(t)g(y(t))$, $t\in I$ \\
~\\
\hline
\end{tabular}


 
\noindent - Se per $\overline y\in B$ si ha $g(\overline y)=0$ allora la funzione costante $y(t)=\overline y$, $t\in A$ \`e soluzione.
\medskip

\noindent {\it Procedimento euristico} 

\noindent i- si cercano le soluzioni che non si annullano: dall'equazione deve essere
 $\frac {y^\prime(t)}{g(y(t))}= f(t)$

\noindent ii- si considera $\Gamma$  primitiva di $\frac 1g$ su $J\subset B$
 
\noindent iii- si considera $F$ primitiva di $f$

\noindent iv-  si scelgono  $I\subset A$ e $c\in \R$ in modo che $c+F(I)\subset\Gamma (J)$ 

\noindent l'eventuale soluzione deve verificare l'equazione 
$\Gamma (y(t))= F(t)+c$, $t\in I$


\smallskip

\noindent {\it Il procedimento inverso} Considerando quindi 

\noindent i- un generico 
$]\alpha , \beta[=J\subset B$
 in modo che $g$ si annulli solo agli estremi di$J$, 

\noindent ii-una generica $\Gamma$ primitiva di $\frac 1g$ su $J$ 
~~(essendo $g$ continua non cambia segno e 
$\Gamma$ sar\`a invertibile su $J$)


\noindent iii-una generica primitiva $F$ di $f$ su $A$

\noindent iv- e determinando di conseguenza $I$ e $c$ t.c.   
$c+F(I)\subseteq \Gamma (J)$, l'intervallo di estremi 
$\Gamma (\alpha )$ e $\Gamma (\beta )$, si trova che\hfill 

\centerline{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$y(t)=\Gamma^{-1}( F(t)+c)$, $t\in I$ \\
~\\
\hline
\end{tabular}
}

\noindent \`e una soluzione e inoltre $\alpha <y(t) <\beta,~ t\in I$. 

\noindent {\it \underline{Problema di Cauchy 1}:} Quindi se $g(y_0)\not=0$ per determinare una soluzione locale al 
 problema di Cauchy 

\centerline{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$\left\{
\begin{array}{lr} 
y^\prime (t)= f(t)g(y(t)), & t\in I\\
~&~\\
y(t_0)=y_0& ~
\right. 
\end{array}$\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}
  
\noindent - si prende $J$ in modo che $y_0\in J$ e $g$ non si annulli 
se non agli estremi di $J$, $\displaystyle{\Gamma (p)= \int_{y_0}^p \frac {du}{g(u)},~ p\in J}$

\noindent - $\displaystyle{F(t)=\int_{t_0}^t f(s)ds$,  $I$ per cui $t_0\in I$ e $F(I)\subset \Gamma (J)$ 

\noindent La funzione $y(t)= \Gamma^{-1} (F(t)+c)$ \`e ben definita ed \`e soluzione, e 
 tale $y$ \`e a {\it valori in} $J$: $\alpha < y( t)< \beta$, per $t\in I$.
 Si ha l'esistenza locale per tale problema e il fatto che la soluzione 
 \`e {\it unica finch\`e non annulla} $g$.
\smallskip


\noindent {\it\underline{ Problema di Cauchy 2}:} Se 
$\int_{\alpha }^{\alpha +\varepsilon }\frac{dp}{\vert g(p)\vert} =
\int_{\beta -\varepsilon }^{\beta}\frac{dp}{\vert g(p)\vert}= +\infty$
  si ottiene che la soluzione trovata \`e globale e non pu\`o annullare $g$ se 
 non agli estremi di $A$: infatti  se fosse $g(y(t_1) )=0$ si avrebbe $y(t_1)$ eguale ad $\alpha$ o a $\beta$ 
 da cui $\int_{t_0}^t f(s)ds =\int_{y_0}^{y(t_1)} \frac {du}{g(u)}= \pm\infty$. 
 Ma $f$ ha integrale finito sugli intervalli limitati e chiusi contenuti in $A$ 
essendo continua. 

\noindent {\it \underline{Problema di Cauchy 3}:} Analogamente se $y_0$ \`e uno {\it zero isolato} di $g$ e 
$\int_{y_0-\varepsilon}^{y_0} \frac {dp}{\vert g(p)\vert}=
\int_{y_0}^{y_0 +\varepsilon} \frac {dp}{\vert g(p)\vert }=+\infty$ 
si ha che la funzione costantemente eguale a $y_0$ \`e {\it l'unica soluzione }
del problema di Cauchy.

%\noindent se $u: [t_0-\delta ; t_0+\delta ]\to \R$ fosse soluzione non costantemente eguale a $y_0$ 
% per qualche $t_1\in [t_0-\delta ; t_0+\delta ]$ sarebbe $g(u(t_1 ))\not=0$, 
%quindi per qualche $\rho$ si ha 
%$g(u(t))\not=0$ con $\vert t-t_1\vert <\rho$, e $u$ \`e uguale a $y_0$ in uno degli estermi:
% per cui si applica la procedura euristica e si ha 


\medskip

\noindent {\bf Equazioni lineari del primo ordine} $y^\prime (t) -a(t)y(t)=f(t)$ 
 con $f$ e $a$ funzioni continue su un intervallo $I$.

\noindent {\it Omogenea} $u^\prime (t)=a(t) u(t)$: se $\alpha^\prime =a$ lo 
{\it spazio vettoriale delle soluzioni} \`e dato da 
 $u(t)= ce^{\alpha(t)}$.

\noindent {\it Soluzioni} Moltiplicando per $e^{-\alpha(t)}$ ci si riduce alla ricerca di primitive di $e^{-\alpha(t)}y(t)$  
e le soluzioni sono date 


\centerline{
\begin{tabular}{| l |}
\hline
~\\
$\displaystyle{y (t)= c e^{\alpha(t)} +\int^t e^{\alpha(t) -\alpha(s)} f(s) ds
= y_0 e^{\int_{t_0}^t a(s)ds} + \int_{t_0}^t e^{-\int_t^s a(x)dx} f(s) ds} $\\
~\\
\hline
\end{tabular}
}



\noindent si noti che tutte le soluzioni dell'equazione completa si ottengono da una particolare soluzione (il secondo addendo) sommando 
una soluzione dell'omogenea.


\medskip

\centerline{\bf Sistemi lineari}

\medskip

\noindent {\bf Teorema 1} Siano $t\to a_{i,j} (t),~ f_i (t)$, $1\le i, j\le n$  funzioni continue
 su un intervallo $I$, $Y_0\in\R^n$, $t_0\in I$. Detta $A(t)$ la matrice $n\times n$ con i dati coefficienti e $F(t)$ l'$n$-pla con 
le date coordinate $f_i$: il problema di Cauchy
\medskip

$\left\{
\begin{array}{lr} 
Y^\prime (t)= A(t) Y(t) + F(t), & t\in I\\
~&~\\
Y(t_0)=Y_0& ~
\right. 
\end{array}$
~~~$\left\{
\begin{array}{ll} 
y_1^\prime (t)= a_{1,1}(t) y_1(t) +\dots a_{1,n}(t) y_n(t)+f_1 (t), & \\
\vdots&\vdost\\
y_n^\prime (t)= a_{n,1}(t) y_1(t) +\dots a_{n,n}(t) y_n(t)+f_n (t), & \\
y_1(t_0)=Y_{0,1}& ~\\
\vdots&~\\
y_n(t_0)=Y_{0,n}& ~\\
\right. 
\end{array}$
\medskip

\noindent ha un'unica soluzione globale definita su l'intero $I$.
\medskip

\noindent {\bf Teorema 2} Con le notazioni del precedente teorema
\smallskip

\noindent i- Le soluzioni di $U^\prime (t)= A(t)U(t)$ sono uno spazio vettoriale.

\noindent ii- Se $t_0\in I$ e $U^1, \dots U^n$ sono $n$-soluzioni  : $\displaystyle{det (U^1(t) \dots U^n (t)) =
det (U^1(t_0) \dots U^n (t_0)) e^{\int_{t_0}^t {\bf tr}A(s)ds}}$

\noindent - per cui lo spazio delle soluzioni ha dimensione $n$

\noindent - e tutte le sue basi sono del tipo $U^1, \dots U^n$ con $U^i$ soluzione di 
  $\left\{
\begin{array}{lr} 
U^i^\prime (t)= A(t) U^i(t)\\
~&~\\
U^i(t_0)=V^i& ~
\right. 
\end{array}$ e  $V=(V^1 \dots V^n)$ base di $\R^n$

\medskip

\noindent -Il problema di Cauchy per equazioni lineari di ordine $n$ 
 $\displaystyle{\left\{
\begin{array}{ll} 
\frac{d^n u}{dt^n}(t) + a_{n-1}\frac{d^{n-1} u}{dt^{n-1}}(t) +\dots a_1(t)\frac{d u}{dt}(t) _ a_0(t) u(t)= f(t) & ~\\
~&~\\
y(t_0)= y_0, y^\prime (t_0)= y_1 \dots , y^{(n-1)} (t_0)= y_{n-1} &~\\
\end{array}
\right.}$
\medskip

\noindent si riduce a un sistema lineare del primo orndine di dimensione $n$
$\displaystyle{\left\{\begin{array}{lc}
Y^\prime (t)= A(t) Y(t) +F(t)& \\
~&\\
Y(t_0) =Y_0&\\
\end{array}\right.}$

\noindent  considerando come incognita il vettore $Y(t)$ 
 dell'incognita e delle prime $n-1$ derivate
 $y^1(t)=y(t), y^2(t) = y^\prime (t) \dots y^n(t) = y^{n_1}^\prime (t) = y^{(n-1)} (t)$, come termine noto 
$F(t)=(0, \dots 0, f(t))$, come dato iniziale $Y_0= $(y_0, \dots , y_{n-1})$  e come matrice 


\centerline{$A(t) =\left(\begin{array}{ccccc}
0& 1& 0&\dots &0\\
0& 0& 1&\dots &0\\
\vdots&\vdots & \dots &\dots  &\vdots\\
0& \dots &\dots & 0 & 1\\
-a_0(t)&  \dots&\dots &\dots & -a_{n-1}(t)\\
\end{array}\right)$}




\medskip

\noindent {\bf Approccio generale per risolvere il problema di Cauchy}



\noindent 1- si determina una base delle soluzioni dell'omogena $(U^1(t) \dots U^n (t))=M(t)$:~~ ($det M(t)= det M(t_0) e^{\int_{t_0}^t A(s)ds}$).


\noindent 2- si trova una soluzione particolare $\overline{U}^\prime (t) =A(t) \overline{U}(t) +F(t)$


\noindent 3- si cerca $c=(c_1, \dots c_n) \in \R$  per cui la soluzione dell'equazione data da 
$c_1 U^1 (t) + \dots c_n U^n (t) + \overline{U} (t)$ verifichi le condizioni iniziali del problema, cio\`e: 
\smallskip
 
\centerline{$\displaystyle{ (U^1(t_0) \dots U^n (t_0))c = Y_0 -\overline{U} (t_0),~~ c= M(t_0)^{-1}(Y_0 -\overline{U} (t_0)) }$}

\medskip


\noindent NOTA: si ricorda che $e^{x+iy} = e^x (\cos y +i \sin y )$, $i^2 =-1$.

\medskip



\noindent {\bf Il passo 1 nel caso di coefficienti costanti}

\noindent {\bf Teorema 3}

\noindent i- una base di soluzioni per un'equazione lineare omogena a {\it coefficienti costanti} 

\centerline{ $ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots a_1 y^\prime +a_0 y=0$, $a_i\in \C}$} 


\noindent \`e data dalle funzioni $ t^k e^{t\lambda}$, $0\le k\le m_1$ ed $m$ \`e la molteplicit\`a di $\lambda\in\C$ 
 come radice del polinomio $z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots a_1 z +a_0$.

\noindent ii- se $a_{n-1} \dots a_0\in \R$ allora le radici non reali 
del polinomio sono coniugate $\alpha +i\beta$ e $\alpha -i \beta$ e una base \`e data dalle $n$ funzioni 
$t^k e^{\alpha t} \cos \beta t,~ t^k e^{\alpha t} \sin \beta t$ ed $m$ \`e la comune 
 molteplicit\`a di $\alpha\pm i\beta$ 
 come radice del polinomio.

%\noindent iii- per i sistemi lineari omogenei  una base

\noindent Nel caso $n=2$ per l'equazione $ay^{\prime\prime} + by^\prime +c y=0$, con coefficienti reali
 si ha che tutte e sole le soluzioni sono:


\centerline{$\displaystyle{\left\{\begin{array}{l r}
c_1 e^{t\alpha} \cos \beta t + c_2 e^{t\alpha} \sin \beta t & b^2 -4ac<0\\
c_1 e^{t\alpha} + c_2 t e^{t\alpha} & b^2-4ac=0\\
c_1 e^{t\alpha_1} + c_2 e^{t\alpha_2} & b^2-4ac>0\\
\end{array}\right.}$}


\noindent al variare di $c_1$ e $c_2$ in $\R$, con $\alpha \pm i\beta$, ovvero $\alpha_1$, $\alpha_2$ soluzioni di
 $ax^2 +bx +c=0$.
\medskip

\noindent {\bf Il passo 2: principali metodi per la determinazione di una soluzione particolare}

\noindent {\it \underline{Per tentativi}}

\noindent {\it \underline{Coefficienti indeterminati per equazioni a coefficienti costanti}}

\noindent Se il termine noto \`e del tipo $p(t) e^{\lambda t}$ con $p$ polinomio si cerca una soluzione del tipo:

\centerline{$t^m \tilde q (t) e^{\lambda t}$}

\noindent nel caso reale dei  coefficienti dell'equazione, con termine noto $e^{\alpha t} (p_1 (t)\cos\beta t +p_2 (t)\sin\beta t )$, 
soluzioni del tipo:

\centerline{$t^m e^{t\alpha} (q_1(t) \cos \beta t + q_2(t)\sin \beta t )$}


\noindent ove $\tilde q$ polinomio con lo stesso grado di $p$, $q_1$ e $q_2$ polinomi con gradi minori del massimo di quelli di $p_1$ e $p_2$, ed $m$ 
molteplicit\`a di $\lambda$, rispettivamente di $\alpha \pm i \beta$, come radici del polinoomio associato all'equazione.

\noindent {\it \underline{Variazione delle costanti}} Se $M(t)= (U^1\dots U^n )$ \`e una base per lo spazio delle soiluzioni del sistema omogeneo
 si cerca una soluzione del tipo 

\centerline{$\displaystyle{ W(t)=c_1(t) U^1(t) +\dots c_n(t) U^n(t) = M(t) c(t)}$}

\noindent ovvero una combinazione delle soluzioni ma con coefficienti {\it funzioni piuttosto che numeri}.
Imponendo che una siffatta funzione sia soluzione del sistema si ottiene

\centerline{$\displaystyle{W^\prime= AW+F\Leftrightarrow M^\prime c+Mc^\prime = AMc +F
\Leftrightarrow Mc^\prime= F \Leftrightarrow c^\prime = M^{-1} F}$}


\noindent ci\`o \`e possibile essendo $M$ sempre invertibile. Quindi da $c^\prime$ integrando si trova $c$.

\noindent - Nel caso di equazioni se $u_1(t), \dots u_n (t)$ sono generatori dello spazio delle soluzioni dell'omogenea,
si cercheranno soluzioni del tipo $c_1(t) u_1(t) + \dots c_n(t) u_n(t)$


\noindent - Per equazioni del secondo ordine $n=2$, ci si riduce al sistema numerico

\centerline{$\displaystyle\left\{\begin{array}{lcl}
u_1c^\prime_1 +u_2c^\prime_2 &=& 0\\
&&\\
u_1^\prime c^\prime_1 +u_2^\prime c^\prime_2& =& \frac fa\\
\end{array}\right.}$}
\end{document}