Quantitates quibus fuerit una quantitas communis eas numerans, dicentur communicantes. Quibus vero non fuerit una communis quantitas eas numerans, dicentur incommensurabiles.

Linee in potentia communicantes dicuntur, quarum superficies quadratas una communis superficies numerat. Linee incommensurabiles in potentia dicuntur, quarum superficies quadratas non numerat una communis superficies. Que cum ita sint, manifestum est quia omni linee posite multe alie sunt incommensurabiles, quedam in longitudine tantum, quedam in longitudine atque potentia.

Omnis autem linea cum qua ratiocinamur posita vocetur rationalis. Lineeque ei communicantes dicuntur rationales. Eidem autem incommunicantes dicuntur irrationales sive surde.

Omnis vero quadrata superficies de qua per ypothesim ratiocinamur dicitur rationalis. Superficies vero ei communicantes dicuntur rationales. [f.78r] Eidem autem incommensurabiles superficies dicuntur irrationales sive surde. Latera vero que in illas quadratas possunt dicuntur irrationalia.

Si duabus quantitatibus inequalibus propositis maius dimidio a maiori detrahatur itemque de reliquo maius dimidio dematur deincepsque eodem modo, necesse est ut tandem minore positarum minor quantitas relinquatur.

Sint due quantitates inequales a et b c, b c maior. Dico quod totiens potest maius dimidio detrahi a b c vel eius residuo quod necesse erit relinqui quantitatem minorem a. Multiplicetur enim a quotiens excedat b c sitque eius multiplex d e f maius b c. Detrahatur itaque a b c maius dimidio quod sit b g itemque ex residuo quod est g c maius dimidio quod sit g h. Hoc quoque totiens fiat quotiens b c divisa fuerit in tot partes quotiens a continetur in d e f. Dico tunc quod ultimum residuum, ut est hic h c, est minus a. Multiplicetur namque h c quotiens multiplicata est a in d e f sitque eius multiplex k l m. Quia igitur unaqueque quantitatum k l m est equalis h c, sequitur ut k sit minor b g, sed et l minor g h, at quia m est equalis h c, erit per conceptionem k l m minor b c, quare minor d e f. Cum sit ergo d e f ad a sicut k l m ad h c sitque d e f maior k l m sequitur per 14 quinti quod a sit maior h c. Quod est propositum.

Idem sequitur si a maiori dimidium dematur, itemque de reliquo dimidium sitque totiens quousque maior dividatur in tot partes quotiens continetur minor in quolibet suo multiplice maiorem positarum quantumlibet excedente.

. Attendere autem oportet quod huic videtur 15 tertii contradicere proponens angulum contingentie minorem fore quolibet angulo a duabus rectis lineis contento. Posito enim angulo quolibet rectilineo si ab ipso maius dimidio dematur, itemque de residuo maius dimidio necesse videtur hoc totiens posse fieri quousque angulus rectilineus minor angulo contingentie relinquatur cuius oppositum 15 tertii syllogizavit. Sed hii non sunt univoce anguli, non enim eiusdem sunt generis simpliciter curvum et rectum. At vero nec angulum contingentie totiens contingit sumi ut qualemcumque rectilineum excedat quod necessarium est (ut ex prehabita demonstratione patet) ad hoc ut consequens ex antecedente sequatur. Palam ergo est quemlibet angulum rectilineum infinitis angulis contingentie esse maiorem.

Si fuerint due quantitates inequales detrahaturque maiori equale minori, [f.78v] donec minus eo supersit, ac deinde minori ipsius reliqui equale dematur, donec minus eo relinquatur, denuo reliquo primo equale reliqui secundi, donec eo minus supersit, auferatur, et in huiusmodi continua detractione nullum reliquum quod ante relictum numeret inveniatur, eas duas quantitates incommensurabiles esse necesse est.

Simile huic proposuit prima septimi in numeris. Sint due quantitates inequales a et b, maior a a quibus (si fiat reciproca quoad potest detractio) non occurret, etiam si infinities fiat, aliqua quantitas detractionem impediens sive ante relictum numerans, dico eas incommensurabiles esse. Sin autem, sit communis earum mensura c. Detrahatur igitur b ex a quotiens potest. Sitque residuum d quod residuum detrahatur ex b quotiens potest et sit residuum e. Fiatque totiens ista detractio quousque ex alterutra duarum quantitatum a et b remaneat minus c. Hoc enim necesse est esse possibile per precedentem. Sitque hic e minus c. Cum igitur c mensuret b detractam ab a et etiam a, mensurabit per conceptionem d residuum. Ideoque cum mensuret d detractum a b et etiam ipsum b, mensurabit e residuum, sed erat e minus c, maior ergo quantitas mensurat minorem. Quod est impossibile.

Propositis duabus quantitatibus inequalibus communicantibus maximam quantitatem communiter eas numerantem invenire.

, que duas metitur quantitates, maximam quoque communiter ambas metientem metiri etcetera.

Huius demonstrationem, si secundam septimi non ignoras, non potes ignorare, processus enim utrobique idem.

Propositis tribus quantitatibus communicantibus maximam eas communiter numerantem invenire.

Hec ex tertia septimi sic patet sicut premissa ex secunda septimi. [f.79r]

Omnium duarum quantitatum communicantium est proportio tamquam numeri ad numerum.

Sint due quantitates a et b communicantes. Dico quod earum proportio est sicut alicuius numeri ad alium numerum. Sit enim c maxima quantitas communiter mensurans a et b reperta ut docet secunda huius que mensurat a secundum numerum d et b secundum numerum e. Eritque a ad c ut d ad unitatem eo quod sicut a est multiplex c ita d est multiplex unitatis ac c ad b ut unitas ad e quoniam sicut c est submultiplex b, ita unitas est submultiplex e, igitur per equam proportionalitatem a ad b ut d ad e. Quod est propositum.

Si fuerint due quantitates quarum sit proportio unius ad alteram tamquam numeri ad numerum, eas duas communicantes necesse est esse.

Hec est conversa prioris. Ut si sit a ad b sicut numerus c ad numerum d, erunt due quantitates a et b communicantes. Sit enim e totiens mensurans b quotiens est unitas in d et totiens mensurans f quotiens unitas in c. Cum sit igitur f ad e ut c ad unitatem ac e ad b ut unitas ad d, erit per equam proportionalitatem f ad b ut c ad d, quare etiam ut a ad b. Igitur per primam partem 9 quinti f est equalis a. Cum itaque e mensuret f, per conceptionem mensurabit a, quare a et b communicantes. Mensurabat enim et b. Et hoc est propositum.

Omnium duarum superficierum quadratarum quarum latera in longitudine communicant est proportio unius ad alteram tamquam numeri quadrati ad numerum quadratum. Si vero fuerit proportio superficiei quadrate ad superficiem quadratam tamquam proportio numeri quadrati ad numerum quadratum, erunt latera earum in longitudine communicantia. Quod si fuerit proportio superficiei quadrate ad superficiem quadratam non velut numeri quadrati ad numerum [f.79v] quadratum, latera earum erunt in longitudine incommensurabilia.

Sint a et b due linee quarum quadrata sint c et d. Dico quod si a et b communicant in longitudine, erit proportio c ad d sicut numeri quadrati ad numerum quadratum et econverso. Et si non sit proportio c ad d sicut numeri quadrati ad numerum quadratum, a et b erunt incommensurabiles in longitudine et econverso. Verumtamen istud argumentum quartum non proponit. Primum patet sic: Si a et b communicant in longitudine, ipse per 5 erunt in proportione duorum numerorum qui sint e et f quorum quadrati sint g et h. Quia ergo est c ad d sicut a ad b duplicata per 18 sexti, sequitur ut sit etiam c ad d sicut e ad f duplicata. Sed est etiam per 11 octavi g ad h ut e ad f duplicata, ergo c ad d sicut g ad h. Quod est primum.

Secundum sic: Sit c ad d sicut g numerus quadratus ad h numerum quadratum. Dico quod a et b erunt in longitudine communicantes. Cum enim sit c ad d ut a ad b duplicata per 18 sexti et g ad h ut e ad f duplicata per 11 octavi, erit a ad b duplicata sicut e ad f duplicata, quare etiam simpla a ad b sicut simpla e ad f. Per 6 igitur sunt a et b communicantes. Quod est secundum.

Tertium vero patet ex primo a destructione consequentis. Quartum quoque a destructione consequentis ex secundo.

. Ex tertia parte huius nota diametrum esse incommensurabilem coste. Cum enim sit quadratum diametri duplum quadrato coste, dupla vero proportio non sit sicut numerorum quadratorum, sequitur diametrum esse incommensurabilem coste in longitudine. Alioquin cum quaternarius sit numerus quadratus, essent omnes pariter pares quadrati et etiam alii infiniti qui non sunt quadrati. Ducit autem Aristoteles ad illud inconveniens: Si diameter ponatur commensurabilis coste, quod impar numerus erit equalis pari. Quod sic patet: Sit enim diameter a b commensurabilis lateri a c eritque per 5 a b ad a c sicut aliquis numerus ad alium. Sint ergo hii numeri e et f qui sint minimi in sua proportione eritque ob hoc alter eorum impar. Si enim uterque par, non erunt minimi. Quadrati quoque horum sint g et h. Si ergo e est impar, erit quoque per 30 noni g impar. Sit itaque k duplus ad h eritque k ex diffinitione par. Quia igitur a b ad a c ut e ad f, erit per 8 sexti et 11 octavi quadratum a b ad quadratum a c ut g ad h. Est itaque g duplus ad h. Sic enim est quadratum a b ad quadratum a c per penultimam primi. Et quia etiam k est duplus ad h, sequitur per 9 quinti ut g numerus impar sit equalis k numero pari. Quod si e sit par et f impar, erit proportio f ad dimidium e quod sit l sicut a c ad dimidium a b quod sit a d et ideo erit proportio quadrati a c ad quadratum a d sicut proportio numeri h qui est impar per 30 noni ad quadratum numeri l qui sit m cui k ponatur esse duplus. Eritque k per diffinitionem par. At quia quadratum a c duplum est ad quadratum a d per penultimam primi, erit h duplus ad m cumque k sit etiam duplus ad m, erit per 9 quinti h numerus impar equalis k numero pari. Quod est propositum.

Si fuerint due quantitates uni quantitati communicantes, ipsas quoque invicem commensurabiles esse necesse est.

Sit utraque duarum quantitatum a et b communicans quantitati c. Dico a et b [f.80r] esse commensurabiles. Est enim per 5 a ad c sicut numerus ad numerum. Similiter quoque per eandem c ad b sicut numerus ad numerum. Sit itaque numerus d ad numerum e sicut a ad c numerusque f ad numerum g sicut c ad b. At proportiones que sunt d ad e et f ad g continuentur in tribus terminis h, k, l ut docet 4 octavi eritque per equam proportionalitatem a ad b sicut h numerus ad l numerum. Per 6 igitur sunt a et b communicantes. Quod est propositum.

. Ex hac quoque sequitur quod si fuerint due quantitates sibi invicem communicantes cuicumque una earum communicat et reliqua et cuicumque una non communicat nec reliqua. Sint enim due quantitates a et b communicantes ponaturque quelibet quantitas que sit c cum qua communicet a. Dico quod b communicabit cum eadem. Quod ex hac octava patet: Cum utraque earum communicet cum a ex ypothesi. Quod si iterum a et b sint communicantes, ut prius, ponaturque c quelibet quantitas cum qua non communicet a, dico quod neque b communicabit cum eadem. Si enim c communicaret cum b, cum a quoque ex ypothesi communicet cum eodem b, essent per hanc octavam a et c communicantes, sed positum erat quod non essent. Quare constat quod diximus.

Si fuerint due quantitates communicantes, totum quoque ex hiis confectum utrique earum erit communicans. Si vero fuerit totum utrique commensurabile, erunt ambe commensurabiles.

Sint due quantitates a et b commensurabiles. Dico totum ex eis compositum, quod sit c, utrique earum esse commensurabile et econverso. Adhuc quoque si totum ex eis compositum uni earum communicet, dico quod communicabit alteri et ipse etiam inter se. Idem quoque in contrario. Si enim a et b sint incommunicantes, dico quod c utrique earum erit incommunicans et econverso. Ac si c alteri earum incommunicans fuerit, erit quoque incommunicans et alteri et ipse etiam inter se. Sint itaque primum a et b communicantes sitque earum communis mensura d que cum utramque earum numeret per conceptionem similem antepenultime septimi numerabit c, quare per diffinitionem c communicabit utrique earum scilicet a et b. Econverso quoque si c communicet utrique earum, sit omnium communis mensura d. Constat itaque per diffinitionem b et a communicantes esse. Sed communicet c cum altera illarum que sit a, dico quod communicabit cum b et a etiam et b communicabunt ad invicem. Sit enim d communiter mensurans c et a. Quia igitur d mensurat totum et detractum, per conceptionem ipsa mensurabit residuum videlicet b, per diffinitionem ergo et c communicat cum b et a quoque communicat cum b.

. Si autem a et b sint incommunicantes, erit c incommunicans utrique earum. Si enim cum utraque seu etiam altera earum communicaret, et ipse communicarent ad invicem. Quod est contra ypothesim. Similiter quoque econverso si c est incommunicans utrique earum seu etiam alteri earum, erit quoque incommunicans relique et ipse inter se. Quod palam est ex predemonstratis a destructione consequentis.

Omnium quatuor quantitatum proportionalium si fuerit prima communicans secunde, tertia quoque communicans erit [f.80v] quarte. Si vero prima incommensurabilis fuerit secunde, tertia quoque erit incommensurabilis quarte.

Sint 4 quantitates proportionales a, b, c, d. Dico quod si a communicat cum b, c quoque communicabit cum d. Quod si a est incommensurabilis b, c quoque erit incommensurabilis d. Et si a communicat cum b in potentia tantum, c quoque communicabit cum d in potentia tantum. Verumtamen illud non proponit auctor quia facile patet ex demonstratione priorum. Si enim a communicat cum b, erit per 5 a ad b sicut numerus ad numerum. Sit ergo sicut e ad f. At quia est per ypothesim a ad b sicut c ad d, erit c ad d sicut numerus e ad numerum f. Per 6 igitur est c communicans cum d. Quod est primum.

Secundum patet a primo a destructione consequentis. Si enim a est incommensurabilis b, oportet c esse incommensurabilem d. Nam si esset ei commensurabilis cum sit ut c ad d sicut a ad b per ypothesim, esset per primam partem a communicans cum b. Sed non erat, quare constat totum quod proponit auctor.

Quod autem adiunximus videlicet quod si a communicet cum b in potentia tantum, quod c communicet cum d in potentia tantum sicque patet: Cum enim a non communicet cum b in longitudine, nec c quoque ex secunda parte huius communicabit cum d in longitudine. At vero cum quadratum a communicet cum quadrato b ex ypothesi, erit per 5 quadratum linee a ad quadratum linee b sicut numerus ad numerum qui sint e et f. Et quia quadratum c ad quadratum d sicut quadratum a ad quadratum b, erit etiam quadratum c ad quadratum d sicut numerus e ad numerum f. Per 6 igitur c et d communicant in potentia. Et quia non communicant in longitudine, constat propositum.

Proposita qualibet linea recta duas ei incommensurabiles alteram in longitudine tantum, alteram in longitudine et potentia rectas lineas invenire.

Sit linea a proposita. Volo duas lineas invenire quarum una communicet cum a in potentia tantum, altera vero sit incommensurabilis ei et in longitudine et potentia. Sumo itaque duos numeros nequaquam se habentes in proportione aliquorum numerorum quadratorum sintque hii b et c quos facile est sumere cum quilibet quadratus numerus ad quemlibet non quadratum eam habeat proportionem quam nequaquam habent aliqui numeri quadrati confirmante hec 22 octavi. Duobus talibus numeris sumptis invenio lineam d ad cuius quadratum se habet quadratum linee a sicut numerus b ad numerum c. Hanc autem lineam ita reperio. Divido lineam a in tot partes equales quot sunt unitates in numero b quod facile facio adiuvante 11 vel 12 sexti. De hinc super extremitatem linee a erigo lineam e perpendiculariter in qua totiens contineatur una ex partibus a quotiens unitas est in c. Quia igitur ex prima sexti proportio quadrati linee a ad superficiem que fit ex a in e est sicut a ad e et ideo sicut numeri b ad numerum c, si ponatur d medio loco proportionalis inter a et e sicut docet 9 sexti, quod tunc per primam partem 16 eiusdem quadratum d erit equale [f.81r] superficiei producte ex a in e et erit proportio quadrati linee a ad quadratum linee d sicut numeri b ad numerum c. Quare a et d sunt commensurabiles in potentia ex diffinitione et per ultimam partem 7 ipse sunt incommensurabiles in longitudine. Reperta est itaque d prima linea quam propositum erat inquirere. Alteram sic reperio: Interpone ut docet 9 sexti lineam f medio loco proportionalem inter a et d eritque per corollarium 17 sexti quadratum a ad quadratum f sicut a ad d. Itaque per secundam partem 10 quadratum a est incommensurabile quadrato f, igitur linea f est incommensurabilis linee a in potentia, quare et in longitudine. Est itaque f secunda linea quam propositum erat reperire.

Omnium quatuor linearum proportionalium si prima tanto amplius possit secunda, quantum est quadratum alicuius linee communicantis sibi in longitudine, necesse est tertiam quoque tanto amplius posse quarta, quantum est quadratum alicuius linee communicantis sibi in longitudine. Quod si prima fuerit potentior secunda quadrato alicuius linee incommensurabilis sibi in longitudine, erit quoque tertia potentior quarta quadrato alicuius linee sibi incommensurabilis in longitudine.

Sint 4 linee proportionales a, b, c, d sitque a maior b et c maior d, sitque a potentior b quadrato linee e et c potentior d quadrato linee f. Dico quod si a communicet e in longitudine, c quoque communicabit f in longitudine. Et si a non communicat e in longitudine nec c communicabit f in longitudine. Quod et si a communicat e in potentia tantum, c quoque communicabit f in potentia tantum. Verumtamen illud tertium non proponit auctor quia facile patet ex priorum demonstratione. Cum sit enim proportio a ad b sicut c ad d, erit quadrati a ad quadratum b sicut quadrati c ad quadratum d. Et quia quadratum a est equale quadratis duarum linearum b et e, similiter quadratum c quadratis duarum linearum d et f, erit proportio quadratorum duarum linearum b et e ad quadratum e sicut quadratorum d et f ad quadratum f. Ergo disiunctim erit quadratum b ad quadratum e sicut quadratum d ad quadratum f, ergo b ad e sicut d ad f. Itaque per equam proportionalitatem erit a ad e sicut c ad f, ergo per primam decime partem constat prima pars huius. Et per secundam secunda et per tertiam ibi adiunctam, tertia hic adiuncta. [f.81v]

Si fuerint due linee inequales quarum longiorem in duo communicantia dividat superficies sibi adiuncta equalis quarte parti quadrati brevioris linee, cui adiuncte superficiei desit ad complendam totam lineam superficies quadrata, necesse est ipsam lineam longiorem linea breviori tanto amplius posse, quantum est quadratum alicuius linee communicantis eidem longiori in longitudine. Si vero fuerit longior potentior breviori augmento quadrati linee communicantis sibi in longitudine, adiungaturque ei superficies equalis quarte parti quadrati brevioris linee, cui desit quadrata superficies, superficiem sibi adiunctam eandem lineam longiorem in duas portiones commensurabiles dividere necesse est.

Sint due linee a b et c, maior a b et adiungatur ad lineam a b quarta pars quadrati linee c ita quod desit ad complendam lineam a b superficies quadrata. Hoc enim est possibile per 27 sexti. Quod facile fiet hoc modo: Dividatur a b in duas lineas a d et d b ita quod inter eas cadat medietas linee c continue proportionalis. Hoc autem qualiter fiat, in fine huius demonstrationis docebitur. Eritque ex 16 sexti superficies a d in d b, que sit d e, equalis quadrato medietatis linee c, quare ex 4 secundi eadem erit subquadrupla quadrati linee c. Deest quoque ad complendam lineam a b superficies quadrata, cum et a d sit equalis b e. Dico itaque quod si superficies d e dividat lineam a b in duo communicantia, erit linea a b potentior linea c [f.82r] in quadrato alicuius linee secum communicantis in longitudine et econverso. Cum enim sit linea a b maior linea c, non erit a d equalis d b. Sic enim esset superficies d e quadrata et quia ipsa est equalis quadrato medietatis linee c, esset a d equalis medietati c et tota a b toti c. Quod est contra ypothesim. Non est igitur a d equalis d b. Itaque de maiori earum que sit d b abscindatur d f equalis a d eritque per 8 secundi quadratum totius a b equale hiis que fiunt ex b d in d a quater et quadrato f b, quare linea a b est potentior linea c in quadrato linee f b, quam f b necesse est communicare toti a b si linea a d est communicans linee d b. Si enim hoc fuerit, erit d b communicans d f sue equali, quare per 9 b f communicat cum f d et ideo cum a d et propter hoc cum tota a f, igitur et cum tota a b. Sicque patet primum.

Conversum huius sic patet: Sit a b potentior c in linea f b que communicat secum in longitudine. Dico tunc quod quarta pars quadrati linee c adiuncta ad lineam a b ita quod desit superficies quadrata, dividet lineam a b in duo communicantia. Dividatur enim f a per equalia in d et fiat superficies d e ex b d in d a et deerit ad complendam lineam a b superficies quadrata eritque per 8 secundi quadratum a b equale quadruplo superficiei d e cum quadrato f b. Igitur quadruplum superficiei d e est equale quadrato c, quare superficies d e est equalis quarte parti quadrati c. Dico igitur quod d b est communicans cum a d. Cum sit enim f b communicans cum a b, erit etiam communicans cum a f per 9, quare et cum a d. Sed et cum d f, itaque et d b est communicans cum a d. Quod est secundum.

Nunc autem demonstrandum est qualiter linea a b (cum ipsa posita fuerit maior linea c) possit sic dividi quod inter partes eius cadat medietas linee c continue proportionalis. Cum enim sic fuerit divisa, superficies que fiet ex una in alteram erit equalis quadrato medietatis linee c et ipsa erit superficies equalis quarte parti quadrati linee c adiuncta ad lineam a b ita quod desit superficies quadrata. Hoc autem sic fiet: Divisa a b per equalia in d lineetur super eam semicirculus a f b et sit b e perpendicularis ad a b que ponatur equalis medietati linee c et ducatur e f equidistans a b usquoque secet circumferentiam semicirculi in puncto f. (Necesse est enim ut secet eam cum linea a b sit maior linea c). Et ducatur f g perpendicularis ad a b que, cum per 34 primi sit equalis linee e b, erit quoque equalis medietati linee c. Ducantur itaque linee f a, f b eritque per primam partem 30 tertii angulus a f b rectus et ideo per primam partem corollarii 8 sexti erit linea f g medio loco proportionalis inter a g et g b. Quare medietas linee c, que est sibi equalis, erit etiam proportionalis inter easdem. Quod est propositum.

Si fuerint due linee inequales quarum longiorem dividat in duas partes incommensurabiles superficies equalis quarte parti quadrati brevioris sibi adiuncta ita quod desit ad ipsius completionem superficies quadrata, erit longior potentior breviore augmento [f.82v] quadrati linee incommensurabilis ipsi longiori in longitudine. Si vero longior fuerit potentior breviore quadrato linee incommensurabilis sibi longiori in longitudine adiungaturque ei superficies equalis quarte parti quadrati brevioris defueritque longiori superficies quadrata, est necesse, ut ipsa superficies sibi adiuncta eandem longiorem lineam in duas portiones incommensurabiles dividat etcetera.

Hec 14 ex contrario antecedentis premisse infert contrarium consequentis premisse et non differt eius dispositio a dispositione illius. Sed et modus argumentandi utrobique idem. Si enim a d non communicet cum d b, nec d f sibi equalis communicabit cum eadem d b, itaque per 9 d f non communicabit cum f b, quare neque a f, ideo neque a b communicabit cum linea f b.

Quod si hoc fuerit videlicet ut a b non communicet cum f b, neque f b communicabit cum a f, quare neque cum a d aut cum d f. Neque igitur a b cum d a.

Potest quoque hec 14 demonstrari per premissam. Prima pars huius ex secunda illius et secunda ex prima a destructione consequentis. Si enim a d et d b non communicent, nec a b et f b communicabunt. Nam si a b et b f communicarent, oporteret per secundam partem premisse ut a d communicaret cum d b, sed positum est quod non. Eodem modo de secunda parte: Si enim a b et b f non communicant, nec a d et d b communicabunt. Nam si sic, sequetur per primam partem premisse ut a b et b f communicent que non communicant. Quare patet propositum.

Omnis superficies rectangula, quam continent due linee in longitudine rationales, rationalis esse probatur.

Sint due linee a b et b c continentes superficiem rectangulam a c rationales in longitudine. Dico superficiem a c esse rationalem. Descripto enim quadrato cuiusvis earum ut c d linee b c, erit per primam sexti c d ad a c sicut b d ad a b. Quia igitur b d communicat in longitudine cum a b ex ypothesi eo quod b c sua equalis, erit per primam partem 10 c d communicans a c. Cum sit itaque c d rationalis per diffinitionem, erit et a c rationalis. Quod est propositum.

Cum adiuncta fuerit linee in longitudine rationali superficies rationalis rectangula, [f.83r] latus eius secundum erit in longitudine rationale laterique primo in longitudine commensurabile.

Hec est quasi conversa prioris. Ut si superficies a c adiuncta ad lineam a b rationalem in longitudine fuerit rationalis, dico quod latus eius secundum, quod est b c, erit etiam rationale in longitudine et communicans lateri primo. Sit enim a d quadratum a b eritque rationale ex diffinitione et propter hoc etiam erit communicans cum superficie a c rationali. Quia igitur per primam sexti sicut d a ad a c ita est etiam d b ad b c, communicat autem d a cum a c, erit per primam partem 10 d b communicans cum b c, quare et a b sua equalis. Sed b a rationalis est, quare per diffinitionem et b c. Constat itaque propositum.

Duas lineas invenire potentia rationales commensurabiles, quarum longior plus possit breviori quadrato linee sibi commensurabilis in longitudine.

Propositum est invenire duas lineas rationales potentia tantum communicantes, quarum longior sit potentior breviori quadrato linee secum communicantis in longitudine. Sumo itaque lineam aliquam rationalem que sit a b super quam describo semicirculum a c b et sumpto aliquo numero ut d e divido ipsum in duos numeros d f et f e ita quod sit proportio d e ad d f sicut numeri quadrati ad numerum quadratum. Non sit autem proportio d e ad f e sicut quadrati numeri ad quadratum numerum. Talis autem numerus est quilibet quadratus divisibilis in quadratum et non quadratum ut 9 qui dividitur in 4 et 5 et omnes horum eque multiplices. Et invenio lineam ad cuius quadratum se habeat quadratum linee a b sicut numerus d e ad numerum d f. Qualiter autem ipsa reperiatur, in demonstratione 11 dictum est. Hanc lineam inventam, que necessario est minor a b, coapto per primam quarti intra semicirculum a c b sitque a c et protraho lineam c b. Dico duas lineas a b et c b esse quas querimus. Erit igitur per primam partem 30 tertii angulus c rectus et ideo per penultimam primi quadratum a b equale est quadratis duarum linearum a c et c b. Et quia proportio quadrati linee a b ad quadratum linee a c est sicut d e ad d f per ypothesim, erit per eversam proportionalitatem proportio quadrati linee a b ad quadratum linee c b sicut d e ad f e. Ergo quadratum c b communicat cum quadrato a b per 6 huius. Erit igitur quadratum c b rationale per diffinitionem cum communicet superficiei rationali. Et quia c b et a b sunt incommensurabiles per ultimam partem 7, constat duas lineas a b et c b esse rationales potentia tantum communicantes. At quia linea a b est potentior linea c b in quadrato linee a c que per secundam partem 7 communicat secum in longitudine, constat habitum esse propositum.

. Si autem libeat plures duabus potentia tantum rationales communicantes quarum una potentior sit qualibet aliarum in quadrato alicuius linee secum communicantis in longitudine reperire, sit, ut prius, linea a b rationalis in longitudine super quam describatur semicirculus a c b. Sumaturque numerus d quadratus sicut 36 quadratus qui sit divisibilis in multos quadratos et non quadratos quorum non quadratorum minime sit proportio sicut aliquorum numerorum quadratorum. Tales autem numeri ultro se offerunt ut 36 qui est divisibilis in 25 et 11, item in 16 et 20 rursusque in 9 et 27 ac iterum in 4 et 32. Istorum vero non quadratorum qui sunt 11, 20, 27, 32 ad invicem non est proportio sicut alicuius numeri quadrati ad alium [f.83v] numerum quadratum. Est igitur ut d numerus quadratus dividatur in e quadratum et f non quadratum. Sitque quadratum linee a b ad quadratum linee a c sicut numerus d ad numerum e et ducatur linea c b et constat propositum ut prius demonstratum est a b et c b esse duas tales lineas quales inquirimus. Similiter quoque dividatur d in g quadratum et h non quadratum, sitque quadratum linee a b ad quadratum linee a k sicut d ad g et ducatur linea k b eruntque ut prius due linee a b et k b quales inquirimus. Eodem modo si rursus dividatur d in l quadratum et m non quadratum et ponatur proportio quadrati linee a b ad quadratum linee a n sicut d ad l et producatur n b, erunt due linee a b et b n quales inquirimus. Quod si rursus dividatur d in p quadratum et q non quadratum et fuerit proportio quadrati linee a b ad quadratum linee a r sicut d ad p et protracta fuerit linea r b, erunt etiam due linee a b et b r quales inquirimus. Sunt itaque 5 linee a b, b c, b k, b n et b r potentia tantum rationales et incommunicantes quarum una videlicet a b potentior est qualibet aliarum in quadrato linee secum communicantis in longitudine. Si igitur 4 linearum b c, b k, b n et b r nulla communicat alii in longitudine, constat propositum. Istud autem sic probatur: Patet enim ex premissis quod quadratum linee b c ad quadratum linee a b est sicut numerus f ad numerum d et quadratum linee a b ad quadratum linee b k est sicut numerus d ad numerum h, ergo per equam proportionalitatem quadratum linee b c ad quadratum linee b k est sicut numerus f ad numerum h. Sed nullus 4 numerorum f, h, m, q se habet ex ypothesi ad alium sicut numerus quadratus ad numerum quadratum. Quare per tertiam partem 7 due linee b c et b k sunt incommensurabiles in longitudine. Eadem ratione quelibet due ex illis 4 sunt incommensurabiles in longitudine. Liquet ergo quod volumus etcetera.

Duas lineas in potentia tantum rationales communicantes, quarum longior plus possit breviori, quantum est quadratum linee sibi incommensurabilis in longitudine, invenire.

In hac quoque maneant eadem dispositio eedemque ypotheses que in premissa, hoc solum mutato quod proportio numeri d e ad neutrum duorum numerorum d f et f e sit sicut numeri quadrati ad numerum quadratum. Hoc facile fiet: posito d e quolibet numero quadrato diviso in duos numeros non quadratos ut si d e sit 9 et d f 6 et f e 3 argumentando quoque ut prius hoc dumtaxat excepto quod a c et a b sunt incommensurabiles in longitudine per ultimam partem 7. Et sciendum quod due linee quales hec et premissa docent invenire componunt binomium et minori earum abscisa de maiori que reliqua est dicitur residuum.

. Nota autem quod linee tantum potentia rationales communicantes possunt esse una rationalis et alia irrationalis sicut latera tetragonica duarum superficierum quarum una sit 25 pedum et alia 24, sunt rationalia potentia tantum communicantia. Latus enim prime superficiei est 5, latus vero secunde non numeratur. Et possunt esse ambe irrationales ut latera tetragonica duarum superficierum quarum una sit 24 pedum et alia 23. Neutrius enim latus numeratur suntque in longitudine incommensurabilia ex ultima parte septime. Quod si libeat etiam invenire plures lineas duabus potentia tantum rationales communicantes quarum sit una potentior qualibet aliarum in quadrato linee secum non communicantis in longitudine, sumatur talis numerus qui possit pluries sic dividi quod ipsius ad nullam suarum partium [f.84r] nec alicuius illarum partium ad aliquam aliarum sit proportio sicut numeri quadrati ad numerum quadratum ut 25 potest dividi in 2 et 23, item in 5 et 20 et rursus in 7 et 18 et sic processus idem qui fuit in premissa.

Omnis superficies, quam continent due linee potentialiter tantum rationales communicantes, est irrationalis, diciturque superficies medialis. Eiusque latus tetragonicum, scilicet quod in eam potest, est irrationale diciturque linea medialis.

Sint due linee a b et b c continentes superficiem a c rationales potentia tantum communicantes que qualiter reperiantur ex premissa et antepremissa manifestum est. Dico superficiem a c esse irrationalem. Sit enim c d quadratum b c eritque rationale per ypothesim eo quod linea b c est rationalis in potentia. Et quia ex prima sexti a c ad c d sicut a b ad b d, non communicat autem a b cum b d quia ex ypothesi non communicat cum sua equali que est b c, sequitur per secundam partem 10 ut etiam a c non communicet cum c d, quare per diffinitionem superficies a c est irrationalis. Ideoque et suum latus tetragonicum est etiam irrationale. Dicitur autem hec superficies medialis quoniam ipsa est medio loco proportionalis inter duas superficies rationales videlicet inter quadrata duarum linearum ipsam continentium. Et lineam potens in ipsam dicitur medialis, quoniam ipsa quoque est medio loco proportionalis inter duas lineas potentia tantum rationales communicantes. Et hee due linee sunt latera dicte superficiei. Et hoc est quod volumus.

Cum adiuncta fuerit linee in longitudine rationali superficies equalis quadrato linee medialis, latus eius secundum potentialiter tantum erit rationale laterique primo in longitudine incommensurabile.

Hec est quasi conversa premisse. Sit a linea medialis sitque linea b c rationalis in longitudine cui adiungatur superficies b d equalis quadrato linee a. Quod hoc modo fiet: Subiungatur duabus lineis b c et a linea c d in continua proportionalitate ut docet 10 sexti, eritque superficies ex b c in c d equalis quadrato linee a per 16 eiusdem. Dico latus eius secundum, quod est d c, esse rationale in potentia tantum et incommensurabile in longitudine tantum lateri b c. Erit enim ex premissa per diffinitionem linee medialis ut linea a possit in aliquam superficiem contentam a duabus lineis potentia tantum rationalibus communicantibus que sit superficies e g cuius latera e f et f g. Eruntque due superficies b d et e g per primam partem 13 sexti laterum mutuorum propter id quod ipse sunt equales et rectangule. Proportio ergo b c ad e f est sicut f g ad c d. Quare per 10 cum b c communicet in potentia cum e f eo quod quadrata utriusque earum sunt rationalia ex ypothesi, [f.84v] f g communicabit in potentia cum c d. Cum igitur quadratum f g sit rationale per ypothesim, erit quoque quadratum c d rationale per diffinitionem. At quia superficies b d est irrationalis sicut sua equalis e g, per premissam sequitur ut quadratum linee c d non communicet cum superficie b d. Et quia quadratum linee c d ad superficiem b d est per primam sexti sicut c d ad c b, erit per secundam partem 10 ut c d non communicet cum b c. Quare cum b c sit rationalis in longitudine ex ypothesi, erit c d irrationalis in longitudine et potentia tantum rationalis. Patet ergo proposita conclusio etcetera.

Omnis linea mediali communicans est medialis.

Sit linea a medialis cui ponatur linea b esse communicans sive in longitudine sive in potentia tantum. Dico quod etiam linea b est medialis. Sit enim linea c d rationalis in longitudine cui adiungatur superficies c f equalis quadrato linee a et item superficies e g equalis quadrato linee b. Hoc autem qualiter fiat, in premisse demonstratione dictum est. Eritque per premissam linea d f rationalis in potentia tantum et incommensurabilis linee c d. Et quia per primam sexti e g ad c f sicut f g ad d f, communicat autem e g cum c f eo quod quadratum b communicat cum quadrato a per ypothesim, quibus quadratis dicte superficies posite sunt equales, sequitur per primam partem 10 ut linea f g communicet cum linea d f, quare f g est rationalis in potentia tantum sicut est d f et incommensurabilis in longitudine linee e f cum linea d f sibi communicans sit incommensurabilis eidem e f eo quod sue equalis. Hoc enim probatum est in 8 quod si fuerint due quantitates communicantes cuicumque una earum non communicat nec reliqua. Itaque per 19 erit superficies e g medialis et eius latus tetragonicum, quod est b, mediale. Quod est propositum.

. Similiter quoque omnis superficies communicans superficiei mediali medialis esse convincitur. Sit enim superficies a medialis cui ponatur superficies b esse communicans. Dico superficiem b esse medialem. Quod sic constabit: Sit linea c d rationalis in longitudine adiungaturque ei superficies c e que sit equalis superficiei a. Quod hoc modo fiet: Inveniatur linea c f ad quam sic se habeat unum ex lateribus superficiei a sicut linea c d se habet ad reliquum. Hec autem linea qualiter reperiatur, in 10 sexti dictum est. Eritque ex 15 eiusdem superficies d f equalis a. Itemque eodem modo ad lineam e f adiungatur superficies e g que sit equalis b. Erit itaque per 20 linea c f potentia tantum rationalis, et linee c d in longitudine incommensurabilis. Et quia a et b erant communicantes ex ypothesi, erunt quoque c e et e g eis equales communicantes. Itaque per primam sexti et per primam partem 10 huius erunt due linee c f et f g communicantes in longitudine. Est igitur linea f g rationalis in potentia tantum et linee e f incommensurabilis in longitudine. Quare per 19 superficies e g erit medialis, cum linea e f sit rationalis in longitudine sicut c d sibi equalis. Cum sit ergo b equalis e g, erit quoque b medialis. Quod est propositum. Et nota quod omnes superficies mediales communicantes componunt superficiem medialem. Unde tota d g est medialis quia cum due linee c f et f g sint rationales in potentia tantum et non communicantes in longitudine, sequitur ut tota c g sit rationalis in potentia tantum et non communicans c d in longitudine. Itaque per 19 d g est medialis. Eodemque modo si sint plures.

Omnis differentia qua habundat mediale a mediali irrationalis esse probatur etcetera.

Sit utraque duarum superficierum a b et a medialis. Dico quod superficies b, que est earum [f.85r] differentia, est irrationalis. Sit enim linea c d rationalis in longitudine cui adiungatur superficies d e equalis superficiei a et superficies d f equalis toti superficiei a b. Hoc autem qualiter fiat, in premissa docuimus. Quia ergo d f est equalis a b et d e equalis a, erit per conceptionem g f equalis b. Si itaque superficies b non est irrationalis, sed rationalis, erit et g f sua equalis rationalis. At cum linea e g sit rationalis in longitudine sicut sua equalis c d, erit per 16 linea e f rationalis in longitudine et communicans linee e g, per 20 autem est utraque duarum linearum c e et c f potentialiter tantum rationalis et linee c d incommensurabilis in longitudine. Itaque linea e f est incommensurabilis linee c e in longitudine. Et quia per primam sexti quadratum linee e f ad superficiem que fit ex e f in c e est sicut e f ad c e, sequitur per secundam partem 10 ut quadratum linee e f sit incommensurabile superficiei facte ex e f in c e. Quare et ipsum quadratum erit incommensurabile duplo superficiei ex e f in c e. Quadratum vero c e cum sit rationale est communicans quadrato e f, totum igitur ex ambobus compositum erit per 9 communicans quadrato e f et ideo incommensurabile duplo superficiei ex e f in c e. Et quia per 4 secundi quadratum linee c f est equale duobus quadratis duarum linearum c e et e f et duplo superficiei ex c e in e f, est autem duplum superficiei c e in e f incommensurabile aggregato ex duobus quadratis duarum linearum c e et e f, sequitur per ea que addita sunt in 9 ut quadratum c f sit incommensurabile aggregato ex duobus quadratis duarum linearum c e et e f. At cum aggregatum ex hiis quadratis sit rationale, sequitur quadratum linee c f non esse rationale. Et ideo linea c f non est rationalis in potentia et idcirco non erit superficies d f medialis neque a b sibi equalis. Quod est inconveniens cum sit contrarium positis. Relinquitur igitur quod superficies b est irrationalis. Quod est propositum.

Omnis superficies, quam continent due linee mediales potentialiter tantum communicantes, aut rationalis est aut medialis.

Sint due linee a b et b c mediales potentia tantum communicantes. Dico quod superficies a c ab eis contenta aut est rationalis aut medialis. Sint enim c d quadratum linee b c et a e quadratum linee a b, eruntque ex ypothesi hec duo quadrata communicantia et erit per primam sexti superficies a c medio loco proportionalis inter ipsa quadrata. Sumatur igitur linea f g que sit rationalis in longitudine cui adiungatur superficies f h equalis quadrato a e et h k equalis superficiei a c et k l equalis quadrato c d. Eruntque hee tres superficies f h, h k et k l continue proportionales sicut sunt sue equales a e et c a et d c. Quare per primam sexti erunt etiam tres linee g h, h m et m l que sunt bases earum continue proportionales. Et cum superficies f h et k l sint communicantes sicut duo quadrata a e et c d eis equalia, sequitur per primam sexti et 10 huius ut linea g h sit communicans cum m l. Utraque autem earum est rationalis in potentia per 20 huius. Igitur superficies unius earum in alteram est rationalis. Omnis enim superficies quam continent due linee rationales in potentia, communicantes in longitudine, necessario est rationalis ut patet ex prima sexti et prima parte 10 huius et ex diffinitione superficierum rationalium. Et quia ex prima parte 16 sexti quadratum linee h m est equale superficiei ex g h in m l, erit quadratum linee h m rationale. Si ergo linea h m est rationalis in longitudine sive communicans linee k m que est equalis linee f g, erit per 15 superficies h k rationalis ideoque et sua equalis a c. Si autem linea h m sit irrationalis in longitudine sive incommensurabilis linee k m que est equalis linee f g, cum ipsa sit rationalis saltem in potentia eo [f.85v] quod suum quadratum est rationale, erit ex 19 superficies h k medialis, quare et sua equalis a c. Constat ergo propositum.

. Et nota quod si due linee a b et b c essent mediales in longitudine communicantes, esset superficies a c medialis tantum. Esset enim superficies a c communicans utrique duorum quadratorum a e et c d per primam sexti et per presentem ypothesim et per 10 huius et ideo superficies h k sibi equalis a c esset communicans utrique superficiei f h et k l, igitur per primam sexti et 10 huius linea h m esset communicans utrique duarum linearum g h et m l. Et quia hee ambe sunt rationales in potentia tantum, non communicantes in longitudine linee f g, esset quoque h m rationalis in potentia tantum, non communicans in longitudine linee f g, quare per 19 erit superficies h k medialis tantum et ideo etiam a c sibi equalis.

Si autem due linee a b et b c essent mediales neque in longitudine neque in potentia communicantes, superficies a c neque esset rationalis neque medialis. Si enim sic esset scilicet quod due linee a b et b c essent mediales neque in longitudine neque in potentia communicantes, essent duo quadrata a e et c d incommunicantia. Itaque et due superficies f h et k l eis equales essent quoque incommunicantes, quare et due linee g h et m l essent incommensurabiles per primam sexti et secundam partem 10 huius. Et quia utraque harum est rationalis tantum in potentia per 20, esset superficies unius earum in alteram medialis per 19. Cum ergo quadratum linee h m sit equale dicte superficiei que fit ex g h in m l per primam partem 16 sexti, esset per 19 linea h m linea medialis. Per 15 ergo non esset superficies h k rationalis, nec etiam per 20 medialis, quare nec sua equalis a c.

Duas lineas mediales potentia tantum communicantes superficiemque rationalem continentes, quarum longior sit potentior breviore augmento quadrati linee communicantis eidem longiori in longitudine invenire.

Cum omnes due linee mediales potentia tantum communicantes contineant superficiem rationalem aut medialem ut patet ex premissa, docet invenire eas duas que contineant superficiem rationalem et eas que medialem. Unde propositum est invenire duas lineas mediales potentia tantum communicantes, quarum longior possit amplius breviori in quadrato alicuius linee sibi communicantis in longitudine que contineant superficiem rationalem. Ad hoc autem sumo secundum doctrinam 17 duas lineas a et b potentia tantum rationales communicantes quarum longior que sit a possit amplius breviori que sit b in quadrato alicuius linee secum communicantis in longitudine. Et pono lineam c secundum doctrinam 9 sexti medio loco proportionalem inter a et b et pono ut sit proportio a ad b sicut c ad d. Quod qualiter fiat, in 10 sexti dictum est. Dico tunc duas lineas c et d esse quas querimus. Patet enim ex 19 quod superficies quam continent due linee a et b est medialis. Et quia per primam partem 16 sexti quadratum linee c est dicte superficiei equale, erit per 19 linea c medialis. Cum autem sit a ad b sicut c ad d et b communicet cum a in potentia tantum ex ypothesi, quia tam a quam b est rationalis in potentia, sequitur per 10 quod d quoque communicet cum c in potentia tantum. Itaque per 21 cum c sit linea medialis, erit etiam d medialis et per primam partem 12 erit [f.86r] linea c potentior linea d in quadrato linee sibi communicantis in longitudine. Si ergo due linee c et d contineant superficiem rationalem, ipse sunt quales inquirimus. Eas autem continere superficiem rationalem sic habeto: Cum sit a ad b sicut c ad d, erit permutatim a ad c sicut b ad d, sed erat a ad c sicut c ad b, est igitur c ad b sicut b ad d. Itaque per primam partem 16 sexti superficies quam continent due linee c et d est equalis quadrato b. Est autem quadratum b rationale per ypothesim, cum ipsa sit rationalis in potentia tantum. Superficies ergo quam continent due linee c et d est rationalis. Quare patet propositum.

Duas lineas mediales potentia tantum communicantes superficiemque rationalem continentes, quarum longior sit potentior breviori quadrato linee eidem longiori in longitudine incommensurabilis invenire.

Positis duabus lineis a et b rationalibus potentia tantum communicantibus quarum longior possit amplius breviori quadrato linee secum non communicantis in longitudine que quidem reperiuntur secundum doctrinam 18 ceterisque positionibus manentibus sicut in premissa argumentando modo consimili, patebit duas lineas c et d esse quales inquirimus. Et nota quod due linee quas hec et premissa docent invenire componunt bimediale primum et minori earum abscisa de maiori que reliqua est dicitur residuum mediale primum.

Duas lineas mediales potentia tantum communicantes superficiemque medialem continentes, quarum longior breviore tanto amplius possit, quantum est quadratum alicuius linee incommensurabilis ipsi longiori in longitudine, invenire.

Cum docuerit invenire duas lineas mediales potentia tantum communicantes superficiemque rationalem continentes quarum longior plus possit breviori in quadrato linee secum communicantis in longitudine et secum incommensurabilis in longitudine, nunc docet invenire duas lineas mediales potentia tantum communicantes superficiemque medialem continentes quarum longior sit potentior breviori quadrato linee non secum communicantis in longitudine, sed solum sibi incommensurabilis in longitudine. Illud enim facile habetur ex isto. Sint itaque tres linee sumpte secundum doctrinam 18 a, b, c potentia tantum rationales et in ea solum communicantes. Sitque a potentior c quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine et ponatur d medio loco proportionalis inter a et b ut docet 9 sexti et sit d ad e sicut a ad c. [f.86v] Dico duas lineas d et e esse quales inquirimus. Cum sit enim quadratum linee d equale superficiei que continetur sub a et b per primam partem 16 sexti. Sitque superficies contenta sub a et b medialis ex 19, cum a et b sint potentia tantum rationales communicantes, erit ex eadem linea d medialis. Quia a ad c sicut d ad e, communicat autem a cum c in potentia tantum ex ypothesi, sequitur ex 10 ut e quoque communicet cum d in potentia tantum. Itaque per 21 erit e linea medialis. Et etiam quia a est potentior c quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine, erit quoque per 12 d potentior e quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine. Si igitur due linee d et e contineant superficiem medialem, constat eas esse quales inquirimus. Eas autem continere superficiem medialem sic habetur: Cum sit ex ypothesi a ad c sicut d ad e, erit permutatim a ad d sicut c ad e, sed a ad d est sicut d ad b per ypothesim, itaque d ad b sicut c ad e. Igitur per primam partem 15 sexti superficies quam continent d et e est equalis ei quam continent b et c. Sed b et c continent superficiem medialem per 19, cum ipse sint rationales in potentia tantum communicantes ex ypothesi. Itaque d et e continent superficiem medialem. Quod est propositum.

Si autem cura esset invenire duas lineas mediales potentia tantum communicantes superficiemque medialem continentes quarum longior esset potentior breviori quadrato linee secum communicantis in longitudine, sumeremus tres lineas secundum doctrinam 17 a, b, c potentia tantum rationales et in ea solum communicantes et poneremus lineam a esse potentiorem linea c quadrato alicuius linee sibi communicantis in longitudine. Cetera vero manerent ut prius et argumentatione consimili concluderemus duas lineas d et e esse quales proponitur inquirere. Et nota quod due linee quas hec 26 docet invenire componunt bimediale secundum et minori earum abscisa de maiori que reliqua est dicitur residuum mediale secundum.

Duas lineas potentialiter incommensurabiles superficiemque medialem continentes, quarum quadrata ambo pariter accepta sint rationale, invenire.

Propositum est invenire duas lineas incommensurabiles tam in potentia quam in longitudine que contineant superficiem medialem et quadrata ambarum pariter accepta faciant superficiem rationalem. Ad hec autem sumo per 18 duas lineas a b et c d potentia tantum rationales communicantes quarum longior, que sit a b, sit potentior c d quadrato alicuius linee secum incommunicantis in longitudine. Et super lineam a b describo semicirculum a e b. Et divido lineam c d per equalia ad punctum f et divido lineam a b ad punctum g ita quod linea c f cadat medio loco proportionalis inter a g et g b. Quod qualiter fiat, in 13 dictum est. Et pono quod superficies b h fiat ex a g in g b eritque ex prima parte 16 sexti quadratum c f equale superficiei b h. Et quia quadratum c f est equale quarte parti quadrati c d ex quarta secundi et quia superficiei b h deest ad complendam lineam a b superficies quadrata cum a g sit equalis g h, et quia linea a b potentior est linea c d quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine ex ypothesi, erit ex secunda parte 14 linea a g incommensurabilis linee g b. Educo igitur a puncto g perpendicularem super lineam a b usque ad circumferentiam semicirculi que sit g e. Et protraho lineas a e et e b quas dico esse quales inquirimus. Erit enim e g equalis c f eo quod utraque cadit medio loco proportionalis inter a g et g b, prima quidem [f.87r] per primam partem corollarii 8 sexti, secunda vero per ypothesim propter quod quadratum utriusque earum per primam partem 16 sexti est equale superficiei a g in g b que est b h. Ipse igitur sunt equales. At quia per 4 sexti proportio a e ad e b est sicut a g ad g e, sunt autem a g, g e et g b continue proportionales, erit a e ad e b duplicata sicut a g ad g b, quare per 18 sexti erit quadratum linee a e ad quadratum linee e b sicut a g ad g b. Cum sit igitur a g incommunicans g b, erit per secundam partem 10 quadratum a e incommunicans quadrato e b, quare due linee a e et e b sunt in potentia incommensurabiles. Et quia per penultimam primi quadratum a b est equale quadratis duarum linearum a e et e b pariter acceptis, est autem quadratum a b rationale, cum a b sit rationalis in potentia per ypothesim, erunt quoque quadrata duarum linearum a e et e b pariter accepta rationale. Si ergo hee due linee continent superficiem medialem, habitum est propositum. Erat autem c d rationalis in potentia et in ea tantum communicans linee a b, quare c f et ideo etiam g e sibi equalis erit potentia rationalis et in ea tantum communicans cum a b. Itaque per 19 superficies a b in g e est medialis. Quia igitur per quartam sexti et per primam partem 15 eiusdem superficies a e in e b est sibi scilicet superficiei a b in g e equalis, constat duas lineas a e et e b esse quales volumus. Et nota quod due linee quas docet hec 27 invenire componunt lineam maiorem et minori earum abscisa que reliqua est dicitur linea minor.

Duas lineas potentialiter incommensurabiles superficiemque rationalem continentes, quarum ambo quadrata pariter accepta sint mediale, invenire.

Sit hic eadem prorsus dispositio que in premissa. Sint autem due linee a b et c d quales proponit 25 eruntque simili argumentatione premisse due linee a e et e b quales hec 28 proponit. Cum sit enim a b linea medialis, erit eius quadratum mediale per 19 et ideo duo quadrata duarum linearum a e et e b sunt mediale per penultimam primi. Et quia a b in c d continet superficiem rationalem, sequitur etiam ut a b in c f et ideo in e g sibi equalem contineat superficiem rationalem, itaque et a e in b e. Patet ergo quod queritur. Unde due linee quas hec 28 docet invenire componunt lineam potentem in rationale et mediale et minori earum abscisa de maiori que reliqua est dicitur linea que iuncta cum rationali componit totam mediale.

Duas lineas potentialiter incommensurabiles superficiemque medialem continentes, quarum quadrata ambo pariter accepta sint mediale duplo superficiei unius in alteram incommensurabile, invenire.

Huius quoque dispositio a duarum premissarum dispositione non sit in quoquam diversa. Sint autem due linee a b et c d quales 26 proponit eruntque premissa argumentatione due linee a e et e b quas inquirimus. [f.87v] Cum enim a b sit linea medialis, erunt quadrata duarum linearum a e et e b pariter accepta mediale. Atque cum a b in c d contineat superficiem medialem, sequitur ut a b in f c et ideo in e g sibi equalem contineat quoque superficiem medialem. Omnis enim superficies mediali communicans medialis esse convincitur, quemadmodum in 21 demonstratum est. Superficies igitur a e in e b est medialis cum ipsa sit equalis superficiei a b in g e. Quia nota est linea a b incommensurabilis linee c d, erit etiam incommensurabilis linee c f, quare et linee e g. Igitur per primam sexti et secundam partem 10 huius superficies a b in e g, que est equalis superficiei a e in e b, erit incommensurabilis quadrato linee a b, itaque et quadratis duarum linearum a e et e b pariter acceptis. Quod cum ita sit, sequitur quoque ut duplum superficiei a e in e b sit incommensurabile predictis quadratis duarum linearum a e et e b pariter acceptis. Et hoc erat monstrandum. Due linee quas hec 29 docet invenire componunt lineam potentem in duo medialia et minori earum abscisa de maiori que reliqua est dicitur linea que iuncta cum mediali facit totum mediale.

Si due linee potentialiter tantum rationales communicantes in longum directumque coniungantur, tota linea ex hiis composita erit irrationalis, diceturque binomium.

Sint due linee a b et b c in continuum directumque coniuncte rationales in potentia tantum communicantes quas per 17 et 18 reperies. Dico totam lineam a c ex hiis compositam esse irrationalem et ipsa vocatur binomium. Est enim per 4 secundi quadratum a c equale quadratis duarum linearum a b et b c et duplo superficiei unius earum in alteram. Quadrata autem ambarum faciunt superficiem rationalem ex ypothesi, duplum vero superficiei unius earum in alteram facit superficiem medialem ex 19. Itaque quadrata ambarum pariter acceptarum faciunt superficiem incommensurabilem duplo superficiei unius earum in alteram. Erit igitur ex 9 quadratum a c incommensurabile duobus quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis, quare irrationale per diffinitionem, cum duo illa quadrata faciant superficiem rationalem, ideoque suum latus tetragonicum, quod est a c, irrationale quoque per diffinitionem. Constat ergo propositum.

Si due linee mediales potentialiter tantum communicantes superficiemque rationalem continentes directe coniungantur, tota linea ex hiis composita erit irrationalis diceturque bimediale primum.

Sint due linee a b et b c in continuum directumque coniuncte quales proponuntur quas per 24 et 25 reperies. Dico totam lineam a c esse [f.88r] irrationalem et ipsa vocatur bimediale primum. Est enim duplum superficiei a b in b c rationale per ypothesim, duoque quadrata duarum linearum a b et b c pariter accepta faciunt mediale cum utrumque quadratum sit mediale per ypothesim et unum eorum communicans alteri. Duplum igitur superficiei unius in alteram est incommunicans duobus quadratis pariter acceptis. Totum ergo aggregatum ex duplo superficiei et duobus quadratis (et ipsum est quadratum totius a c per 4 secundi) est incommensurabile duplo superficiei unius in alteram per 9 huius. Cum itaque duplum superficiei sit rationale, erit quadratum a c irrationale ideoque et linea a c. Quod est propositum.

Idem aliter: Sit linea d e rationalis in longitudine cui adiungatur superficies d f equalis duobus quadratis duarum linearum a b et b c eritque superficies hec d f medialis cum utrumque quadratum sit mediale per ypothesim et unum eorum communicans alteri. Quare per 20 linea d g est rationalis in potentia tantum non communicans in longitudine linee d e. Rursus ad lineam f g, que est equalis d e, adiungatur superficies f h equalis duplo superficiei a b in b c. Erit f h rationalis per ypothesim, quare per 16 linea g h erit rationalis in longitudine. Due itaque linee d g et g h sunt potentialiter rationales et in ea tantum communicantes, ergo per 30 tota linea ex eis composita, que est d h, est binomium et est irrationalis. Quare per 16 a destructione consequentis superficies e h est irrationalis. At quia per 4 secundi latus eius tetragonicum est linea a c, ipsa erit irrationalis per diffinitionem. Quod oportuit demonstrari.

Si due linee mediales potentialiter tantum communicantes superficiemque medialem continentes directe coniungantur, tota linea erit irrationalis, diceturque bimediale secundum etcetera.

Sint due linee a b et b c in continuum directumque coniuncte ut proponitur, quas per 26 contingit reperiri. Dico totam a c ex eis compositam esse irrationalem, et ipsa vocatur bimediale secundum. Esto enim linea d e rationalis in longitudine cui adiungatur superficies d f equalis duobus quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis. Et quia ex ypothesi duo illa quadrata sunt communicantia et utrumque mediale, erit superficies d f medialis. Quare per 20 linea d g, que est eius latus secundum, est rationalis in potentia tantum et linee d e incommensurabilis in longitudine. Rursus adiungatur ad lineam g f, que est equalis linee d e, superficies f h equalis duplo superficiei a b in b c eritque etiam superficies f h medialis. Erat enim per ypothesim superficies a b in b c medialis, ergo duplum eius cui est equalis f h erit mediale. Per 20 igitur est linea g h rationalis in potentia tantum et incommensurabilis in longitudine linee g f. Quia vero a b et b c sunt potentia tantum communicantes, erit per primam sexti et per secundam partem 10 huius superficies unius in alteram incommensurabilis quadrato utriusque. At quia quadrata earum communicant per ypothesim, erit dicta superficies quare et duplum eius incommunicans duobus quadratis earum pariter acceptis. Due ergo superficies d f et f h sunt incommunicantes, per primam itaque sexti et secundam partem 10 huius erit linea d g incommensurabilis linee g h, que cum sint rationales in potentia, erit per 30 tota linea d h binomium et irrationalis. [f.88v] Ergo per 16 a destructione consequentis erit superficies e h irrationalis. Et quia latus eius tetragonicum per 4 secundi est linea a c, sequitur per diffinitionem quod linea a c sit irrationalis. Quod propositum erat ostendere.

Cum adiuncte fuerint due linee potentialiter incommensurabiles superficiemque medialem continentes quarum ambo quadrata pariter accepta sint rationale, tota linea erit irrationalis, diceturque linea maior.

Sint due linee a b et b c sibi in continuum directumque coniuncte sicut proponitur, quas contingit ex 27 reperire. Dico a c ex eis compositam esse lineam irrationalem et ipsa vocatur linea maior. Cum enim ambo quadrata pariter accepta sint rationale, superficies vero alterius in alteram, et quare eius duplum, medialis per ypothesim, erit totum ex duobus quadratis pariter acceptis incommunicans duplo superficiei unius in alteram. Itaque totum aggregatum ex duobus quadratis et duplo superficiei (et ipsum est equale quadrato a c per 4 secundi) erit per 9 huius incommensurabile duobus quadratis a b et b c pariter acceptis. Per diffinitionem ergo est quadratum linee a c irrationale et linea a c irrationalis. Quod est propositum.

Idem aliter. Sit ut in premissis ad lineam d e, que sit rationalis in longitudine, adiungatur superficies d f que sit equalis duobus quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis eritque rationalis per ypothesim, quare per 16 latus eius secundum, quod est d g, erit etiam rationale in longitudine et communicans linee d e. Rursus ad lineam f g adiungatur superficies f h equalis duplo superficiei a b in b c eritque medialis per ypothesim. Quare per 20 linea g h, que est eius latus secundum, est rationalis in potentia tantum, per 30 igitur est linea d h binomium et irrationalis. Ideoque per 16 a destructione consequentis superficies e h est irrationalis. Quare latus eius tetragonicum quod per 4 secundi est a c est irrationale per diffinitionem. Quod volumus ostendere etcetera.

Cum adiuncte fuerint due linee potentialiter incommensurabiles superficiemque rationalem continentes quarum ambo quadrata pariter accepta sint mediale, tota linea erit irrationalis, diceturque potens in rationale et mediale.

Sint ut in premissis due linee a b et b c in continuum directumque [f.89r] coniuncte quales proponitur et ipse sunt ex 28 sumende. Dico quod tota linea a c ex eis composita est irrationalis et illa vocatur linea potens in rationale et mediale. Cum sit enim superficies a b in b c rationalis per ypothesim ideoque et duplum eius ac ambo quadrata pariter accepta sint mediale, sequitur per 4 secundi et 9 huius quemadmodum in premissa quod quadratum totius a c sit incommunicans duplo superficiei a b in b c, per diffinitionem igitur ipsum est irrationale et linea a c irrationalis. Quod est propositum.

Idem aliter. Sit ut in premissis linea d e rationalis in longitudine superficiesque d f sibi adiuncta equalis duobus quadratis pariter acceptis duarum linearum a b et b c eritque medialis per ypothesim. Per 20 igitur erit linea d g rationalis in potentia tantum non communicans in longitudine linee d e. Sitque superficies f h adiuncta ad lineam g f equalis duplo superficiei a b in b c eritque rationalis per ypothesim et ideo per 16 latus eius secundum, quod est g h, rationale in longitudine, quare per 30 linea d h est binomium et irrationalis et superficies e h per 16 a destructione consequentis est irrationalis. Cum itaque linea a c sit eius latus tetragonicum per 4 secundi, sequitur ut a c sit irrationalis per diffinitionem. Constat ergo propositum.

Cum coniuncte fuerint due linee potentialiter incommensurabiles superficiemque medialem continentes, quarum quadrata ambo pariter accepta sint mediale duplo superficiei unius in alteram incommensurabile, tota linea erit irrationalis, diceturque potens in duo medialia etcetera.

Sint quoque hic due linee a b et b c in continuum directumque coniuncte ut proponitur que ex 29 sumende sunt. Dico quod linea a c ex eis composita est irrationalis et ipsa potens dicitur in duo medialia. Adiungatur enim ad lineam d e, que sit rationalis in longitudine, superficies d f equalis duobus quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis eritque medialis per ypothesim, quare per 20 linea d g erit rationalis in potentia tantum et incommensurabilis d e linee rationali in longitudine. Rursus ad lineam g f, que est equalis d e, adiungatur superficies f h que sit equalis duplo superficiei unius in alteram. Eritque etiam ex ypothesi medialis, quare per 20 linea g h erit rationalis in potentia tantum. At quia per ypothesim ambo quadrata pariter accepta sunt incommensurabile duplo superficiei unius in alteram, sequitur ut d f sit incommensurabilis f h, quare per primam sexti et secundam partem 10 huius linea d g est incommensurabilis g h, per 30 igitur est linea d h binomium et irrationalis. Itaque superficies e h est irrationalis et eius latus tetragonicum, quod est a c, ut in premissis. Quare constat propositum.

Si autem duplum superficiei a b in b c non esset incommensurabile ambobus quadratis pariter acceptis, esset linea a c medialis. Esset enim d f [f.89v] communicans f h ideoque linea d g linee g h. Tota igitur d h esset rationalis in potentia tantum et incommensurabilis in longitudine linee d e, per 19 igitur esset superficies e h medialis eiusque latus tetragonicum, quod est a c, linea medialis.

Ut autem facilior fiat doctrina sequentium premonstranda arbitramur in hoc loco duo quorum primum est:

Si aliqua linea per duo inequalia dividatur quadrata ambarum sectionum pariter accepta tanto sunt amplius duplo superficiei unius earum in alteram quantum est quadratum eius linee qua maior excedit minorem.

Sit enim linea a b divisa per inequalia in puncto c sitque maior portio c b de qua sumatur c d equalis a c. Dico quod quadrata duarum linearum a c et c b sunt amplius duplo superficiei unius in alteram in quadrato linee d b. Nam quod fit ex a c in c b bis cum quadratis duarum linearum a c et c b est equale ei quod fit ex a c in c b quater cum quadrato d b eo quod utraque hec equalia sunt quadrato linee a b, primum quidem per 4 secundi, secundum vero per 8 eiusdem. Demptis itaque utrimque equalibus videlicet eo quod fit ex a c in c b bis erunt residua que sunt de primo quidem quadrata duarum linearum a c et c b, de secundo vero quod fit ex a c in c b bis cum quadrato d b equalia. Quare constat propositum. Ex hoc ergo manifestum est quod si aliqua linea per duo inequalia dividatur, quadrata ambarum partium pariter accepta plus possunt duplo superficiei unius earum in alteram. Et hoc est propter quod istud premisimus.

Si aliqua linea per duo inequalia itemque per alia duo inequalia dividatur quadrata magis inequalium pariter accepta tanto sunt amplius quadratis minus inequalium pariter acceptis quantum est duplum quadrati illius linee que inter utrasque est sectiones et quadruplum eius quod fit ex eadem linea in eam que est inter punctum sectionis minus inequalium et punctum quod dividit totam lineam [f.90r] per equalia.

Sit linea a b divisa per duo inequalia in puncto c itemque per alia minus inequalia in puncto d, rursus per equalia in e. Dico quod quadrata duarum partium magis inequalium, que sunt a c et c b, tantum sunt amplius duobus quadratis duarum linearum minus inequalium, que sunt a d et d b, quantum est duplum quadrati linee c d et quadruplum eius quod fit ex c d in d e. Sunt enim per 9 secundi quadrata duarum linearum a c et c b pariter accepta dupla quadratis duarum linearum b e et e c pariter acceptis. At per eandem 9 secundi quadrata duarum linearum a d et d b pariter accepta dupla sunt quadratis duarum linearum b e et e d pariter acceptis. Itaque quadrata duarum linearum a c et c b pariter accepta excedunt quadrata duarum linearum a d et d b pariter accepta in eo in quo duplum quadrati linee c e excedit duplum quadrati linee d e. Hoc autem per 4 secundi est duplum quadrati linee c d et quadruplum eius quod fit ex c d in d e. Quare constat propositum. Ex quo manifestum est quod quanto fuerint sectiones alicuius linee magis inequales tanto erunt earum quadrata pariter accepta maiora. Et hoc est propter quod istud premisimus. Quod est propositum etcetera.

In alias duas lineas sub earum termino ex quibus coniunctum et nominatum est binomium dividi impossibile est.

Sit linea a b binomium eritque ex 30 composita ex duabus lineis potentia tantum rationalibus communicantibus que sint a c et c b. Dico quod impossibile est eam dividi in alias duas lineas sub hac diffinitione videlicet quod ipse sint potentia tantum rationales communicantes. Si enim potest, dividatur in a d et d b que sint potentia tantum rationales communicantes. Estoque linea e f rationalis in longitudine cui adiungatur superficies e g que sit equalis quadratis duarum linearum a c et c b pariter acceptis et superficies f h que sit equalis quadrato linee a b. Eritque superficies e g rationalis eo quod utrumque quadratorum linearum a c et c b est rationale per ypothesim et superficies g h medialis per 19 quoniam ipsa est equalis duplo superficiei a c in c b per 4 secundi. Sit igitur rursus superficies f k equalis quadratis duarum linearum a d et d b pariter acceptis que cum sint diverse a duabus lineis a c et c b, erit per secundum predemonstratorum antecedentium superficies f k diversa a superficie e g. Earum ergo differentia sit k g eritque per 4 secundi excessus superficiei f h super f k, qui sit k l, equalis duplo eius quod fit ex a d in d b. Et propter hoc erit etiam superficies f k rationalis et superficies k l medialis. Itaque superficies k g cum ipsa sit differentia duarum superficierum rationalium, que sunt e g et f k, erit rationalis. Non enim differt rationale a rationali nisi in rationali. Et hoc dico diffinitione et 9 huius hoc confirmantibus. Eadem quoque cum ipsa sit differentia duarum superficierum medialium que sunt g h et k l erit irrationalis per 22. Quod est impossibile.

Bimediali primo secundum terminum suum in duas lineas mediales diviso [f.90v] sub earum termino in alias duas lineas mediales idem dividi est impossibile etcetera.

Sit quoque linea a b bimediale primum divisa in duas lineas mediales potentia tantum communicantes superficiemque rationalem continentes ex quibus 31 asserit eam componi que sint a c et c b. Dico quod impossibile est eam dividi in alias duas lineas sub earum diffinitione. Quod si possibile fuerit, dividatur in puncto d assumptaque linea rationali e f adiungantur ei e g equalis duobus quadratis duarum linearum a c et c b et superficies f h equalis quadrato a b et superficies f k equalis quadratis duarum linearum a d et d b eritque per 4 secundi g h equalis duplo superficiei a c in c b et per eandem erit k l equalis duplo superficiei a d in d b, propter ypothesim quoque erit utraque duarum superficierum e g et f k medialis et utraque duarum g h et k l rationalis. Hoc autem impossibile. Esset enim per primum superficies k g irrationalis ex 22, per secundum autem eadem esset rationalis ex diffinitione et 9. Quod est inconveniens etcetera.

Bimediale secundum nisi in duas lineas tantum sub termino suo dividi non potest.

Sit ut prius linea a b bimediale secundum divisa in duas lineas a c et c b mediales potentia tantum communicantes superficiemque medialem continentes ex quibus 32 proponit eam componi. Dico quod impossibile est eam dividi sub earum diffinitione in alias duas. Sin autem, dividatur in d sintque ut prius superficies e g, f h et f k adiuncte ad lineam rationalem e f. Eruntque per presentes ypotheses utreque superficies e g et g h mediales, quare per 20 utraque duarum linearum f g et g l erit rationalis in potentia tantum non communicans in longitudine linee e f. At quia due linee a c et c b erant incommensurabiles in longitudine, sequitur per primam sexti et secundam partem 10 huius quod utrumque quadratorum linearum a c et c b sit incommensurabile superficiei unius in alteram. Cumque dicta quadrata communicent ex ypothesi, sequitur ut ambo quadrata pariter accepta sint incommensurabile superficiei unius in alteram ideoque et eius duplo. Quare superficies e g est incommensurabilis superficiei g h et linea f g linee g l per primam sexti et secundam partem 10 huius. Itaque per 30 linea f l est binomium divisa secundum suum terminum in puncto g. Eodemque modo probabitur ipsam esse binomium mediantibus superficiebus e m et m h divisam secundum suum terminum in puncto m. Quod est impossibile per 36. Non enim potest dici quod linea f l divisa sit ad puncta g et m in partes consimiles. Sic enim esset linea f m equalis g l, sed ipsa est maior linea m l ut patet ex primo premissorum antecedentium huius et prima sexti cum e m superficies sit maior h m superficie. Huius autem demonstrationis modus potest esse communis 37 ceterisque 4 eam sequentibus. Quod est propositum etcetera.

Linea maior nisi in duas lineas tantum, ex quibus constat, sub earum termino [f.91r] dividi non potest.

Sit quoque hic linea a b maior divisa ad punctum c in duas lineas potentialiter incommensurabiles superficiemque medialem continentes quarum ambo quadrata pariter accepta sint rationale. Ex talibus enim componitur ut affirmat 33. Dico quod impossibile est ad alium punctum in alias duas lineas sub hac diffinitione ipsam dividi. Quod si potest, sit hic ad d, maneant enim hic eadem figura eedemque ypotheses que prius et argue quemadmodum in 36 superficiem k g esse rationalem et irrationalem. Quod est impossibile.

Linea potens in rationale et mediale nisi in suas duas lineas tantum sub termino suo non dividitur.

Hec quoque 40 manentibus prioribus figura et positionibus exceptoque ipsa linea a b dividatur ad punctum c in illas duas lineas ex quibus 34 dicit eam componi. Probatur quemadmodum 37. Si enim aliter fuerit quam proponat, erit superficies k g irrationalis et rationalis. Quod esse non potest.

Linea potens in duo medialia nequit dividi in alias duas sub termino earum ex quibus coniuncta est, sed in suas tantum duas ex quibus componitur est divisibilis.

Hec est etiam 41 divisa linea a b ad punctum c in eas ex quibus 35 asserit eam componi ceterisque ut supra tam figura quam positionibus manentibus probatur sicut 38. Nam dato opposito propositi sequitur oppositum 36. Quod est impossibile. Quod est propositum.

Si fuerit binomii longior portio breviore potentior augmento quadrati linee communicantis eidem longiori in longitudine fueritque eadem longior linee posite rationali communicans, ipsum vocabitur binomium primum.

Si vero brevior posite rationali communicet, dicetur binomium secundum.

Quod si neutra portionum eius posite rationali communicet, appellabitur binomium [f.91v] tertium.

Item si longior breviore tanto amplius possit quantum est quadratum alicuius linee ipsi longiori incommensurabilis in longitudine, fueritque longior portionum posite linee rationali communicans in longitudine, ipsum nuncupabitur binomium quartum.

Si vero brevior posite rationali communicet in longitudine, binomium quintum nominabitur.

Si autem neutra portionum eius posite rationali communicet in longitudine, erit binomium sextum etcetera.

Binomium primum invenire.

Sit a linea rationalis posita sumanturque duo numeri quadrati b et c quorum c sit divisibilis in quadratum qui sit d et in non quadratum qui sit e ponaturque proportio quadrati linee a ad quadratum linee f g sicut numeri b ad numerum c. Eritque ex secunda parte 7 linea f g communicans linee a rationali posite in longitudine. Super eam igitur lineetur semicirculus f h g sitque proportio quadrati linee f g ad quadratum linee f h sicut c ad d et ducatur linea g h. Dico ergo duas lineas f g et g h directe coniunctas componere binomium primum. Est enim linea f g, que est longior, potentior linea g h, que est brevior, in quadrato linee f h per 30 tertii et penultimam primi. Communicat autem linea f h linee f g in longitudine per secundam partem 7 cum proportio quadratorum ipsarum f g et f h sit sicut numerorum quadratorum qui sunt c et d. Linea vero g h convincitur esse rationalis in potentia tantum, non communicans linee f g in longitudine ideoque neque linee a rationali posite. Cum sit enim quadratum linee f g ad quadratum linee f h sicut numerus c ad numerum d, erit per eversam proportionalitatem quadratum linee f g ad quadratum linee g h sicut numerus c ad numerum e. Cum itaque c sit numerus quadratus, e vero non quadratus, sequitur per ultimam partem 7 ut linea g h sit incommensurabilis linee f g in longitudine. Relinquitur igitur ipsam g h esse rationalem in potentia tantum [f.92r] et a diffinitione lineas f g et g h componere binomium primum. Quod erat inveniendum etcetera.

Binomium secundum reperire.

Sit ut prius a linea rationalis posita, b vero numerus quadratus, c vero sit numerus non quadratus divisibilis in d non quadratum et e quadratum ita tamen quod proportio totius c, qui est non quadratus, ad d, qui est etiam non quadratus, sit sicut numerorum quadratorum.

Talis autem numerus est 12 et 48. Divisibilis enim est 12 in 9 quadratum numerum et 3 non quadratum estque proportio 12 ad 3 sicut 16 ad 4 quorum uterque quadratus. Eodem modo 48 divisibilis est in 36 et 12. Tales autem numeros sic reperies: Sit a numerus quadratus, b quoque sit unitate minor cuius quadratum sit c. At vero d proveniat ex b in a eritque ex prima incidentium noni b differentia d ad c, ducatur idem a in c et proveniet e. Eritque e quadratus ex prima parte corollarii secunde noni eo quod uterque numerorum a et c est quadratus per ypothesim. Fiat rursus f ex a in d, erit f qualem querimus. Est enim ex ultima parte predicti corollarii numerus f non quadratus eo quod d numerus sit non quadratus. Si enim d numerus esset quadratus, esset quoque b quadratus ex secunda parte eiusdem corollarii 2 noni et ex 22 octavi. Et quia a est quadratus, esset per 16 eiusdem tertius continue proportionalis inter a et b. Quod est impossibile, cum sint sola unitate distantes. Non est igitur d quadratus, quare nec f. Est autem f equalis d et e quoniam cum b sit differentia d ad c ut patet ex premissis, erit per primam incidentium noni quod fit ex a in d equum hiis que fiunt ex a in b et in c. Et quia ex a in b fit d et in c fit e, sequitur ut d sit differentia f ad e. Et quia per 18 septimi est f ad e sicut d ad c, erit permutatim f ad d sicut e ad c. Cumque uterque duorum numerorum e et c sit quadratus, manifestum est numerum f esse qualem querimus. Est enim non quadratus divisibilis in d non quadratum et e quadratum cuius proportio ad d est sicut quadrati ad quadratum videlicet e ad c.

Cetera omnia sint ut prius. Dico quod linee f g et g h componunt binomium secundum. Cum sit enim quadratum a ad quadratum f g sicut b ad c rursusque quadratum f g ad quadratum g h sicut c ad e, erit per equam proportionalitatem quadratum a ad quadratum g h sicut b ad e. Cum igitur uterque duorum numerorum b et e sit quadratus, erit per partem secundam 7 linea g h communicans in longitudine linee a rationali posite. De linea vero f g constat quod ipsa sit rationalis in potentia tantum non communicans linee a rationali posite in longitudine per ultimam partem 7 que cum sit potentior linea g h in linea f h per 30 tertii et penultimam primi, communicet autem linea f h linee f g in longitudine per secundam partem 7 eo quod eorum quadrata sunt in proportione numerorum c et d quorum est proportio sicut numerorum quadratorum per ypothesim, constat propositum.

Aliter quoque idem. Esto linea g h communicans a rationali posite in longitudine quam facile est invenire. Sitque c numerus quadratus divisibilis in quadratum d et non quadratum e. Sitque proportio quadrati linee g h ad quadratum linee f g sicut numerus e ad numerum c. Eritque f g incommensurabilis linee g h in longitudine per ultimam partem 7 et potentior ea in quadrato linee f h cui communicat in longitudine primo per conversam, deinde per eversam proportionalitatem et per secundam partem 7, ex diffinitione igitur linee f g et g h componunt binomium secundum. [f.92v]

Binomium tertium investigare.

Binomium quoque tertium sic reperitur: Posita ut prius linea a in longitudine rationali. Sit numerus b numerus primus, c vero quadratus divisibilis in quadratum d et non quadratum e, cetera omnia sint ut prius. Dico quod due linee f g et g h componunt binomium tertium. Neutra enim earum est commensurabilis in longitudine linee a rationali posite, sed utraque incommensurabilis, f g quidem per ultimam partem 7, h g vero per equam proportionalitatem et ultimam partem 7. Est enim per equam proportionalitatem quadratum linee a ad quadratum linee g h sicut numerus b ad numerum e mediantibus hinc quidem quadrato linee f g, inde vero numero c. Numeri autem b et e non sunt in proportione aliquorum quadratorum, cum b sit numerus primus. Si enim essent in proportione numerorum quadratorum, necesse esset per 16 octavi et 8 eiusdem tertium eis in continua proportionalitate interesse. Esset igitur per 17 eiusdem numerus b superficialis. Quod est impossibile cum sit primus per ypothesim. Incommensurabilis itaque est linea g h linee a rationali posite ex ultima parte 7. Quia ergo linea f g potentior est linea g h in quadrato linee f h ex 30 tertii et penultima primi que communicat cum ea in longitudine ex secunda parte 7, ex diffinitione binomii tertii patet propositum.

Binomium quartum scrutari.

In inventione binomii quarti eodem modo procedendum est sicut in inventione binomii primi excepto quod quadratus numerus c dividatur in duos numeros non quadratos qui sunt d et e. Cetera omnia negocianda sunt hic ex diffinitione binomii quarti sicut ibi ex diffinitione binomii primi etcetera.

Binomium quintum querere.

Huius inventio sic est sicut binomii secundi excepto quod numerus c non quadratus dividetur in d non quadratum et e quadratum ita tamen quod proportio c ad d non sit sicut quadrati numeri ad quadratum numerum. Cetera omnia sunt hic perquirenda ex diffinitione binomii quinti sicut ibi quesita sunt ex diffinitione binomii secundi.

Vel pone quod linea g h sit communicans linee a rationali posite in longitudine et pone numerum c quadratum divisum in duos non quadratos qui sunt d et e. Pone quoque proportionem quadrati linee g h ad quadratum f g sicut numeri e ad numerum c. Deinde construe propositum ex ultima parte 7 et presentibus ypothesibus et conversa et eversa proportionalitatibus et iterum ex ultima parte 7 et ex diffinitione binomii quinti etcetera.

In binomio sexto demum oportet insistere.

Binomium sextum sicut tertium scrutandum est. Erit tamen hic numerus quadratus c divisus in duos non quadratos d et e, cetera ut ibi eritque ex diffinitione binomii sexti linea quam componunt f g et g h sibi invicem directe coniuncte binomium sextum. Quod est propositum invenire. [f.93r]

Si fuerit superficies binomio primo lineaque rationali contenta, latus quod super eam potest binomium esse necesse est.

Sit superficies a c contenta linea rationali a b et binomio primo quod sit b c. Dico quod latus tetragonicum superficiei a c est binomium. Sit enim punctus d communis terminus duarum portionum binomii primi b c cuius maior portio sit b d. Eritque rationalis in longitudine ex diffinitione et commensurabilis linee a b rationali posite. Dividatur item minor portio que est d c per equalia ad punctum e lineaque b d dividatur sub ea conditione ad punctum f, quod inter partes eius que sunt b f et f d cadat d e medio loco proportionalis. Quod qualiter fiat, in 13 dictum est. Ducantur autem linee e g, d h, f k equidistantes linee a b. Et quia ex diffinitione binomii primi linea b d est potentior linea d c in quadrato linee sibi communicantis in longitudine, sequitur ex secunda parte 13 quod due linee b f et f d sint communicantes. Per 9 igitur est utraque earum communicans toti linee b d, quare per diffinitionem ambe sunt rationales in longitudine, ideoque per 15 utraque duarum superficierum a f et f h est rationalis. Describatur itaque quadratum l m, cuius latus l r, equale superficiei a f cui circumponatur gnomo protracta diagonali l m n, ad eam quantitatem quod ipsius gnomonis quadratum, quod sit m n, sit equale superficiei f h duoque eius supplementa sint p m et m q que necesse est esse equalia duabus superficiebus d g et g c. Quod sic collige: Cum enim sit linea d e medio loco proportionalis inter lineas b f et f d, erit superficies d g ex prima sexti medio loco proportionalis inter superficies a f et f h, quare et inter quadrata l m et n m. At quia supplementum p m est etiam medio loco proportionale inter dicta quadrata ex prima sexti, sequitur ut p m sit equalis d g, ideoque m q, g c, igitur linea l p est latus tetragonicum superficiei a c. Hanc lineam dico esse binomium. Cum sint enim ambo quadrata l m et m n rationalia, erunt ex diffinitione due linee l r et r p potentialiter rationales. Est autem per primam sexti a f ad d g sicut b f ad d e, sed b f est incommensurabilis d e scilicet quia b f est rationalis simpliciter ut probatum est, d e vero quia communicat in longitudine d c rationali in potentia tantum eritque ipsa rationalis in potentia tantum per 18, quod ex premissis ypothesibus manifestum est. Itaque per secundam partem 10 superficies a f est incommensurabilis superficiei d g, igitur et quadratum l m supplemento p m, quare per primam sexti et secundam partem 10 linea l r est incommensurabilis linee r p. Ex 30 igitur constat lineam l p esse binomium. Quod erat monstrandum.

Si fuerit superficies linea rationali binomioque secundo contenta, latus eius tetragonicum erit bimediale primum.

Sit eadem figura eedemque ypotheses [f.93v] que in premissa eritque ex diffinitione binomii secundi linea d c rationalis in longitudine, quare per 15 utraque duarum superficierum d g et g c (ideoque et duo supplementa p m et m q) erit rationalis, linea vero b d est rationalis in potentia tantum et divisa in duas lineas communicantes f d et b f, ex diffinitione binomii secundi et premissis ypothesibus et secunda parte 13. Per 19 igitur erit utraque duarum superficierum a f et f h (ideoque et utrumque quadratorum l m et m n) medialis. Itaque ambe linee l r et r p sunt mediales in potentia quoque communicantes. Nam cum linea b f communicet linee f d, sequitur ut a f communicet f h, quare quadratum l m quadrato m n. Ideoque et linea l r linee r p in potentia, in longitudine autem non communicant quoniam una earum ad alteram est sicut l m ad m p. Cum igitur l m non communicet m p eo quod altera medialis videlicet l m, altera vero rationalis videlicet m p, sequitur ut l r non communicet in longitudine r p. Quia igitur ipse continent superficiem rationalem que est p m, constat lineam l p esse bimediale primum ex 31.

Si binomio tertio ac linea rationali superficies contineatur, linea in eam potens erit bimediale secundum.

Dispositio et ypotheses maneant ut supra. Erit ex hiis ypothesibus et diffinitione binomii tertii et 19 unaqueque 4 superficierum in quas divisa est superficies a c medialis, quare utrumque duorum quadratorum l m et m n et utrumque duorum supplementorum p m et m q erit etiam mediale, utraque igitur duarum linearum l r et r p erit medialis que cum due superficies a f et f h sint communicantes eo quod due linee b f et f d sint communicantes, per secundam partem 13 erunt due linee l r et r p communicantes in potentia, in longitudine vero non quia superficies l m non communicat cum superficie m p eo quod neque a f communicat cum d g. Nam linea b f non communicat cum d e. Cum igitur ipse contineant superficiem medialem que est p m, constat ex 32 lineam l p esse bimediale secundum. Quod est propositum.

Si linea rationali binomioque quarto superficies contineatur, que in eam superficiem potest, est linea maior.

Cunctis ut in premissis manentibus erit ex ypothesibus et diffinitione binomii quarti et 19 utraque duarum superficierum d g et g c (quare et utraque duarum p m et m q) medialis duoque quadrata l m et m n pariter accepta rationale eo quod superficies a d est rationalis per diffinitionem binomii quarti et 15. At quia b d dividitur in puncto f in duo incommunicantia, per secundam partem 14 erit superficies a f incommensurabilis superficiei f h, ideoque et quadratum l m quadrato m n. Due igitur linee l r et r p sunt incommensurabiles in potentia que cum contineant superficiem medialem p m et earum quadrata ambo pariter accepta sunt rationale, constat ex 33 lineam l p esse lineam maiorem. Quod erat demonstrandum.

Si fuerit superficies linea rationali atque binomio quinto contenta, quecumque in eam linea potest potens in rationale et mediale esse ex necessitate convincitur.

Nec in hac quoque est aliquid ex priorum dispositione et positionibus mutandum, eis enim manentibus erit ex hiis que posita sunt in diffinitione binomii quinti et 15 utraque duarum superficierum d g et g c (quare utraque duarum p m et m q) rationalis totaque a d (quare et duo quadrata l m et m n pariter accepta) medialis ex 19. Cumque ex secunda parte 14 sit linea b f incommensurabilis linee f d ideoque superficies a f superficiei f h et quadratum l m quadrato m n, erit linea l r incommensurabilis in potentia linee r p. At quia ipse continent superficiem rationalem p m et earum quadrata ambo pariter accepta sunt mediale, conclude ex 34 lineam l p esse potentem in rationale et mediale. Quod promissum est.

Si binomio sexto lineaque rationali superficies contineatur, linea que in eam potest in duo medialia potens esse probatur.

Hec 53 adhuc te sustinet otiari a pingendo figuras. Contenta enim est premissis dispositione et positionibus. Quibus stantibus necesse est ex ipsis positis et dispositione idest diffinitione binomii postremi et 19 quamlibet ex superficiebus a d, d g et g c (propter quod et ambo quadrata l m et m n pariter accepta et p m et m q) esse medialem. Cumque b f et f d (propter quod a f et f h ideoque l m et m n) sint incommensurabiles, due linee erunt l r et r p incommensurabiles in potentia. At quia ipse continent superficiem medialem p m earumque ambo quadrata pariter accepta sunt mediale quod est duplo superficiei unius in alteram incommensurabile. Quod ex eo probatur quod superficies b h est incommensurabilis superficiei h c propter hoc quod linea b d est incommensurabilis linee d c, sequitur ex 35 lineam l p esse que potest in duo medialia.

Si linee rationali equum quadrato binomii rectangulum adiungatur, latus eius secundum binomium primum esse conveniet.

Hee 6 sequentes converse sunt 6 precedentium per ordinem. Huius autem hec est intentio: Sit linea a b binomium divisa ad punctum c in duas lineas a c et c b secundum suam diffinitionem aut terminum eiusque a b quadratum sit b d. Autem linea e f sit rationalis in longitudine cui adiungatur superficies e g equalis quadrato b d. Dico latus secundum huius superficiei, quod est linea [f.94v] f g, esse binomium primum. Dividatur enim quadratum b d in duo quadrata b h et h d que sint quadrata duarum portionum binomii et in duo supplementa a h et h k quorum utrumque continetur sub duabus portionibus binomii. Eritque ex diffinitione binomii que habetur per 30 utrumque ipsorum quadratorum rationale et per 19 utrumque supplementorum mediale. Ex superficie igitur e g abscindatur superficies e l equalis quadrato d h et l m equalis quadrato h b et n p equalis uni duorum supplementorum a h vel h k. Eritque p g residua equalis reliquo supplemento, quare per primam sexti linea n q est equalis linee q g. Ex premissis autem manifestum est quod utraque duarum superficierum e l et l m (et ideo tota superficies e n) est rationalis. Et utraque duarum equalium n p et p g (et ideo tota m g) medialis, quare per 16 utraque duarum linearum f l et l n et tota linea f n rationalis in longitudine et linee e f rationali posite commensurabilis. Et per 20 utraque duarum n q et q g et tota n g rationalis in potentia tantum incommensurabilis linee n m (et ideo linee e f sibi equali et per consequens etiam linee f n) in longitudine. Si igitur linea f n que est maior linea n g ut ex primo duorum antecedentium 35 demonstrationi subiunctorum et prima sexti apparet, fuerit potentior linea n g minori in quadrato linee secum communicantis in longitudine, tunc ex diffinitione binomii primi manifestum est lineam f g esse binomium primum. Hoc autem ita esse sic habeto. Cum inter duo quadrata d h et h b sit per primam sexti superficies a h medio loco proportionalis, convincitur ex prioribus ypothesibus superficiem m q esse inter superficies e l et l m medio loco proportionalis, quare per primam sexti linea n q, que est medietas linee n g, est etiam medio loco proportionalis inter duas lineas f l et l n. Quod igitur fit ex f l in l n est quantum quod ex n q in se per 16 sexti, ideoque per 4 secundi quantum quarta pars quadrati linee n g. Itaque per primam partem 13 cum linea f n dividatur a superficie sibi adiuncta equali quarte parti quadrati brevioris linee n g ita quod ad complendam totam lineam f n desit superficies quadrata in duo communicantia ad punctum l, erit f n potentior n g in quadrato linee sibi communicantis in longitudine. Constat ergo propositum etcetera.

Si linee rationali equa superficies quadrato bimedialis primi adiungatur, latus eius reliquum binomium secundum esse oportet.

Sit linea a b bimediale primum divisa ad punctum c secundum suum terminum. Cetera sint ut prius. Dico lineam f g esse binomium secundum. Erit enim superficies m g rationalis eo quod partes bimedialis primi continent superficiem rationalem et superficies tres e l, l m et tota e n mediales communicantes eo quod portiones bimedialis primi sint linee mediales potentia tantum communicantes ex 31. Per 16 igitur erit linea n g rationalis in longitudine commensurabilis linee e f rationali posite et per 20 linea f n rationalis in potentia tantum que cum sit maior linea n g ex primo duorum antecedentium demonstrationi 35 subiunctorum et prima sexti eaque potentior in quadrato linee secum communicantis in longitudine ex prima parte 13, erit a diffinitione linea f g binomium secundum. Quod est propositum.

Cum adiuncta fuerit linee in longitudine rationali superficies rectangula equalis quadrato bimedialis secundi, latus eius secundum binomium tertium esse necesse est.

Si fuerit linea a b bimediale secundum divisa secundum suum terminum ad punctum c, reliqua vero omnia fuerint ut prius. Erit linea f g binomium tertium. Erit enim ex 32 et nostris positionibus utraque superficierum e n et m g medialis, quare per 20 utraque duarum linearum f n et n g erit rationalis in potentia tantum. At quia partes bimedialis secundi sunt communicantes in potentia tantum, erit superficies e l communicans superficiei l m et ideo linea f l linee l n, potentior ergo est per primam partem 13 f n quam sit n g in quadrato linee sibi communicantis in longitudine. Cumque sint superficies a h et quadratum h b incommensurabilia eo quod linee a c et c b incommensurabiles ideoque et ambo quadrata pariter accepta ambobus supplementis pariter acceptis eo quod quadrata sibi invicem communicant ex ypothesi, supplementa quoque sibi invicem cum sint equalia, sequitur ut superficies e n sit incommensurabilis superficiei m g et ideo linea f n linee n g, per diffinitionem igitur est linea f g binomium tertium. Quod erat monstrandum etcetera.

Si linee rationali rectangulum equum quadrato linee maioris adiungatur, alterum se continentium laterum erit binomium quartum.

Si hic quoque fuerit linea a b linea maior divisa secundum suum terminum ad punctum c, cunctaque reliqua non fuerint aliter quam prius, erit linea f g binomium quartum. Cum sint enim ambo quadrata portionum linee maioris pariter accepta rationale, erit superficies e n rationalis ideoque per 16 linea f n rationalis in longitudine communicans linee e f rationali posite. Superficies vero m g erit medialis propter id quod portiones linee maioris continent superficiem medialem. Itaque per 20 linea n g est rationalis in potentia tantum. At quia etiam portiones prefate linee a b sunt incommensurabiles in potentia, erit superficies e l incommensurabilis l m ideoque linea f l linee l n, igitur per primam partem 14 linea f n est potentior linea n g in quadrato linee sibi incommensurabilis. Ex diffinitione igitur est linea f g binomium quartum. Quod erat propositum.

Si linee rationali quadrato linee potentis supra rationale et mediale equalis parte altera longior forma adiungatur, alterum latus eius binomium [f.95v] quintum esse necesse est.

Proposita linea a b ea que potest supra rationale et mediale divisa secundum eius diffinitionem ad punctum c. Nihil immutetur de reliquis sequiturque lineam f g esse binomium quintum. Cum enim partes huius linee a b contineant superficiem rationalem necesse est ut superficies m g (ideoque per 16 linea n g) sit rationalis. Cum ambo quadrata partium huius linee pariter accepta sint mediale, erit superficies e n medialis et per 20 linea f n rationalis in potentia tantum. At quia portiones predicte linee sunt incommensurabiles in potentia, erit superficies e l incommensurabilis superficiei l m. Ideoque et linea f l linee l n, potentior igitur est per primam partem 14 linea f n linea n g in quadrato linee sibi incommensurabilis. Per diffinitionem itaque binomii quinti conclude propositum etcetera.

Quotiens adiuncta fuerit linee rationali superficies rectangula equalis quadrato linee potentis in duo medialia, eiusdem superficiei latus secundum binomium sextum esse convincitur.

In hac 59 sit linea a b linea potens supra duo medialia. Que autem preter hec sunt sicut supra maneant et erit tunc linea f g binomium sextum quod ignorare non potes si premissorum eiusque quod 35 proponit immemor non fueris et sic patet in hac nostra intentio.

Omnis linea cuilibet binomiorum communicans sub eadem specie binomium esse probatur.

Sit linea a binomium cuiusvis speciei sitque linea b sibi communicans in longitudine. Dico lineam b esse binomium eiusdem speciei cuius est a. Sint enim binomiales portiones a: c, d eruntque ambe rationales in potentia tantum communicantes per 30, linea vero b dividatur per 12 sexti secundum proportionem c ad d in e et f, eritque per coniunctam et eversam et permutatam proportionalitatem c ad e et d ad f sicut a ad b. Cum sint igitur a et b communicantes, erunt etiam per primam partem 10 c et e itemque d et f communicantes. Si igitur fuerit c rationalis in potentia tantum, erit et e. Si autem in longitudine, et e. Eodemque modo si d est rationalis in potentia tantum vel etiam si in longitudine, erit quoque f similiter. Et ex 12 si c est potentior d quadrato linee sibi commensurabilis in longitudine vel si forte incommensurabilis, erit etiam e potentior f quadrato linee sibi commensurabilis vel etiam incommensurabilis. Necesse est ex diffinitionibus sex specierum binomiorum ut eiusdem speciei binomii sint a et b.

Si autem linea b communicet binomio a in potentia tantum, erit etiam linea b. Binomium eiusdem autem speciei non est necessarium, immo impossibile est ut ambe simul cadant sub prima specie binomiorum vel sub secunda vel sub quarta vel sub quinta. Sed necesse est ut ambe cadant in tribus primis aut ambe in tribus postremis. Unum enim eorum esse in aliqua ex tribus primis speciebus et aliud in aliqua ex tribus postremis est impossibile. Cum enim a communicet cum b tantum in potentia, [f.96r] c quoque cum e et d cum f communicabit tantum in potentia ex 10. Si ergo alterutra duarum linearum c et d fuerit rationalis in longitudine, non erit sua compar ex lineis e et f rationalis in longitudine. Non est itaque possibile ut a et b cadant simul sub aliqua ex illis speciebus binomiorum in quibus altera duarum portionum binomii est rationalis in longitudine. Hee autem species sunt: prima, secunda, quarta et quinta. At vero quia per 12 due linee c et e simul potentiores sunt duabus lineis d et f in quadratis duarum linearum sibi in longitudine communicantium vel incommunicantium, necesse est ut ambo binomia a et b simul cadant sub tribus primis speciebus binomiorum aut simul sub tribus postremis ex diffinitione ipsarum specierum. Lineam autem b quid dubitas esse binomium cum sint enim c et e communicantes in potentia tantum, similiter quoque d et f. Sunt autem c et d rationales in potentia, convincitur e et f esse rationales in potentia tantum que, quia non communicant in longitudine sicut nec eis proportionales c et d, ipse componunt indubitanter binomium per 30 huius.

Omnis linea alterutri bimedialium commensurabilis sub eadem specie bimedialis esse ex necessitate convincitur.

Veritatem habet quod dicitur sive in longitudine sive etiam in potentia tantum communicet aliqua linea alterutri bimedialium. Sint enim due linee a et b communicantes quovis duorum predictorum modorum sitque a bimediale primum vel secundum, dico etiam quod b est bimediale primum vel secundum prout fuerit a. Diviso enim a bimediali in suas bimediales portiones ex quibus componitur per 31 vel 32 que sint c et d, b quoque divisa in e et f secundum proportionem c ad d ut docet 12 sexti positaque g superficie contenta sub c et d et k sub e et f et posito h quadrato d et l, f erit per coniunctam et eversam et permutatam proportionalitatem quemadmodum in premissa c ad e et d ad f sicut a ad b. Cum igitur ex positione a et b sint communicantes sive hoc sit in longitudine sive in potentia sic c et e itemque d et f similiter erunt communicantes. At quia c et d sunt mediales potentia tantum communicantes, sequitur ex 21 ut e et f sint etiam mediales et ex 10 potentia tantum communicantes cum ipse per ypothesim sint proportionales c et d. Cumque sit per primam sexti g ad h sicut c ad d et k ad l sicut e ad f, erit g ad h sicut k ad l et permutatim g ad k sicut h ad l. Quia igitur h est communicans l eo quod duo eorum latera que sunt d et f communicant in longitudine vel in potentia secundum quod a et b in alterutro eorum communicant, sequitur ex 10 ut g et k quoque sibi invicem communicent, erit igitur k rationalis aut medialis prout fuerit g, ex diffinitione superficiei rationalis aut 21. In hoc enim tantum differt bimediale primum a bimediale secundo quod portiones bimedialis primi in quas secundum suum terminum dividitur continent superficiem rationalem, bimedialis autem secundi medialem. Si igitur a fuerit bimediale primum, erit superficies g rationalis quare et k et ideo b bimediale primum per 31. Quod si a fuerit bimediale secundum, erit superficies g medialis ob hoc etiam et k, b itaque per 32 erit bimediale secundum. Quare constat propositum.

Idem aliter. Ad lineam rationalem c d (posita a alterutro bimedialium et b sibi in longitudine vel potentia communicante) adiungatur superficies c e equalis quadrato a et f g equalis [f.96v] quadrato b eruntque superficies c e et f g communicantes eo quod quadrata eis equalia que sunt quadrata linearum a et b sunt communicantia ex ypothesi. Ex prima igitur sexti et 10 huius necesse est duas lineas d e et e g esse communicantes et quia, si a fuerit bimediale primum, linea d e erit binomium secundum per 55 ideoque et e g etiam binomium secundum per premissam quare latus tetragonicum superficiei f g (et ipsum est b) bimediale primum per 49. At vero si a fuerit bimediale secundum, linea d e erit binomium tertium per 56. Ideo e g etiam binomium tertium per premissam, quare et latus tetragonicum superficiei f g (et ipsum est b) bimediale secundum per 50. Manifestum est igitur verum esse quod proponitur.

Omnis linea communicans linee maiori est linea maior.

Et hec quoque veritatem habet, si utrolibet modo communicans fuerit linea aliqua linee maiori. Esto enim a linea maior, b vero sibi quovis modo communicans, eritque b linea maior. Divisa namque a in eas portiones ex quibus constat per 33 que sint c et d, et b secundum earum proportionem in e et f. Positoque quod g sit superficies contenta sub c et d et k sub e et f, et m et h sint quadrata c et d, at n et l, e et f, erit m ad h sicut n ad l per secundam partem 18 sexti. Et coniunctim m et h ad h sicut n et l ad l et permutatim m et h ad n et l sicut h ad l. Quia ergo h communicat cum l eo quod d communicat cum f aut in longitudine aut in potentia prout a communicat cum b, sequitur ut ambo quadrata m et h pariter accepta communicent cum ambobus quadratis n et l pariter acceptis. Cum itaque duo prima pariter accepta sint rationale per 33, erunt quoque et duo postrema rationale per diffinitionem. At quia superficiem k necesse est esse medialem sicut g ex 21 lineasque e et f esse incommensurabiles in potentia sicut c et d ex 10, concluditur per 33 lineam b esse eam que dicitur linea maior. Quod est propositum.

Idem aliter. Cum sit a linea maior cui b communicat sive hoc fuerit in longitudine sive in potentia, sumpta linea rationali que sit c d adiungatur ei superficies c e equalis quadrato linee a. Deinde f g equalis quadrato linee b. Cum igitur quadrata duarum linearum a et b sint communicantia per ypothesim, erit superficies c e communicans superficiei f g ideoque per primam sexti et 10 huius linea d e linee e g in longitudine. Et quia ex 57 linea d e est binomium quartum, erit quoque per 60 linea e g binomium quartum. Igitur ex 51 linea b potens in superficiem f g est linea maior etcetera.

Si qua linea linee potenti in rationale et mediale communicet, ipsa in rationale et mediale potens esse probatur.

Verum est quoque quod qualitercumque linea aliqua sit communicans potenti in rationale et mediale sive in longitudine sive in potentia tantum, ipsa etiam est potens in rationale et mediale, quod sicut prius duplici modo probatur. Necesse est quantum ad primum modum ut sicut due linee c et d sunt in potentia incommensurabiles, ita sint etiam e et f per 10. Et quemadmodum g est superficies rationalis (nam talem continent portiones linee potentis in rationale et mediale) ita etiam per diffinitionem sit k rationalis et quemadmodum duo [f.97r] quadrata m et h pariter accepta sunt mediale, sic etiam per 21 duo quadrata n et l pariter accepta erunt mediale, igitur ex 34 linea b potens in rationale et mediale.

Quantum autem ad secundum modum: necesse est ex 58 ut linea d e sit binomium quintum, ideoque et per 60 linea e g est binomium quintum, quare per 52 latus tetragonicum superficiei f g, quod est b, erit linea potens in rationale et mediale. Quod est propositum .

Omnis linea communicans potenti in duo medialia, ipsa quoque potens est in duo medialia.

Hec quoque manentibus eisdem dispositione et positionibus eo duplici modo quo premisse probabitur vera esse sive in longitudine sive in potentia communicet linea b cum linea a potenti in duo medialia. Quantum enim ad primum argumentationis modum erit per 35 superficies g medialis ideoque et k per 21 cum communicet ei. Duo quoque quadrata m et h pariter accepta erunt ex eadem 35 mediale itaque et duo n et l pariter accepta per 21. At quia duo quadrata m et h pariter accepta ex predicta 35 sunt incommensurabile duplo superficiei g, sequitur per 10 et nostras positiones ut duo quoque n et l pariter accepta sint incommensurabile duplo superficiei k. Cum itaque sint e et f incommensurabiles in potentia quemadmodum c et d, erit ex 35 linea b potens in duo medialia.

Quantum autem ad secundum solite argumentationis modum erit per 59 linea d e binomium sextum. Ideoque etiam per 60 linea e g erit binomium sextum, quare per 53 latus tetragonicum superficiei f g, quod est b, erit potens in duo medialia. Quod est propositum etcetera.

Si due superficies, quarum altera rationalis, altera vero medialis, coniungantur, linea potens in totam superficiem inde compositam aliqua erit quatuor irrationalium linearum videlicet aut binomium aut bimediale primum aut linea maior aut potens in rationale et mediale.

Ut si a sit superficies rationalis et b medialis, erit linea potens in totam a b aliqua premissarum quatuor. Sit enim linea c d rationalis cui adiungatur c e equalis a et f g equalis b. Eritque ex 16 linea d e rationalis in longitudine communicans linee c d rationali posite et ex 20 linea e g rationalis in potentia tantum et ex 30 linea d g binomium cuius cum altera binomialium portionum que est d e sit rationalis in longitudine communicans linee rationali posite que est c d, ipsum erit ex diffinitione specierum binomii aut binomium primum aut secundum aut quartum aut quintum, tertium autem aut sextum non erit ex diffinitione, itaque per 48 et 49 et 51 et 52 linea potens in totam [f.97v] c g que est equalis duabus simul a et b erit aut binomium aut bimediale primum aut linea maior aut potens in rationale et mediale. Quod est propositum. Bimediale vero secundum aut potens in duo medialia non erit quoniam si esset bimediale secundum, esset ex 56 linea d g binomium tertium. Quod si esset potens in duo medialia, esset ex 59 linea d g binomium sextum, sed neutrum erat etcetera. Unde patet nostra intentio.

Cum coniuncte fuerint due superficies mediales incommensurabiles, linea potens in totam superficiem alterutra erit duarum irrationalium linearum videlicet aut bimediale secundum aut potens in duo medialia etcetera.

Ut si a et b sint due superficies mediales incommensurabiles (si enim essent commensurabiles, composita ex eis esset medialis ex 9 et 21, ideoque linea potens in eam medialis ex 19), dico quod linea potens in compositam ex ambabus erit aut bimediale secundum aut potens in duo medialia. Sitque linea c d rationalis, superficies vero c e sibi adiuncta equalis a et superficies f g equalis b. Eritque ex 20 linea d e similiter quoque linea e g rationalis in potentia tantum. Cumque superficies c e et f g sint incommensurabiles sicut a et b eis equales ideoque et linee d e et e g ex prima sexti et 10 huius, erit ex 30 linea d g binomium. Cuius cum utraque binomialium portionum que sunt d e et e g sit incommensurabilis linee rationali posite que est c d, ipsum erit ex diffinitione binomium tertium aut sextum. Linea ergo potens in totam c g equalem composite ex a et b erit ex 50 et 53 aut bimediale secundum aut potens in duo medialia. Quod est propositum etcetera.

Cum posita fuerit linea binomialis cetereque irrationales eam sequentes, non erit earum aliqua sub termino alterius.

Vult quod si aliqua linea ut a fuerit aliqua ex 6 prehabitis lineis irrationalibus que sunt binomium et eius 5 comites, ipsa non erit aliqua aliarum. Si enim quadrato eius equalis superficies adiungatur ad lineam rationalem b c que sit b d siquidem a fuerit binomium, erit ex 54 linea c d binomium primum. Que si fuerit bimediale primum, erit c d ex 55 binomium secundum. Si autem bimediale secundum, erit c d ex 56 binomium tertium. Et si linea maior, erit c d ex 57 binomium quartum. At si potens in rationale et mediale aut si potens in duo medialia, erit ex 58 c d binomium quintum aut ex 59 binomium sextum. Et quia impossibile est c d esse simul sub diversis speciebus [f.98r] binomiorum a diffinitione, est etiam impossibile a esse simul sub diversis speciebus 6 prehabitarum linearum irrationalium. De linea autem mediali constat quod ipsa quoque non sit aliqua sex sequentium videlicet neque binomium neque aliqua ex ipsius comitibus. Cum enim superficies equalis quadrato linee medialis adiungitur ad lineam rationalem, latus eius secundum est rationale in potentia ex 20. Cum autem superficies equalis quadrato binomii aut alicuius suarum comitum, latus eius secundum est binomium aut primum aut secundum et sic de ceteris per 54 et 5 eam sequentes. Quare ipsum est irrationale et in longitudine et in potentia per 30. Cum igitur sit impossibile eandem lineam esse rationalem in potentia et irrationalem tam in longitudine quam in potentia, nimirum impossibile est lineam medialem esse binomialem aut aliquam ex quinque suis comitibus.

Si linea de linea abscindatur fuerintque ambe potentialiter tantum rationales communicantes, reliqua linea erit irrationalis, diceturque residuum.

Sit linea b c abscisa ex a b sintque ambe rationales in potentia tantum communicantes quales docuit invenire 17 et 18 et hee sunt que componunt binomium. Dico quod a c reliqua est irrationalis et ipsa vocatur residuum. Constat enim ex 7 secundi quod quadrata duarum linearum a b et b c pariter accepta que componunt superficiem rationalem ex ypothesi et diffinitione superficiei rationalis et 9 huius tantum sunt quantum duplum superficiei a b in b c cum quadrato a c. Cumque ex 19 superficies a b in b c sit medialis, ideoque et duplum eius mediale per 21 et ideo irrationale per 19 sequitur ut ambo quadrata duarum linearum a b et b c pariter accepta sint incommensurabile duplo superficiei unius earum in alteram, quare per 9 et quadrato linee a c. Ex diffinitione igitur quadratum linee a c est irrationale cum ipsum sit incommensurabile rationali videlicet duobus quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis. Itaque etiam ex diffinitione linea a c est irrationalis. Quod est propositum.

Exemplariter in figura: Esto superficies e g equalis duobus quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis, eritque rationalis. Itemque sit superficies d f equalis duplo superficiei unius in alteram. Eritque ex 19 medialis et erit ex 7 secundi superficies f g equalis quadrato linee a c. Cumque superficies e g sit incommensurabilis superficiei d f, eadem erit ex 9 incommensurabilis f g, quare f g irrationalis et eius tetragonicum latus a c.

Si fuerit linea de linea abscisa fuerintque ambe mediales potentialiter tantum communicantes superficiemque rationalem continentes, reliqua linea erit irrationalis, diceturque residuum mediale primum.

Sit linea b c abscisa ex linea a b sintque ambe [f.98v] quales proponitur quas ex 24 et 25 reperies. Et hee sunt que coniungunt bimediale primum. Dico quod reliqua linea a c erit irrationalis et ipsa dicitur residuum mediale primum. Erunt enim ambo earum quadrata pariter accepta mediale, duplum vero superficiei unius in alteram rationale. Itaque ambo quadrata pariter accepta incommensurabile sunt duplo superficiei unius in alteram. Et quia ex 7 secundi duo quadrata pariter accepta componuntur ex duplo superficiei unius in alteram et quadrato linee a c, sequitur per 9 ut quadratum linee a c sit incommensurabile duplo superficiei unius in alteram, quare tam ipsum quadratum quam eius latus a c est irrationale per diffinitionem. Constat ergo propositum. Quod (quemadmodum in premissa) potes si libet declarare exemplariter in figura.

Aliter idem sic: Sit linea d e rationalis in longitudine cui adiungatur superficies d f equalis duplo superficiei unius in alteram et superficies e g equalis ambobus quadratis pariter acceptis. Eritque per 7 secundi superficies f g equalis quadrato linee a c. Cum itaque per ypothesim sit superficies e g medialis, erit per 20 linea d g rationalis in potentia tantum. Cum vero sit superficies e h rationalis etiam per ypothesim, erit ex 16 linea d h rationalis in longitudine. Itaque per 68 linea h g est residuum et irrationalis, ideoque per 16 a destructione consequentis superficies f g est irrationalis et eius tetragonicum latus, quod est a c, est irrationale. Et sic patet propositum.

Si linea de linea secetur fuerintque ambe mediales potentialiter tantum communicantes continentesque mediale, reliqua linea erit irrationalis, diceturque residuum mediale secundum.

Sit hic quoque linea b c abscisa ex linea a b, utreque autem a b et b c sint ut proponitur et ipse per 26 reperiuntur et sunt que componunt bimediale secundum. Dico quod linea reliqua, que est a c, est irrationalis et ipsa dicitur residuum mediale secundum. Sunt enim ex ypothesi et 21 ambo quadrata duarum linearum a b et b c pariter accepta mediale. Similiter quoque duplum superficiei unius in alteram est mediale. Cum itaque ex 22 mediale non differat a mediali nisi in irrationali, erit quadratum linee a c in quo per 7 secundi duo quadrata a b et b c pariter accepta excedunt duplum superficiei unius in alteram irrationale, quare et linea a c irrationalis.

Figurali exemplo patefieri potest istud ut prius. Si enim sit e g equalis ambobus quadratis a b et b c simul et d f duplo superficiei unius in alteram, erit f g per 7 secundi equalis quadrato a c que cum sit differentia superficiei medialis e g ad superficiem medialem d f ipsa est irrationalis per 22 et eius latus tetragonicum a c irrationale.

Idem aliter. Sit linea d e rationalis cui adiungatur superficies d f equalis duplo superficiei unius in alteram et e g equalis ambobus quadratis pariter acceptis eritque per 7 secundi f g equalis quadrato a c. Quia vero e g est medialis, erit ex 20 linea d g rationalis in potentia tantum. Similiter quoque cum e h sit medialis, erit ex eadem linea d h rationalis similiter in potentia tantum. Et quoniam a b et b c sunt incommensurabiles in longitudine ideoque quadratum utriusque earum superficiei unius in alteram et propter hoc etiam ambo quadrata pariter accepta (cum ipsa ex ypothesi communicent) sunt quoque incommensurabilia duplo superficiei unius in alteram, sequitur ut e g sit incommensurabilis e h quapropter et linea d g linee d h, igitur ex 68 linea [f.99r] g h est residuum et irrationalis. Ideo per 16 a destructione consequentis superficies f g irrationalis et eius tetragonicum latus a c irrationale.

Si linea de linea detrahatur fuerintque ambe potentialiter incommensurabiles continentesque mediale quadrataque earum ambo pariter accepta rationale, reliqua linea erit irrationalis, vocabiturque minor.

Si sint a b et b c quales proponitur que et per 27 inveniuntur et componunt lineam maiorem. Erit linea a c irrationalis et ipsa est que dicitur linea minor. Quod qui premissa firmiter tenuerit positionesque diligenter attenderit, duplici modo ut que antecedunt facile probabit.

Si linea de linea dematur fuerintque ambe potentialiter incommensurabiles superficiemque rationalem continentes quadrataque earum ambo pariter accepta mediale, linea reliqua erit irrationalis, diceturque iuncta cum rationali componens totum mediale.

Et hoc quoque nescire non potest qui priora noverit nisi a memoria exciderint quoniam positis lineis a b et b c (qualibet proponitur que et per 28 reperiuntur et lineam potentem in rationale et mediale componunt) sit a c reliqua irrationalis et ipsa dicitur que iuncta cum rationali componit totum mediale.

Si linea a linea subtrahatur fuerintque potentialiter incommensurabiles superficiemque medialem continentes quadrataque earum ambo pariter accepta mediale duplo superficiei alterius in alteram incommensurabile, reliqua linea erit irrationalis, diceturque iuncta cum mediali [f.99v] faciens totum mediale.

Sint etiam hic a b et b c quales proponitur que per 29 reperiuntur et ipse sunt que componunt lineam potentem in duo medialia eritque linea a c reliqua irrationalis dicta que iuncta cum mediali componit totum mediale. Quod ut facile premissa duplici argumentatione concludas, processum 70 moneo. Diligenter attendas.

Est autem hic premittendum antecedens necessarium ad demonstrationes sequentium. Quod est:

Sint quatuor quantitates, differentia prime quarum ad secundam sit sicut tertie ad quartam, erit permutatim differentia prime ad tertiam sicut secunde ad quartam.

Intelligendum est hoc de quantitatibus eodem ordine relatis, ut cum prima fuerit maior secunda, sic quoque tertia maior quarta, cum vero minor, et minor. Exempli gratia: Sit differentia a ad b sicut c ad d. Dico quod erit a ad c sicut b ad d. Est enim (per hanc communem animi conceptionem: differentia extremorum composita est ex differentiis ipsorum ad media) differentia a ad c composita ex ea que est a ad b et ea que est b ad c. At ea que est b ad d per eandem conceptionem componitur ex ea que est b ad c et ea que est c ad d. Et quia est per ypothesim differentia a ad b sicut c ad d, ea vero que est b ad c est communis, sequitur per communem scientiam ut sit a ad c sicut b ad d. Quod est propositum etcetera.

Nulla linea nisi una tantum residuo coniungi potest, ut sint ambe sub termino earum, que erant ante separationem.

Sit linea a c residuum que fuerit reliqua abscisa b c ex a b eruntque a b et b c rationales potentia tantum communicantes ex 68. Dico quod ipsa a c nulli alii linee quam c b poterit componi sub hac diffinitione neque maiori b c neque minori b c. Si autem potest, componatur cum c d indifferenter maiori aut minori quam c b eruntque ob hoc ambe linee a d et d c rationales in potentia tantum communicantes. Quia ergo ex 7 secundi quadrata ambarum linearum a b et b c pariter accepta excedunt duplum superficiei unius earum in reliquam in quadrato a c, similiter quoque quadrata duarum linearum a d et d c pariter accepta excedunt duplum superficiei unius earum in reliquam in quadrato eiusdem a c, sequitur ex premisso antecedente ut differentia duorum quadratorum duarum linearum a b et b c pariter acceptorum ad duo quadrata duarum linearum a d et d c pariter accepta sit sicut differentia dupli superficiei a b in b c ad duplum superficiei a d in d c. Cum autem sint duo quadrata utriusque sectionis pariter accepta rationale ex ypothesi, duplum vero superficiei unius in alteram portionum utriusque sectionis mediale per ypothesim et 19, erit una et eadem differentia duarum superficierum rationalium et duarum medialium. Hoc autem est impossibile. [f.100r] Rationales enim superficies non differunt nisi in superficie rationali ut patet per diffinitionem rationalis superficiei et per 9, medialis autem non differt a mediali nisi in irrationali superficie per 22.

Hoc autem sit manifestius in figura sic: Sit superficies e f adiuncta ad lineam e g equalis ambobus quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis. At g h sit equalis duplo superficiei unius in alteram. Eritque h f equalis quadrato linee a c ex 7 secundi. Similiter quoque sit k l adiuncta ad lineam k m equalis duobus quadratis duarum linearum a d et d c pariter acceptis et m n sit equalis duplo superficiei unius in alteram, eritque ex 7 secundi n l equalis quadrato linee a c ideoque etiam equalis h f. Erit itaque differentia e f ad g h sicut k l ad m n, quare per antecedens premissum erit permutatim differentia e f ad k l (et ipsa sit p) sicut g h ad m n. Et quia utraque duarum superficierum e f et k l est rationalis, utraque vero duarum superficierum g h et m n medialis, sequitur impossibile videlicet superficiem p esse rationalem et irrationalem.

Nulla linea nisi una tantum residuo mediali primo coniungi potest, ut sint ambe sub termino earum que erant ante separationem.

Hec quoque probatur simili modo. Sint enim in utraque sectione ambo quadrata pariter accepta mediale, duplum vero superficiei unius in alteram rationale. Et quia ut prius eadem est differentia quadratorum unius sectionis ad quadrata alterius que est dupli superficiei unius ad duplum superficiei alterius, erit una et eadem superficies differentia duarum medialium et duarum rationalium. Quod est impossibile.

Nulla linea residuo mediali secundo coniungibilis est, ut sub earum termino fiant, nisi tantum que ab ea ante separata erat.

Sit enim a c residuum mediale secundum que fuit residua abscisa b c ex a b. Eruntque ex 70 due linee a b et b c mediales potentia tantum communicantes mediale continentes. Dico quod ipsa a c nulli alii linee quam c b sub hac diffinitione coniungi potest. Sin autem, coniungatur linee c d. Sitque linea e f rationalis in longitudine ad quam adiungatur superficies e h equalis quadratis duarum linearum a b et b c pariter acceptis et e k equalis quadratis linearum a d et d c pariter acceptis a qua abscindatur e g equalis quadrato linee a c eritque ex 7 secundi superficies l h equalis duplo superficiei a b in b c et l k per eandem sit equalis duplo superficiei a d in d c. Quia ergo quadrata ambarum partium prime sectionis sunt mediale et duplum etiam superficiei mediale incommensurabile duobus quadratis pariter acceptis (que nescire diligens geometra non poterit qui positiones diligenter servaverit), erit superficies e h medialis cum ipsa sit equalis duobus quadratis pariter acceptis et superficies l h medialis cum ipsa [f.100v] sit equalis duplo superficiei unius in alteram. Et per 20 igitur est utraque duarum linearum f h et h g rationalis in potentia tantum. Et quia una est incommensurabilis alii eo quod superficies e h est incommensurabilis superficiei h l sicut duo quadrata duplo superficiei, erit ex 68 linea f g residuum. Quare linea f g que est residuum componitur linee g h ut sint ambe sub termino earum que erant ante separationem. Similiter quoque probabis eandem f g componi cum linea g k eadem conditione mediantibus superficiebus e k et k l quarum prima est equalis quadratis duarum linearum a d et d c pariter acceptis et secunda duplo superficiei unius in alteram. Quod est impossibile per 74. Et hic modus demonstrationis potest esse communis 75 ceterisque 4 eam sequentibus.

Nulla linea minori coniungibilis est, ut sub suo termino fiant, nisi tantum que sibi ante abscisionem iungebatur.

Intellige quid sit linea minor, quod si oblitus es, consule 71 et sine obiectione concludes propositum, si quemadmodum in 74 processeris. Poterisque si libuerit quemadmodum in 76 procedere.

Linea que iuncta cum rationali facit totum mediale nisi uni tantum componi non potest, ut sub earum termino fiant.

Que sit linea que proponitur, ex 72 didicisti. Cum ergo de ea volueris quod per hanc 78 dicitur demonstrare, a processu 75 in quoquam non devies, sed et sicut in 76 si te delectaverit, ingenio duce procedere poteris.

Linee que iuncta cum mediali facit totum mediale nisi una tantum linea iungi nequit, ut sub earum termino fiant que erant ante separationem.

Huius linee que coniuncta cum mediali componit totum mediale, magistra est 73. De qua quod hec 79 enunciat sic concludere cogeris sicut de residuo mediali secundo, quod per 76 enunciatum est, conclusisti etcetera.

Positis duabus lineis altera rationali, altera vero residuo adiunctaque ipsi residuo aliqua linea secundum eius terminum, si fuerit totum inde compositum potentius [f.101r] linea adiuncta in quadrato linee ipsi toti communicantis in longitudine fueritque idem totum posite rationali linee in longitudine commensurabile, quod positum erat diceturque residuum primum.

Si vero linea adiuncta posite rationali communicet in longitudine, dicetur residuum secundum.

Quod si fuerit utraque rationali posite in longitudine incommensurabilis, vocabitur residuum tertium.

Item si fuerit tota linea potentior adiuncta augmento quadrati, linee ipsi toti incommensurabilis eademque tota linea posite rationali communicet in longitudine, nuncupabitur residuum quartum.

Si vero linea adiuncta posite rationali communicet in longitudine, nominabitur residuum quintum.

Quod si fuerit utraque posite rationali in longitudine incommensurabilis, appellabitur residuum sextum.

Residuum primum investigare.

Ab inventione omnium specierum residui facile nos absolvit inventio per ordinem omnium specierum binomii. Nam in qualibet specie binomiorum si minor portio abscindatur de maiori, linea reliqua erit residuum similis speciei ut patet ex diffinitionibus tam binomiorum quam residuorum. Propriis tamen inventionibus residuorum insistentes sic inquirimus primum. Sit linea a rationalis posita cui commensurabilis in longitudine sumatur b c sitque e numerus [f.101v] quadratus divisus in non quadratum f et in quadratum g. Sitque proportio quadrati linee b c ad quadratum linee c d sicut e ad f. Eritque ex ultima parte 7 c d rationalis in potentia tantum. Cum itaque sit b c potentior c d in quadrato linee communicantis sibi in longitudine quod patet sicut in explanatione binomii primi, constat ex diffinitione lineam d b esse residuum primum.

Residuum secundum patefacere.

Ad habendum residuum secundum sit a linea rationalis posita eique communicans in longitudine c d et sit quadratum c d ad quadratum b c sicut f ad e. Eritque d b residuum secundum ex diffinitione. Si dubitas, aut positas non servas ypotheses aut binomii secundi repetitione indiges.

Residuum tertium perscrutari.

Residuum tertium sic invenitur: Posita ut prius a rationali numeroque e quadrato diviso in f non quadratum et g quadratum assumptoque h numero primo sit quadratum linee a ad quadratum linee b c sicut h ad e. Sit quadratum linee b c ad quadratum linee c d sicut e ad f eritque a diffinitione (de quo si hesitas consule binomium tertium) linea d b residuum tertium.

Residuum quartum invenire.

Hic (sicut in inventione residui primi) sit linea b c communicans linee a rationali posite. Numerus autem e quadratus sit divisus in f et g quorum sit uterque non quadratus. Sitque quadratum linee b c ad quadratum linee c d sicut e ad f et scies ex diffinitione lineam d b esse residuum quartum. Si eorum, que in inventione binomii quarti didiceras, oblitus non fueris etcetera.

Residuum quintum demonstrare.

Cum residuum quintum invenire libuerit, erit linea c d communicans in longitudine linee a rationali posite sicut erat in inquisitione secundi. Et erit quadratus numerus e divisus in f et g quorum neuter quadratus sicut in premissa. Et erit quadratum linee c d ad quadratum b c sicut f ad e ex quibus a diffinitione concludere licet (habita sufficiente notitia binomii quinti) lineam d b esse residuum quintum.

Residuum sextum demum presto sit reperire.

Residuum sextum sic reperitur: Erit ut prius linea a rationalis posita et e numerus quadratus divisus in f et g non quadratos et erit h numerus primus. Et quadratum linee a ad quadratum linee b c sicut h ad e. At vero quadratum b c ad quadratum c d ut e ad f eritque ex diffinitione linea d b residuum sextum. Cui si non plane animus tuus assenserit, exerceri te convenit in inventione binomii sexti etcetera.

Si fuerit superficies linea rationali atque residuo primo contenta, latus eius [f.102r] tetragonicum necesse est esse residuum.

Sit superficies a c contenta linea rationali a b et residuo primo b c. Dico latus tetragonicum superficiei a c esse residuum. Adiungatur enim ad lineam b c linea c d sitque illa cuius detractione b c fuit residuum primum. Eritque ex diffinitione b d rationalis in longitudine et d c in potentia tantum, b d quoque erit potentior d c in quadrato linee secum communicantis in longitudine. Dividatur igitur d c per equalia in e et tota b d dividatur ea conditione in f quod inter b f et f d sit e d medio loco proportionalis. Eritque ex secunda parte 13 b f communicans in longitudine f d, per 9 igitur utraque earum communicat cum tota linea b d, quare per diffinitionem ambe sunt rationales in longitudine. Ducantur itaque linee f g, e h, c k equidistantes a b eritque per 15 utraque duarum superficierum a f et g d rationalis. Sit ergo quadratum l m equale superficiei a f eritque rationale et eius latus rationale in potentia. Intra illud quadratum protracta diagonali linea l m describatur quadratum l n equale superficiei g d eritque etiam ipsum rationale et eius latus rationale in potentia. Protrahantur autem due linee t n p, q n r equidistanter lateribus totalis quadrati. Dico ergo quod quadratum p r est equale superficiei a c et eius latus, quod est n p, est residuum. Cum enim linea d e sit ex ypothesi medio loco proportionalis inter b f et f d, erit ex prima sexti superficies d h medio loco proportionalis inter duas superficies a f et g d, ideoque et inter duo quadrata l m et n l. Cumque ex prima sexti sit etiam superficies l p medio loco proportionalis inter eadem duo quadrata, erit l p equalis d h et etiam h c. Et quia quadratum l n est equale g d, erit t r equale e g. Totus itaque gnomo circumscriptus quadrato n m est equalis g c. Quia ergo l m erat equale a f, relinquitur m n equale a c. Quod autem p n latus quadrati m n sit residuum, sic collige: Est enim utraque duarum linearum p t et t n rationalis in potentia eo quod utrumque quadratum l m et n l est rationale, et una autem earum est incommensurabilis alii per primam sexti et 10 huius eo quod quadratum l m est incommensurabile superficiei l r sicut superficies a f superficiei h d. De quibus manifestum est quod ipse sint incommensurabiles. Est enim per primam sexti una earum ad alteram sicut linea b f, que est rationalis in longitudine, ad lineam d e, que est rationalis in potentia tantum. Ex 68 igitur linea p n que potest in superficiem a c est residuum. Et hoc est quod intendimus.

Si superficies aliqua linea rationali residuoque secundo contineatur, linea super eam potens erit residuum mediale primum.

In hac quoque argue sicut in premissa ex diffinitione residui secundi et secunda parte 13 et 9 et 19 et 15 et 69. Quod est propositum etcetera.

Si linea rationali residuoque tertio superficies contineatur, erit linea super eam [f.102v] potens residuum mediale secundum.

Priori demonstrationi insiste et facile concludes propositum ex diffinitione residui tertii et secunda parte 13 et 9 et 19 et 70.

Si fuerit superficies linea rationali residuoque quarto contenta, linea super eam potens erit linea minor etcetera.

In hac quoque non aliter procedas quam prius. Facile enim erit tibi propositum concludere, si premissam non despicis. Ex diffinitione residui quarti et secunda parte 14 et 9 et 15 et 71, quod propositum est, conclude.

Si fuerit superficies linea rationali residuoque quinto contenta, latus eius tetragonicum erit cum rationali componens mediale.

Nitere premissa argumentatione, ex diffinitione residui quinti et secunda parte 14 et 9 et 15 et 72, quod propositum est, concludere.

Si linea rationali residuoque sexto superficies contineatur, latus tetragonicum, quod super eam potest, cum mediali constituens totum mediale esse probatur.

Nunc quoque ultimo quod per hanc dicitur premisso modo satage concludere ex diffinitione residui sexti et secunda parte 14 et 9 et 19 et 73. In hiis autem omnibus processum tuum nihil offendere poterit si primam earum et perfecte didiceris et memoriter tenueris et quicquid queque supponat, sollerter attenderis. Quod si forsan de aliquo in quadrato l m te dubitare contigerit, ad suum equale in superficie a d tibi recurrendum erit.

Si ad lineam rationalem superficies equalis quadrato residui applicetur, alterum latus residuum primum esse necesse est.

Hee sex sequentes sunt converse sex precedentium per ordinem. Huius autem prime hec est intentio quod si sit superficies a c adiuncta ad lineam rationalem a b, equalis quadrato residui quod sit d e, erit eius latus secundum, quod est b c, necessario residuum primum. Adiciatur enim linee d e que proponitur esse residuum linea per cuius abscisionem [f.103r] ipsa d e fuerit residuum. Sitque ei adiuncta e f eritque ex 68 utraque duarum linearum d f et f e rationalis in potentia et una earum incommensurabilis alii. Describam ergo quadratum linee f e, quod sit e g, et quadratum d e que posita est esse residuum, quod sit e h, et adiciantur supplementa d k et f l eritque quadratum g h tamquam quadratum linee d f et quadratum e h erit sicut superficies a c. Erit etiam utrumque quadratorum g h et e g rationale. Sit igitur superficies a m adiuncta ad lineam a b equalis quadrato g h eritque ob hoc rationalis, quare per 16 linea m n est rationalis in longitudine. Superficies vero p n sit equalis quadrato e g que etiam propter hoc erit rationalis et per 16 linea m n rationalis in longitudine. Itaque tota linea b n est rationalis per 9. Dividatur autem c n per equalia in q et ducatur q r equidistans a b eritque ex prima sexti c r equalis r n. Manifestum vero est quod cum tota superficies a n sit equalis duobus quadratis g h et e g pariter acceptis que sunt quadrata duarum linearum d f et f e, et superficies a c est equalis quadrato linee d e, quod est e h, erit per 7 secundi superficies residua ex a n, que est c s, equalis duplo superficiei ex d f in f e, quare etiam horum dimidia, que sunt r n et d g, necesse est esse equalia. Cum igitur ex prima sexti sit superficies d g medio loco proportionalis inter duo quadrata g h et e g, erit etiam superficies r n medio loco proportionalis inter duas superficies a m et p n. Ideoque per primam sexti erit etiam linea q n medio loco proportionalis inter lineas b m et m n. Cumque sit linea q n dimidium linee c n et linea b n divisa ad punctum m in duo communicantia inter que cadit q n medio loco proportionalis, sequitur ex prima parte 13 quod linea b n sit potentior linea n c in quadrato linee secum communicantis in longitudine. Quia vero superficies d g est medialis ex 19, ex ypothesi erit etiam superficies c r sibi equalis medialis et linea c q rationalis in potentia tantum per 20. Ideoque etiam duplum eius, quod est linea c n, est rationalis tantum in potentia. Quia ergo b n est rationalis in longitudine communicans linee a b rationali posite et potentior n c in quadrato linee sibi communicantis in longitudine, sequitur ex diffinitione lineam b c esse residuum primum. Quod est propositum.

Cum adiuncta fuerit superficies equalis quadrato residui medialis primi ad lineam rationalem, alterum latus eius erit residuum secundum.

Hic erit linea d e residuum mediale primum et linea e f erit illa per cuius abscisionem d e fuerat residuum mediale primum. Dico quod b c erit residuum secundum. Quod nescire non poteris si demonstrationem premisse (quousque eam solido amplecteris habitu) institeris et quales lineas oporteat esse d f et f e, vigilanter attenderis. De quo si dubitas, 69 requirenda erit.

94 Si superficies equalis quadrato residui medialis secundi applicata fuerit ad lineam rationalem, alterum latus eius residuum tertium esse conveniet etcetera. [f.103v]

Hic etiam erit d e residuum mediale secundum et sequetur ut sit b c residuum tertium. Quod ut facile concludas, premisse demonstrationem insiste et quales lineas conveniat esse d f et f e, ex 70 collige.

Cum adiuncta fuerit linee rationali superficies equalis quadrato linee minoris, latus eius secundum erit residuum quartum.

Si fuerit d e linea minor, asserit hec 95 quod b c erit residuum quartum. Est autem sumendum ex 71 quales lineas esse necesse sit d f et f e cum d e fuerit linea minor. Et est astruendum propositum premisso modo excepto quod in hac et duabus sequentibus necesse est lineam b n dividi ad punctum m in duo incommensurabilia que in tribus premissis dividebatur necessario in duo commensurabilia. Nam in tribus premissis fuerant due linee d f et f e communicantes in potentia tantum et ideo earum quadrata communicantia propter quod et superficies a m et p n quadratis earum equales communicantes. Quapropter etiam due linee b m et m n ideoque fuit in tribus premissis linea b n potentior linea n c in quadrato linee secum communicantis in longitudine ex prima parte 13. In hac autem et duabus sequentibus sunt due linee d f et f e incommensurabiles in potentia ut apparet ex 71 et 72 et 73 et ideo earum quadrata propter quod et superficies a m et p n incommensurabiles quapropter etiam due linee b m et m n incommensurabiles. Ideoque per primam partem 14 tam in hac quam in duabus sequentibus necesse est lineam b n esse potentiorem linea n c in quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine. Cetera perquire ut prius.

Si ad lineam rationalem quadrato linee cum rationali componentis mediale equa superficies adiungatur, latus eius secundum erit residuum quintum.

Pone hic similiter lineam d e esse illam que iuncta cum rationali componit totum mediale et attende ex 72 quales lineas oporteat esse d f et f e et concludes sine offendiculo, si prius habite demonstrationi oportune institeris, lineam b c esse residuum quintum.

97 Si ad lineam rationalem superficies equalis quadrato linee cum mediali componentis mediale adiungatur, latus eius alterum erit residuum sextum. [f.104r]

Nunc ultimo convenit lineam d e esse illam que iuncta cum mediali componit totum mediale cui adiuncta linea e f (que videlicet sit illa per cuius abscisionem linea d e fuerit que proponitur) si quales lineas d f et f e esse oporteat ex 73 didicerisque primam argumentationem, firma mente tenueris sine obice quoquam lineam b c esse residuum sextum concludere poteris. Si autem fortassis in aliquo te hesitare contigerit, quicquid illud fuerit de quadrato g h, ad sibi equale in superficie a n conferendum erit. Et sic patebit propositum nostrum.

Omnis linea residuo commensurabilis ipsa quoque in termino et ordine est idem residuum.

Quod 60 et 4 eam sequentes de binomio eiusque 5 comitibus proposuerunt, idem hec 98 et 4 eam sequentes de residuo suisque 5 comitibus verum esse proponunt quibus qui usque ad solitum habitum institerit, has ignorare non poterit. Quicquid autem in illis de communicantia in longitudine et potentia tantum dictum est, in hiis quoque idem oportet intelligi. Nam omnis linea residuo communicans in longitudine sive in potentia tantum ipsa etiam est residuum. Sed si communicat in longitudine, non solum est et ipsa residuum, sed etiam eiusdem speciei residuum. Verbi gratia: Linea communicans in longitudine residuo primo est residuum primum, et secundo communicans est secundum, sic quoque in ceteris. Que autem linea communicat residuo in potentia tantum, ipsam quoque necesse est esse residuum, sed non eiusdem speciei, immo impossibile est ut linea communicans in potentia tantum residuo primo aut secundo aut quarto aut quinto cadat simul cum eo sub eadem specie. Sed necesse est ut ambo cadant simul sub tribus primis speciebus aut ambo simul sub tribus postremis. Sit itaque exempli gratia a residuum cui communicet b in longitudine. Dico quod b erit residuum eiusdem speciei cum a. Adiungatur enim linea c ad lineam a et sit illa per cuius abscisionem a fuit residuum. Et ad b adiungatur alia que sit d ad quam sic se habeat b sicut a ad c. Sitque composita ex a et c, e, composita vero ex b et d sit f. Eritque ex permutata proportionalitate a ad b sicut c ad d et per 13 quinti erit e ad f sicut a ad b vel sicut c ad d. Cum itaque a communicet cum b, erit per 10 c communicans cum d et e quoque communicans cum f. Et quia etiam est necessario ex permutata proportionalitate e ad c sicut f ad d, sequitur per 12 ut si fuerit e potentior c in quadrato sibi communicantis in longitudine vel si forte incommensurabilis, sit similiter f potentior d. At quoniam omnis linea communicans in longitudine linee rationali est similiter illi rationalis (similiter dico quia ambe erunt rationales in longitudine vel ambe in potentia tantum), sequitur ex diffinitionibus residuorum ut b sit residuum eiusdem speciei cum a. Si autem b communicat in potentia tantum cum a, ipsa quoque erit residuum, non tamen eiusdem speciei necessario, sed quemadmodum dictum est cuius demonstratio ex hiis que in 60 de binomiis dicta sunt colligenda est.

99 Omnis linea utrilibet residuo mediali communicans, est sub ipsius termino et ordine residuum mediale. [f.104v]

Verum est quod dicitur sive communicet linea cum utroque residuo mediali in longitudine sive in potentia. Sit enim a utrumlibet residuum mediale cui b communicet in potentia vel in longitudine. Dico quod b est etiam residuum mediale quale fuerit a. Adiungatur enim ad lineam a linea c et sit c per cuius abscisionem a fuerat residuum mediale. Et ad b adiungatur alia que sit d sitque b ad d sicut a ad c. Totaque composita ex a et c sit e et ex b et d, f. Describantur itaque quadrata c et d que sint g et h et superficies e in c sit k et f in d sit l. Et quia est ut prius e ad f et c ad d sicut a ad b, sunt autem e et c mediales potentia tantum communicantes ex 69 et 70, sequitur ex 21 ut f et d eis communicantes sint etiam mediales potentia tantum communicantes. Constat autem ex prima sexti quod sit k ad g sicut e ad c et l ad h sicut f ad d. Et quia est e ad c sicut f ad d, sequitur ut sit k ad g sicut l ad h. Et permutatim k ad l sicut g ad h. Cum ergo g communicet cum h, sequitur ut k communicet cum l. Si igitur k est rationalis (quod est in residuo mediali primo), erit per diffinitionem l etiam rationalis, quare per 69 b etiam est residuum mediale primum. Si autem k sit medialis (quod est in residuo mediali secundo), erit per 21 etiam l medialis ideoque b per 70 residuum mediale secundum. Quare constat propositum.

Idem aliter. Si linea b communicat cum linea a (que est utrumlibet residuum mediale) in longitudine vel in potentia, sit superficies c e adiuncta ad lineam rationalem c d equalis quadrato a et f g equalis quadrato b. Eruntque ob hoc c e et f g communicantes quemadmodum et quadrata linearum a et b eis equalia. Ideoque per primam sexti et 10 huius d e et e g sunt communicantes in longitudine. Et quia si a est residuum mediale primum, linea d e est residuum secundum per 93. Et si a est residuum mediale secundum, linea d e est residuum tertium per 94. At cum d e est residuum secundum, linea e g etiam est residuum secundum et cum illa est tertium, similiter et hec est tertium per 98. Sequitur itaque ex 87 et 88 ut b sit residuum mediale primum aut secundum prout fuerit a.

Si linea aliqua linee minori communicet, ipsa quoque erit linea minor.

Facile est hanc probare duplici modo sicut premissam sive communicet linea aliqua cum linea minori in longitudine sive in potentia hoc autem apposito quantum ad primum modum quod cum sit f ad d sicut e ad c, erit ex secunda parte 18 sexti quadratum f ad quadratum d sicut quadratum e ad quadratum c. Et coniunctim quadrata duarum linearum f et d ad quadratum d sicut quadrata duarum linearum e et c ad quadratum c et permutatim quadrata duarum linearum f et d ad quadrata duarum linearum e et c sicut quadratum d ad quadratum c. Communicat autem quadratum d cum quadrato c, ergo duo quadrata duarum linearum f et d pariter accepta communicant cum duobus duarum linearum e et c pariter acceptis. Et quia ex 71 quadrata duarum linearum e et c pariter accepta sunt rationale, erunt etiam per diffinitionem et duo duarum linearum f et d pariter accepta rationale. Cumque sit superficies k medialis, erit etiam l sibi communicans medialis, igitur ex 71 b est linea minor.

Quantum autem ad secundum modum erit per 95 linea d e residuum quartum, ideoque per 98 et linea e g erit etiam residuum quartum, itaque etiam per 89 linea b est linea minor. [f.105r]

Omnis linea communicans linee cum rationali componenti mediale est cum rationali componens mediale.

Hanc quoque duplici premisso modo non est difficile probare sive de communicantia in longitudine sive de communicantia in potentia tantum intelligatur. Sed quantum ad primum modum erunt duo quadrata duarum linearum f et d pariter accepta mediale per 21 quemadmodum sunt duo quadrata duarum linearum e et c pariter accepta ex 72 quibus ipsa communicant. Et superficies l erit rationalis per diffinitionem quemadmodum est superficies k ex 72 cui ipsa communicat. Igitur ex 72 b est cum rationali componens mediale.

Quantum ad secundum modum: Erit d e residuum quintum ex 96 ideoque et e g ex 98 quare b est cum rationali componens mediale per 90.

Omnis linea commensurabilis linee cum mediali constituenti mediale est cum mediali constituens mediale.

Hic quoque pone aliquam lineam communicare cum ea que cum mediali componit mediale indifferenter in longitudine vel potentia tantum prout volueris, et duplici modo premisso sine difficultate concludes eam quoque cum mediali componere mediale. Erit enim quantum ad primum modum superficies l medialis quemadmodum et k et duo quoque quadrata duarum linearum f et d pariter accepta mediale sicut et duo quadrata duarum e et c. Et quia duo duarum linearum e et c ad k sicut duo duarum f et d ad l, cum duo prima non communicent cum duplo k ex 73 neque duo secunda communicabunt cum duplo l ex 10, igitur ex 73 b est cum mediali componens mediale.

Quantum autem ad secundum modum erit d e residuum sextum ex 97 ideoque et e g ex 98, quare b est cum mediali componens mediale ex 91.

Si de superficie rationali superficies medialis abscindatur, linea in reliquam superficiem potens alterutra erit duarum irrationalium aut residuum aut linea minor.

Sit enim tota superficies constans ex a et b rationalis a qua detrahatur b que sit medialis. Dico quod linea potens in a residuam aut est residuum aut linea minor. Esto namque linea c d rationalis superficiesque c e sibi adiuncta sit tamquam a et f g tamquam b et tota c g sicut tota a b eritque c g rationalis. Ideoque per 16 linea d g rationalis in longitudine et f g erit medialis, ideoque per 20 e g rationalis in potentia tantum. Est igitur ex diffinitione linea d e residuum primum aut quartum. Ergo per 86 et 89 linea potens in superficiem c e [f.105v] et ideo in superficiem a sibi equalem est residuum aut linea minor. Quod est propositum etcetera.

Si de superficie mediali superficies rationalis detrahatur, linea in reliquam superficiem potens erit alterutra duarum linearum irrationalium, aut residuum mediale primum aut cum rationali componens mediale.

Hec quoque sicut premissa probatur. Erit enim tota a b medialis et b rationalis et tunc dico quod in a residuam potens aut est residuum mediale primum aut cum rationali componens mediale. Cum enim sit c g equalis a b, erit per 20 linea d g rationalis in potentia tantum. Et cum sit f g equalis b, erit per 16 linea e g rationalis in longitudine, ergo a diffinitione erit linea d e residuum secundum aut quintum. Quare per 87 et 90 latus tetragonicum superficiei c e et ideo superficiei a est residuum mediale primum aut cum rationali componens mediale.

Si superficies medialis superficiei mediali detrahatur fueritque reliqua toti incommensurabilis, que in ipsam reliquam potest alterutra erit duarum irrationalium videlicet aut residuum mediale secundum aut cum mediali componens mediale.

Si a duarum premissarum demonstratione non devias, concludes sine difficultate propositum. Sint enim tota a b et b mediales et sit a reliqua incommensurabilis toti (aliter enim esset a medialis ex 21 et eius latus tetragonicum mediale ex 19), tunc dico quod linea potens in a est residuum mediale secundum aut cum mediali componens mediale. Nam cum sit c g equalis a b, erit per 20 linea d g rationalis in potentia tantum, per eandem quoque cum sit f g equalis b, erit etiam e g rationalis in potentia tantum. Et cum sit a incommensurabilis toti a b, erit f g incommensurabilis c g ideoque per primam sexti et 10 huius erit etiam e g incommensurabilis d g, igitur a diffinitione linea d e erit residuum tertium aut sextum. Quare per 88 et 91 latus tetragonicum superficiei c e et ideo superficiei a est residuum mediale secundum aut cum mediali componens mediale.

Linearum irrationalium, que sunt residuum et post ipsam subsecute, ullam aliis termino et ordine subesse impossibile est. Residuo quoque binomii terminum vel ordinem convenire non est possibile.

Vult per hanc 106 quod residuum et alie quinque linee irrationales eam sequentes differunt specie et diffinitione ab invicem et nulla linea una potest esse sub duabus neque sub pluribus speciebus harum sex linearum irrationalium que sunt residuum et eius quinque comites. Et quod omnes species residui differunt ab omnibus speciebus binomii nec est possibile lineam unam simul esse residuum et binomium cuiuscumque speciei residui et binomii. Prima pars sic constat: Quoniam superficies equales quadratis residui et suarum quinque comitum cum adiungantur ad lineam rationalem habent secunda latera necessario diversa ab invicem ex 92 et quinque eam sequentibus. Sunt enim secunda latera residuum primum et secundum et deinceps usque ad sextum.

Secunda pars constat hoc modo: Si eadem linea potest esse simul residuum et binomium, sit a cuius quadratum adiungatur ad lineam rationalem b c sitque b d. Eritque ex 54 linea c d binomium primum et ex 92 residuum primum. In quantum ergo binomium primum dividatur in suas binomiales portiones ad punctum e sitque maior portio c e que erat rationalis in longitudine per diffinitionem. In quantum autem est residuum primum, adiungatur ei d g per cuius abscisionem fuerat residuum primum. Eritque etiam ex diffinitione c g rationalis in longitudine. Cum itaque sit utraque duarum linearum c g et c e rationalis in longitudine, erit etiam per 9 linea e g rationalis in longitudine. At quia linea d e est rationalis in potentia tantum cum ipsa sit per ypothesim minor portio binomii primi, erit per 68 linea d g residuum. Et quia ipsa erat rationalis in potentia tantum cum per eius abscisionem esset linea c d residuum, sequitur impossibile per 68. Quod ut clarius pateat, esto superficies b d adiuncta ad lineam rationalem b c equalis quadrato linee d g. Cum itaque linea d g sit rationalis in potentia, erit per 16 linea c d rationalis in longitudine. At cum etiam linea d g sit residuum, erit ex 92 linea c d residuum primum quod esse non potest cum linea que residuum dicitur sit irrationalis per 68 etcetera.

Linea, que residuum dicitur, ullave irrationalium, que post eam sunt, nequit esse sub termino binomii aut sub termino et ordine ullius ceterarum linearum irrationalium, que binomium subsequuntur. Cum autem possibile sit linearum irrationalium seriem in infinitum produci, non est possibile [f.106v] ullam earum cum ea, que precesserit, in termino et ordine convenire.

Vult per hanc ultimam libri decimi quod 13 irrationales linee de quibus in hoc decimo demonstratum est (et ipse sunt linea medialis, binomium et eius 5 comites residuumque et eius quinque comites) sunt ad invicem singule a singulis specie differentes. Et quod nulla linea una potest esse simul sub duabus aut pluribus speciebus earum. Et quod species linearum irrationalium possunt in infinitum produci quarum nulla cum alia convenit in diffinitione et ordine. Quod autem hee 13 linee videlicet medialis, binomium et eius quinque comites, residuum et eius quinque comites sunt irrationales, demonstratum superius esse memento: de mediali quidem ex 19, de binomio autem et eius quinque comitibus ex 30 et quinque eam sequentibus. At vero de residuo suisque quinque comitibus ex 68 et quinque eam sequentibus. Nullam autem harum 13 linearum irrationalium posse convenire in specie cum aliqua aliarum linearum sic collige: Esto enim ut ad unam eandemque lineam rationalem in longitudine adiungantur superficies equales quadratis predictarum linearum 13 irrationalium secundum quod ordine se invicem sequuntur, eritque ex 20 secundum latus prime istarum 13 superficierum rationale in potentia tantum. Secunda autem latera secunde istarum 13 superficierum et quinque eam sequentium erunt omnes species binomiorum per ordinem videlicet binomium primum, binomium secundum et deinceps usque ad sextum quod ex 54 et quinque eam sequentibus demonstratum esse memineris. Secunda vero latera octave superficiei et quinque eam sequentium sunt species residuorum in ordine videlicet residuum primum, residuum secundum et deinceps usque ad sextum quod ex 92 et quinque eam sequentibus didicisti. Cum igitur linea rationalis in potentia tantum non conveniat cum aliqua specie binomiorum aut cum aliqua residuorum quoniam omne binomium per 30 et omne residuum per 68 est linea irrationalis et in longitudine et in potentia. Et cum nulla species residuorum conveniat cum aliqua specie binomiorum ex secunda parte penultime huius decimi, sequitur ut omnia secunda latera harum 13 superficierum sunt ad invicem diversa. Ideoque per primam sexti et ipse 13 superficies sunt diverse cum earum omnium altitudo sit una, quare etiam hee 13 linee irrationales proposite sunt singule a singulis diverse.

Possunt etiam harum 13 linearum irrationalium species in infinitum produci. Infinite enim sunt species linearum medialium, infinite quoque binomiorum et sic de singulis. Quod hoc modo constat: Esto linea a medialis sumaturque unitas et quotlibet numeri primi ut 3, 5 et 7 et sint totidem linee b, c, d quot sunt numeri sumpti primi. Sintque quadrata istarum linearum b, c, d ad quadratum a sicut hii numeri primi ad unitatem eruntque linee b, c, d mediales ex 21 quoniam ipse communicant in potentia cum linea a mediali. Omnes autem erunt diverse ab a et a se invicem per ultimam partem 7 quoniam nullius istorum numerorum ad unitatem nec alicuius eorum ad alterum per 16 et 8 et corollarium secunde octavi et presentis ypothesis est proportio sicut numeri quadrati ad numerum quadratum. Erit ergo a et omnes sibi communicantes in longitudine sub prima specie linearum medialium, b vero et omnes sibi communicantes in longitudine sub secunda, c autem et omnes eidem commensurabiles sub tertia, d quoque et omnes sibi communicantes in longitudine sub quarta. Et quia numeri primi sunt infiniti sicut ex 21 noni didicisti, necesse est species linearum medialium esse infinitas. Quod autem dictum est de linea mediali intellige de binomio suisque quinque comitibus et de residuo suisque quinque comitibus. Nam sicut omnis linea communicans mediali est medialis sive communicet ei in longitudine sive in potentia ut probatum est [f.107r] in 21, ita etiam omnis linea communicans binomio aut alicui suarum quinque comitum vel etiam residuo aut alicui suarum quinque comitum in longitudine vel in potentia est secum sub eadem specie ut probatum est in 60 et 4 eam sequentibus et 98 et 4 eam sequentibus. Sunt igitur species harum 13 linearum irrationalium infinite quarum nulla convenit cum precedenti in ordine vel diffinitione.

Convenit quoque aliter demonstrare species linearum irrationalium esse infinitas. Nam omne latus tetragonicum superficiei dicte a numero non quadrato est irrationale per ultimam partem 7 et per diffinitionem. Cumque tales numeri sint infiniti, erunt etiam species harum linearum irrationalium infinite.

Tertio modo contingit secundam partem huius ultime conclusionis libri decimi sic exponi: Ut dicamus ab unaquaque linea rationali in potentia tantum infinitas linearum irrationalium species produci quarum nullam cum aliqua earum que ipsam precesserint possibile est in diffinitione et ordine convenire. Verbi gratia: Sumatur aliqua superficies rationalis dicta a numero non quadrato ut 5 eritque latus eius tetragonicum irrationale in longitudine quoniam ipsum est incommensurabile lateri tetragonico superficiei rationalis dicte a numero quadrato ex ultima parte 7. Dico ergo quod huius lateris latus itemque secundi lateris latus et rursus huius tertii lateris latus et sic in infinitum, sunt linee irrationales tam in longitudine quam in potentia. Et quod nulla earum convenit diffinitione vel specie cum aliqua que ipsam in ordine precesserit. Estque latus tetragonicum premisse superficiei quecumque dicta fuerit a numero non quadrato earum omnium sicut radix et principium et quelibet ipsarum est principium omnium ipsam sequentium et quecumque ab aliquo tetragonico latere cuiusque talis superficiei proficiscantur, diverse sunt in longitudine et potentia ab omnibus que a quoquam alio tetragonico latere talis superficiei generantur. Et hoc dico cum ipsarum superficierum non fuerit proportio sicut numerorum quadratorum.

Hec autem ut possumus firma demonstratione colligere antecedens ad ipsam premittere oportet. Sitque istud quod dicam etcetera.

Quibuslibet duobus invicem ductis si quidlibet producatur quota latera tetragonica duorum precedentium invicem duces totum tetragonicum latus ipsius producti produces.

Verbi gratia: Sit ut ex a in b fit k, at c et d sint latera tetragonica a et b, fiat autem e ex c in d. Sint iterum f et g latera tetragonica c et d et fiat h ex f in g. Dico quod h est latus tetragonicum e et quod rursus e est latus tetragonicum k. Cum enim ex f in se et in g fiant c et h, erit c ad h sicut f ad g, sed et h ad d sicut f ad g eo quod ex g in f et in se fiunt h et d. Sunt igitur c, h, d continue proportionales. Itaque ex h in se quantum ex c in d, quare h est latus tetragonicum e. Eadem quoque ratione cum ex c in se fit a, et in d fit e et ex d in se fit b, erunt etiam a, e, b continue proportionales in proportione c ad d. Cum igitur ex a in b fit k, sequitur ut etiam ex e in se fit k, quare e est tetragonicum latus k. Constat ergo quod dicitur. Restat itaque demonstrare quod propositum est etcetera. [f.107v]

Sit igitur superficies a rationalis dicta a numero non quadrato ut 5 sitque linea a eius tetragonicum latus et sumantur quotlibet linee rationales in longitudine que sint b, c, d, e. Sintque dicte a numeris quorum quisque precedens sit tetragonicum latus proximo sequentis ut si b sit 2, c 4, d 16, e vero 256. Ad has autem lineas rationales in longitudine adiungatur superficies equalis a eruntque secunda latera singularum rationalia in longitudine per 16 ut secundum latus b 2 et dimidium, secundum c unum et quarta, secundum vero d una quarta et una 16. At vero superficiei e secundum latus erit una 64 et una 256. Sit ergo f tetragonicum latus b, g vero sit tetragonicum latus secundi lateris superficiei b. Eritque per premissum antecedens ut ex f in g fit a. Rursus sit h tetragonicum latus secundi lateris c, k quoque sit tetragonicum latus h. Eritque per predictum antecedens ut ex b in h fit a et ex f in k fit tetragonicum latus a, quod sit l. Sit iterum m tetragonicum latus secundi lateris superficiei d, sed et n sit tetragonicum latus m et p tetragonicum n eritque per dictum antecedens ut ex c in m fiat a et ex b in n, l et ex f in p tetragonicum latus l quod sit q. Amplius autem sit r tetragonicum latus secundi lateris superficiei e, sit quoque s tetragonicum r et t, s, sed et u tetragonicum t, sequeturque per predictum antecedens ut ex d in r fiat a et ex c in s, l, at ex b in t fit q et etiam ex f in u tetragonicum latus q quod sit x et sic in infinitum. Dico ergo has lineas a, l, q, x, quarum a est tamquam radicale principium, esse irrationales a quidem in longitudine tantum, cetere vero in longitudine et in potentia et dico quod nulla earum convenit cum alia in diffinitione vel ordine. Cum enim ex f in g et k fiant a et l, erit a ad l sicut g ad k. Et quia ut patet ex dictis ypothesibus g et k sunt incommensurabiles et in longitudine et in potentia, sequitur ut etiam a et l sint incommensurabiles et in longitudine et in potentia. Eadem ratione a et q, est enim a ad q sicut g ad p. Et propter eandem causam etiam a et x cum sint sicut g et u. Hac via quoque necesse est ut l et q sint simpliciter incommensurabiles tam in longitudine quam in potentia. Cum enim ex f in k et p fiant l et q, erit l ad q ut k ad p. At k et p nec commensurabiles sunt in longitudine nec in potentia. Si enim sint, erunt h et n commensurabiles, sed non sunt. At vero l et x oportet esse utroque modo incommensurabiles. Est enim l ad x sicut k ad u eo quod ex f in k et u fiunt l et x. Sunt autem k et u utroque modo incommensurabiles. Sin autem, [f.108r] accidet h et t esse commensurabiles. Quod est inconveniens. q vero et x quod sint quoque incommensurabiles in potentia et longitudine ex eo patet quod est q ad x sicut p ad u. Constat autem quod p et u sunt incommensurabiles. Nam si non, erunt n et t commensurabiles ideoque m et s, sed non sunt. Manifestum est itaque infinitas lineas irrationales in longitudine et potentia incommensurabiles et ideo diffinitione et specie differentes produci ex linea a rationali in potentia tantum.

Restat autem nunc ostendere quod quecumque irrationales linee ab aliqua linea rationali in potentia tantum hac via generantur, diverse sunt ab omnibus tam in longitudine quam in potentia que a qualibet alia linea rationali in potentia tantum quadrati cuius ad quadratum prioris non sit sicut numeri quadrati ad numerum quadratum. Hac eadem via egrediuntur. Hoc quoque sic constat:

Sint a et b rationales in potentia tantum sive tetragonica latera duarum superficierum dictarum a numeris non quadratis. Sitque ut illi numeri non sint in proportione aliquorum numerorum quadratorum. Linee quoque que procedunt hac via ab a sint c, d, e et a b procedant f, g, h. Dico quod nulla ex lineis c, d, e communicat in longitudine vel potentia cum aliqua ex lineis f, g, h. Cum enim sint c et f tetragonica latera a et b, at d et g tetragonica latera c et f, et e et h tetragonica d et g, non est possibile ut aliqua ex c, d, e communicet cum sua compari ex f, g, h in longitudine vel potentia. Si enim alterutro modo communicet e cum h, sequitur ut d communicet cum g et c cum f, quare et a cum b etiam in longitudine. Quod est contra ypothesim. Universaliter autem verum est dicere quamlibet harum esse utroque modo incommensurabilem cuilibet illarum. Dato namque quod d communicet cum h etiam in potentia tantum, sequitur ut c quoque communicet cum g et a cum f. Quod non est possibile. Attendere autem oportet quod cum dico latus lateris, nihil aliud intelligo quam latus superficiei denominate a latere priori. Unde tetragonicum latus linee a voco lineam illam que potest in superficiem dictam a linea a. Talis autem superficies est quam continent linea a et linea rationalis in longitudine dicta ab uno. Si ergo libet invenire tetragonicum latus cuiuslibet linee, sit a linea cuius tetragonicum latus volo invenire, b vero sit linea rationalis in longitudine dicta ab unitate et ipsa est minima omnium linearum rationalium numeratarum ab integris, medio loco proportionalis inter eas sit c. Est igitur per 16 sexti c tetragonicum latus a. Idem enim fit ex a in b quod ex c in se. At vero ex a in b fit superficies dicta ab a. Quicquid enim a quolibet in unum producto producitur, ab eo quod unum multiplicat denominatur. Et nota quod cum c fuerit latus tetragonicum linee a, indifferenter contingit lineam c esse maiorem linea a et minorem prout b fuerit maior a aut minor quod est etcetera.