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\message{esercizi di cam}
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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
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\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}            %% numeri razionali
%\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
\newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.}
\newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp}
\let\PBS=\PreserveBackslash
\font\pic=cmr7


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\pagestyle{empty}

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\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{IV prova scritta finale, 17 settembre 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\medskip

\noindent 1- Si calcoli la 
 dimensione del nucleo  
 $(x, y, z, w)\mapsto (x+y+z, y+z+w, z+w+x, z+2w)$.


\medskip

R.:


\medskip


%\noindent 1.b- Si dica se la funzione $(x, y, z)\mapsto (xy, yz, xz)$ \`e iniettiva 
%e se \`e surgettiva.


%\medskip

%R.:

%\medskip 



\noindent  2- Dire se esiste il limite di $\displaystyle{\frac{\tan (x^2+y^2) +\cos^2 z -1}{x^2+y^2+z^2}}$ per 
$(x,y,z)\to (0,0,0)$.


\medskip

R.:

\medskip 


%Si consideri lo successione di funzioni definita da:

% $f_1(x)= xe^{-x^2}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} ( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$


\medskip 

\noindent 3- Si calcoli il massimo della funzione $x^2y^2z^2$ sull'insieme definito da 
$\sqrt{\vert x\vert}+2\sqrt{\vert y\vert}+3\sqrt{\vert z\vert}\le 1$.



\medskip

R.:

\medskip

%\noindent 3.b - Si integri $\frac {1+x}{\sqrt{3x^2 +4x +2}}$ sulla regione bidimensionale definita da 

%$e^{x+y+z} =1+x,~y+z\geq \frac 12 +\log \frac 12 ,~x,~ y,~z\le 0$.

%% bidimensionale della frontiera della
%% regione definita dalle condizioni 
 
%%$z^2+y^2\le 1,~ z^2+x^2\le 1$


%\medskip 

%R.:


%\medskip

\noindent 4- Si calcoli l'area della superficie ottenuta tracciando i segmenti 
congiungenti l'origine $(0,0,0)$ con i punti della curva $(t\cos t , t\sin t , t)$, $0\le t \le 1$.



%$\displaystyle\int_{0<z=xy,~ x^2+y^2\le R^2} 
%\frac{z}{{x^2+y^2}} dVol_2$ .




\medskip 
R.:

\medskip 


\noindent 5- Dire se il seguente integrale generalizzato \`e finito:
$\displaystyle{\int_{x^2 +y^2\le z^4} \frac{dxdydz}{(x^2 +y^2 +z^2)^2}}$.
 

  

\medskip

R.:

\medskip

\noindent 
6- Si trovino le soluzioni di:
  $u^{\prime\prime}(x) +u^\prime (x) + u(x)=e^{x},~ u(0)=u(1)=0$




\medskip

R.:

\medskip

\vfill 
\eject


\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{IV prova scritta finale, 17 settembre 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\centerline{ II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente 
le opportune giustificazioni:}

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\bigskip


\noindent   Siano $I\subseteq \R$ un intervallo, limitato o meno, 
 $f: (x,y)\in I \times\R\mapsto f(x,y)$  
 una funzione 
%continua 
  per cui dato $y\in\R$ ~~$\displaystyle{\exists \min_{x\in I} f(x,y) := g(y)}$ 
 e si ponga  $C(y)=:\{x\in I : f(x,y)=g(y)\}$.
\medskip

\noindent {\bf a:}  Per $I=[0;1]$ si  mostri un esempio 
%(anche grafico e qualitativo)
 in cui $g$ 
non risulta derivabile in qualche punto, pur essendo $f$ differenziabile 
infinite volte.

\noindent {\pic [Si consideri il sopragrafico di ${\scriptstyle g}$ in termini di quello di  ${\scriptstyle f}$]}
\medskip

\noindent  {\bf b:} - Se $y\mapsto f(x,y)$ \`e continua si provi che: ${\rm o}(1)\geq g(y+h)- g(y) ,~ {\rm per}~~ h\to 0$  

  - se poi esiste $\frac{\partial f}{\partial y}$ si provi:
~ $\displaystyle{h\cdot \frac {\partial f}{\partial y} (x,y) + {\rm o}(h)\geq 
g(y+h) -g(y),~ {\rm per }~ h\to 0~ {\rm e}~ x\in C(y)}$

 
\medskip

\noindent {\bf c:} Se $f$ \`e continua su $I\times\R$,  
$(x_n ,y_n)\to (x, y)\in I\times\R$ e $x_n\in C(y_n )$ 
 si provi che $x\in C(y)$.

 
%Si consideri la successione di funzioni definita da:
%$f_1(x)= \max\{xe^{-x^2}, 0\}$, 
%$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} 
%( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$
%\noindent {\bf a:} si studi la convergenza puntuale 
%per $n\to\infty$ di tale successione di funzioni.
%\noindent  {\bf b:} 



\medskip


\noindent {\bf  d:}  Si assuma che $I=[a;b]$ sia limitato e chiuso.

\medskip
%Si supponga inoltre che 
% $\displaystyle{\bigcup_{y\in K} C(y)}$ 
% sia limitato essendolo  $K$.

\noindent - Si provi che se $f$ \`e continua su $I\times \R$  anche  $g$ lo \`e  su $\R$;

\noindent {\pic [Si usi giustificatamente 
l'uniforme comtinuit\`a  di ${\scriptstyle f}$   sui sottoinsiemi limitati di ${\scriptstyle I\times \R}$  
 ]}

\noindent - {\bf (*)} se poi vi \`e $\frac{\partial f}{\partial y}$ {\it continua} allora 
 $g$ ha derivata ``in avanti''  eguale al minimo di $\frac{\partial f}{\partial y}$ su $C(y)$:

\medskip
\centerline{$\displaystyle{ 
\exists{\scriptstyle{\left( \lim_{h\to 0^+} \frac {g(y+h) - g(y)}{h}:=\right)}}~
 \frac {d^+ }{dy}\min_x f(x,y) 
 =\min_{x\in C(y)}\frac {\partial f}{\partial y} (x,y)}$}


\noindent 
{\pic [Ci 
si riduca ad usare il teorema del valor medio, uniforme continuit\`a, sottosuccessioni e 
il risultato del terzo punto]}

%\noindent {\bf e:} si mostri con un esempio 
%che l'ipotesi di limitattezza sulle unioni degli inisemi dei punti di minimo 
% \` e necessaria.

\medskip

%\noindent (Analogamente esiste la derivata ``indietro'' di $g$ eguale al massimo 
%di  $\frac{\partial f}{\partial y}$ su $C(y)$.) 

\noindent {\bf e:} Si mostri, anche con una semplice esemplificazione grafica, 
che vi sono $f$ differenziabili infinite volte su $\R\times\R$ 
 per cui $g$  non \`e continua n\'e a destra n\'e a sinistra.

\medskip

\noindent {\bf (*)}{\pic La pur breve soluzione presenta difficolt\`a tecniche elevate
rispetto a quanto svolto nel corso.}

\end{document}