%\documentclass[twoside,italian,a4paper]{article} \message{esercizi di cam} %\usepackage{babel} %\usepackage{a4} %\usepackage{amssymb} \documentstyle [12pt]{article} \newcommand{\rem}[1]{} %per commentare intere porzioni di testo \def\text#1{{\mathrm{#1}}} %% testo nelle formule %\newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\R}{{\bf R}} %% numeri reali %\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\Q}{{\bf Q}} %% numeri razionali %\newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\N}{{\bf N}} %% naturali %\newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\C}{{\bf C}} %% complessi \newcommand{\CC}{{\mathcal C}} %% funzioni continue \renewcommand{\H}{{\mathcal H}} %% misura di Hausdorff \newcommand{\F}{{\mathcal F}} %% frontiera ridotta \newcommand{\Z}{{\mathbf Z}} %% interi \renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}} %% epsilon \renewcommand{\phi}{{\varphi}} %% phi \newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme \renewcommand{\:}{{\!\,:\,}} %% : delle funzioni o negli insiemi \renewcommand{\d}{{\,\text{d}}} %% differenziale negli integrali \newcommand{\diffsim}{\Delta} %% differenza simmetrica \def\bea{\begin{eqnarray*}} \def\eea{\end{eqnarray*}} \newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]} \newcommand{\sys}[1]{\left\{\begin{array}{l}#1\end{array}\right.} \newcommand{\sysar}[1]{\left\{\begin{array}{lcl}#1\end{array}\right.} \newcommand{\PreserveBackslash}[1]{\let\temp=\\#1\let\\=\temp} \let\PBS=\PreserveBackslash \font\pic=cmr7 %\documentstyle [12pt]{article} %\pagestyle{empty} \topmargin=-2cm \oddsidemargin=-0.5cm \textwidth=16.6cm \textheight=25cm \begin {document} \centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} \centerline{Anno Accademico 2003-2004} \centerline{Laurea specialistica in Informatica} \\ \centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli} \bigskip \centerline{I foglio di esercizi} \centerline{dal 18 febbraio 2004 al 3 marzo} \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 1 Si disegnino in maniera approssimativa i sottoinsiemi dal piano definiti da ~$\left\{ (x,y)\in\R^2 ~:~ f(x,y)=f(a,b) ~\right\}$ al variare di $f$ e di $(a,b)$, nei casi seguenti: \medskip \noindent $x^2-y^2$, $(2 ,-1 )$;~~$y^3 -x^2$, $(0,0)$;~~ $(y-x^2 )^2 -x^5$, $(0,0)$;~~ $\frac {x-y}{x+y}$, $ (1,1)$;~~ $\cos \frac xy $, $(\pi ,4)$;~~ \smallskip \noindent $e^{xy}$, $(2,0)$;~~$\frac {x}{x^2 +y^2}$, $(1,2)$;~~ $|x|+|y|$, $(1,0)$;~~ $\max \{ |x|, |y|\}$, $(1,0)$; ~~$\vert x\vert^p +\vert y\vert^p ,~ p\in\R^+$, $(1,0)$;~~ \smallskip \noindent $x^3 +y^3-3a xy~,~~a>0$, $(0,0)$; ~~$\frac {2xy}{x^2 +y^2}$, $(\cos\theta ,\sin\theta ), ~\theta\in\R$; ~~ $\sqrt{ x^2 +2y^2} - 3x ,~ (1,2)$. \medskip \noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \noindent ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo approssimativo i sottoinsiemi di $\R^3$: \medskip ${\{ (x,y, z):~ 2=3x +5y +7z \}}$; \smallskip ${\{ (x,y, z):~ \frac {x^2}9 +\frac {y^2}4 + {z^2} =121 \};~ \{ (x,y, z):~(2x-10)^2 +9y^2 +z^2 \geq 111 \}}$; \smallskip ${\{ (x,y, z):~ x=z^2 +y^2 \};~ \{ (x,y, z):~x+y+z = 2x^2 +2y ^2 +4z^2-4zx -4zy \}}$; \smallskip ${\{ (x,y,z): x^2 -y^2 =z \};~ ~\{ (x,y, z): x^2 +y^2 -z^2 \le 1 \};~\{ (x,y, z): x^2 +y^2 -z^2 \le -1 \}}$; \smallskip ${\{ (x,y ,z):~ x^2 -4y^2 =9z^2 \};~\{ (x,y, z):~2z^2 =x^2 + y^2 \}}$; \smallskip ${\{ (x,y, z):~ x^2 +y^2 +z^2 -6\sqrt{x^2 +y^2} +5=0 \}}$; \smallskip ${\{ (x,y, z):~ |x|+|y|+|z|=1\};~ \{ (x,y, z):~ \max \{ |x|, |y|, |z|\}\le 1~\}}$; \smallskip ${ \{(x,y, z):~ z>-3 ,~ z^2 +y^2 -(x+1)^2=0 ,~ (z+1)^2 -y^2 - (x+3)^2=0 \}}$; \smallskip ${\{(x,y, z):y\tan z =x \}; ~\{(x,y, z):e^z\cos y = \cos x \}; ~\{(x,y, z):\sqrt{ x^2 +y^2} = {\rm cosh} z \}}$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.3 Si studi l'immagine delle seguenti funzioni: $t\in\R \mapsto (\sin 2t, \cos 2t), t\in\R \mapsto (t^2 , t^3 ), t\in\R \mapsto (t\cos t , t\sin t) , t\in\R \mapsto (\cos t , \sin t , t),$ $ t\in [2;3[ \mapsto (t+1, 2t +3 , 3t+4) ,~ (s,t)\in\R^2 \mapsto ( s,t, s+t) ,~ (s,t)\in\R^2 \mapsto ( s,t, s^2+t^2)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.4 Si mostri che la funzione $f(x,y)= (x+y , x^2 +y^2)$ non \`e lineare. Che insieme \`e il suo luogo di zeri? \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 5 (a) La funzione $f(x,y)={{x-yx}\choose{2xy}}$ da $\R^2$ in se \`e iniettiva? \`E surgettiva? \medskip \noindent (b) Sia $f(x,y)={{x^2+y^2}\choose{2xy}}=(u,v)$: si studi l'immagine di $f$, si studi al variare di $(u,v)$ come sono fatte le fibre $f^{-1} \{ (u,v)\}$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.6 Si determinino il seno e il coseno dell'angolo orientato determinato dal primo vettore $(1,2)$ e dal secondo vettore $(2,1)$. \medskip \vfill \eject \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.7 Si determini l'angolo tra i vettori $(1,1,1,1)$ e $(0,0,0,1)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.8 Si provi che i punti $(1,1,1)$, $(2,3,4)$, $(5,6,7)$, $(6,8,10)$ sono complanari. Si determini l'area elementare del parallelogramma che li ha come vertici. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 9 Si trovi l'area elementare del parallelogramma di vertici $O=(0,0,0,0)$, $P=(1,2,3,4)$, $Q=(5,6,7,8)$, $P+Q$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 10 Si trovi il piano ortogonale al piano determinato dall'equazione $x+y+z=1$ e passante per i punti $(0,0,0)$ e $(2,3,4)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 11 Si determini come luogo di zeri in $\R^3$ l'insieme ottenuto dalle rotazioni attorno l'asse $(0,1,0)$ dell'insieme $\{ (x,y,z) :~ y= x^2 +1\}$. %\noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %\noindent ESERCIZIO n. 11 Si la matrice della trasformazione lineare % data dalla rotazione di angolo $\alpha$ in senso antiorario attorno all'asse % per l'origine e il punto $(1,1,1)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.12 Qual'\`e la massima distanza del punto $(3,5,7)$ dai punti dell'insime \noindent $\{ (x,y,z): ~ |x|+|y|+|z|\le 1\}$? E dall'insieme $\{ (x,y,z):~ (x-1)^2+ (y+1)^2 + (z-1)^2 =1\}$? \end{document} \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 3 Se $f(x,y)= x^{x^{x^y}} +\log x({\rm artan} ({\rm artan} ({\rm artan} (\sin (\cos (xy)+ \log (x+y))))))$, si calcoli $\frac {\partial f}{\partial y} (1,y)$. \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.4 Si studino la continuit\`a, la derivabilit\`a nelle diverse direzioni, e la differenziabilit\`a delle seguenti funzioni: \bigskip $ \sqrt{|xy|}$; ~~~ $\sqrt{|x|}\cos y$; ~~~ $\int_{_{_{\!\! 0}}}^{^{^{\!\!y}}} f(t,x)dt,~ f\in{\cal C}^1(\R^2 )$; \medskip $\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ {\begin{array}{ll} \frac {y^3}{x^2 +y^2} & (x,y)\not= (0,0)\\ & \\ 0 & (x,y)= (0,0)\\ \end{array}} \right.}$; $\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ {\begin{array}{ll} xy\frac {x^2 -y^2}{x^2 +y^2} & (x,y)\not= (0,0)\\ & \\ 0 & (x,y)= (0,0)\\ \end{array}} \right.}$; \medskip %$\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ %{\begin{array}{ll} %\frac {y^2}{x} e^{-\frac {y^2}{x^2}} & x\not= 0\\ %& \\ %0 & x= 0\\ %\end{array}} %\right.}$; $\scriptstyle{f(x,y) ~=~\left\{ {\begin{array}{ll} \frac {y^2}{x^3} e^{-\frac {y^2}{x^4}} & x\not= 0\\ & \\ 0 & x= 0\\ \end{array}} \right.}$. \medskip \break \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 5 Si studi l'esistenza dei limiti nei domini delle seguenti funzioni, al variare di eventuali parametri, e quando possibile se ne calcoli il valore: \medskip ${ \frac {xy}{x^2 +y^2};~ \frac {\sin (xy)}{x^2 +y^2};~ x^2\log (x^2+y^2);~ \frac {x\sin y}{y\sin x}}$; ~ ${\frac {x^2 y^2}{x^2 +y^4};~ \frac {\sin (x |y|)}{x^2 +|y|}; ~ \frac {e^{x^2 y} -x\sin (xy) -1}{(x^2+y^2 )^2}:~(x,y)\to (0,0)}$; \smallskip ${ \frac {x+y}{3x+2y};~ \frac {x^3 +y^2}{x^2 y^2};~\frac {x^3 +y^2}{x^3 +y^3}; ~\frac {y^2 +x+y}{x^2+x+y}; ~ \frac {x^2 y^2}{ |x|^\alpha +|y|^\alpha};~ {\frac {P(x,y)}{Q(x,y)} } :~(x,y)\to (0,0),~\alpha >0, }$~ $\scriptstyle{P,~ Q}$ {\pic polinomi nulli in} $\scriptstyle{ (0,0)};$ \smallskip ${ \frac y{x^2 -y}:~(x,y)\to (0,0);~ \frac y{x^2 -y}:~ {{(x,y)\to (0,0)}_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! |y|\le |x|}}}}~~~;}$ \smallskip ${x-y^2:~ x^2 +y^2\to \infty;~ x-y^2:~ {{x^2 +y^2\to \infty}_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 2y^2\le x}}}}~~;~\frac {x^2+y}{x^2 +y^2 +2xy}:~ x^2 +y^2\to \infty;~ }$ \smallskip $(*) {\frac{x^\alpha y^\beta}{x^2 + y^4},~ \frac{x^\alpha + y^\beta}{x^2 + y^4}:~(x,y)\to (0,0) }$,~ $\scriptstyle{\alpha,~\beta >0}$. \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 6 Tra le seguenti implicazioni si provino quelle valide e si trovi un controesempio per ognuna di quelle false: \begin{enumerate} \item $\scriptstyle{\exists~~~~ \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (x,y)\to (x_0,y_0)}}} f(x,y) ~\Longrightarrow ~~\exists ~~ \lim_{_{_{ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}} \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} f(x,y)}.$ \item $\scriptstyle{\exists ~~ \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}} \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} f(x,y)= \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}} f(x,y) ~\Longrightarrow ~~ \exists~~~~ \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (x,y)\to (x_0,y_0)}}} f(x,y)}.$ \item $\scriptstyle{\left\{ {\begin{array}{ll} \exists ~~ \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}} \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} f(x,y)=\lambda_1 & \\ % ~& ~\\ \exists ~~ \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y\to y_0}}} \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! x\to x_0}}} f(x,y)=\lambda_2 & \\ % ~& ~\\ \exists~~~~ \lim_{_{_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (x,y)\to (x_0,y_0)}}} f(x,y) =\lambda_3 & \\ \end{array}} \right. ~~\Longrightarrow ~~~~~~~~~~~\lambda_1 =\lambda_2 =\lambda_3}.$ \end{enumerate} \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 8 (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro $(1,1,1)$ e raggio $1$ in $(1,\frac 12, 1+\frac{\sqrt{3}}{2})$. \smallskip \noindent (b) Si trovi la retta ortogonale alla regione $\{ (x,y,z):~ \log (x^2 +y^2+e)= e^z\}$ in $(0,0,1)$. \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l'angolo di incidenza che formano le seguenti coppie di regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati: \medskip \noindent $\{ (x,y,z):~ 2x^4+3y^3 -4z^2=-4\}$, $\{ (x,y,z):~ 1+x^2+y^2=z^2\}$, $(0,0,1)$; \noindent $\{ (x,y,z): x^2+y^2=e^z\}$, $\{ (x,y,z): x^2+z^2=e^y\}$, $(1,0,0)$; \noindent $\{ (x,y,z): ~ xy=z~\}$, $\{ (x,y,z):~ \cos (2\pi xy) =z\}$, $(1,1,1)$. \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.10 Dato $C\subseteq \R^2$ si definisce la funzione distanza da $C$ come segue: \[ d_C(x,y)~=~\inf_{(a,b)\in C} \sqrt{ |x-a|^2 +|y-b|^2}\] \noindent Si descrivano, nei seguenti casi, le regioni del piano ove $d_C$ \'e differenziabile: \smallskip \noindent (a)~ $C=\{(0,0)\}$;~~(b)~ $C=\{(-1,0), (0,1)\}$;~~(c)~ $C=\{(-1,0)\}\cup \{ (1,b): b\in \R\}$;~~(d)~ $C=\{(-1,0)\}\cup\{ (a,b): (a+1)^2+b^2 = 1\}$. \medskip \end{document} \break \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.12 \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.13 \medskip \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.14 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.15 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n. 16 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.17 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.18 \noindent-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \noindent ESERCIZIO n.19 \noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \noindent------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \end{document} \item Studiare la continuit\'a delle seguenti funzioni tra spazi normati: \begin{enumerate} \item $Id: \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$ \item $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sup |f|\right)$ \item $Id: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sqrt{\int|f|^2}\right)$ \item $\frac{d}{dx} : \left(\CC^1 [0;1], \sup |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \int|f|\right)$ \item $\frac{d}{dx} : \left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to \left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$ \end{enumerate} \item Per $n\in\Z$ sia $e_n (t)~=~\frac {1}{\sqrt 2\pi} e^{int}$, $t\in [0;2\pi ]$. Per $f\in\CC ([0;2\pi ],\C)$ si ponga $c_n =(f \cdot e_n)_{L^2[0;2\pi ]}$. \begin{enumerate} %\item Se $k\in\N$, $k\le 1$, e $f\in\CC^k([0;2\pi ],\C)$ \item Se $f(t) =t$ si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi di $[0; 2\pi ]$ della serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$. \item Se $f(t)= t^2 -2\pi t$ si studi la convergenza uniforme nei sottoinsiemi di $[0; 2\pi ]$ della serie di funzioni $S_N =\sum_{n=-N}^N e_n c_n$. \end{enumerate} \item Si consideri la seguente trasformazione $T$ tra funzioni reali di variabile reale: \[(T(f))(x):= ~\frac {1}{2} f(2x)~+~\sin x.\] \begin{enumerate} \item Si provi che $T$ \'e una contrazione sullo spazio metrico delle funzioni continue e limitate: \noindent $\left({\cal CB} (\R ) , \sup_{x\in\R }\vert f(x) -g (x)\vert\right)$. \item Si provi che l'unico punto fisso $Tf=f$ in tale spazio \'e una funzione $2\pi$-periodica e dispari. \item Si provi che la serie $\sum_{m=0}^\infty 2^{-m}\sin (2^m x)$ converge uniformemente ad $f$. \item Si provi che la serie di funzioni $$S_N(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^N e^{inx}\int_0^{2\pi} f(y)e^{-iyn} dy$$ \noindent converge uniformemente ad $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} \center{3-4 novembre 1999}} \bigskip \begin{enumerate} \item Studiare la continuit\'a delle seguenti funzioni tra spazi normati: \begin{enumerate} \item $Id : \left(\CC^1 [0;1], \int |f|+\int |f^\prime |\right)\to \left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$ \item Data $f:\R^n\to \R$, se $h\in\R^n $, si definisce $\tau_h f$ la funzione $x\mapsto f(x+h)$, e quindi si definisce l'operatore $\tau f$ da $\R^n$ a valori funzioni dato dall'associazione $\tau f:h\mapsto \tau_h f$: - data $f$ limitata $\tau f :\R^n \to \left({\cal B} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove ${\cal B} (\R^n )$ sono le funzioni limitate. - data $f$ limitata uniformemente continua e limitata $\tau f:\R^n\to \left({\cal UCB} (\R^n ), \sup|f|\right)$, ove ${\cal UCB} (\R^n )$ sono le funzioni uniformemente continue e limitate. - data $f$ continua e con norma $L^p$ finita $\tau f:\R\to \left({\cal C} (\R ), |f|_{L^p}\right)$. \item $P: \left(\CC [0;1], \int |f|\right)\to \left(\CC [0;1], \sup|f|\right)$, ove $Pf$ \'e la funzione $x\mapsto \int_0^x f^2(s)ds$. \end{enumerate} \item Si consideri la successione di numeri $\alpha_n = \frac12\left(1-\frac 1{(n+2)^2}\right)$, $n\in\N$. Si definisca per ricorrenza la seguente successione di sottoinsiemi di $[0;1]$: \[ \left\{ {\begin{array}{ll} C_{_0} ~=~[0;1]& \\ ~& ~\\ C_{_{n+1}}~=~\alpha_n C_{_n }\cup \left( (1-\alpha_n )+\alpha_n C_{_n }\right) & \\ \end{array}} \right. \] \begin{enumerate} \item Si provi che ogni $C_{_n}$ \'e unione disgiunta di un numero finito di intervalli chiusi. Detta $\lambda_n$ la somma delle loro lunghezze si provi che converge ad un numero strettamente compreso tra $0$ e $1$. \item Provare che la successioni delle funzioni caratteristiche dei $C_{_n}$ \'e di Cauchy rispetto alla seminorma $\int_0^1 |f(x)|dx$. \end{enumerate} \end{document}