Complementi di Analisi Matematica

Anno Accademico 2003-2004

Laurea specialistica in Informatica

R.Stasi, V.M. Tortorelli

III foglio di esercizi

dal 10 marzo 2004 al 16 marzo

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Si consideri un polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili $x$ ed $y$. Se ne calcoli il differenziale e il differenziale secondo. Si mostri in generale che se $A$ è una matrice $n\times n$ la funzione $x\in{\bf R}^n\mapsto \langle Ax \cdot x\rangle$ ha differenziale secondo eguale a $^t\! A +A$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2 Sia $g=\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$. Dato il cambio di coordinate $(u,v)=(x,\frac{x}{\sqrt y})$, esprimere $g(x,y)$ in funzione di $u$ e $v$ .

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 3 Sia $f:{\bf R}^2\mapsto {\bf R}$ differenziabile ovunque ed $F:{\bf R}^+\times{\bf R}\mapsto {\bf R}$ definita da:

$F(\rho,\theta)=f(\rho \cos\theta,\rho \sin\theta)$

Verificare che:

$(F_\rho(\rho,\theta))^2+\frac{1}{\rho^2}(F_\theta(\rho,\theta))^2= (f_x(x,y))^2+(f_y(x,y))^2$

dove $x=\cos\theta$ e $y=\sin\theta$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.4 Determinare i punti critici ($df_P={\rm O}$) delle seguenti funzioni: $x^3+(x-y)^2$, $x^4+(x-y)^2$, $x y+y^2-3 x$, $\sin(x+y)$, $x^2-\sin y$, $x^3+y^2-6 x y-39 x+18 y+20$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 5 Si dica se $(0,0)$ è di massimo, di minimo o di sella per ciascuna delle seguenti funzioni: $x^4+y^4$, $x^4-y^4$, $1-x^4-x^2y^2-y^4$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 6 Sia $f:{\bf R}^n\mapsto {\bf R}$ differenziabile ovunque e sia $x_0$ tale che $df_{x_0}\neq {\rm O}$. Dimostrare che la direzione $u$ rispetto a cui:

$\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right\vert _{x_0}= \max \left\{\left.\frac{\partial f}{\partial v}\right\vert _{x_0}:\ v\in{\bf R}^n, \Vert v\Vert=1\right\}$

è data da $u=\frac{\nabla f(x_0)}{\Vert\nabla f(x_0)\Vert}$ (ovvero il gradiente di una funzione differenziabile da la direzione di massima crescita).

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.7 Qual'è la massima distanza del pumto $(3,5,7)$ dai punti dell'insime

$\{ (x,y,z): ~ \vert x\vert+\vert y\vert+\vert z\vert\le 1\}$? E dall'insieme $\{ (x,y,z):~ (x-1)^2+ (y+1)^2 + (z-1)^2 =1\}$?

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro $(1,1,1)$ e raggio $1$ in $(1,\frac 12, 1+\frac{\sqrt{3}}{2})$.

(b) Si trovi la retta ortogonale alla regione $\{ (x,y,z):~ \log (x^2 +y^2+e)= e^z\}$ in $(0,0,1)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l'angolo di incidenza che formano le seguenti coppie di regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati:

$\{ (x,y,z):~ 2x^4+3y^3 -4z^2=-4\}$, $\{ (x,y,z):~ 1+x^2+y^2=z^2\}$, $(0,0,1)$;

$\{ (x,y,z): x^2+y^2=e^z\}$, $\{ (x,y,z): x^2+z^2=e^y\}$, $(1,0,0)$;

$\{ (x,y,z): ~ xy=z~\}$, $\{ (x,y,z):~ \cos (2\pi xy) =z\}$, $(1,1,1)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.10 Dato $C\subseteq {\bf R}^2$ si definisce la funzione distanza da $C$ come segue:

$$d_C(x,y)~=~\inf_{(a,b)\in C} \sqrt{ \vert x-a\vert^2 +\vert y-b\vert^2}$$

Si descrivano, nei seguenti casi, le regioni del piano ove $d_C$ é differenziabile:

(a)  $C=\{(0,0)\}$;  (b)  $C=\{(-1,0), (0,1)\}$;  (c)  $C=\{(-1,0)\}\cup \{ (1,b): b\in {\bf R}\}$;  (d)  $C=\{(-1,0)\}\cup\{ (a,b): (a+1)^2+b^2 = 1\}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 (a) La funzione $f(x,y)={{x-yx}\choose{2xy}}$ da ${\bf R}^2$ in se è iniettiva? È surgettiva? Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.

(b) Sia $f(x,y)={{x^2+y^2}\choose{2xy}}=(u,v)$: si studi l'immagine di $f$, si studi al variare di $(u,v)$ come sono fatte le fibre $f^{-1} \{ (u,v)\}$. Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.12 Determinare minimo e massimo delle seguenti funzioni nei rispettivi insiemi:

$x y$ su $\{x^2+y^2\le 1\}$,   $x^2+y^2-(x+y)$ su $\{\vert x\vert\le 1,\vert y\vert\le 1\}$