Pars est magnitudo magnitudinis minor maioris quando minor metitur maiorem.

Multiplex autem maior minore quando eam metitur minor.

Ratio est duarum magnitudinum eiusdem generis aliquatenus ad invicem quaedam habitudo.

Proportio vero est rationum identitas.

Rationem habere ad invicem magnitudines dicuntur, quae possunt multiplicatae invicem excedere.

In eadem ratione magnitudine dicuntur esse prima ad secundam et tertia ad quartam, quando primae et tertiae aeque multiplices, secundae et quartae aeque multiplicia iuxta quamvis multiplicatione utraque utramque vel una excedunt vel una sunt aequales, vel una def<f>iciunt sumptae ad invicem.

Eandem autem habentes rationem magnitudines, proportionales vocentur.

Quando vero aeque multiplicium multiplex primi excesserit multiplex secundi, multiplex autem tertii non excesserit multiplex quarti, tunc primum ad secundum maiorem rationem habere dicetur quam tertium ad quartum.

Proportio autem in tribus terminis minima est.

Quando tres magnitudines proportionales fuerint, prima ad tertiam duplicem rationem habere dicetur quam ad secundam. Quando autem quattuor magnitudines proportionales fuerint, et semper ordinatim una plus prima ad quartam triplicem rationem habere dicetur quam ad secundam, ex quo fuerit proportio extensa.

Similis rationis magnitudines dicuntur antecedentia antecedentibus et consequentia consequentibus.

Conversa ratio est acceptio antecedentis ad antecedens, et consequentis ad consequens.

Permutata ratio est acceptio consequentis tanquam antecedentis ad antecedens tanquam ad consequens.

Composita ratio est acceptio antecedentis cum consequente, sicut unius ad ipsum consequens.

Divisa ratio est acceptio excessus quo excedit antecedens ipsum consequens, ad ipsum consequens.

Conversio rationis est acceptio antecedentis ad excessum quo excedit antecedentes ipsum consequens.

Aequa ratio est pluribus existentibus magnitudinibus et aliis eis aequalibus multitudine cum duabus sumptis et in eadem ratione quando fuerit, sicut in primis magnitudinibus primum ad ultimum, sic in secundis magnitudinibus primum ad ultimum, vel aliter, acceptio extremorum per subtractionem mediorum.

Ordinata proportio est cum fuerit antecedens ad consequens sicut antecedens ad consequens, et consequens ad rem aliam sicut consequens ad rem aliam.

Inordinata proportio est cum fuerit antecedens ad consequens, sicut antecedens ad consequens, et consequens ad rem aliam, sicut res alia ad antecedens.

Extensa proportio est quando fuerit sicut antecedens ad consequens sic antecedens ad consequens fuerit autem et sicut consequens ad rem aliam, sic consequens ad rem aliam.

Perturbata autem proportio est quando tribus existentibus magnitudinibus, et aliis eis aequalibus multitudine fit sicut quidem in primis magnitudinibus antecedens ad consequens sic in secundis magnitudinibus antecedens ad consequens, sicut autem in primis magnitudinibus consequens ad rem aliam, sic in secundis res alia ad antecedens.

Si fuerint quaelibet magnitudines quorumlibet magnitudinum aequalium numero, singulae singularum aeque multiplices, quotuplex est unius una magnitudo, totuplices erunt et omnes omnium.

Si prima secundae aeque fuerit multiplex, et tertia quartae fuerit autem et quinta secundae aeque multiplex, et sexta quartae, et composita prima et quinta secundae aeque multiplex erit, et tertia et sexta quartae.

Si primum secundi aeque fuerit multiplex, et tertium quarti, summantur autem aeque multiplicia primi et tertii, et aeque sumptorum utrunque utriusque aeque erit multiplex, alterum quidem secundi, alterum autem quarti.

Si primum ad secundum eandem habuerit rationem, et tertium ad quartum, et aeque multiplicia primi et tertii, ad aeque multiplicia secundi et quarti iuxta quamvis multiplicationem eandem habebunt rationem sumpta ad invicem.

Hinc manifestum est quod si quattuor magnitudines proportionales fuerint et e contra quoque proportionales erunt.

Si magnitudo magnitudinis aeque fuerit multiplex, quod ablata ablatae et reliqua reliquae, aeque erit multiplex quotuplex tota totius est multiplex.

Si duae magnitudines duarum magnitudinum aeque fuerint multiplices et ablatae aliquae earum aeque fuerint multiplices, et reliquae eisdem vel aequales sunt, vel aeque ipsarum multiplices.

Aequales ad eandem eandem habent rationem, et eadem ad aequales.

Inaequalium magnitudinum maior ad eandem maiorem rationem habet quam minor, et eadem ad minorem maiorem rationem habet quam ad maiorem.

Quae ad eandem eandem habent rationem, aequales ad invicem sunt; et ad quas eadem eandem habet rationem ipsae sunt aequales.

Ad eandem rationem habentium maiorem rationem habens illa maior est ad quam autem eadem maior est rationem habet, et illa minor est.

Quae eidem sunt [eae]dem (ATTENZIONE NEL TESTO AEEDEM) rationes et ad invicem sunt eaedem.

Si fuerint quaelibet magnitudines proportionem habentes erit sicut una antecedentium ad unam consequentium, sic omnes antecedentes ad omnes consequentes.

Si prima ad secundam eandem habuerit rationem et tertia ad quartam maiorem rationem habeat quam quinta ad sextam, prima quoque ad secundam maiorem rationem habebit quam quinta ad sextam.

Si prima ad secundam eandem habuerit rationem et tertia ad quartam, prima vero tertia maior fuerit et secunda quarta maior erit, et si aequalis, aequalis, et si minor, minor.

Partes eodem modo multiplicium eandem rationem habent sumptae ad invicem.

Si quattuor magnitudines proportionales fuerint, et vicissim proportionales erunt.

Si compositae magnitudines proportionales fuerint, divisae quoque proportionales erunt.

Conversa precedentis. Si divisae magnitudines proportionales fuerint, compositae quoque proportionales erunt.

Si fuerit sicut totum ad totum, sic ablatum ad ablatum, et reliquum ad reliquum erit sicut totum ad totum.

Hinc manifestum est quod si compositae magnitudines proportionales fuerint et convertendo proportionales erunt, quod oportebat demostrare. Fiunt nimirum rationes in aeque multiplicibus, et in proportionibus, quandoquidem si primum secundi aeque fuerit multiplex, et tertium quarti erit sicut primum ad secundum, sic tertium ad quartum. Sed ne utiquam ex altera parte respondet, si enim fuerit sicut primum ad secundum, sic tertium ad quartum, non statim erit, et primum secundi aeque multiplex, et tertium quarti sicut in hemioliis et epitritis rationibus, vel huiusmodi aliis quod oportebat demonstrare.

Si fuerint tres magnitudines, et aliae eisdem aequales numero cum duabus sumptis et in eadem ratione, ex aequali autem prima tertia maior fuerit, et quarta sexta maior erit, et si aequalis aequalis, et si minor minor.

Si fuerint tres magnitudines et aliae eisdem aequales numero cum duabus sumptis et in eadem ratione, fuerit autem perturbata earum proportio ex aequali vero prima tertia maior fuerit, et quarta sexta maior erit et si aequalis aequalis, et si minor minor.

Si fuerint quaelibet magnitudines et aliae eisdem aequales numero cum duabus sumptis, in eadem ratione et ex aequali in eadem ratione erunt.

Si fuerint tres magnitudines aliaeque eisdem aequales numero cum duabus sumptis, in eadem ratione fuerit autem perturbata earum proportio, et ex aequali in eadem ratione erunt.

Si primum ad secundum eandem habuerit rationem, et tertium ad quartum, habuerit autem et quintum ad secundum eandem rationem et sextum ad quartum, et compo<po>sita primum et quintum, ad secundum eandem habebunt rationem, et tertium et sextum ad quartum.

Si quattuor magnitudines proportionales fuerint, maxima earum et minima reliquis maiores erunt.