\documentclass[,italian,a4paper]{article} \message{lezioni di cam} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} %\documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule \newcommand{\e}{{\bf e}} %% e grassetto \newcommand{\f}{{\bf f}} %% f grassetto %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 \font\pib=cmbx7 \newcommand{\scr}[1]{\scriptstyle{#1}} %\documentstyle [12pt]{article} %\pagestyle{empty} %\topmargin=-2cm %\oddsidemargin=-0.5cm %\textwidth=16.6cm %\textheight=25cm \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25.5cm \begin {document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{V.M. Tortorelli} \centerline{C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04} \centerline{Appunti della seconda parte della decima lezione: 7 aprile 2004} \medskip \noindent {\bf Lunghezza d'arco} Richiamando le nozioni della sesta lezione si introduce per cammini $C^1$ a tratti, definiti su $[a;b]$, la nozione di parametro di {\it lunghezza d'arco} che parametrizza in modo non arbitrario l'immagine in funzione della lunghezza del percorso che si fa ``allontanandosi'' dal suo ``punto iniziale'' \centerline{$s(t)=\int_a^t \vert \gamma^\prime (x)\vert dx,$ si ha $0\le s\le {\cal L}(\gamma)$} \noindent il cammino $\varphi :[0; {\cal L}(\gamma )]\mapsto\varphi (s)$ per cui $\gamma (t)= \varphi (s(t))$ \`e equivalente a $\gamma$ e percorre la sua immagine con ``velocit\`a '' in modulo unitaria:~~ $\frac{d\varphi}{ds} \frac{ds}{dt}= \gamma^\prime$ ma $\frac{ds}{dt}=\vert \gamma^\prime\vert$. \noindent Ci\`o \`e particolarmente significativo per quelle che si sono chiamate curve orientate: $\frac{d\varphi}{ds}$ da il versore tangente. \noindent {\bf Insiemi semplicemente connessi} Si ricorda la nozione introdotta nella sesta lezione che formalizza nel caso di sottoinsiemi del piano la nozione intuitiva di ``non aver buchi''. Un sottoinsieme $C$ di $\R^n$ si dice {\it semplicemente connesso} se \`e connesso (per archi) e per ogni cammino chiuso a valori in $C$, $\gamma : t\in [a;b]\mapsto \gamma (t)\in C$ vi \`e $\psi\in C([a;b]_t\times [0;1]_\lambda)$, $\psi (t,\lambda)\in C$, $\psi (t,0)=\gamma (t)$, $t\mapsto \psi (t,1)$ \`e costante, $t\mapsto\psi (t, \lambda)$ \`e un cammino chiuso ($\psi (a,\lambda)=\psi (b,\lambda)$) \noindent intuitivamente: $\gamma$ si deforma con continuit\`a ad un punto {\it rimanendo in } $C$. \noindent {\bf Operazioni con cammini e curve} - Dati due cammini $\gamma$ su $[a;b]$ e $\varphi$ su $[\alpha ;\beta ]$ per cui $\gamma (b)=\varphi (\alpha )$ si definisce il cammino {\it giustapposizione o somma} dei due $\gamma \oplus \varphi (t)= \gamma (t)$ per $t\in [a;b]$ $\gamma \oplus \varphi (t)= \varphi (t-b +\alpha )$ per $t\in [b; b+\beta -\alpha ]$ \noindent - In maniera simile dato un cammino su $[a;b]$ si definisce il cammino {\it opposto} $\ominus \gamma (t) = \gamma (b+a-t)$ \noindent Si ha $(\gamma \oplus\varphi)\oplus(\ominus \varphi)=\gamma$, per cui si scriver\`a $\gamma\ominus\psi$ intendendo $\gamma \oplus (\ominus\psi)$ qualora sia definita. \noindent - Queste operazioni sono compatibili con la relazione di equivalenza di cammini {\it orientati}: ovvero somme e opposti di cammini equivalenti sono equivalenti. Per questo motivo nella pratica spesso non conviene riparametrizzare il risultato su un unico intervallo ma mantenerlo definito a pezzi. Nella teoria queste operazioni si estendono a tali classi di equivalenza. \noindent In particolare le classe dei cammini orientati chiusi (che iniziano da un prefissato punto) a valori in un dato insieme connesso per archi, con queste operazoni formano un {\it gruppo} (chiaramente non commutativo), che \`e indipendente dal punto di base prescelto (punti diversi sono collegati da un camino e dal suo opposto), chiamato gruppo dei lacci. \noindent {\bf Omotopia di cammini con estremi fissati} Due cammini $\gamma$ e $\varphi$ su $[a;b]$ a valori in $A$ (connesso per archi), per cui $\gamma (a)=\varphi (a )$ e $\gamma (b) =\gamma (b )$, ovvero hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale, si dicono {\it omotopi in } $A$ se esiste $\psi\in C([a;b]_t\times [0;1]_\lambda)$, $\psi (t,\lambda)\in A$, $\psi (t,0)=\gamma (t)$, $\psi (t,1)=\varphi (t)$ $t\mapsto\psi (t, \lambda)$ \`e un cammino con i prefissati estremi ($\psi (a,\lambda)=\gamma (a)= \varphi (a), ~\psi (b,\lambda)=\gamma (b)= \varphi (b)$) \noindent - Questa nozione si estende di equivalenza di cammini orientati in quanto: cammini equivalenti a cammini omotopi sono omotopi, e inoltre due cammini possono essere riparametrizzati in modo lineare e crescente affinch\`e abbiano lo stesso dominio. \noindent Si osserva che due cammini sono omotopi in $A$ se e solo se il cammino chiuso $\gamma\ominus\varphi$ \`e omotopo in $A$ ad un cammino costante. In particolare un dominio $A$ \`e semplicemente connesso se e solo se cammini con gli stessi estremi sono omotopi in $A$. \noindent - L'omotopia in $A$ risulta a sua volta una relazione di equivalenza tra (classi di equivalenza di ) cammini orientati a valori in $A$. Inoltre giustapposizione e opposto di cammini omotopi sono omotopi al risultato rispettivo delle operazioni. \noindent - Ne segue che in un dominio $A$ connesso per archi l'equivalenza data dall'omotopia proietta il gruppo dei lacci su un gruppo relativamente pi\`u semplice daa studiare chiamato {\it primo gruppo di omotopia} dello spazio $A$ in questione ed \`e uno strumento algebrico per studiare propriet\`a geometriche di $A$ (e.g. un dominio semplicemente connesso ha primo gruppo di omotopia di un solo elemento, se un dominio piano ha primo gruppo di omotopia isomorfo ai numeri interi ha esattamente un ``buco'' etc.). \medskip \noindent {\bf Integrazione orientata di campi ed $1$-forme: lavoro} Un concetto fondamentale in fisica \`e quello di lavoro di una forza lungo un cammino: l'idea intuitiva di ``somma infinita'' del prodotto tra la componente tangenziale di una {\it forza applicata in un punto $p$} per lo spostamento ``infinitesimo'' lungo la traiettoria $d{\cal L}(p)$ nello stesso punto. Da un punto di vista matematico avanzato lo studio di propriet\`a geometriche tramite il gruppo dei lacci risultano spesso impegnative: estensioni del concetto di ``lavoro lungo una curva'' sono la base per studiare propriet\`a geometriche meno impegnative ma decisamente pi\`u maneggevoli da analizzare. \noindent - Su $\R^n$ in prima istanza un {\it campo vettoriale} (vettori applicati in punti) su $C\subseteq \R^n$ \`e indotto da una funzione $f:C\to \R^n$ continua. % il campo indotto una tale $n$-pla di funzioni %delle $n$ variabili sar\`a: %\centerline{$p\in C\mapsto (p , f(p))\in C\times \R^n$} \noindent - Un cammino $\gamma\in C^1$ in $\R^n $ definisce in ogni punto $\gamma (t)$ della sua immagine un vettore tangente $\gamma^\prime (t)$. Un cammino differenziabile con continut\`a individua un campo di vettori sulla sua immagine. \noindent PROBLEMA: se in un aperto di $\R^n$ di $\R^n$ \`e definito un campo esiste una famiglia di curve che ricopre l'aperto e ognuna di esse ha come tangente il campo stesso? \noindent \noindent - Se $v$ \`e un campo su $C$, $\gamma$ un cammino $C^1$ a tratti a valori in $C$ e definito su $[a;b]$, si dice {\it lavoro di $v$ su $\gamma$}: \centerline{ $\displaystyle{\int_\gamma v=_{\rm def}\int_a^b \langle v(\gamma (t)) , \gamma^\prime (t)\rangle dt = \int_a^b\sum_{i=1}^n v_i (\gamma (t))\gamma^\prime_i (t) dt = \int_\gamma \langle v(p), \tau (p)\rangle d{\cal L}(p)}$ } \noindent NOTA: a $v$ si pu\`o rimpiazzare il campo tangente a $\gamma$ otteneuto dalla proiezione ortogonale di $v(p)$ su $\tau (p)$. %\noindent Pur non centrando il punto % vale la pena osservare che, pur essendo evidente che $\R^2\setminus \{ (0,0)\}$ % non \`e semplicemente connesso, una dimostrazione diretta dalla definizione %per quanto elementare \`e piuttosto farraginosa: piuttosto % ci si osserva che circonferenze abbastanza piccole attorno a punti diversi da $(0,0)$ % non girano attorno a $(0,0)$ mentre \noindent - Tenendo presente che le coordinate cartesiane permettono di identificare punti, vettori e funzionali lineari concettualmente diversa \`e la nozione di {\it $1$-forma differenziale} su $C$ che in prima istanza viene individuta da una funzione continua $f$ da $C$ in $(\R^n)^*$:~~~{$p\mapsto \sum f_i(p)\e^*_i $}. In tale contesto \`e comodo denotare $f(p)$ con $f_p$. \noindent Analogamente si definisce l'integrale (il lavoro) di una $1$-forma $\omega$ su $C$ lungo un a cammino in $C$ come l'integrale rispetto la lunghezza d'arco della funzione ottenuta applicando la forma nel punto al vettore unitario tangente alla curva nel punto \centerline{ $\displaystyle{\int_\gamma\omega =_{\rm def}\int_a^b \omega_{\gamma (t)}( \gamma^\prime (t)) dt = \int_a^b\sum_{i=1}^n \omega_i (\gamma (t))\gamma^\prime_i (t) dt = \int_\gamma \omega_p( \tau (p)) d{\cal L}(p)}$ } \noindent Se si vuole identificando i vettori con spostamenti o velocit\`a, in assenza di di sistemi di riferimento una forza non pu\`o che essere un funzionale lineare. \noindent NOTA: l'integrazione di campi o forme lungo cammini si differenzia da quella di funzioni in quanto non \`e invariante rispetto all'inversione del cammino: \centerline{$\displaystyle{\int_{\ominus\gamma} \omega = -\int_\gamma \omega}$} \noindent mentre, come per l'integrale di funzioni, per l'integrale di forme vale $\displaystyle{\int_{\gamma\oplus\varphi} \omega = \int_\gamma \omega +\int_\varphi \omega}$ \noindent - Tipici esempi di campo vettoriale e di $1$- forma differenziale sono il gradiente e la funzione differenziale di una funzione $C^1$ su un aperto ~~$\varphi :A\to \R :~ ~x\in A\mapsto \nabla \varphi (x)\in \R^n,~~ x\in A\mapsto d\varphi_x \in (\R^n )^*$ \noindent - La $1$-forma differenziale costantemente eguale alla $i^a$ proiezione coordinata $\omega_x =\e^*_i$, {\it i.e.} $\omega_x (v_1 , \dots v_n)= v_i$, viene indicata con $dx_i$: e questo \`e coerente con il fatto che l'applicazione lineare $x\mapsto x_i$ ha come differenziale in ogni punto se stessa. \noindent Le $n$-funzioni che identificano una froma differenziale $(\omega_1 , \dots \omega_n )\sim \omega$ non sono altro che i coefficienti della forma espressa come combinazione dei differenziali delle coordinate: \centerline{$\omega_x= \omega_1 (x) dx_1 +\dots + \omega_n (x) dx_n$} \noindent - D'altra parte fissato $x\in \R^n$ e un vettore $v_x$ (un campo su un punto) per ogni funzione regolare in un intorno di $x$ \`e definita $f\mapsto \frac{\partial f}{\partial v_x}(x) = v_{x, 1} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x) +\dots v_{x,n}\frac {\partial f}{\partial x_n}(x)$. Quindi (indicata con $\delta_x$ la funzione di valutazione in $x$ : $\delta_x f= f(x)$) un campo si identifica con ``un'operatore di derivazione'' puntulale, e i campi che danno in ogni punto i vettori coordinati con i rispettivi operatori di derivazione parziale nel punto: \centerline{$\displaystyle{ v_x = v_{x, 1}\delta_x \frac{\partial }{\partial x_1} +\dots v_{x,n}\delta_x\frac {\partial }{\partial x_n}}$} \noindent {\bf Differenza tra funzioni e campi o forme.} \`E bene osservare che sebbene a livello introduttivo si siano presentati i campi e le forme proprio come $n$-ple di funzioni i concetti sottointesi sono molto diversi: quando con le $n$-funzioni si intende un campo o una forma differenziale si considera una diversa legge di cambiamento di questa rapprasentazione quando cambino in maniera generale le coordinate del dominio. \noindent La situazione \`e analoga a quella di un $n$-pla di numeri che rappresenta sia un vettore che un funzionale lineare: la differente denotazione si caratterizza nel diverso modo in cui cambia la $n$-pla cambiando semplicemente in modo lineare le coordinate. {\footnote{ \noindent PROMEMORIA {\pic Gli elementi di $\scriptstyle{\R^n}$ grazie alla sola struttura lineare rappresentano sia punti dello spazio che vettori (traslazioni). Grazie al prodotto scalare ``cartesiano'' (ovvero l'aver fissato una base) le $\scr n$-ple inoltre rappresentano sia vettori che funzionali lineari ( $\scr 1$-forme): $\scr{\omega (x_1 , \dots x_n) = \omega (\e_1 ) x_1 +\dots \omega (\e_n )x_n}$, e quindi la $\scr n$-pla $\scr{(\omega(\e_1) , \dots \omega (\e_n))}$ identifica univocamente la forma $\scr\omega$: in effetti $\scr{\omega = \sum \omega(\e_i)\e_i^*}$. Tale differenza di ``denotazione'' viene caratterizzata gi\`a dai cambiamenti di funzioni coordinate semplicemente lineari: ovvero se le nuove coordinate sono date da $\scr{x\mapsto y=Mx}$ (essendo le colonne di $\scr{M^{-1}}$ gli elementi di $\scr{\R^n}$ che danno il nuovo sistema di coordinate) %$\scr{\f_i=\sum_j m_{i,j} \e^*_j}$ la $\scr n$-pla $\scr{a=(a_1\dots a_n)}$ come vettore ha appunto nuove coordinate $\scr{Ma}$ mentre la $\scr 1$-forma da essa individuata $\scr{x\mapsto \omega (x) =\sum a_i x_i}$ come funzione delle nuove coordinate individua la $\scr n$-pla $\scr{~^tM^{-1} a}$: $\scr{\omega (x)= \omega (M^{-1} Mx)}$. %$\scr{a=(a_1 , \dots a_n) = \sum a_1 \e_i =\sum \alpha_i \f_i}$ % con $\scr{\alpha = Ma}$ la forma individuata da $\scr a$ ($\scr{x\mapsto \sum a_i x_i}) $ % \`e rappresentata %se $\scriptstyle{\f_1\in\R^n \dots \f_n\in \R^n}$ %genera % un sistema di coordinate lineari diverso da quello %cartesiano di $\scriptstyle{\R^n}$, indicando con $\scriptstyle{M}$ %la matrice che ha per colonne % rispettivamente le coordinate cartesiane di $\scriptstyle{{\pib f}_1}$, %$\dots $ $\scriptstyle{{\pib f}_n}$, si ha che % la $\scriptstyle{n}$-pla $\scriptstyle{x=(x_1, \dots x_n)\in R^n}$ %se considerata come vettore si esprime come % $\scriptstyle{x= \sum x_i {\bf e}_i =\sum y_i {\pib f}_i}$ e le % coordinate, $\scriptstyle{y=(y_1 \dots y_n)}$, %nel nuovo sistema date dal prodotto %righe per colonne $\scriptstyle{y=^{-1}x}$: in effetti %$\scriptstyle{x= \sum x_i {\bf e}_i =\sum y_i {\pib f}_i}$ \noindent (Si osserva che un cambiamento di coordinate da un sistema ortonormale ad un altro in $\scr{\R^n}$, a cui \`e associata una matrice ortonormale $\scr{M^{-1}= ~^t M}$, ha la stessa azione sulla $\scr n$-pla sia che venga intesa come vettore che come $\scr 1$-forma)} }} \noindent - Nel caso in questione, invece di semplici cambiamenti di coordinate lineari, si considerano cambiamenti di coordinate $C^1$: si considera un $A$ aperto di $\R^n$ e una sua ``riparametrizzazione'' $\Psi :y\in B\to \Psi (y)=x\in A$ una funzione $C^1$ bigettiva con inversa $C^1$, le nuove funzioni coordinate saranno appunto date $y=Y(x)=\Psi^{-1} (x)$. \noindent Questo sistema di coordinate da in ogni punto di $x\in A$ una diversa base di vettori dello ``spazio tangente'' in $x$ che nel caso \`e $\R^n$. Per maggior chiarezza si indichi la $n$-pla di $\R^n$ composta da zeri tranne che un $1$ all'$i^o$ posto con $\e_i$ se si pensa come vettore applicato in un punto di $x\in A$ e con $f_i$ se si pensa come vettore applicato in un punto $y\in B$. \noindent Nelle coordinate rispetto $\e_1 \dots \e_n$ la nuova base \`e $\left(\frac{\partial \Psi}{\partial y_1} (y),\dots \frac{\partial \Psi}{\partial y_n} (y)\right) =( d\Psi_{y}\f_1 , \dots \Psi_{y}\f_n) $, che corrispondono alle ``velocit\`a '' delle curve immagine mediante $\Psi$ delle direzioni coordinate cartesiane in $B$ parametrizzate linearmente: $t\mapsto y +t\f_i$ . \noindent - Una $n$-pla di funzioni $\omega$ definite in $A$ se considerata come funzione si trasforma semplicemente in $y\mapsto \omega(\Psi (y))$. Quando si considera la $n$-pla di funzioni come forma differenziale la trasformazione {\it `` diretta''} per la regola della catena sui differenziali $dx_i = d\Psi_i = \sum_j \frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} dy_j$ \`e \centerline{$\displaystyle{ \omega_{\Psi (y)} = \sum_{i=1}^n \omega_i dx_i =\sum_j \left(\sum_i \omega_i \frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} \right)dy_j}$} \noindent in effetti come funzione lineare che agisce sulle nuove coordinate $w$ si ottine semplicemente: \centerline{$\displaystyle{\omega_{\Psi (y)} v= \omega_{\Psi (y)} \cdot d\Psi_y \cdot dY_{\Psi (y)} v = \omega_{\Psi (y)} \cdot d\Psi w }$ } \noindent quindi alla $n$-pla $(\omega_1 (x), \dots \omega_n (x))$ corrisponde la $n$-pla $\nabla\Psi_y \omega (\Psi (y))= ~^tdY^{-1} \omega$ \noindent - Nel caso in cui la forma \`e il differenziale di una funzione $\varphi$ da $A$ in $\R$ si ha in effetti per l a regola della catena $d \varphi{\scr\circ}\Psi_y = d\varphi_{\Psi (y)} d\Psi_y$. Quindi il differenziale rispetto alle nuove variabili \`e proprio l'esperssione della forma nelle nuove variabili. \noindent - Se si considera invece una $n$-pla come campo di vettori e si vogliono le sue coordinate rispetto alla base indicata si ottengo le $n$-funzioni $\left(d\Psi_y \right)^{-1} f= (d (\Psi )^{-1}_x) f= d Y f $: ovvero le coordinate di $dY f_x$ rispetto al riferimento cartesiano $\f_1\dots \f_n$ di $B$: se $\sum f_i \e_i=\sum g_i d\Psi\f_i$ applicando $dY$ si ottiene $dY f= \sum g_i \f_i$ . %il differnziale \`e il trasposto del gradiente e ... non viceversa %se non c'e' il gradiente ci pu\`o essere il differenziale \noindent - La nozione di campo come derivazione giustifica la richiesta di questa trasformazione: se si considera la derivazone definita da $f$ rispetto alle variabili $x$ essa espressa come derivazione rispetto alle variabili $y$, avendo per la {\it regola della catena} $\frac{\partial }{\partial x_i} =\frac{\partial Y_1 }{\partial x_i} \frac{\partial }{\partial y_1} +\dots \frac{\partial Y_n }{\partial x_i} \frac{\partial }{\partial y_n}$ \noindent da luogo ad una diversa $n$-pla di funzioni: $f_{\Psi (y)} \sim_x \sum_i f_i \frac{\partial }{\partial x_i}= \sum_j\left(\sum_i \frac{\partial Y_j }{\partial x_i} f_i\right) \frac{\partial }{\partial y_j} \sim_y d Yf_{\Psi(y )} $ \noindent - Ancor di pi\`u si apprezza questa differenza considerando il caso in cui $C$ \`e una $k$-superficie regolare parametrizzata da qualche $\Phi :A\subseteq \R^k \to \R^n$ e la funzione $f$ dia un vettore tangente nel punto in cui la si calcola. In questo caso la base dello spazio tangente in $z=\Phi (x)$ disponibile \`e $\left(\frac{\partial \Psi}{\partial y_1} (Y(x)),\dots \frac{\partial \Psi}{\partial y_k} (Y(x))\right)$. \noindent Un cambiamento di coordinate su $A$: $Y :A\to B$ da una riparametrizzazione di $C$, $\Phi{\scr\circ} Y^{-1}$, e quindi una nuova base del tangente in ogni punto. % $(\Phii (t), f(\Phi (t))$ %Cambiando parametrizzazione di $C$, ovvero cambiando sistema di coordinate %su $A$ con una $\Psi$ %******************************** % \noindent - Nel caso in cui il campo \`e $f=\nabla \varphi$, con $\varphi$ % funzione $C^1$ su $A$, % tale trasformazione si %ottiene direttamente dalla regola della catena: %$\nabla_y (\varphi{\scr\circ}\Psi) =\nabla\Psi f$ %\noindent Nel caso in cui il campo \`e quello delle velocit\`a su % un cammino $\gamma :t \mapsto \gamma (t)\in B$ %gradiente come trasposto del differenziale o tramite riesz ...:il secondo! \noindent - Nel caso in cui il campo sia una gradiente $f=\nabla_x \varphi$ con $\varphi : x\in A\mapsto \R$ la sua espressione nelle nuove coordinate $dY \nabla_x \varphi$ {\it non} \`e il gradiente rispetto ad esse della $\varphi{\scr{\circ}}\Psi :y\in B \mapsto \R$. \noindent{\pic In effetti quest'ultima $\scr n$-pla rappresenta il differenziale di $\scr{\varphi{\scr{\circ}}\Psi}$ rispetto al prodotto scalare canonico delle coordinate cartesiane in $\scr B$, relative agli usuali vettori del riferimento cartesiani $\scr{ \f_1 \dots \f_n}$: se $\scr{k= \sum_i k_i \f_i}$ allora $\scr{d\varphi{\scr{\circ}} \Psi (h)= \sum_i \frac{\partial \varphi{\scr{\circ}}\Psi} {\partial y_i} k_i = \langle \nabla_y \varphi{\scr{\circ}}\Psi ,k\rangle_y}$. Invece la prima rappresenta tale differenziale rispetto ad un altro prodotto (forma bilineare) tra una coppia di $\scr n$-ple coordinate in $\scr B$ relative a $\scr{ \f_1 \dots \f_n}$ che sia uguale al prodotto scalare ordinario delle coordinate relative a $\scr{\e_1 \dots \e_n}$: se $\scr{a= dY u}$, $\scr{b=dYv}$ sono $\scr n$-ple coordinate rispetto $\scr{\f_1 \dots \f_n}$ si ha $\scr{ \sum_i u_i v_i =\langle u, v\rangle_x = \langle d\Psi a, d\Psi b\rangle_x =\sum_{i,j,m}\frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} \frac{\partial \Psi_i}{\partial y_m} a_m b_j}$. Quindi se $\scr{k= \sum_i k_i \f_i}$ la $\scr n$-pla $\scr{w= dY\nabla_x \varphi}$ \`e tale che $\scr{d\varphi{\scr{\circ }}\Psi (k)= \sum_{i,j ,m} \frac{\partial \Psi_i}{\partial y_j} \frac{\partial \Psi_i} {\partial y_m} w_m k_j = \langle d\Psi w ,d\Psi k\rangle_x}$. } \noindent {\bf Rimontato} (pull-back){\bf di una forma} Pi\`u in generale se $\Psi : B\subseteq \R^m\to A\subseteq \R^n$ \`e una mappa $C^1$ ed $\omega$ una forma differenziale su $A$ si definisce la forma differenziale {\it rimontata} (pull-back) di $\omega$ mediante $\Psi$ su $B$ come $\omega{\scriptstyle\circ}\Psi\cdot \, d\Psi$. Essa viene denotata con $\Psi^\sharp \omega$. \noindent - Se $\varphi$ \`e una funzione definita su $A$ si indicher\`a ancora con $\Psi^\sharp \varphi$ la funzione composta $\varphi {\scr{\circ}}\Psi$. Chiaramente per la regola della catena: \centerline{$ d\Psi^\sharp \varphi =\Psi^\sharp (d\varphi )$} \noindent - Se $\gamma$ \`e una funzione a valori in $B$ si indicher\`a con $\Psi_\sharp\gamma $ la sua immagine $\Psi{\scr\circ}\gamma$. \noindent - Infine tale trasformazione \`e esattamente quello che ci aspetta dall' ``azione'' delle funzioni vettoriali sui cammini: il lavoro non deve cambiare cambiando sistema di coordinate \centerline{$\displaystyle{ \int_\gamma\Psi^\sharp \omega ~=~ \int_{\Psi_\sharp\gamma} \omega }$} \noindent {\bf I principali teoremi:} caratterizzazione forme esatte e campi conservativi, forme chiuse e forme localmente esatte, Teorema di Poincar\`e , invarianza per omotopia regolare dell'integrale di una forma chiusa o localmente esatta, esattezza delle forme e integrabilit\`a di campi chiusi su domini semplicemente connessi. Cfr. C.J e F.M.S. \noindent \noindent {\bf Formula di Gauss-Green mediante integrazione orientata} \noindent {\bf $1$-forma dell'area} \end{document}