Commensurabiles magnitudines dicuntur quas eadem mensura dimetitur.

Incommensurabiles autem quae sub nullius communis mensurae dimensionem cadunt.

Rectae lineae potentia commensurabiles sunt quando quae ab ipsis quadrata eadem area dimetitur.

Incommensurabiles autem quando ea quae ex ipsis quadrata nulla area communi mensura dimetitur.

Duabus magnitudinibus inaequalibus expositis si a maiori auferatur maius quae dimidium et eius quod relictum est maius quam dimidium, idque semper fiat, relinquetur quaedam magnitudo minor minore magnitudine exposita.

Si, duabus magnitudinibus inaequalibus expositis, sublata semper minore a maiori, reliqua minime metiatur precedentem, incommensurabiles erunt ipsae magnitudines.

Duabus magnitudinibus commensurabilibus datis, maximam earum communem invenire mensuram.

Ex hoc inquam manifestum est quod si magnitudo binas magnitudines mensa fuerit et maximam earum communem dimensionem metietur.

Tribus magnitudinibus commensurabilibus datis, maximam earum communem mensuram invenire.

Ex hoc proinde manifestum est quod si magnitudo tres magnitudines mensa fuerit et maximam quoque earum communem dimensionem metietur, similiterque et in pluribus et communis maxima mensura, et subinde correlarium invenietur.

Commensurabiles magnitudines adinvicem rationem habent quam numerus ad numerum.

Si binae magnitudines adinvicem rationem habuerint quam numerus ad numerum, commensurabiles erunt ipsae magnitudines.

Ex hoc proinde manifestum est quod si fuerint bini numeri d, e et recta linea sicut a datur et factu (ATTENZIONE, COSì NEL TESTO) est possibile quod sicut numerus ad numerum sic recta linea ad rectam lineam. Si autem et ipsarum af media proportionalis sumpta fuerit, sicut b erit sicut a ad f, sic quod ex ipsa a ad id quod ex ipsa b, hoc est sicut a ad f, sic quod a prima ad id quod ex secunda simile, similiterque descriptum per correlarium XIX sexti. Sed sicut a ad f sic est d numerus ad e numerum; fit igitur sicut d numerus ad e numerum, sic quod ex a recta linea ad id quod ex b recta linea.

Incommensurabiles magnitudines adinvicem rationem non habent quam numerus ad numerum.

Si binae magnitudines adinvicem rationem non habuerint quam numerus ad numerum, incommensurabiles erunt ipsae magnitudines.

A longitudine commensurabilibus rectis lineis quadrata adinvicem rationem habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum, et quadrata adinvicem rationem habentia quam quadratus numerus ad quadratum numerum, latera quoque habebunt longitudine commensurabilia. A longitudine vero incommensurabilibus rectis lineis quadrata adinvicem rationem non habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Et quadrata adinvicem rationem non habentia quam quadratus numerus ad quadratum numerum, neque latera habebunt longitudine commensurabilia.

Et manifestum est ex hiis ostensis quod longitudine commensurabiles omnino sunt et potentia quae autem potentia, non omnino longitudine si ex longitudine, si ex longitudine commensurabilibus rectis lineis quadrata rationem habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum. At quae rationem habent quam numerus ad numerum commensurabilia sunt per VI X. Quare longitudine commensurabiles rectae lineae non solum longitudine sunt commensurabiles, sed et potentia. Rursus quoniam quaecunque quadrata adinvicem rationem habent, quam quadratus numerus ad quadratum numerum, longitudine demonstrata sunt commensurabilia et potentia esse commensurabilia, quatenus quadrata habeant eam rationem quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Quaecunque igitur quadrata quae rationem non habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum, sed simpliciter quam aliquis alius numerus ad numerum commensurabilia sunt ipsa quadrata, hoc est ipsae rectae lineae ex quibus descripta sunt potentia non autem et longitudine. Quare longitudine quidem commensurabiles omnino et potentia, quae autem potentia non omnino et longitudine et nisi rationem habuerint quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Dico iam quod et quae longitudine incommensurabiles non omnino et potentia quandoquidem potentia commensurabiles possunt rationem non habere quam quadratus numerus ad quadratum numerum, et ob id potentia commensurabiles existentes,et sunt longitudine commensurabiles. Quare quae longitudine incommensurabiles non omnino et potentia, sed longitudine existentes incommensurabiles possunt et potentia esse incommensurabiles. Quae autem potentia incommensurabiles omnino et longitudine incommensurabiles, si enim longitudine commensurabiles fuerint, erunt quoque et potentia commensurabiles, supponuntur autem et incommensurabiles, quod est absurdum; quae igitur potentia incommensurabiles omnino et longitudine.

Ostensum autem est in arithmeticis ex XXVIII octavi quod similes plani numeri andinvicem rationem habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum et quod si bini numeri adinvicem rationem habuerint quam quadratus numerus ad quadratum numerum similes sunt ipsi plani numeri, manifestum ex hiis quod dissimiles plani numeri, hoc est latera proportionalia non habentes adinvicem rationem non habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Si enim habebunt, similes ipsi plani erunt quod quidem non supponitur. Dissimiles igitur plani numeri adinvicem rationem non habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum.

Propositae rectae lineae, binas rectas incommensurabiles invenire lineas; alteram quidem longitudine tantum alteram autem et potentia.

Si quattuor magnitudines proportionales fuerint prima aut secundae fuerit commensurabilis et tertia quartae commensurabilis erit; et si prima secundae incommensurabilis fuerit et tertia quartae incommensurabilis erit.

Quae eidem magnitudini commensurabiles et adinvicem sunt commensurabiles.

Si fuerint binae magnitudines et altera quidem commensurabilis fuerit eidem, altera vero incommensurabilis, incommensurabiles erunt ipsae magnitudines.

Si binae magnitudines commensurabiles fuerint altera quidem earum magnitudini alicui incommensurabilis fuerit et reliqua eidem incommensurabilis erit. Lemma.X.14 Duabus datis rectis lineis inaequalibus invenire cui magis potest maior minore.

Si quattuor rectae lineae proportionales fuerint potueritque prima secunda maius eo quod fit ab eidem longitudine commensurabili et tertia quarta maius poterit eo quod fit ab eidem longitudine commensurabili, et si prima secunda maius potuerit eo quod fit ab incommensurabili eidem longitudine et tertia quarta maius poterit eo quod fit ab eidem longitudine incommensurabili.

Si binae magnitudines commensurabiles compositae fuerint, et tota utrique ipsarum commensurabilis erit, et si tota uni earum commensurabilis fuerit, et quae in principio magnitudines commensurabiles erunt.

Si binae magnitudines incommensurabiles compositae fuerint et tota utrique ipsarum incommensurabilis erit et si tota uni ipsarum incommensurabilis fuerit et quae in principio magnitudines incommensurabiles erunt.

Si ad aliquam rectam lineam comparetur parallelogrammum specie deficiens (ATTENZIONE NEL TESTO defficiens) a quadrato comparatum aequum est ei quod fit sub comparatione factorum segmentorum ipsius rectae lineae.

Si fuerint binae rectae lineae inaequales, quartae autem parti eius quod ex minori aequum maiori comparatum fuerit deficiens (ATTENZIONE NEL TESTO defficiens) specie a quadrato et in commensurabilia ipsam diviserit longitudine maior minore maius poterit eo quod fit ex sibi longitudine commensurabili et si maior minore maius poterit eo quod fit a sibi commensurabili longitudine quartae vero parti eius quod a minori aequale maiori comparatum deficiens specie a quadrato et in commensurabilia longitudine quartae vero parti eius quod a minori aequale maiori comparatum deficiens specie a quadrato et incommensurabilia longitudine ipsam distribuet.

Si fuerint binae rectae lineae inaequales quartae autem parti eius quod fit ex minore aequum ad maiorem comparetur deficiens (ATTENZIONE NEL TESTO defficiens) specie a quadrato et per incommensurabilia ipsam diviserit longitudine maior minore maius potest eo quod fit ex sibi incommensurabili longitudine et si maior minore maius potuerit eo quod fit ex sibi incommensurabili quartae autem ipsius quod fit ex minore aequum ad maiorem comparatum fuerit deficiens specie a quadrato in incommensurabilia sibi longitudine ipsam dispescit.

Sub rationalibus longitudine commensurabilibus rectis lineis iuxta aliquem predictorum modorum comprehensum rectangulum rationale est.

Si rationale ad rationalem comparatum fuerit latitudinem efficit rationalem commensurabilemque ei ad quam comparatur longitudine.

Potens irrationalem aream irrationalis est.

Sub rationalibus potentia tantum commensurabilibus rectis lineis comprehensum rectangulum irrationale est, illudque potens irrationalis est, voceturque media.

Si fuerint binae rectae lineae, est sicut prima ad secundam sic quod fit a prima ad id quod sub duabus rectis lineis.

A media ad rationalem comparata latitudo efficit rationalem et ei incommensurabilem ad quam comparatur longitudine.

Quae mediae commensurabilis media est.

Hinc igitur est manifestum quod mediae areae rationali commensurabilis media est; possunt enim eas rectae lineae quae potentia sunt commensurabiles quarum altera media quare et reliqua media est; similiter autem in eis quae de rationalibus et mediis dicta sunt. Sequitur ut mediae longitudine commensurabilis media appelletur eique commensurabilis non tantum longitudine sed et potentia, quoniam in universali longitudine commensurabiles omnino et potentia, si vero mediae commensurabiles potentia tantum dicuntur mediae potentia tantum commensurabiles.

Sub mediis longitudine commensurabilibus rectis lineis comprehensum rectangulum medium est.

Sub mediis tantum commensurabilibus rectis lineis comprehensum rectangulum aut rationale aut medium est.

Medium non excedit medium rationali.

Medias invenire potentia tantum commensurabiles, rationale comprehendentes.

Medias comperire potentia tantum commensurabiles medium comprehendentes.

Comperire duos quadratos numeros ut ex eis compositus fit quadratus.

Ac manifestum quod inventi sunt rursus bini quadrati et qui ex bd et qui ex cd et perinde eorum excessus qui sub ab bc est quadratus quando ipsi ab bc similes fuerint plani, quando autem non fuerint similes plani inventi sunt bini quadrati et qui ex bd et qui ex dc quorum excessus qui sub ab et bc non est quadratus.

Invenire binos quadratos numeros ut ex eis compositus non sit quadratus.

Comperire binas rationales potentia tantum commensurabiles ut maior minore maius possit eo quod fit ex commensurabili sibi longitudine.

Comperire binas rationales potentia tantum commensurabiles ut maior minore maius possit eo quod fit a sibi longitudine incommensurabili.

Comperire binas medias potentia tantum commensurabiles rationale comprehendentes ut maior minore maius possit eo quod fit a sibi longitudine commensurabili.

Invenire duas medias potentia tantum commensurabiles medium comprehendentes ut maior minore maius possit eo quod fit ex sibi commensurabili.

Esto triangulum rectangulum abc rectum habens qui sub abc exciteturque per XII primi perpendicularis ad dico quidem quod sub cb et bd aequum est ei quod fit ex ba. Quod vero sub bc cd ei qui sub ca, quod autem sub db et dc aequum est ei quod fit ex ad et insuper id quod sub bc ad aequum est ei quod fit sub ba et ac in primisque quidem id quod sub cb et bd aequum sit ei quod ex ab, quoniam enim rectangulo triangulo ab angulo recto in basim excitata est ad igitur per VIII VI triangula abd et adc similia sunt et toti abc et sibi invicem et quoniam per conversionem diffinitionis VI triangulum abc simile est triangulo adb est igitur sicut cb ad ba sic est ab ad bd igitur quod sub cb et bd aequum est ei quod fit ex ab id propterea iam quod sub bc et cd aequum est ei quod fit ex ac et quoniam si in rectangulo triangulo ab angulo recto in basim perpendicularis excitetur; excitata basis segmentorum media proportionalis est per correllarium .viii.vi. est igitur sicut bd ad da sic est ad ad dc Igitur per XVII VI quod sub bd dc aequum est ei quod ex da Dico autem quod et id quod sub bc et ad aequum est ei quod sub ba et ac quoniam enim ut diximus abc simile est ipsi acd est igitur sicut bc ad cd sic ba ad ad si fuerint autem quattuor rectae lineae proportionales quod sub extremis per XVI VI aequum est ei quod sub mediis quod igitur sub bc ad aequum est ei quod sub ba ac vel etiam quando circumscribemus ec rectangulum parallelogrammum complebimusque af aequum erit per XLI primi ec ipsi af utrunque enim eorum ipsius abc trianguli duplum est estque quod ex ac id quod sub bc ad quod autem ex af id quod sub ba et ac quod igitur sub bc ad aequum est ei quod sub ba et ac

Invenire binas rectas lineas potentia incommensurabiles conficientes conflatum ex quadratis quae ab ipsis rationale quod vero sub ipsis medium.

Binas rectas lineas potentia incommensurabiles efficientes compositum ex hiis quae ab ipsis sunt quadrata medium quod vero sub ipsis rationale comperire.

Comperire binas rectas lineas potentia commensurabiles efficientes compositum ex earum quadratis medium et quod sub ipsis medium et insuper incommensurabile composito ex earum quadratis.

Si binae rationales potentia tantum commensurabiles compositae fuerint tota irrationalis est voceturque ex duobus nominibus.

Si binae mediae potentia tantum commensurabiles compositae fuerint rationale comprehendentes tota irrationalis est; vocatur autem ex binis prima mediis.

Si binae mediae potentia tantum commensurabiles compositae fuerint medium comprehendentes tota irrationalis est vocatur autem ex binis secunda mediis.

Si binae rectae lineae potentia incommensurabiles compositae fuerint conficientes compositum ex quadratis quae ab ipsis rationale quod autem sub ipsis medium tota recta linea irrationalis est, vocatur autem maior.

Si binae rectae lineae potentia incommensurabiles compositae fuerint efficientes compositum quidem ex earum quadratis medium quod vero sub ipsis rationale, tota recta linea irrationalis est, vocatur autem rationale mediumque potens.

Si binae rectae lineae potentia incommensurabiles compositae fuerint efficientes compositum ex earum quadratis medium quod vero sub ipsis medium, et insuper incommensurabile composito ex earum quadratis, tota recta linea irrationalis est, vocatur autem bina potens media.

Exponatur recta linea ab seceturque tota in inaequalia per utrunque ipsorum dc supponaturque maior ac ipsa db. Dico quod quae ex ac cb maiora sunt eo quod ex ad db secetur enim per X primi ab bifariam in e et quoniam maior est ac ipsa db communis auferatur dc reliqua igitur ad reliqua cb maior est aequalis autem est ae ipsi cb minor igitur est de ipsa ec igitur c et d signa non aequaliter distant a bifaria sectione et quoniam quod sub ac cb una cum eo quod ex ec aequum est ei quod ex eb at quod sub ad db una cum eo quod ex de aequm est ei quod ex eb igitur quod sub ac cb una cum eo quod ex ec aequum est ei quod sub ab db una cum eo quod ex de Quorum quod ex de maius potest eo quod ex ec et reliquum igitur quod sub ac cb minus est eo quod sub ad db, quare et quod sub ac cb minus est eo quod bis sub ad db et reliquum igitur compositum ex hiis quae ex ac cb maius est composito ex hiis quae fiunt ex ad db siquidem utraque aequalia sunt ei quod ex ab quod ostendere oportuit.

Quae ex binis nominibus ad unum duntaxat signum dividitur in nomina.

Ex binis mediis prima ad unum duntaxat signum dividitur in nomina.

Ex binis secunda mediis ad unum duntaxat signum dividitur in nomina.

Maior ad unum duntaxat signum dividitur in nomina.

Rationale mediumque potens ad unum duntaxat signum descinditur in nomina.

Bina potens media ad unum duntaxat signum dividitur in nomina.

Proposita rationali ex binisque nominibus disiuncta in nomina. Cuius nomen maius minore maius possit eo quod fit ex sibi longitudine commensurabili; si maius nomen longitudine commensurabile fuerit expositae rationali tota vocetur ex binis nominibus prima.

si vero nomen minus longitudine commensurabile fuerit expositae rationali vocatur ex binis nominibus secunda.

Si autem neutrum ipsorum nominum commensurabile longitudine fuerit expositae rationali vocatur ex binis nominibus tertia.

Rursus iam si maius nomen minore maius possit eo quod fit a sibi longitudine commensurabili, siquidem maius nomen expositae rationali longitudine commensurabile fuerit, vocatur ex binis nominibus quarta.

Si vero minus quinta.

Si vero neutrum sexta.

Sex igitur existentibus sic sumptis rectis lineis ordinat ordinatim tres primas, ex quibus maior minore maius potest eo quod fit ex sibi commensurabili secundas vero reliquas tres ordinatim similiter quarum maior minore maius possit eo quod fit ex sibi incommensurabili eo quia conterit commensurabile incommensurabili. Et insuper primam ex qua maius nomen expositae rationali commensurabile est. Secundam autem ex qua minus quoniam rursus conterit maius minore dum continet maius. Tertiam vero cuius neutrum nominum expositae rationali est commensurabile. In hiisque ordinatim tribus similiter primam predicti secundi ordinis quartam appellans secundam vero quinta ac tertiam sextam

Invenire ex binis nominibus primam.

Comperire ex binis nominibus secundam.

Invenire ex binis nominibus tertiam.

Invenire ex binis nominibus quartam.

Invenire ex binis nominibus quintam.

Invenire ex binis nominibus sextam.

Sint bina quadrata ab bc exponaturque per XIIII primi ut db ipsi be sit in rectas lineas. In rectas lineas igitur est et fb ipsi bg compleaturque parallelogrammum ac. Dico quod ac quadratum est et quod dg ipsorum ab bc medium est proportionale et insuper dc ipsorum ac cb medium proportionale est; quoniam enim db ipsi bf est aequale et be ipsi bg totum igitur de toti fg est aequale; sed dc utrique ipsarum ah kc est aequalis et gf utrique ipsarum ak ch est aequalis et utraque igitur ipsarum ak kc utrique ipsarum ah hc est aequalis. Igitur per XXXIII primi parallelogrammum ac aequilaterum est, est quoque et rectangulum quadratum igitur est ac per XLVI primi. Et quoniam est sicut fb ad bg sic db ad be, sed sicut quidem fb ad bg sic per primam VI ab ad dg sicut vero db ad be sic dg ad bc et sicut igitur ab ad dg sic dg ad bc. Igitur dg ipsorum ab bc medium proportionale est. Dico iam quod et dc ipsorum ac cb medium proportionale est. Quoniam igitur est sicut ad ad dk sic est kg ad ge; aequalis est enim altera alteri et componendo per XVIII V sicut ak ad kd sic kc ad cg sed sicut ak ad kd sic ac ad cd sicut autem kc ad cg sic per primam VI dc ad cb; igitur dc ipsorum ac cb medium et proportionale est.

Si areola comprehendatur sub rationali ac ex binis nominibus prima quae areolam potest irrationalis est ex binis nominibus vocata.

Si areola comprehensa fuerit sub rationali et ex binis nominibus secunda areolam potens irrationalis est vocaturque ex binis prima mediis.

Si superficies sub rationali et ex binis nominibus tertia comprehensa fuerit, superficiem potens irrationalis est appellaturque ex binis secunda mediis.

Si areola sub rationali ac ex binis quarta nominibus comprehensa fuerit, ipsam areolam potens irrationalis est vocaturque maior.

Si areola comprehendatur sub rationali ac ex binis quinta nominibus, areolam potens irrationalis est appellata rationale mediumque potens.

Si areola comprehendatur sub rationali et ex binis sexta nominibus areolam potens irrationalis est appellata bina potens media.

Si recta linea secetur in inaequalia quae ab inaequalibus quadrata maiora sunt eo quod bis sub inaequalibus comprehensum est rectangulum.

Quae ab ex binis nominibus ad rationalem comparata latitudo efficit ex binis nominibus primam.

Quae ab ex binis mediis prima ad rationalem comparata latitudo efficit ex binis nominibus secundam.

Quae ab ex binis secunda mediis ad rationalem comparata latitudo efficit ex binis nominibus tertiam.

Quae ex maiore ad rationalem comparata latitudo efficit ex binis quartam nominibus.

Quae ex rationale mediumque potente ad rationalem comparata latitudo efficit ex binis quintam nominibus.

Quae ex bina media potente ad rationalem comparata latitudo efficit ex binis nominibus sextam.

Ei quae ex binis nominibus longitudine commensurabilis ipsa quoque ex bis nominibus est ac in ordine eadem.

Ei quae ex binis mediis longitudine commensurabilis et ipsa ex binis est mediis et in ordine eadem.

Maiori commensurabilis eadem quoque maior est.

Rationale ac medium potenti commensurabilis et eadem rationale ac medium potens est.

Bina potenti media commensurabilis bina potens est media.

Rationali ac medio compositis quattuor fiunt irrationales quae ex binis nominibus, quae ex binis prima mediis maior ac rationale mediumque potens.

Binis mediis adinvicem incommensurabilibus compositis reliquae duae irrationales fiunt quae ex binis secunda mediis et quae bina potens est media.

Si a rationali rationalis auferatur potentia tantum commensurabilis existens toti reliqua irrationalis est vocatur autem apotome.

Si a media auferatur media potentia tantum toti subsistens commensurabilis, cum tota vero rationale comprehendens reliqua irrationalis est vocetur vero mediae apotome prima.

Si a media media auferatur potentia tantum toti commensurabilis subsistens et cum tota medium comprehendens reliqua irrationalis est vocetur autem mediae secunda apotome.

Si a recta linea recta linea auferatur potentia tantum toti subsistens incommensurabilis cum tota vero efficiens quod ab eis simul rationale quod vero sub ipsis medium; reliqua irrationalis est appellaturque minor.

Si a recta linea recta linea auferatur potentia toti subsistens incommensurabilis et cum tota efficiens conflatum quidem ex ipsarum quadratis medium; quod vero sub ipsis rationale reliqua irrationalis est vocatur autem cum rationali medium totum efficiens.

Si a recta linea recta linea sublata fuerit potentia toti subsistens incommensurabilis et cum tota efficiens conflatum ex ipsarum quadratis medium; quod vero bis sub ipsis medium insuper ipsarum quadrata incommensurabilia ei quod bis sub ipsis reliqua irrationalis est appellatur autem cum medio medium totum efficiens.

Apotome una tantum congruit recta linea rationalis potentia tantum toti subsistens commensurabilis.

Mediae apotome primae una tantum congruit recta linea media potentia tantum toti subsistens commensurabilis et cum tota rationale comprehendens.

Mediae apotome secunda una tantum congruit recta linea media potentia tantum toti commensurabilis et cum tota medium comprehendens.

Minori una tantum congruit recta linea potentia toti incommensurabilis subsistens efficiens cum tota compositum ex earum quadratis rationale quod vero bis sub ipsis medium.

Efficienti cum rationali medium totum una tantum congruit recta linea potentia toti incommensurabilis subsistens et cum tota efficiens conflatum quidem ex ipsarum quadratis medium, quod vero bis sub ipsis rationale.

Efficienti cum medio medium totum una tantum congruit recta linea potentia incommensurabilis toti subsistens et cum tota efficiens conflatum ex ipsarum quadratis medium et quod sub ipsis medium et insuper incommensurabile conflatum ex hiis quae ab ipsis ei quod bis sub ipsis.

Supposita rationali et apotome siquidem tota congruente maius poterit eo quod fit ex sibi longitudine commensurabili et tota expositae rationali longitudine commensurabilis fuerit, appellatur apotome prima.

Si vero congruens commensurabilis fuerit longitudine expositae rationali et tota congruente maius potuerit eo quod fit ex sibi commensurabili secunda appellatur apotome.

Si autem neutra commensurabilis fuerit expositae rationali longitudine tota congruente maius poterit eo quod fit et sibi longitudine commensurabili tertia appellatur apotome. Rursus si tota maius potuerit congruente eo quod fit ex sibi longitudine commensurabili.

Si quidem tota commensurabilis fuerit expositae rationali longitudine, appellatur apotome quarta.

Si vero congruens quinta.

Si autem neutra sexta.

Invenire primam(ATTENZIONE NEL TESTO prima) apotomen.

Invenire secundam apotomen.

Invenire tertiam apotomen.

Invenire quartam apotomen.

Invenire quintam apotomen.

Invenire sextam apotomen (ATTENZIONE NEL TESTO apotome).

Si areola comprehendatur sub rationali et apotome prima, quae areolam potest apotome est.

Si areola comprehensa fuerit sub rationali et apotome secunda, quae areolam potest mediae apotome est prima.

Si areola comprehendatur sub rationali et apotome tertia quae areolam potest mediae apotome est secunda.

Si areola comprehendatur sub rationali et quarta apotome, quae areolam potest minor est.

Si areola comprehendatur sub rationali et quinta apotome, quae areolam potest est quae cum rationali medium totum conficit.

Si areola compraehendatur sub rationali et apotome sexta, quae areolam potest est quae cum medio medium totum efficit.

Quae ab apotome ad rationalem comparata latitudo primam efficit apotomen.

Quae a mediae apotome prima ad rationalem comparata latitudo, secundam efficit apotomen.

Quae a mediae apotome secunda ad rationalem comparata latitudo, tertiam apotomen conficit.

A minori ad rationalem comparata latitudo efficit quartam apotomen.

Ab ea quae cum rationali medium totum efficit ad rationalem latitudo comparata quintam efficit apotomen.

Ab ea quae cum medio medium totum efficit ad rationalem comparata latitudo efficit sextam apotomen.

Quae ipsi apotome longitudine est commensurabilis apotome est, et in ordine eadem.

Mediae apotome commensurabilis mediae apotome est et in ordine eadem.

Minori commensurabilis minor est.

Cum rationali medium totum efficienti commensurabilis et eadem cum rationali medium totum efficiens est.

Cum medio medium totum efficienti commensurabilis et eadem cum medio medium totum efficiens est.

A rationali media ablata, reliquam areolam potens una duarum irrationalium gignitur vel apotome vel minor.

A medio rationali sublato aliae duae irrationales fiunt, vel mediae apotome prima vel cum rationali medium totum efficiens.

A medio medio ablato incommensurabile toti reliquae duae irrationales fiunt, vel mediae apotome secunda vel cum medio medium totum efficiens.

Apotome non est eadem ei quae ex binis nominibus.

A rationali ad rationalem ex binis nominibus apposita latitudo efficit apotomen cuius nomina commensurabilia sunt nominibus eius quae ex binis nominibus est et in eadem ratione et insuper apotome quae gignitur eundem habebit ordinem ei quae ex binis nominibus est.

A rationali ad apotomem comparata latitudo efficit eam quae ex binis nominibus cuius nomina commensurabilia sunt ipsius apotomes nominibus et in eadem ratione et insuper quae gignitur ex binis nominibus ipsi apotome eundem obtinet ordinem.

Si areola comprehendatur sub apotome et ea quae ex binis nominibus cuius nomina commensurabilia sunt ipsius apotomes nominibus et in eadem ratione quae areolam potest rationalis est.

Fitque nobis et id propterea manifestum quod possibile est rationalem areolam sub irrationalibus rectis lineis contineri.

A media infinitae irrationales fiunt et nulla nulli eorum quae prius est eadem.

Minori commensurabilis minor est.

Cum rationali medium totum efficienti commensurabilis cum rationali medium totum efficiens est.

Propositum nobis sit ostendere quod in quadratis figuris incommensurabilis est dimetiens lateri longitudine.