
<tex2html_mydb_mark>#1#%\usepackage{babel}

<tex2html_mydb_mark>#2#%\usepackage{a4} 

<tex2html_mydb_mark>#3#%\usepackage{amssymb}

<tex2html_mydb_mark>#4#%\documentstyle [12pt]{article}

<tex2html_mydb_mark>#5#%per commentare intere porzioni di testo

<tex2html_mydb_mark>#6#% testo nelle formule

<tex2html_mydb_mark>#7#% e grassetto

<tex2html_mydb_mark>#8#%\newcommand{\R}{{\mathbb R}} 

<tex2html_mydb_mark>#9#% numeri reali

<tex2html_mydb_mark>#10#%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 

<tex2html_mydb_mark>#11#% numeri razionali

<tex2html_mydb_mark>#12#%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 

<tex2html_mydb_mark>#13#% naturali

<tex2html_mydb_mark>#14#%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 

<tex2html_mydb_mark>#15#% complessi

<tex2html_mydb_mark>#16#% funzioni continue

<tex2html_mydb_mark>#17#% misura di Hausdorff

<tex2html_mydb_mark>#18#% frontiera ridotta

<tex2html_mydb_mark>#19#% interi

<tex2html_mydb_mark>#20#% epsilon

<tex2html_mydb_mark>#21#% phi

<tex2html_mydb_mark>#22#%% non sottoinsieme

<tex2html_mydb_mark>#23#% : delle funzioni o negli insiemi

<tex2html_mydb_mark>#24#% differenziale negli integrali

<tex2html_mydb_mark>#25#% differenza simmetrica

<tex2html_mydb_mark>#26#%\documentstyle [12pt]{article}

<tex2html_mydb_mark>#27#%\pagestyle{empty}

<tex2html_mydb_mark>#28#%\topmargin=-2cm

<tex2html_mydb_mark>#29#%\oddsidemargin=-0.5cm

<tex2html_mydb_mark>#30#%\textwidth=16.6cm

<tex2html_mydb_mark>#31#%\textheight=25cm

<tex2html_mydb_mark>#32#%%\[

<tex2html_mydb_mark>#33#%%\begin{array}{ll}

<tex2html_mydb_mark>#34#%%\end{array}

<tex2html_mydb_mark>#35#%%\]

<tex2html_mydb_mark>#36#%%\[

<tex2html_mydb_mark>#37#%%\begin{array}{ll}

<tex2html_mydb_mark>#38#%%\end{array}

<tex2html_mydb_mark>#39#%%\]

<tex2html_mydb_mark>#40#%%\[

<tex2html_mydb_mark>#41#%%\begin{array}{ll}

<tex2html_mydb_mark>#42#%%\end{array}

<tex2html_mydb_mark>#43#%%\]

<tex2html_mydb_mark>#44#%\center{

<tex2html_mydb_mark>#45#%}

<tex2html_mydb_mark>#46#%\center{

<tex2html_mydb_mark>#47#%}

<tex2html_mydb_mark>#48#%\noindent La sola struttura lineare permette di definire la simmetria rispetto 

<tex2html_mydb_mark>#49#% ad una retta e quindi di definire 

<tex2html_mydb_mark>#50#%%In geometria piana elementare con la sola riga si pu\`o costruire 

<tex2html_mydb_mark>#51#%%il simmetrico di un punto rispetto ad una retta: si dir\`a 

<tex2html_mydb_mark>#52#%che una retta \`e

<tex2html_mydb_mark>#53#%`` perpendicolare'' ad un'altra quando viene trasformata in se  dalla simmetria 

<tex2html_mydb_mark>#54#%rispetto a quest'ultima.  

<tex2html_mydb_mark>#55#%a struttura lineare permette di definire quando due rette passanti per l'origine,

<tex2html_mydb_mark>#56#% viste come cammini,  $t\mapsto tv$ e $t\mapsto tw$, sono ``perpendicolari'' 

<tex2html_mydb_mark>#57#%\center{

<tex2html_mydb_mark>#58#%}

<tex2html_mydb_mark>#59#%\noindent Per esempio la traslazione verso ``sinistra'' di un'unit\`a 

<tex2html_mydb_mark>#60#%in senso orizzontale nel piano 

<tex2html_mydb_mark>#61#% \`e data da $(x,y)\mapsto (x-1 ,y)$. La simmetria rispetto all'asse

<tex2html_mydb_mark>#62#% verticale da $(x,y)\mapsto (-x ,y)$. La proiezione ``radiale'' di un punto 

<tex2html_mydb_mark>#63#%sulla circonferenza unitaria di centro l'origine \`e data 

<tex2html_mydb_mark>#64#%$(x, y)\mapsto

<tex2html_mydb_mark>#65#%( \frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 +y^2}})$

<tex2html_mydb_mark>#66#%Una funzione si dir\`a {\it affine} se \`e la composizione di una lineare con 

<tex2html_mydb_mark>#67#% una traslazione.

<tex2html_mydb_mark>#68#%\noindent Quindi una volta considerato il piano conle coordinate ed 

<tex2html_mydb_mark>#69#%identificatolo con $\R^2$ una funzione di punti del piano diventa una funzione 

<tex2html_mydb_mark>#70#%delle due variabile date dalle coordinate.  

<tex2html_mydb_mark>#71#%Per esempio 

<tex2html_mydb_mark>#72#%  una funzione lineare $\omega :(x,y)\in\R^2\mapsto \omega(x,y)\in\R$ 

<tex2html_mydb_mark>#73#%ha la propriet\`a  $\omega(x+\lambda a, y+\lambda b)= 

<tex2html_mydb_mark>#74#%\omega(x,y) +\lambda \omega(a,b)$. Le omotetie sono lineari le traslazioni no. 

<tex2html_mydb_mark>#75#%La funzione che associa ad un punto la sua prima coordinata 

<tex2html_mydb_mark>#76#%$(x,y)\mapsto x$ \`e lineare. Le funzione $\lambda \mapsto (\lambda 3, \lambda 4)$ 

<tex2html_mydb_mark>#77#%che definisce la retta passante per l'origine  $(0,0)$ 

<tex2html_mydb_mark>#78#%e parallela a $(3,4)$ \`e lineare. La funzione 

<tex2html_mydb_mark>#79#%$(x,y)\mapsto \frac 1{\sqrt 2} (x+y , x-y)$ 

<tex2html_mydb_mark>#80#%che associa ad un punto il suo ruotato 

<tex2html_mydb_mark>#81#%intorno all'origine di un angolo di $\frac \pi 4$ in senso ``antiorario''  

<tex2html_mydb_mark>#82#%\`e lineare.

<tex2html_mydb_mark>#83#%\vbox{\begin{tabular}{|l |}

<tex2html_mydb_mark>#84#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#85#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#86#%\\ 

<tex2html_mydb_mark>#87#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#88#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#89#%\end{tabular}

<tex2html_mydb_mark>#90#%}

<tex2html_mydb_mark>#91#%\noindent Se $L:\R^n\rightarrow \R^m$ \`e lineare e $\omega :\R^m \rightarrow \R$ 

<tex2html_mydb_mark>#92#%\`e  una forma, eseguendo prima $L$ e poi $\omega$ si ottiene una forma su $\R^n$:

<tex2html_mydb_mark>#93#% tale trasformazione tra forme si dice {\it trasposta} della trasformazione $L$.

<tex2html_mydb_mark>#94#% Previa identificazione tra spazi e loro duali la trasposta trasforma $\R^m$ in 

<tex2html_mydb_mark>#95#%$\R^n$ ed \`e lineare.

<tex2html_mydb_mark>#96#%\noindent Sia $(a_{ij})$ la matrice di un cambiamento di variabili $L$ 

<tex2html_mydb_mark>#97#% rispetto a ${\bf v_1}\dots {\bf v_n}$ in modo che 

<tex2html_mydb_mark>#98#%$L({\bf v}_j)= \e_j =\sum_i a_{ij} {\bf v}_i $.
 
<tex2html_mydb_mark>#99#%\noindent   Se $\sum_i x^\prime_i {\bf v}_i = \sum_j x_j\e_j$ si esprimono le nuove 

<tex2html_mydb_mark>#100#%coordinate in funzione delle usuali 

<tex2html_mydb_mark>#101#% \vbox{\begin{tabular}{|c|}

<tex2html_mydb_mark>#102#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#103#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#104#%  $x^\prime_i =\sum_j a_{ij} x_j $ \\ 

<tex2html_mydb_mark>#105#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#106#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#107#%\end{tabular}

<tex2html_mydb_mark>#108#%}

<tex2html_mydb_mark>#109#%\noindent Piuttosto: se una $1$-forma $\omega$ in funzione delle nuove coordinate  

<tex2html_mydb_mark>#110#%\`e data da $a^\prime_1 x^\prime_1 +\dots a^\prime_n x^\prime_n$

<tex2html_mydb_mark>#111#% e questo valore \`e dato nelle coordinate usuali da 

<tex2html_mydb_mark>#112#%$a_1 x_1 +\dots a_n x_n$, ove  

<tex2html_mydb_mark>#113#%$a_j=\omega (\e_j ) = \sum_i a_{j i} \omega ({\bf v}_i)$,  si ha~ 

<tex2html_mydb_mark>#114#%\vbox{\begin{tabular}{|c|}

<tex2html_mydb_mark>#115#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#116#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#117#%  $a_j = \sum_i a_{ij} a^\prime_i $ \\ 

<tex2html_mydb_mark>#118#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#119#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#120#%\end{tabular}

<tex2html_mydb_mark>#121#%}

<tex2html_mydb_mark>#122#%\noindent Per questo le forme vengono anche chiamate {\it covettori}: 

<tex2html_mydb_mark>#123#% le coordinate a loro associate cambiano con la stessa legge con cui 

<tex2html_mydb_mark>#124#% sono in relazione gli elementi dei rispettivi sistemi di coordinate, 

<tex2html_mydb_mark>#125#%diversamente dalle coordinate dei  vettori. Se si considera  $(x_1 \dots x_n)\mapsto L(x_1\dots x_n)$ 

<tex2html_mydb_mark>#126#% come trasformazione la $a_j = \sum_i a_{ij} a^\prime_i $ d\`a 

<tex2html_mydb_mark>#127#% i coefficienti della forma lineare ottenuta prima operando con $L$ 

<tex2html_mydb_mark>#128#% e quindi calcolando quella di coefficienti $a^\prime_1 \dots a^\prime_n$.

<tex2html_mydb_mark>#129#% permette di sfruttare sia la semplificazione data dall'identificazione 

<tex2html_mydb_mark>#130#%di covettori  con vettori che sottolineare la differenza che li caratterizza 

<tex2html_mydb_mark>#131#% rispetto ai combiamenti di coordinate. Infatti se $\omega$ \`e una forma lineare in $n$ 

<tex2html_mydb_mark>#132#%variabili e $T$ un cambiamneto di coordinate, come funzione delle nuove coordinate 

<tex2html_mydb_mark>#133#%il valore $\omega (x_1, \dots \omega_n)$ 

<tex2html_mydb_mark>#134#%\noindent Gli unici convessi di $\R$ sono il vuoto, i segmenti, le semirette,

<tex2html_mydb_mark>#135#%ed $\R$ stesso.  I sopragrafici di funzioni reali di una variabile reale

<tex2html_mydb_mark>#136#% convesse sono convessi nel piano. 

<tex2html_mydb_mark>#137#%\vbox{

<tex2html_mydb_mark>#138#%\begin{tabular}{| l|}

<tex2html_mydb_mark>#139#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#140#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#141#%\\ 

<tex2html_mydb_mark>#142#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#143#%\\   

<tex2html_mydb_mark>#144#%~\\ 

<tex2html_mydb_mark>#145#%\hline

<tex2html_mydb_mark>#146#%\end{tabular}

<tex2html_mydb_mark>#147#%}

<tex2html_mydb_mark>#148#%% e per ogni vettore su cui agisce si lascia variare una componente e si 

<tex2html_mydb_mark>#149#%%tengono fisse 

<tex2html_mydb_mark>#150#%%le restanti $n-1$ si ottiene nelle componenti scelte una $k$-lineare su $\R$

<tex2html_mydb_mark>#151#%deve essere somma di funzioni 

<tex2html_mydb_mark>#152#%del tipo   $\varphi (v_1)\Gamma (v_2, \dots v_k )$ con $\varphi$ $1$-forma su 

<tex2html_mydb_mark>#153#% $\R^n$ e $\Gamma$ $(k-1)$-lineare su $\R^n$. Induttivamente si ottiene che $\Lamda$ 

<tex2html_mydb_mark>#154#% deve essere somma di funzioni del tipo $\varphi_1 (v_1)\dots \varphi_k (v_k)$

<tex2html_mydb_mark>#155#% ove $\varphi_1, ~ \dots \varphi_k$ sono $1$-forme su $\R^n$.

<tex2html_mydb_mark>#156#%Poich\`e una $1$-forma rispetto 

<tex2html_mydb_mark>#157#%alle coordinate \`e un polinomio omogeneo di primo grado in particolare 

<tex2html_mydb_mark>#158#% $\Gamma$ \`e somma di monomi di grado $k$ del tipo $\alpha v_{{i_1} 1} \dots 

<tex2html_mydb_mark>#159#%  v_{{i_k} k}$: $\sum_{f:k\to n} \alpha_f \prod_{1\le j\le k}  v_{{f(j)} j}$

<tex2html_mydb_mark>#160#%$\sum_{1\le i_1;SPMlt; i_2 \dots ;SPMlt; i_k\le n} \sum_{\sigma :k\leftrightarrow k}

<tex2html_mydb_mark>#161#%(-1)^{sign\sigma}v_{i_{\sigma_1} 1} \dots v_{i_{\sigma_k} k}

<tex2html_mydb_mark>#162#%\Lambda (\e_{i_1}, \dots \e_{i_k} )$

<tex2html_mydb_mark>#163#%\noindent {\pic Che una tale funzione ci sia si base sul fLa dimostrazione si basa sul cos\`\i \ detto ``sviluppo per colonne''  

<tex2html_mydb_mark>#164#% che permette anche un modo per calcolare il determinante  induttivamente

<tex2html_mydb_mark>#165#% in funzione delle coordinate dei suoi argmomenti.

<tex2html_mydb_mark>#166#%Presa una colonna $\scriptstyle{(a,b \dots c)}$ la si scrive come 

<tex2html_mydb_mark>#167#%$\scriptstyle{a{\bf e}_1 + \dots 

<tex2html_mydb_mark>#168#%c{\bf e}_n}$. Quindi per linearit\`a ci si riduce al calcolo del determinante di 

<tex2html_mydb_mark>#169#%una matrice con una colonna che ha solo una componente eguale ad uno e le 

<tex2html_mydb_mark>#170#%altre nulle. 

<tex2html_mydb_mark>#171#% Sempre per linearit\`a ed essendo il determinante alternante per 

<tex2html_mydb_mark>#172#% queste matrici il determinante \`e uguale a quello della matrice che 

<tex2html_mydb_mark>#173#%hanno nulle le altre componenti della riga della 

<tex2html_mydb_mark>#174#%componente unitaria della colonna prescelta. Si prosegue fino a ridursi ad  

<tex2html_mydb_mark>#175#%una matrice di colonne diverse con una sola componente unitaria e le altre nulle.

<tex2html_mydb_mark>#176#% Cambiando posto alle colonne e quindi segno ci si riduce alla matrice 

<tex2html_mydb_mark>#177#%dell'identit\`a. Il risultato \`e quindi determinato solo dalle propriet\`a 

<tex2html_mydb_mark>#178#%di multilinearit\`a per colonne e di alternanza.}

<tex2html_mydb_mark>#179#%%A questo punto 

<tex2html_mydb_mark>#180#%%si ha un vettore unitario ed altri $\scriptstyle{n-1}$ vettori ad esso ortogonali

<tex2html_mydb_mark>#181#%%intuitivamente il determinante dovr\`a essere il volume del 

<tex2html_mydb_mark>#182#%%parallelepipedo di base cos\`\i \ individuato per l'altezza unitaria

<tex2html_mydb_mark>#183#%\noindent {\pic NOTA: la verifica, noiosa

<tex2html_mydb_mark>#184#% da formalizzare, si basa sulla decomposizione elementare del parallelepipedo in rettangoli  e 

<tex2html_mydb_mark>#185#%sull'invarianza per traslazioni della misura di Peano-Jordan.}

<tex2html_mydb_mark>#186#%il parallelepipedo

<tex2html_mydb_mark>#187#% $S$ da essi generato di vertici $O,~P,~ Q,~ P+Q$ ha proiezioni  

<tex2html_mydb_mark>#188#%``perpendicolari'' sui $3$ piani coordinati che sono altri tre parellelepipedi

<tex2html_mydb_mark>#189#% $S^1,~ S^2,~ S^3$.

<tex2html_mydb_mark>#190#%Considerando l'area bidimensionale nel piano che contiene ognuno di essi 

<tex2html_mydb_mark>#191#% si possono provare le eguaglianze: $m(S)=$

<tex2html_mydb_mark>#192#%\sqrt{m(S^1)^2+m(S^2)^2+m(S^3)^2}= 

<tex2html_mydb_mark>#193#%\sqrt{

<tex2html_mydb_mark>#194#%}

<tex2html_mydb_mark>#195#%\sqrt{

<tex2html_mydb_mark>#196#%}

<tex2html_mydb_mark>#197#%\noindent {\bf Orientazione.} L'orientazone (relativa) di $k$ elementi di $\R^n$

<tex2html_mydb_mark>#198#% \`e data dal vettore le cui componenti sono i segni dei 

<tex2html_mydb_mark>#199#%minori $k\times  k$ della matrice

<tex2html_mydb_mark>#200#% delle coordinate.