Complementi di Analisi Matematica

Anno Accademico 2003-2004

Laurea specialistica in Informatica

R.Stasi, V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi

dal 18 febbraio 2004 al 3 marzo

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Si disegnino in maniera approssimativa i sottoinsiemi dal piano definiti da  $\left\{ (x,y)\in{\bf R}^2 :  f(x,y)=f(a,b) \right\}$ al variare di $f$ e di $(a,b)$, nei casi seguenti:

$x^2-y^2$, $(2 ,-1 )$;  $y^3 -x^2$, $(0,0)$;   $(y-x^2 )^2 -x^5$, $(0,0)$;   $\frac {x-y}{x+y}$, $(1,1)$;   $\cos \frac xy$, $(\pi ,4)$;  

$e^{xy}$, $(2,0)$;   $\frac {x}{x^2 +y^2}$, $(1,2)$;   $\vert x\vert+\vert y\vert$, $(1,0)$;   $\max \{ \vert x\vert, \vert y\vert\}$, $(1,0)$;   $\vert x\vert^p +\vert y\vert^p ,  p\in{\bf R}^+$, $(1,0)$;  

$x^3 +y^3-3a xy ,  a>0$, $(0,0)$;    $\frac {2xy}{x^2 +y^2}$, $(\cos\theta ,\sin\theta ), \theta\in{\bf R}$;   $\sqrt{ x^2 +2y^2} - 3x ,  (1,2)$.

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ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo approssimativo i sottoinsiemi di ${\bf R}^3$:

${\{ (x,y, z):  2=3x +5y +7z \}}$;

${\{ (x,y, z):  \frac {x^2}9 +\frac {y^2}4 + {z^2} =121 \};  \{ (x,y, z): (2x-10)^2 +9y^2 +z^2 \geq 111 \}}$;

${\{ (x,y, z):  x=z^2 +y^2 \};  \{ (x,y, z): x+y+z = 2x^2 +2y ^2 +4z^2-4zx -4zy \}}$;

${\{ (x,y,z): x^2 -y^2 =z \};   \{ (x,y, z): x^2 +y^2 -z^2 \le 1 \}; \{ (x,y, z): x^2 +y^2 -z^2 \le -1 \}}$;

${\{ (x,y ,z):  x^2 -4y^2 =9z^2 \}; \{ (x,y, z): 2z^2 =x^2 + y^2 \}}$;

${\{ (x,y, z):  x^2 +y^2 +z^2 -6\sqrt{x^2 +y^2} +5=0 \}}$;

${\{ (x,y, z):  \vert x\vert+\vert y\vert+\vert z\vert=1\};  \{ (x,y, z):  \max \{ \vert x\vert, \vert y\vert, \vert z\vert\}\le 1 \}}$;

${ \{(x,y, z):  z>-3 ,  z^2 +y^2 -(x+1)^2=0 ,  (z+1)^2 -y^2 - (x+3)^2=0 \}}$;

${\{(x,y, z):y\tan z =x \}; \{(x,y, z):e^z\cos y = \cos x \};  \{(x,y, z):\sqrt{ x^2 +y^2} = {\rm cosh} z \}}$.

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ESERCIZIO n.3 Si studi l'immagine delle seguenti funzioni:

$t\in{\bf R}\mapsto (\sin 2t, \cos 2t), t\in{\bf R}\mapsto (t^2 , t^3 ), t\in{\bf R}\mapsto (t\cos t , t\sin t) , t\in{\bf R}\mapsto (\cos t , \sin t , t),$

$t\in [2;3[ \mapsto (t+1, 2t +3 , 3t+4) ,  (s,t)\in{\bf R}^2 \mapsto ( s,t, s+t) ,  (s,t)\in{\bf R}^2 \mapsto ( s,t, s^2+t^2)$.

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ESERCIZIO n.4 Si mostri che la funzione $f(x,y)= (x+y , x^2 +y^2)$ non è lineare. Che insieme è il suo luogo di zeri?

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ESERCIZIO n. 5 (a) La funzione $f(x,y)={{x-yx}\choose{2xy}}$ da ${\bf R}^2$ in se è iniettiva? È surgettiva?

(b) Sia $f(x,y)={{x^2+y^2}\choose{2xy}}=(u,v)$: si studi l'immagine di $f$, si studi al variare di $(u,v)$ come sono fatte le fibre $f^{-1} \{ (u,v)\}$.

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ESERCIZIO n.6 Si determinino il seno e il coseno dell'angolo orientato determinato dal primo vettore $(1,2)$ e dal secondo vettore $(2,1)$.

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ESERCIZIO n.7 Si determini l'angolo tra i vettori $(1,1,1,1)$ e $(0,0,0,1)$.

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ESERCIZIO n.8 Si provi che i punti $(1,1,1)$, $(2,3,4)$, $(5,6,7)$, $(6,8,10)$ sono complanari. Si determini l'area elementare del parallelogramma che li ha come vertici.

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ESERCIZIO n. 9 Si trovi l'area elementare del parallelogramma di vertici $O=(0,0,0,0)$, $P=(1,2,3,4)$, $Q=(5,6,7,8)$, $P+Q$.

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ESERCIZIO n. 10 Si trovi il piano ortogonale al piano determinato dall'equazione $x+y+z=1$ e passante per i punti $(0,0,0)$ e $(2,3,4)$.

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ESERCIZIO n. 11 Si determini come luogo di zeri in ${\bf R}^3$ l'insieme ottenuto dalle rotazioni attorno l'asse $(0,1,0)$ dell'insieme $\{ (x,y,z) :  y= x^2 +1\}$.

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ESERCIZIO n.12 Qual'è la massima distanza del punto $(3,5,7)$ dai punti dell'insime

$\{ (x,y,z):  \vert x\vert+\vert y\vert+\vert z\vert\le 1\}$? E dall'insieme $\{ (x,y,z):  (x-1)^2+ (y+1)^2 + (z-1)^2 =1\}$?