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\def\text#1{{\mathrm{#1}}}              %% testo nelle formule
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\newcommand{\R}{{\bf R}}            %% numeri reali
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\newcommand{\N}{{\bf N}}            %% naturali
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}} 
\newcommand{\C}{{\bf C}}            %% complessi
\newcommand{\CC}{{\mathcal C}}           %% funzioni continue
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}         %% misura di Hausdorff
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}           %% frontiera ridotta
\newcommand{\Z}{{\mathbf Z}}            %% interi
\renewcommand{\epsilon}{{\varepsilon}}  %% epsilon
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}          %% phi
\newcommand{\nsubset}{{\not\!\subseteq}}%% non sottoinsieme
\renewcommand{\:}{{\!\,:\,}}            %% : delle funzioni o negli insiemi
\renewcommand{\d}{{\,\text{d}}}         %% differenziale negli integrali
\newcommand{\diffsim}{\Delta}           %% differenza simmetrica
\def\bea{\begin{eqnarray*}}
\def\eea{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\sol}[1]{[\emph{Soluzione:} #1]}
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\oddsidemargin=-0.5cm
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\begin {document}

\centerline{\bf Complementi di Analisi Matematica} 
\centerline{Anno Accademico 2003-2004} 
\centerline{Laurea specialistica in Informatica} 
\centerline{R.Stasi, V.M. Tortorelli}
\medskip

\centerline{I prova in itinere, 31 marzo 2004} 


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%\centerline{ I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione:}

%\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%\medskip

%\noindent  1- Si calcoli l'area del parallelogramma di vertici $(1,1,1),~ (2,3,4),~(5,6,7),~
%(6,8,10)$.
%\medskip

%R.:


%\medskip

\noindent 1.a- Dire se esiste il limite $(x,y)\to (0,0)$ di $f(x,y)=\frac {\tan (x^2+y^2)}{\sqrt{ x^4 +y^4}}$.
\medskip

R.:


\medskip

\noindent 1.b- Si calcoli il differenziale della funzione 
$(x,y)\mapsto g(f(x,y))$ in $(1,1)$, 

 ove
$f(x,y)= (xy, x^2-y^2)$, $g(u,v)= (\sin v, \cos u)$.
\medskip

R.:



\medskip

\noindent 1.c- Si calcoli il polinomio di Taylor del terzo ordine in $(0,0,0)$
 della funzione $ (\sin xyz , \cos xyz )$. 
\medskip

R.:

\medskip 


\noindent 2- Si calcolino i punti critici della funzione $f(x,y) = 2x^4-x^2 e^y +e^{4y}$ 
specificando se si 
tratta di punti di massimo o minimo relativo o meno.

\medskip

R.:

\medskip 

\noindent 3- Si calcoli $\frac{\partial z}{\partial x}_{\vert_{x=1,y=\sqrt{2}}}$ 
per la funzione definita implicitamente in un intorno di $(1,\sqrt{2}, 1)$
 da 

$f(x,y,z)=e^{x^2-y^2+z^2} -xz=0$.

\medskip

%Il punto $(1,\sqrt{2},1)$ verifica la condizione, 
%%$f_x (x,y,z)= 2xe^{x^2-y^2+z^2}-z$, 
%%$f_y (x,y,z)= -2ye^{x^2-y^2+z^2}$, 
%$f_z (x,y,z)= 2ze^{x^2-y^2+z^2}-x$ non si annulla nel punto 
%$(1,\sqrt{2}, 1)$ ove $f$ 
% \`e nulla. Quindi $z=z(x,y)$ \`e ben definita e 
% $\frac{\partial z}{\partial x}(1\sqrt{2})= -\frac {f_x(1,\sqrt{2}, 1)}
%{f_z(1,\sqrt{2}, 1)}$


R.: 
%$-1$

\medskip 


\noindent 4- Si calcoli il valore massimo e il valore minimo di 
 $f(x,y,z)=2 {y} + 3{z}$,~ sull'insieme 
 $\left\{\begin{array}{ll}(x-1)^2 + (y-1)^2=1 &\\
(x-1)^2 + (z-1)^2=1&\\\end{array}\right.\\$





\medskip

R.:

\medskip 

\noindent 5- Si calcoli l'integrale di $f(x,y,z)=z$ sulla superficie definita da 

$x^2 +y^2 +3z^2 = 4$ e $z>0$.


\medskip

R.:

\medskip 


\noindent 6- Per quali $\alpha$ il sottografico di $(x^2+y^2)^\alpha$ su 
$\vert x\vert +\vert y\vert \le 1$ ha volume finito?
\medskip

R.:

\medskip

\end{document}