%\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article} \message{esercizi di analisi II} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} \documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 %\documentstyle [12pt]{article} %\pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \begin{document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{Anno Accademico 2003-2004} \centerline{Laurea specialistica in Informatica} \centerline{V.M. Tortorelli} \bigskip \centerline{VI foglio di esercizi} \centerline{dal 28 aprile 2004 al % maggio 2004} \noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \noindent{\pic Nota: alcuni dei seguenti esecizi sono tratti da ``A problem book in Mathematical Analysis'' di G.N.Berman, M.I.R. 1977. Altri testi da cui attingere esercizi sono per esempio: \noindent A.Faedo, L.Modica, C.R.Grisanti: Analisi I Esercizi; J.P.Cecconi, L.C.Piccinini, G.Stampacchia: Esercizi e problemi di Analisi matematica; F.Conti: Calcolo; F.Conti, P.Acquistapace, A.Savojni: Analisi Matematica; R.Courant, F.John: Calculus and Analysis voll. 1-2; M.Giaquinta, G.Modica Analisi Matematica voll.1-2-3 etc. etc. .} \noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \noindent ESERCIZIO n. 1 Trovare la soluzione generale delle seguenti equazioni: \medskip $\displaystyle{ u^\prime + 2u= 4x,~ u^\prime +u =\cos x ,~u^\prime +au= e^{mx},~ u^\prime -u\sin x=\sin 2x~,~~u^\prime +2xu= xe^{-x^2},~}$ \medskip $\displaystyle{ u^\prime +\frac{1-2x}{x^2} u=1 ~(x>0)~,~~u^\prime -u= \frac{(1+x^2)e^x}{x} ~(x<0)~,~~ u^\prime -\frac{2xu}{1+x^2}=1+x^2 ~,~~}$ \medskip $\displaystyle{u^\prime + \frac 2x u=\frac{\sin x}{x}~(x\not= 0)~,~~ u^\prime +\frac {nu}{x+1}= e^x(x+1)^n ~(n\in{\bf N}),}$ \medskip $\displaystyle{xu^\prime =1~,~~xu^\prime +2u =\sin x ~,~~x(u^\prime -u)=(1+x^2)e^x ~,~~(x+1) u^\prime -{nu}= e^x(x+1)^{n+1}.}$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ ESERCIZIO n. 2 L'equazione differenziale $u^\prime =f(x,u)$ \`e equivalente a dire che si cerca un cammino che sia un grafico $x\mapsto (x, u(x))$ lungo il quale si annulla la forma differenziale \smallskip \centerline{$ -f(x,p)dx +dp$.} \smallskip \noindent La funzione inversa dovrebbe verificare l'equazione $x^\prime = \frac 1{f(x,u)}$. Tracciare i grafici approssimativi delle soluzioni dei seguenti problemi riducendosi ad equazioni lineari: \medskip $\displaystyle{~u^\prime=\frac 1{2x- u}~,~~u(1)=1~;~~~u^\prime=\frac 1{2x- u^2}~,~ u(1)=-1 ~;~~ u^\prime=\frac 1{x + e^u}~, ~~u(0)=3~;~~}$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 3 \noindent a) Un massa puntiforme di grandezza $m$, in quiete all'istante iniziale $t_0$, si muove di moto rettilineo soggetta ad una forza proporzionale, per un fattore $\kappa$, all'incremento di tempo dall'istante iniziale, ed ad una forza di resistenza del mezzo porporzionale, per un fattore $\chi$, alla velocit\`a. Si espliciti la velocit\`a in funzione del tempo e dei parametri. \noindent b) Un corpo ad un instante $t_0$ ha temperatura pari a quella dell'ambiente circostante eguale a $\Theta_0$. Il corpo viene riscaldato a tasso costante, pari a $\delta^2$, e disperde calore nell'ambiente in modo proporzionale, per un fattore $\gamma^2$, alla differenza tra la sua temperatura e quella dell'ambiente considerata costante. Si espliciti la dipendenza dal tempo della temperatura del corpo. %\noindent c) Si trovi come varia la corrente in una bobina con resistenza eguale ad %$R$, induttanza $L$ e forza elettromotrice $E(t)=\sin \omega t$. \vfill \vfill \eject %\centerline{$\scriptstyle %\hbox{\rm Calcolo differenziale ed Integrazione, %II foglio dal 9 ottobre al 12 ottobre 2001}$ \hfill 2} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 4 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali a variabili separabili: $\displaystyle{ u^\prime =\frac {1-2x}{y^2}~,~~xu^\prime +u=u^2 ~~(x>0)~,~~u^\prime +\sqrt{\frac {1-u^2}{1-x^2}}=0~,~~u^\prime=\frac{1+y^2}{1+x^2}~,~~u^\prime =100^{x+u}.}$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 5 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali per {\it sostituzione}: $\displaystyle{u^\prime =3+\cos (x-u)~,~~u^\prime=\frac{u+x-1}{(x+u)^2+1}~,~~ u^\prime= \frac {6x + \frac ux}{2 -\log x}~,~~u^\prime=-\frac{e^x \cos u +3u}{3x-e^x\sin u}.}$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 6 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali ``omogenee'': $\displaystyle{u^\prime=\frac{ux}{x^2+2u^2},~~ u^\prime= e^{\frac ux}+\frac ux ,~~ xu^\prime=u(\log u-\log x) ,~~ (3y^2+3xy+x^2) dx= (x^2+2xy)dy~,}$ $\displaystyle{u^\prime=\frac{(1+u)^2}{xu +x -x^2}.}$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 7 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali di Bernoulli: $\displaystyle{u^\prime= 1+ 3u +u^2 ~,~~ u^\prime=xu +\sqrt{u}\cos x ~,~~u^\prime =u\tan x -u^2\cos x~,~~u^\prime=u-u^2\cos x ~,}$ $\displaystyle{ u^{n -1}(\alpha\cdot u^\prime +u)= x ~ (n\in{\bf N},~ \alpha\in {\bf R}).}$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 8 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali riducendosi ad un'equazione omogenea o lineare per sostituzione e cambiamento di variabili: $\displaystyle{ u^\prime=2\frac {(u+2)^2}{(x+u-1)^2} ~,~~ u^\prime =\frac{2u-x-5}{2x-u+4}~,~~u^\prime=\frac{x+u-2}{u-x-4}~,~~ u^\prime=\frac {u^2-x}{2u(x+1)} ~,}$ $\displaystyle{u^\prime =\frac {u^3}{2(xu^2-x^2)}}$ \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent (*) ESERCIZIO n.9 Trovare almeno un grafico per cui la distanza dall'origine di ogni retta tangente ad un suo punto \`e uguale alla distanza dall'origine della retta normale nello stesso punto. %y=ax+b ha distanza dall'origune |b|/\sqrt{1+a^2} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 10 Si risolvano le seguenti equazioni differenziali del secondo ordine: $\displaystyle{ u^{\prime\prime}=x+\sin x,~ u^{\prime\prime}={\rm artan} x,~ u^{\prime\prime}=u^\prime +x,~u^{\prime\prime}=\frac {u^{\prime}}{x} +x,~ (u^{\prime\prime})^2= u^\prime,~2xu^\prime u^{\prime\prime}=(u^{\prime})^2+1,~ }$ $\displaystyle{u^{\prime\prime}= u,~ u^{\prime\prime}=u^{13},~u^{\prime\prime}=2uu^\prime,~u^{\prime\prime}u+ (u^\prime )^2=x,~ u^{\prime\prime}+\frac{u^\prime}{x} -\frac u{x^2}=0,~u^{\prime\prime}+u^\prime ,~ u^{\prime\prime}=\frac {u^\prime (e^u-1)}x, }$ $\displaystyle{u^{\prime\prime}=\frac u{1+(u^\prime)^2}.}$ \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 11 Si trovino le soluzioni dei seguenti problemi ai dati iniziali: $\displaystyle{u^{\prime\prime}=\frac{2xu^\prime}{1+x^2} ,~ u(0)=1,~ u^\prime (0)=3;~ u^{\prime\prime}=\frac {u^\prime}x +\frac{x}{u^\prime},~u(1)=1 ,~u^\prime (1)=1;~ }$ $\displaystyle{ u^{\prime\prime}= xu^\prime +u +1 ,~ u(0)=1~, u^\prime (0)=0.}$ \vfill \vfill \eject %\centerline{$\scriptstyle %\hbox{\rm Calcolo differenziale ed Integrazione, %II foglio dal 9 ottobre al 12 ottobre 2001}$\hfill 3} \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.12 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni lineari a cofficienti costanti o la soluzione dei problemi ai dati iniziali: \noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime} -2u^\prime +u=0 ,~u(1)=0,~ u^\prime (1)=e~;~~u^{\prime\prime}-3u^\prime +2u=0,~u(0)=1,~u^\prime(0)=0~; }$ (Faedo-Modica) \noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}+u^\prime -2u=0~;~~ 4u^{\prime\prime}-20u^\prime +25 u=0~;~~ u^{\prime\prime}-4u^\prime +3u=0 ,~u(0)=6,~u^\prime(0)=10 ~.~~}$(Berman) \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.13 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni lineari a cofficienti costanti o la soluzione dei problemi con dati iniziali o al bordo: \noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}-3u^\prime +2u=x^2 ~;~~ u^{\prime\prime}+2u^\prime +10u=x^3 -1~;~~2u^{\prime\prime}+u^\prime -u=2e^x ~;~~ u^{\prime\prime}+2u^\prime +5u=\sin x~;~~ }$ \noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}-3u^\prime +2u=f(x)}$ nei seguenti casi: $\displaystyle{ 10e^{-x},~ 3e^{2x},~ 2\sin x,~ 2x^3 -30,~ 3x+5\sin 2x,~ 2e^x -e^{-2x},~ {\rm sinh}~x ~;}$ \smallskip \noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime}+u=\frac 1{\cos x}; }$ \smallskip \noindent $\displaystyle{u^{\prime\prime} +u = \sin 2x ,~ x\in [0;\pi] ,~u(0)=u(\pi )=0. }$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.14 Se $y\not\equiv 0$ \`e soluzione di:~~~$\displaystyle{u^{\prime\prime}(x) + u^\prime (x)f(x) +u(x) g(x) =0,~ }$ allora $$z(x)~=c y(x)\int^x \frac {e^{-\int^t f(s)ds}}{y^2(t)} dt $$ \noindent \`e soluzione della stessa. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.15 Si trovino le soluzioni delle seguenti equazioni: \medskip \centerline{ $\displaystyle{u^{\prime\prime} -\tan x \cdot u^\prime +2u =0,~ u^{\prime\prime} -u^\prime +\frac yx=0 .}$} \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.16 Si trovi lo sviluppo di Taylor in $0$ della soluzione di $u^{\prime\prime} = x^{101} u$. \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.17 Si risolvano le seguenti equazioni di tipo Eulero: \medskip \noindent $\displaystyle{ x^2u^{\prime\prime}+xu^\prime -u=x ~(x>0),~ x^2 u^{\prime\prime} -9x u^\prime +21 u=0,~ u^{\prime\prime} -\frac {u^\prime}{x} + \frac u{x^2}=\frac 2x.}$ \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.18 Si studino le seguenti equazioni di tipo Riccati: \medskip \noindent $\displaystyle{ u^\prime =\frac 2{x^2} - u^2 ,~~u^\prime =u^2 -ux +1. }$ \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent (*) ESERCIZIO n.19 Si trovino tutte le soluzioni $(u;\lambda)$, ove le incognite sono: $u$ funzione definita su $[0;\pi]$, e $\lambda$ numero reale, dei problemi: \medskip $\displaystyle{u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi )=0;~~ u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi );~~}$ $\displaystyle{ u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi ),~u^\prime(0)=u^\prime (\pi );~ u^{\prime\prime}=\lambda\cdot u ,~ u(0)=u(\pi )=u^\prime(0)=u^\prime (\pi )=0.}$ \medskip \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.20 Si trovino tutte le soluzioni $(x,y)\mapsto u(x,y)$ delle seguenti equazioni differenziali alle derivate parziali: \[y\frac{\partial u}{\partial x}-x\frac{\partial u}{\partial y}=0~,~~ e^{-x}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0~,~~ e^{y}\frac{\partial u}{\partial x}+2x\frac{\partial u}{\partial y}=0~,~~ \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=1\] \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.21 Si risolva, al variare di $\alpha$, l'equazione: $ (y+\alpha x)\frac{\partial u}{\partial x}-(x+\alpha y)\frac{\partial u}{\partial y}=0. $ \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.22 Ci si riferisce agli esercizi numero 2, 3, del quarto foglio di esercizi. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.23 a- Si trovino tutte le soluzioni dell'equazione $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (t,x) - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (t,x)=0$ \noindent per cui $u(0,x)=\varphi (x)$ e $\frac{\partial u}{\partial t} (0,x)=\psi (x)$. \noindent (*) b- Si trovino tutte le soluzioni dell'equazione $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} (t,x) - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (t,x)=f(t,x)$ \noindent per cui $u(0,x)=\varphi (x)$ e $\frac{\partial u}{\partial t} (0,x)=\psi (x)$. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n.24 a- Si considera l'equazione: (*)~ $\displaystyle{\frac{\partial u} {\partial t} (t,x) -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (t,x)=0}$ \noindent b- Si verifichi che per $\lambda\in {\bf C}$ le funzioni $e^{\lambda x}e^{\lambda^2 t}$ sono soluzioni. \noindent b- Per ogni $\lambda\in {\bf C}$ si trovino tutte le soluzioni $\left(\frac{d }{d t} -\lambda^2\right)^{k+1} \varphi(t)=0$ e $\left(\frac{d^2 }{dx^2} - \lambda^2 \right)^{k+1}w(x)=0 $ \noindent c- Si mostri quindi che $\displaystyle{ u_{\lambda ,k}(t,x)=\left[\sum_{h=0}^k \left(\frac{d }{d t} - \lambda^2\right)^{k-h} \left(\frac{d^2 }{d x^2} - \lambda^2\right)^{h}\right] t^kx^k e^{\lambda^2 t + \lambda x}, ~~(\lambda \not=0)}$ \noindent sono soluzioni di $(*)$. Che succede per $\lambda =0$? \end{document}