%\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article} \message{esercizi di cam} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} \documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 %\documentstyle [12pt]{article} \pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \begin {document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{Anno Accademico 2003-2004} \centerline{Laurea specialistica in Informatica} \centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli} \medskip \centerline{I prova scritta finale, 4 giugno 2004} \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \medskip \noindent 1.a- Si calcoli l'area del parallelogramma di vertici $(1,1,1),~ (2,3,4),~(5,6,7),~ (6,8,10)$. \medskip R.: \medskip \noindent 1.b- Si disegni approssimativamente il sottoinsieme del piano definito dalla condizione $\vert x\vert^{\frac 13} + \vert y\vert^{\frac 13}\le 1$. %dello spazio % $x^2+y^2+z^2 -\sqrt{x^2+y^2}+1=0$. R.: \medskip \medskip \medskip \noindent 1.c- Si dica se la funzione $(s,t)\mapsto (s, s^2- t^2)$ \`e iniettiva e se \`e surgettiva. \medskip R.: \medskip \noindent 2.a- Si dica se esiste il limite per $(x,y)\to (0,0)$ di $\displaystyle{ \frac{ 1-\cos (xy)}{x^2+\vert y \vert}}$, e in caso affermativo lo si calcoli. \medskip R.: \medskip \noindent 2.b- Si calcoli il polinomio di Taylor di secondo grado con centro $(0,0)$ della funzione ${\rm artan}(xy) - \sin^2 x$. \medskip R.: %Si consideri lo successione di funzioni definita da: % $f_1(x)= xe^{-x^2}$, %$f_{n+1} (x)= \frac{1}{n+1} (nf_{n}(x) + f_1 (x-n))=\frac{1}{n+1} ( f_1(x) +f_1 (x-1) +\dots f_1 (x-n))$ \medskip \noindent 2.c- Si trovino i punti di massimo assoluto $xy$ su $x^2+4y^2\le 1$. % di $xy+ xz+yz$ su $ 0\le z\le 1-x^2- 4y^2$. \medskip %Il punto $(1,\sqrt{2},1)$ verifica la condizione, %%$f_x (x,y,z)= 2xe^{x^2-y^2+z^2}-z$, %%$f_y (x,y,z)= -2ye^{x^2-y^2+z^2}$, %$f_z (x,y,z)= 2ze^{x^2-y^2+z^2}-x$ non si annulla nel punto %$(1,\sqrt{2}, 1)$ ove $f$ % \`e nulla. Quindi $z=z(x,y)$ \`e ben definita e % $\frac{\partial z}{\partial x}(1\sqrt{2})= -\frac {f_x(1,\sqrt{2}, 1)} %{f_z(1,\sqrt{2}, 1)}$ R.: %$-1$ \medskip \noindent 3 %.a - Si scriva l'elemento d'area della superficie definita implicitamente da $e^{x+y+z} =1+x$. \medskip R.: \medskip %\noindent 3.b - Si integri $\frac {1+x}{\sqrt{3x^2 +4x +2}}$ sulla regione bidimensionale definita da %$e^{x+y+z} =1+x,~y+z\geq \frac 12 +\log \frac 12 ,~x,~ y,~z\le 0$. %% bidimensionale della frontiera della %% regione definita dalle condizioni %%$z^2+y^2\le 1,~ z^2+x^2\le 1$ %\medskip %R.: %\medskip \noindent 4- Si dica se la funzione $\frac 1{x^4 +y^4}$ ha integrale finito su $y^2\le x^4\le 5$. \medskip R.: \medskip \noindent 5- Si calcoli il lavoro della forma differenziale $\frac {3x^2y}{y^2+x^6}dx-\frac {x^3}{y^2+x^6} dy$ sulla curva $t\mapsto (\cos t, \sin t)$. \medskip R.: \medskip \noindent 6- Si calcolino tutte le soluzioni del sistema $x^\prime =y,~ y^\prime =x-y +t$. \medskip R.: \medskip \vfill \eject \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{Anno Accademico 2003-2004} \centerline{Laurea specialistica in Informatica} \centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli} \medskip \centerline{I prova scritta finale, 4 giugno 2004} \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \centerline{ II PARTE: si risolvano i seguenti problemi dando in modo esauriente le opportune giustificazioni:} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \medskip \noindent 1- Si consideri la successione di funzioni di due variabili reali : $f_n (x,y) =\left( \frac{(x-n)^2 +(y-n)^2}{2n^2}\right)^n$. \noindent {\bf a:} si studi la convergenza puntuale della successione $f_n$ e si calcoli il limite. \noindent {\bf b:} si provi che vi \`e convergenza uniforme %studi la convergenza uniforme della successione $f_n$: %su tutto il piano, sulle regioni limitate. % $x+y\geq \varepsilon >0$ ,~ %%$\vert x-y\vert \le k, % sulle regioni $x+y\le -\varepsilon <0 ,~ \vert x-y\vert \le k$. \noindent {\bf c:} si studi se vi sono regioni non limitate in cui vi \`e convergenza uniforme. %si studi se vi \`e una regione $C$ contenuta nel semipiano % $x+y>0$ asintotica alla retta $y=-x$ per cui $f_n$ converge uniformemente su %$C$. \medskip \noindent 2- \noindent {\bf a:} Si calcolino le soluzioni %$\gamma (t-\tau , x, y, z)$ %$ %e^{Mt} %\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) %$ del sistema: ~~ $\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll} x^\prime (t)=x(t) -y(t)\\ y^\prime (t)=-x(t) + z(t)\\ z^\prime (t)=y(t) +z(t)\\ %x(0)=x, ~y(0)=y, ~z(0 )=z\\ \end{array}\right.}$ \medskip \noindent {\bf b:} Si descrivano le traiettorie (immagini delle soluzioni) che giacciono su piani determinando quali sono questi piani. %1,2,-1; (101), (1-1-1), (12-1) \medskip \noindent {\bf c:} Si studi l'esistenza e l'unicit\`a su tutto $\R^2$ della soluzione per: ~~$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll} (x-y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) - 2x\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=0~ %,~~{\bf R}^2 \\ %(x+z)\frac{\partial u}{\partial y} + %(y+z)\frac{\partial u}{\partial z}=0\\ \\ %u(x,y, 2x) =x+y\\ u(x,1-x)=(3x-1)^2\\ \end{array}\right. }$ \end{document}