Similes figurae rectilineae sunt quae et angulos aequales habent ad unum et quae circa angulos aequales sunt latera proportionalia.

Reciprocae autem figurae sunt quando in utraque figura antecedentes et consequentes termini rationales fuerint.

Per extremam et mediam rationem recta linea dividi dicitur quando fuerit sicut tota ad maius segmentum, sic maius ad minus.

Altitudo uniuscuiusque figurae est a vertice ad basim perpendicularis deducta.

Ratio ex duabus rationibus aut ex pluribus constare dicitur, quando rationum quantitates multiplicatae aliquam efficiunt quantitatem.

Triangula et parallelogramma quae sub eodem sunt vertice ad se invicem sunt ut bases.

Si trianguli ad unum laterum acta fuerit aliqua recta linea proportionaliter secat ipsius trianguli latera, et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint ad segmenta connexa recta linea ad reliquum erit ipsius trianguli latus.

Si trianguli angulus bifariam secetur dispescens autem angulum recta linea secuerit et basim, basis segmenta eandem habebunt rationem reliquis ipsius trianguli lateribus; et si basis segmenta eandem habuerint rationem, reliquis ipsius trianguli lateribus a vertice ad basim coniuncta recta linea bifariam dispescit ipsius trianguli angulum.

Aequiangulorum triangulorum proportionalia sunt latera quae circum aequales angulos, et similis sunt rationis quae aequalibus angulis latera subtenduntur.

Si duo triangula latera proportionalia habuerint aequiangula erunt triangula et aequales habebunt angulos, sub quibus eiusdem rationis latera subtenduntur.

Si bina triangula unum angulum uni angulo aequalem habuerint et circum aequales angulos latera proportionalia, aequiangula erunt triangula, et aequales habebunt angulos sub quibus eiusdem rationis latera subtenduntur.

Si bina triangula unum angulum uni angulo aequalem habuerint circum autem alios angulos latera proportionalia, reliquorum vero alterum simul aut minorem aut non minorem recto, aequiangula erunt triangula, et aequales habebunt angulos circum quos proportionalia sunt latera.

Si in triangulo rectangulo ab angulo recto in basim perpendicularis agatur quae ad perpendicularem triangula, similia sunt toti et ad invicem.

Ex hoc inquam manifestum est quod si in rectangulo triangulo ab angulo recto in basim perpendicularis agatur, acta ipsius basis segmentis media proportionalis est et insuper ipsius basis et uniuscuiusque segmentorum latus quod ad segmentum medium proportionale est. Quod erat demonstrandum.

Data recta linea ordinatam partem abscindere.

Datam rectam lineam non sectam datae rectae lineae sectae similiter secare.

Duabus datis rectis lineis, tertiam proportionalem invenire.

Tribus datis rectis lineis, quartam proportionalem invenire.

Duabus datis rectis lineis, mediam proportionalem invenire.

Aequalium et unum uni aequalem habentium angulum parallelogrammorum reciproca sunt latera quae circum aequales angulos et quorum parallelogrammorum unum angulum uni angulo aequalem habentium reciproca sunt, latera quae circum aequales angulos ea quoque sunt aequalia.

Aequalium et unum uni aequalem habentium angulum triangulorum reciproca sunt latera quae circum aequales angulos et quorum unum uni angulum aequalem habentium triangulorum reciproca sunt latera quae circum aequales angulos ea quoque sunt aequalia.

Si quattuor rectae lineae proportionales fuerint, quod sub extremis comprehensum rectangulum aequum est ei quod sub mediis continetur rectangulo, et si sub extremis comprehensum rectangulum aequum fuerit ei quod sub mediis continetur rectangulo, quattuor rectae lineae proportionales erunt.

Si tres rectae lineae proportionales fuerint quod sub extremis comprehensum rectangulum, aequum est ei quod a media quadrato, et si quod sub extremis continetur rectangulum, aequum fuerit ei quod a media quadrato, ipsae tres rectae lineae proportionales erunt.

A data recta linea, dato rectilineo, simile similiterque positum rectilineum describere.

Similia triangula ad invicem in dupla sunt ratione laterum similis rationis.

Ex hoc utique manifestum est quod si tres rectae lineae proportionales fuerint, sicut prima ad tertiam, sic quod a prima rectangulum ad id quod est a secunda simile similiterque descriptum, quoniam ostensum est quod sicut cbad bg sic triangulum abc ad triangulum abg hoc est dcf. Quod oportebat demonstrare.

Similia polygona in similia triangula dividuntur et in aequalia numero et aequa ratione totis, et polygonum ad polygonum duplicem rationem habet quam similis rationis latus, ad similis rationis latus.

Proinde in universum manifestum est quod similes rectilineae figurae ad invicem in dupla sunt ratione similis rationis laterum et si ipsorum ab et fg proportionalem accipiamus x ipsa ab ad x duplam habet rationem quam ab ad fg habet autem et polygonum ad polygonum, sive quadratum ad quadratum, duplam rationem quam similis rationis latus ad similis rationis latus, hoc est ab ad fg; patuit autem hoc etiam in triangulis.

Proinde etiam in universum est manifestum quod si tres rectae lineae proportionales fuerint, erit sicut prima ad tertiam, sic quae a prima species ad eam quae a secunda similis et similiter descripta est.

Quae eidem rectilineo sunt similia et ad invicem sunt similia.

Si quattuor rectae lineae proportionales fuerint et ab eis rectilinea similia similiterque descripta proportionalia erunt, et si ab ipsis rectilinea proportionalia fuerint, ipsae quoque rectae lineae proportionales erunt.

Aequiangula parallelogramma ad invicem rationem habent compositam ex lateribus.

Est igitur sicut kab ad lcd sic mf ad sr positum autem est quod sicut kab ad lcd sic mf ad nh et sicut igitur per .xi. quinti. mf ad sr sic mf ad nh igitur per .ix. quinti mf ad utrunque ipsorum nh et sr eandem habet rationem; aequale igitur est nh ipsi sr est autem ei et simile et similiter positum aequalis igitur est gh ipsi pr et quoniam est sicut ab ad cd sic ef ad pr aequalis autem est pr ipsi gh est igitur sicut ab ad cd sic ef ad gh, si quattuor igitur rectae lineae proportionales fuerint et quae ab ipsis rectilinea similia similiterque descripta proportionalia erunt et si ab ipsis rectilinea similia, similiterque descripta proportionalia fuerint et ipsae rectae lineae proportionales erunt, quod demonstrare oportuit.

Quod autem si rectilinea aequalia et similia fuerint similis rationis latera ipsorum aequalia invicem sunt sic demonstrabimus sint aequalia et similia rectilinea nh et sr, sitque sicut hg ad gn sic rp ad ps, dico quod aequalis est rp ipsi gh. Si autem inaequales sunt earum altera maiorem sit maior rp ipsa hg et quoniam est sicut rp ad ps sic hg ad gn et vicissim quoque per decimamsextam quinti sicut rp ad hg sic ps ad gn maior autem est rp ipsa hg maior igitur et ps ipsa gn, quare et rs maius est ipso hn sed et aequale per hypothesim quod est impossibile, inaequalis igitur minime est pr ipsi hg aequalis igitur, quod demonstrasse oportuit.

Omnis parallelogrammi quae circa dimetientem parallelogramma similia sunt toti, et ad invicem.

Dato rectilineo simile et alio dato, aequale idem constituere.

Si a parallelogrammo parallelogrammum auferatur, simile et toti et similiter positum communem angulum habens eorum circum eundem dimetientem est toti.

Omnium parallelogrammorum circum eandem rectam lineam proiectorum, deficientiumque (ATTENZIONE NEL TESTO def<ficientiumque) specie parallelogrammis similibus, similiterque positis ei quod a dimidia descriptum est, maximum est quod a dimidia proiectum parallelogrammum simile existens sumpto.

Ad datam rectam lineam dato rectilineo, aequale parallelogrammum comparare deficiens (ATTENZIONE NEL TESTO defficiens) specie parallelogrammo simili dato, oportet iam datum rectilineum cui expedit aequum comparare non maius esse eo quod a dimidia comparatum similibus existentibus sumptis, et eius quod a dimidia et cui expedit simile deficere (ATTENZIONE NEL TESTO defficere).

Ad datam rectam lineam, dato rectilineo aequale parallelogrammum pretendere excedens specie parallelogrammum simile dato.

Datam rectam lineam terminatam per extremam ac mediam rationem dispescere.

In rectangulis triangulis quae ab rectum angulum subtendente latere species aequalis est eis quae ab rectum angulum compraehendentibus lateribus speciebus similibus similiterque descriptis.

Si duo triangula componantur ad unum angulum, duo latera duobus lateribus proportionalia habentia, ut sint eiusdem rationis eorum latera, et paralleli reliqua ipsorum triangulorum latera in rectam lineam erunt.

In aequalibus circulis anguli eandem habent rationem ipsis circunferentiis in quibus deducuntur et si ad centra et si ad circunferentias fuerint deducti, tum etiam sectores ad centra constituti.

Et manifestum est quod sicut sector ad sectorem, sic angulus ad angulum.