%\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article} \message{esercizi di cam} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} \documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 %\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \begin {document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{Anno Accademico 2003-2004} \centerline{Laurea specialistica in Informatica} \centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli} \medskip \centerline{V prova scritta finale, 13 gennaio 2005} \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \medskip \noindent 1. Si calcoli la dimensione dello spazio delle $3$-forme lineari alternanti in $\R^5$ che si annullano sulla terna $(1,0,0,0,0),~ (0,0,1,0,0),~ (0,0,0,0,1)$. \medskip R.: \medskip \medskip \noindent 2. Si determini lo spazio tangente nel punto $(1,1,1,1)$ al sottoinsieme di $\R^4$ definito dall'equazione $ (xyzw-1)^2 + (xy -zw)^2 =0$. \medskip R.: \medskip \noindent 3. Si dica su quali intervalli di $\R^2$ la successione di funzioni $\cos \frac {x^2}n$ converge uniformemente. \medskip R.: \medskip %\noindent 3.b - Si integri $\frac {1+x}{\sqrt{3x^2 +4x +2}}$ sulla regione bidimensionale definita da %$e^{x+y+z} =1+x,~y+z\geq \frac 12 +\log \frac 12 ,~x,~ y,~z\le 0$. %% bidimensionale della frontiera della %% regione definita dalle condizioni %%$z^2+y^2\le 1,~ z^2+x^2\le 1$ %\medskip %R.: %\medskip \noindent 4- Si dica se la funzione $\frac 1{x^4+y^4 +z}$ ha integrale (in senso generalizzato) finito sulla superficie $x^3 +y^3 +1 =z, ~x\geq 0,~ y\geq 0$. \medskip R.: \medskip \noindent 5- Si calcoli il lavoro della forma differenziale $ xdx+y dy -z dz$ sulla curva $t\mapsto (t^2, t^3 ,t), ~t\geq 0$. \medskip R.: \medskip \noindent 6- Si calcolino tutte le soluzioni del sistema $x^{\prime\prime} =x+y,~ y^{\prime\prime} =x^\prime +y^\prime $. \medskip R.: \medskip \vfill \eject \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{Anno Accademico 2003-2004} \centerline{Laurea specialistica in Informatica} \centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli} \medskip \centerline{V prova scritta finale, 13 gennaio 2005} \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \centerline{ II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni:} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \medskip \noindent 1- {\bf a:} Si studi la convergenza della serie di funzioni $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+\vert t^{2n} -n\vert}}$ al variare di $t$ in $\R$. Si provi che per ogni $\varepsilon >0$ la convergenza \`e uniforme su $\vert t\vert \geq 1+\varepsilon$ . \medskip \noindent {\bf b:} Si studi analogamente la serie di funzioni $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+\vert x^{2n}+ y^{2n} -n\vert}}$ con $(x,y)$ in $\R^2$, trovando l'unione delle regioni ove vi \`e convergenza uniforme. % Si consideri la successione di funzioni di due variabili reali : % $f_n (x,y) =\left( \frac{(x-n)^2 +(y-n)^2}{2n^2}\right)^n$. %\noindent {\bf a:} si studi la convergenza puntuale della successione $f_n$ e si %calcoli il limite. %\noindent {\bf b:} si provi che vi \`e convergenza uniforme %%studi la convergenza uniforme della successione $f_n$: %%su tutto il piano, %sulle regioni limitate. %% $x+y\geq \varepsilon >0$ ,~ %%%$\vert x-y\vert \le k, %% sulle regioni $x+y\le -\varepsilon <0 ,~ \vert x-y\vert \le k$. %\noindent {\bf c:} si studi se vi sono regioni non limitate in cui vi \`e convergenza %uniforme. %%si studi se vi \`e una regione $C$ contenuta nel semipiano %% $x+y>0$ asintotica alla retta $y=-x$ per cui $f_n$ converge uniformemente su %%$C$. \medskip \noindent 2- {\bf a:} Si trovino tutte le soluzioni di $\varphi^\prime (t) =\sin \varphi (t)$ \medskip \noindent {\bf b:} Determinare quali rette vengono intersecate una solo volta da ognuna delle curve su cui la forma differenziale $xdx +dy$ \`e identicamente nulla. \medskip \noindent {\bf c:} Si trovino tutte le soluzioni $(x,y)\mapsto u(x,y)$ della seguente equazione differenziale: \centerline{ $\frac{\partial u}{\partial x} -x\frac{\partial u}{\partial y}=\sin u$} %\noindent {\bf a:} Si calcolino le soluzioni %%$\gamma (t-\tau , x, y, z)$ %%$ %%e^{Mt} %%\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) %%$ % del sistema: ~~ %$\displaystyle{ %\left\{\begin{array}{lll} %x^\prime (t)=x(t) -y(t)\\ %y^\prime (t)=-x(t) + z(t)\\ %z^\prime (t)=y(t) +z(t)\\ %%x(0)=x, ~y(0)=y, ~z(0 )=z\\ % \end{array}\right.}$ %\medskip %\noindent {\bf b:} Si descrivano le traiettorie (immagini delle soluzioni) % che giacciono su piani % determinando quali sono questi piani. %1,2,-1; (101), (1-1-1), (12-1) %\medskip %\noindent {\bf c:} Si studi l'esistenza e l'unicit\`a su tutto $\R^2$ della soluzione per: %~~$\displaystyle{ %\left\{\begin{array}{lll} %(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) - 2x\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=0~ %%,~~{\bf R}^2 %\\ %%(x+z)\frac{\partial u}{\partial y} + %%(y+z)\frac{\partial u}{\partial z}=0\\ %\\ %u(x,y, 2x) =x+y\\ %u(x,1-x)=(3x-1)^2\\ %\end{array}\right. %}$ \end{document}