Complementi di Analisi Matematica

V.M. Tortorelli

C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04

Appunti della seconda parte della decima lezione: 7 aprile 2004

Lunghezza d'arco Richiamando le nozioni della sesta lezione si introduce per cammini $C^1$ a tratti, definiti su $[a;b]$, la nozione di parametro di lunghezza d'arco che parametrizza in modo non arbitrario l'immagine in funzione della lunghezza del percorso che si fa ``allontanandosi'' dal suo ``punto iniziale''

$s(t)=\int_a^t \vert \gamma^\prime (x)\vert dx,$ si ha $0\le s\le {\cal L}(\gamma)$

il cammino $\varphi :[0; {\cal L}(\gamma )]\mapsto\varphi (s)$ per cui $\gamma (t)= \varphi (s(t))$ è equivalente a $\gamma$ e percorre la sua immagine con ``velocità '' in modulo unitaria:   $\frac{d\varphi}{ds} \frac{ds}{dt}= \gamma^\prime$ ma $\frac{ds}{dt}=\vert \gamma^\prime\vert$.

Ciò è particolarmente significativo per quelle che si sono chiamate curve orientate: $\frac{d\varphi}{ds}$ da il versore tangente.

Insiemi semplicemente connessi Si ricorda la nozione introdotta nella sesta lezione che formalizza nel caso di sottoinsiemi del piano la nozione intuitiva di ``non aver buchi''. Un sottoinsieme $C$ di ${\bf R}^n$ si dice semplicemente connesso se è connesso (per archi) e per ogni cammino chiuso a valori in $C$, $\gamma : t\in [a;b]\mapsto \gamma (t)\in C$ vi è

$\psi\in C([a;b]_t\times [0;1]_\lambda)$, $\psi (t,\lambda)\in C$, $\psi (t,0)=\gamma (t)$, $t\mapsto \psi (t,1)$ è costante,

$t\mapsto\psi (t, \lambda)$ è un cammino chiuso ( $\psi (a,\lambda)=\psi (b,\lambda)$)

intuitivamente: $\gamma$ si deforma con continuità ad un punto rimanendo in

Complementi di Analisi Matematica

V.M. Tortorelli

C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04

Appunti della seconda parte della decima lezione: 7 aprile 2004

Lunghezza d'arco Richiamando le nozioni della sesta lezione si introduce per cammini $C^1$ a tratti, definiti su $[a;b]$, la nozione di parametro di lunghezza d'arco che parametrizza in modo non arbitrario l'immagine in funzione della lunghezza del percorso che si fa ``allontanandosi'' dal suo ``punto iniziale''

$s(t)=\int_a^t \vert \gamma^\prime (x)\vert dx,$ si ha $0\le s\le {\cal L}(\gamma)$

il cammino $\varphi :[0; {\cal L}(\gamma )]\mapsto\varphi (s)$ per cui $\gamma (t)= \varphi (s(t))$ è equivalente a $\gamma$ e percorre la sua immagine con ``velocità '' in modulo unitaria:   $\frac{d\varphi}{ds} \frac{ds}{dt}= \gamma^\prime$ ma $\frac{ds}{dt}=\vert \gamma^\prime\vert$.

Ciò è particolarmente significativo per quelle che si sono chiamate curve orientate: $\frac{d\varphi}{ds}$ da il versore tangente.

Insiemi semplicemente connessi Si ricorda la nozione introdotta nella sesta lezione che formalizza nel caso di sottoinsiemi del piano la nozione intuitiva di ``non aver buchi''. Un sottoinsieme $C$ di ${\bf R}^n$ si dice semplicemente connesso se è connesso (per archi) e per ogni cammino chiuso a valori in $C$, $\gamma : t\in [a;b]\mapsto \gamma (t)\in C$ vi è

$\psi\in C([a;b]_t\times [0;1]_\lambda)$, $\psi (t,\lambda)\in C$, $\psi (t,0)=\gamma (t)$, $t\mapsto \psi (t,1)$ è costante,

$t\mapsto\psi (t, \lambda)$ è un cammino chiuso ( $\psi (a,\lambda)=\psi (b,\lambda)$)

intuitivamente: $\gamma$ si deforma con continuità ad un punto $C$.

Operazioni con cammini e curve - Dati due cammini $\gamma$ su $[a;b]$ e $\varphi$ su $[\alpha ;\beta ]$ per cui $\gamma (b)=\varphi (\alpha )$ si definisce il cammino giustapposizione o somma dei due

$\gamma \oplus \varphi (t)= \gamma (t)$ per $t\in [a;b]$

$\gamma \oplus \varphi (t)= \varphi (t-b +\alpha )$ per $t\in [b; b+\beta -\alpha ]$

- In maniera simile dato un cammino su $[a;b]$ si definisce il cammino opposto $\ominus \gamma (t) = \gamma (b+a-t)$

Si ha $(\gamma \oplus\varphi)\oplus(\ominus \varphi)=\gamma$, per cui si scriverà $\gamma\ominus\psi$ intendendo $\gamma \oplus (\ominus\psi)$ qualora sia definita.

- Queste operazioni sono compatibili con la relazione di equivalenza di cammini orientati: ovvero somme e opposti di cammini equivalenti sono equivalenti. Per questo motivo nella pratica spesso non conviene riparametrizzare il risultato su un unico intervallo ma mantenerlo definito a pezzi. Nella teoria queste operazioni si estendono a tali classi di equivalenza.

In particolare le classe dei cammini orientati chiusi (che iniziano da un prefissato punto) a valori in un dato insieme connesso per archi, con queste operazoni formano un gruppo (chiaramente non commutativo), che è indipendente dal punto di base prescelto (punti diversi sono collegati da un camino e dal suo opposto), chiamato gruppo dei lacci.

Omotopia di cammini con estremi fissati Due cammini $\gamma$ e $\varphi$ su $[a;b]$ a valori in $A$ (connesso per archi), per cui $\gamma (a)=\varphi (a )$ e $\gamma (b) =\gamma (b )$, ovvero hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale, si dicono omotopi in $A$ se esiste

$\psi\in C([a;b]_t\times [0;1]_\lambda)$, $\psi (t,\lambda)\in A$, $\psi (t,0)=\gamma (t)$, $\psi (t,1)=\varphi (t)$

$t\mapsto\psi (t, \lambda)$ è un cammino con i prefissati estremi ( $\psi (a,\lambda)=\gamma (a)= \varphi (a),  \psi (b,\lambda)=\gamma (b)= \varphi (b)$)

- Questa nozione si estende di equivalenza di cammini orientati in quanto: cammini equivalenti a cammini omotopi sono omotopi, e inoltre due cammini possono essere riparametrizzati in modo lineare e crescente affinchè abbiano lo stesso dominio.

Si osserva che due cammini sono omotopi in $A$ se e solo se il cammino chiuso $\gamma\ominus\varphi$ è omotopo in $A$ ad un cammino costante. In particolare un dominio $A$ è semplicemente connesso se e solo se cammini con gli stessi estremi sono omotopi in $A$.

- L'omotopia in $A$ risulta a sua volta una relazione di equivalenza tra (classi di equivalenza di ) cammini orientati a valori in $A$. Inoltre giustapposizione e opposto di cammini omotopi sono omotopi al risultato rispettivo delle operazioni.

- Ne segue che in un dominio $A$ connesso per archi l'equivalenza data dall'omotopia proietta il gruppo dei lacci su un gruppo relativamente più semplice daa studiare chiamato primo gruppo di omotopia dello spazio $A$ in questione ed è uno strumento algebrico per studiare proprietà geometriche di $A$ (e.g. un dominio semplicemente connesso ha primo gruppo di omotopia di un solo elemento, se un dominio piano ha primo gruppo di omotopia isomorfo ai numeri interi ha esattamente un ``buco'' etc.).

Integrazione orientata di campi ed $1$-forme: lavoro Un concetto fondamentale in fisica è quello di lavoro di una forza lungo un cammino: l'idea intuitiva di ``somma infinita'' del prodotto tra la componente tangenziale di una forza applicata in un punto $p$ per lo spostamento ``infinitesimo'' lungo la traiettoria $d{\cal L}(p)$ nello stesso punto.

Da un punto di vista matematico avanzato lo studio di proprietà geometriche tramite il gruppo dei lacci risultano spesso impegnative: estensioni del concetto di ``lavoro lungo una curva'' sono la base per studiare proprietà geometriche meno impegnative ma decisamente più maneggevoli da analizzare.

- Su ${\bf R}^n$ in prima istanza un campo vettoriale (vettori applicati in punti) su $C\subseteq {\bf R}^n$ è indotto da una funzione $f:C\to {\bf R}^n$ continua.

- Un cammino $\gamma\in C^1$ in ${\bf R}^n$ definisce in ogni punto $\gamma (t)$ della sua immagine un vettore tangente $\gamma^\prime (t)$. Un cammino differenziabile con continutà individua un campo di vettori sulla sua immagine.

PROBLEMA: se in un aperto di ${\bf R}^n$ di ${\bf R}^n$ è definito un campo esiste una famiglia di curve che ricopre l'aperto e ognuna di esse ha come tangente il campo stesso?

- Se $v$ è un campo su $C$, $\gamma$ un cammino $C^1$ a tratti a valori in $C$ e definito su $[a;b]$, si dice lavoro di $v$ su $\gamma$:

$${\int_\gamma v=_{\rm def}\int_a^b \langle v(\gamma (t)) , \gamma^\... ...mma^\prime_i (t) dt = \int_\gamma \langle v(p), \tau (p)\rangle d{\cal L}(p)}$$

NOTA: a $v$ si può rimpiazzare il campo tangente a $\gamma$ otteneuto dalla proiezione ortogonale di $v(p)$ su $\tau (p)$.

- Tenendo presente che le coordinate cartesiane permettono di identificare punti, vettori e funzionali lineari concettualmente diversa è la nozione di $1$-forma differenziale su $C$ che in prima istanza viene individuta da una funzione continua $f$ da $C$ in $({\bf R}^n)^*$:    $p\mapsto \sum f_i(p){\bf e}^*_i$. In tale contesto è comodo denotare $f(p)$ con $f_p$.

Analogamente si definisce l'integrale (il lavoro) di una $1$-forma $\omega$ su $C$ lungo un a cammino in $C$ come l'integrale rispetto la lunghezza d'arco della funzione ottenuta applicando la forma nel punto al vettore unitario tangente alla curva nel punto

$${\int_\gamma\omega =_{\rm def}\int_a^b \omega_{\gamma (t)}( \gamma... ...ma (t))\gamma^\prime_i (t) dt = \int_\gamma \omega_p( \tau (p)) d{\cal L}(p)}$$

Se si vuole identificando i vettori con spostamenti o velocità, in assenza di di sistemi di riferimento una forza non può che essere un funzionale lineare.

NOTA: l'integrazione di campi o forme lungo cammini si differenzia da quella di funzioni in quanto non è invariante rispetto all'inversione del cammino:

$${\int_{\ominus\gamma} \omega = -\int_\gamma \omega}$$

mentre, come per l'integrale di funzioni, per l'integrale di forme vale $${\int_{\gamma\oplus\varphi} \omega = \int_\gamma \omega +\int_\varphi \omega}$$

- Tipici esempi di campo vettoriale e di $1$- forma differenziale sono il gradiente e la funzione differenziale di una funzione $C^1$ su un aperto    $\varphi :A\to {\bf R}:  x\in A\mapsto \nabla \varphi (x)\in {\bf R}^n,   x\in A\mapsto d\varphi_x \in ({\bf R}^n )^*$

- La $1$-forma differenziale costantemente eguale alla $i^a$ proiezione coordinata $\omega_x ={\bf e}^*_i$, i.e. $\omega_x (v_1 , \dots v_n)= v_i$, viene indicata con $dx_i$: e questo è coerente con il fatto che l'applicazione lineare $x\mapsto x_i$ ha come differenziale in ogni punto se stessa.

Le $n$-funzioni che identificano una froma differenziale $(\omega_1 , \dots \omega_n )\sim \omega$ non sono altro che i coefficienti della forma espressa come combinazione dei differenziali delle coordinate:

$\omega_x= \omega_1 (x) dx_1 +\dots + \omega_n (x) dx_n$

- D'altra parte fissato $x\in {\bf R}^n$ e un vettore $v_x$ (un campo su un punto) per ogni funzione regolare in un intorno di $x$ è definita $f\mapsto \frac{\partial f}{\partial v_x}(x) = v_{x, 1} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x) +\dots v_{x,n}\frac {\partial f}{\partial x_n}(x)$. Quindi (indicata con $\delta_x$ la funzione di valutazione in $x$ : $\delta_x f= f(x)$) un campo si identifica con ``un'operatore di derivazione'' puntulale, e i campi che danno in ogni punto i vettori coordinati con i rispettivi operatori di derivazione parziale nel punto:

$${ v_x = v_{x, 1}\delta_x \frac{\partial }{\partial x_1} +\dots v_{x,n}\delta_x\frac {\partial }{\partial x_n}}$$

Differenza tra funzioni e campi o forme. È bene osservare che sebbene a livello introduttivo si siano presentati i campi e le forme proprio come $n$-ple di funzioni i concetti sottointesi sono molto diversi: quando con le $n$-funzioni si intende un campo o una forma differenziale si considera una diversa legge di cambiamento di questa rapprasentazione quando cambino in maniera generale le coordinate del dominio.

La situazione è analoga a quella di un $n$-pla di numeri che rappresenta sia un vettore che un funzionale lineare: la differente denotazione si caratterizza nel diverso modo in cui cambia la $n$-pla cambiando semplicemente in modo lineare le coordinate. ¹

- Nel caso in questione, invece di semplici cambiamenti di coordinate lineari, si considerano cambiamenti di coordinate $C^1$: si considera un $A$ aperto di ${\bf R}^n$ e una sua ``riparametrizzazione'' $\Psi :y\in B\to \Psi (y)=x\in A$ una funzione $C^1$ bigettiva con inversa $C^1$, le nuove funzioni coordinate saranno appunto date $y=Y(x)=\Psi^{-1} (x)$.

Questo sistema di coordinate da in ogni punto di $x\in A$ una diversa base di vettori dello ``spazio tangente'' in $x$ che nel caso è ${\bf R}^n$. Per maggior chiarezza si indichi la $n$-pla di ${\bf R}^n$ composta da zeri tranne che un $1$ all'$i^o$ posto con ${\bf e}_i$ se si pensa come vettore applicato in un punto di $x\in A$ e con $f_i$ se si pensa come vettore applicato in un punto $y\in B$.

Nelle coordinate rispetto ${\bf e}_1 \dots {\bf e}_n$ la nuova base è $\left(\frac{\partial \Psi}{\partial y_1} (y),\dots \frac{\partial \Psi}{\partial y_n} (y)\right) =( d\Psi_{y}{\bf f}_1 , \dots \Psi_{y}{\bf f}_n)$, che corrispondono alle ``velocità '' delle curve immagine mediante $\Psi$ delle direzioni coordinate cartesiane in $B$ parametrizzate linearmente: $t\mapsto y +t{\bf f}_i$ .

- Una $n$-pla di funzioni $\omega$ definite in $A$ se considerata come funzione si trasforma semplicemente in $y\mapsto \omega(\Psi (y))$. Quando si considera la $n$-pla di funzioni come forma differenziale la trasformazione `` diretta'' per la regola della catena sui differenziali $dx_i = d\Psi_i = \sum_j \frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} dy_j$ è

$${ \omega_{\Psi (y)} = \sum_{i=1}^n \omega_i dx_i =\sum_j \left(\sum_i \omega_i \frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} \right)dy_j}$$

in effetti come funzione lineare che agisce sulle nuove coordinate $w$ si ottine semplicemente:

$${\omega_{\Psi (y)} v= \omega_{\Psi (y)} \cdot d\Psi_y \cdot dY_{\Psi (y)} v = \omega_{\Psi (y)} \cdot d\Psi w }$$

quindi alla $n$-pla $(\omega_1 (x), \dots \omega_n (x))$ corrisponde la $n$-pla $\nabla\Psi_y \omega (\Psi (y))= ^tdY^{-1} \omega$

- Nel caso in cui la forma è il differenziale di una funzione $\varphi$ da $A$ in ${\bf R}$ si ha in effetti per l a regola della catena $d \varphi{\scriptstyle{\circ}}\Psi_y = d\varphi_{\Psi (y)} d\Psi_y$. Quindi il differenziale rispetto alle nuove variabili è proprio l'esperssione della forma nelle nuove variabili.

- Se si considera invece una $n$-pla come campo di vettori e si vogliono le sue coordinate rispetto alla base indicata si ottengo le $n$-funzioni $\left(d\Psi_y \right)^{-1} f= (d (\Psi )^{-1}_x) f= d Y f$: ovvero le coordinate di $dY f_x$ rispetto al riferimento cartesiano ${\bf f}_1\dots {\bf f}_n$ di $B$: se $\sum f_i {\bf e}_i=\sum g_i d\Psi{\bf f}_i$ applicando $dY$ si ottiene $dY f= \sum g_i {\bf f}_i$ .

- La nozione di campo come derivazione giustifica la richiesta di questa trasformazione: se si considera la derivazone definita da $f$ rispetto alle variabili $x$ essa espressa come derivazione rispetto alle variabili $y$, avendo per la regola della catena $\frac{\partial }{\partial x_i} =\frac{\partial Y_1 }{\partial x_i} \frac{\parti... ... y_1} +\dots \frac{\partial Y_n }{\partial x_i} \frac{\partial }{\partial y_n}$

da luogo ad una diversa $n$-pla di funzioni: $f_{\Psi (y)} \sim_x \sum_i f_i \frac{\partial }{\partial x_i}= \sum_j\left(\sum... ...\partial x_i} f_i\right) \frac{\partial }{\partial y_j} \sim_y d Yf_{\Psi(y )}$

- Ancor di più si apprezza questa differenza considerando il caso in cui $C$ è una $k$-superficie regolare parametrizzata da qualche $\Phi :A\subseteq {\bf R}^k \to {\bf R}^n$ e la funzione $f$ dia un vettore tangente nel punto in cui la si calcola. In questo caso la base dello spazio tangente in $z=\Phi (x)$ disponibile è $\left(\frac{\partial \Psi}{\partial y_1} (Y(x)),\dots \frac{\partial \Psi}{\partial y_k} (Y(x))\right)$.

Un cambiamento di coordinate su $A$: $Y :A\to B$ da una riparametrizzazione di $C$, $\Phi{\scriptstyle{\circ}} Y^{-1}$, e quindi una nuova base del tangente in ogni punto.

- Nel caso in cui il campo sia una gradiente $f=\nabla_x \varphi$ con $\varphi : x\in A\mapsto {\bf R}$ la sua espressione nelle nuove coordinate $dY \nabla_x \varphi$ non è il gradiente rispetto ad esse della $\varphi{\scriptstyle{\circ}}\Psi :y\in B \mapsto {\bf R}$.

Rimontato (pull-back)di una forma Più in generale se $\Psi : B\subseteq {\bf R}^m\to A\subseteq {\bf R}^n$ è una mappa $C^1$ ed $\omega$ una forma differenziale su $A$ si definisce la forma differenziale rimontata (pull-back) di $\omega$ mediante $\Psi$ su $B$ come $\omega{\scriptstyle\circ}\Psi\cdot d\Psi$. Essa viene denotata con $\Psi^\sharp \omega$.

- Se $\varphi$ è una funzione definita su $A$ si indicherà ancora con $\Psi^\sharp \varphi$ la funzione composta $\varphi {\scriptstyle{\circ}}\Psi$. Chiaramente per la regola della catena:

$d\Psi^\sharp \varphi =\Psi^\sharp (d\varphi )$

- Se $\gamma$ è una funzione a valori in $B$ si indicherà con $\Psi_\sharp\gamma$ la sua immagine $\Psi{\scriptstyle{\circ}}\gamma$.

- Infine tale trasformazione è esattamente quello che ci aspetta dall' ``azione'' delle funzioni vettoriali sui cammini: il lavoro non deve cambiare cambiando sistema di coordinate

$${ \int_\gamma\Psi^\sharp \omega =  \int_{\Psi_\sharp\gamma} \omega }$$

I principali teoremi: caratterizzazione forme esatte e campi conservativi, forme chiuse e forme localmente esatte, Teorema di Poincarè , invarianza per omotopia regolare dell'integrale di una forma chiusa o localmente esatta, esattezza delle forme e integrabilità di campi chiusi su domini semplicemente connessi. Cfr. C.J e F.M.S.

Formula di Gauss-Green mediante integrazione orientata

$1$-forma dell'area