Par numerus est, qui potest in duo equalia dividi.

Impar numerus est, qui in duo equalia dividi non potest additque supra parem unitatem.

Pariter par est, quem cuncti pares eum numerantes paribus vicibus numerant.

Pariter impar est, quem cuncti pares eum numerantes imparibus vicibus numerant.

Pariter par et impariter est, quem pares eum [f.69r] numerantes quidam paribus, quidam imparibus vicibus numerant.

Impariter impar est, quem cuncti impares eum numerantes imparibus vicibus numerant.

Perfectus numerus appellatur, qui omnibus partibus suis quibus numeratur est equalis.

Habundans dicitur qui omnibus suis partibus minor est.

Diminutus vero qui maior etcetera.

Si fuerint duo numeri superficiales similes, qui ex ductu alterius in alterum producetur numerum quadratum esse necesse est.

Sint a et b superficiales similes ex quorum multiplicatione proveniat c. Dico c esse quadratum. Fiat enim d ex a in se eritque per 18 septimi d ad c sicut a ad b. Et quia inter a et b cadit unus medius secundum continuam proportionalitatem per 16 octavi, sequitur per 8 eiusdem ut unus quoque cadat inter d et c. Itaque cum d sit quadratus, erit per 20 eiusdem c quoque quadratus. Quod est propositum etcetera.

Si ex ductu alterius in alterum tetragonus producatur, duo quilibet numeri sunt superficiales similes.

Ex hiis itaque patens est, quia quod si tetragonus in tetragonum ducatur, qui ex hiis producetur tetragonum esse. Si vero ex ductu tetragoni in numerum aliquem tetragonus producatur, illum numerum aliquem esse tetragonum. Itemque si ex ductu tetragoni in numerum aliquem tetragonus non producatur, eum numerum aliquem non tetragonum esse. Si vero tetragonus in numerum aliquem non tetragonum ducatur, qui inde producetur non tetragonum esse necesse est.

Hec est conversa prioris. Ut si ex a in b fiat c fueritque c quadratus, erunt a et b superficiales similes. Sit enim d ex a in se eritque per 18 septimi d ad c sicut a ad b. Per 16 autem octavi cum d et c sint superficiales similes eo quod sunt ambo quadrati, erit inter eos unus numerus medius secundum continuam proportionem, per 8 itaque eiusdem erit etiam unus inter a et b. Igitur per 17 eiusdem a et b sunt superficiales similes. [f.69v] Quod est propositum.

Prima pars corollarii patet per premissam. Sunt enim omnes tetragoni superficiales similes. Secunda patet ex hac cum sit solus tetragonus similis tetragono. Tertia pars patet ex prima ipsius corollarii parte a destructione consequentis. Quarta vero patet ex eiusdem parte secunda a destructione etiam consequentis.

Si numerus cubus in se ipsum ducatur, qui inde producetur erit cubus.

Sit a cubus ex quo in se ducto fiat b. Dico b esse cubum. Sit enim c latus cubicum a, ex c vero in se fiat d. Patet itaque quod ex c in d fit a. Sint igitur unitas, c, d, a continue proportionales quod ex 18 septimi et presentibus ypothesibus manifestum est. Et quia est a ad b sicut unitas ad a eo quod quotiens unitas est in a totiens a in b, erunt inter a et b duo numeri medii secundum continuam proportionalitatem per 8 octavi. Cum igitur ex ypothesi sit a cubus, erit per 21 eiusdem b quoque cubus. Quod oportebat demonstrare.

Si cubus in alium cubum ducatur, qui inde producetur erit cubus.

Sint a et b cubi fiatque c ex a in b. Dico c esse cubum. Fiat enim d ex a in se eritque per premissam d cubus et quia per 18 septimi est a ad b sicut d ad c, constat ex 23 octavi c esse cubum. Quod est propositum.

Si numerus cubus in numerum alium ducatur fueritque productus cubus, in quem ductus est numerum cubum esse necesse est.

Unde etiam manifestum est, quod ex ductu cubi in non cubum producitur non cubus. Ductoque cubo in numerum aliquem si fuerit qui inde producitur non cubus, in quem ille ductus fuerit necesse est esse non cubum.

Sit enim ex a cubo in b numerum productus c cubus. Dico b esse cubum. Fiat enim d ex a in se qui per antepremissam erit cubus. Quia igitur est per 18 septimi a ad b sicut d ad c estque a cubus, sed et d et c cubi, erit per 23 octavi b cubus. Quod est propositum.

Prima pars corollarii patet ex hac 5 a destructione consequentis. Secunda per premissam similiter a destructione consequentis.

6 Si ex ductu cuiusdam numeri in se ipsum cubus producatur, eum esse cubum necessario comprobatur. [f.70r]

Sit ut ex a in se fiat b cubus. Dico ergo a esse cubum. Fiat enim c ex a in b eritque ex diffinitione c cubus. Et quoniam constat ex 18 septimi quod sit a ad b sicut b ad c, cum sint b et c cubi, sequitur ex 23 octavi a esse cubum. Quod est propositum.

Si numerus compositus in numerum quemlibet ducatur, qui inde producetur erit solidus.

Sit a numerus compositus qui ducatur in b et proveniat c. Dico c esse numerum solidum. Cum enim a sit compositus, numeratur ab aliquo numero qui sit d numeretque eum secundum e. Quia igitur ex e in d fit a et ex a in b, c, erit ex diffinitione solidorum c solidus eiusque latera e, d, b. Quod est propositum.

Si fuerint numeri ab unitate continue proportionales, tertius ab unitate erit quadratus ac deinceps uno semper intermisso. Quartus vero ab unitate cubus ac deinceps duobus semper intermissis. Itemque septimus ab unitate est quadratus cubicus ac deinceps quinque semper intermissis quadratus cubicus continuo sequitur.

Sint continue proportionales unitas, a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n. Dico b esse quadratum, et d obmisso c et sic alios uno semper obmisso. Unde simpliciter omnes existentes in locis imparibus sunt quadrati, ut sunt tertius, quintus et septimus. Dico item c esse cubum et f duobus obmissis et sic in ceteris. Omnisque simpliciter est cubus cuius ab unitate locus addit super ternarium vel quemlibet multiplicem ipsius ternarii unitatem ut sint quartus, septimus, decimus, tertiusdecimus et sextusdecimus. In hiis enim conveniunt omnes qui duos transmittunt. Itemque dico f ab unitate septimum esse quadratum cubicum et similiter n quinque numeris intermissis idemque in ceteris. Simpliciter autem dico cuius locus ab unitate addit super senarium vel quemlibet multiplicem illius unitatem ut sunt septimus, tertiusdecimus, decimusnonus et vicesimusquintus illum esse quadratum cubicum: quadratum quidem quoniam eius locus impar, cubum autem quoniam super multiplicem ternarii addit unitatem quippe senarii multiplices cunctos ternarii necesse est esse multiplices. Que autem proposita sunt, sic constant. Est enim ex ypothesi a in b quotiens unitas in a, itaque b ex diffinitione quadratus. Quia igitur b, c, d sunt continue proportionales cum b sit quadratus, patet ex 17 vel 20 octavi d esse quadratum. Eadem ratione et f quia d, e, f sunt continue proportionales et d est quadratus. Idem in ceteris uno intermisso, constat itaque primum. Secundum sic: Cum b sit in c quotiens a in b ex ypothesi, sequitur a diffinitione ut ex a in b suum quadratum fiat c, igitur ex diffinitione cubi c est cubus. At quia c, d, e, f sunt continue proportionales, sed et f, g, h, k. Est autem c [f.70v] cubus, necesse est per 19 vel 21 octavi ut f quoque sit cubus ideoque et k idemque in ceteris duobus intermissis. Quare liquet secundum. Quoniam autem in f septimo et in n tertiodecimo ceterisque quinque medios obmittentibus, simpliciter vero et in omnibus quorum locus semper quemlibet multiplicem senarii addit unitatem, terminantur quadratorum et cuborum computationes. In hiis quadratis quidem unius, in illis cubis autem duorum obmissione sequitur ipsos esse quadratos ex huius prima parte et cubicos ex secunda, quare quadrati cubici. Constat ergo totum quod dicitur.

Si numeris quotlibet ab unitate continua proportionalitate dispositis unitatem sequens quadratus fuerit, ceteri quoque omnes erunt quadrati. Si vero qui unitatem sequitur fuerit cubus, ceteri quoque omnes erunt cubi.

Sint ut prius continue proportionales ab unitate sitque a quadratus. Dico omnes esse quadratos. Aut sit idem cubus, tunc quoque dico omnes esse cubos. b enim constat esse quadratum per premissam. Ergo quia a ad b sicut b ad c, ex 22 octavi sequitur c esse quadratum. Idem quoque ex eiusdem 17 vel 20 potes arguere. De sequentibus autem idem eodemque modo probabis. Quare patet primum. Secundum autem sic: Cum b fiat ex a in se si fuerit a cubus, erit per 3 ipse quoque cubus, c vero constat esse cubum per premissam, itaque per 23 octavi d omnesque sequentes cubicos esse probabis, est enim a ad b sicut c ad d. Idem quoque arguere potes ex 19 vel 21 eiusdem. Sunt enim a, b, c, d, sed et b, c, d, e singulique 4 continue sumpti continue proportionales.

Si numeris quotlibet ab unitate continua proportionalitate dispositis unitatem sequens non quadratus fuerit, non erit aliorum quisquam quadratus exceptis ab unitate tertio et hiis, qui deinceps uno semper intermisso reperiuntur tetragoni. Si vero secundus ab unitate non fuerit cubus, nullus ceterorum erit cubus exceptis ab unitate quarto et deinceps hiis, qui duorum semper intermissione formantur cubicis.

Hec ex opposito subiecti premisse infert partem oppositi passionis. Dico autem partem quam ex 8 constat omnes impares esse quadratos omnesque quorum locus super ternarium vel quemlibet eius multiplicem addit unitatem esse cubos. Sint itaque qui prius ab unitate continue proportionales, non sit autem a quadratus, sed nec cubus. Dico nullum ex omnibus esse quadratum aut cubicum nisi quos 8 proponit. Si enim quis alius ponatur quadratus, sequitur per 22 octavi a esse quadratum. Quod si cubus, sequitur per 23 eiusdem a esse cubum quorum utrumque contrarium est ypothesi. Constat ergo propositum.

Si numeris quotlibet ab unitate continua proportionalitate [f.71r] dispositis aliquis numerus primus ultimum numeret, eum quoque qui unitatem sequitur numerare necesse est.

Sint usque ad d continue proportionales ab unitate sitque e numerus primus de quo ponatur ipsum numerare d. Dico quod idem numerabit a. Nam si non, erit ad ipsum primus per 32 septimi et quia ex a in se fit b, sequitur ex 26 eiusdem ut ipse quoque sit primus ad b, sed et ad c et ad d sequitur ipsum esse primum per 25 eiusdem eo quod ex a in b fit c et ex eodem in c, d, non ergo numerat d cum sit primus ad ipsum. Quare accidit contrarium ypothesi.

Idem aliter. Cum sit e primus si non numerat a, primus erit ad ipsum per 32 septimi. Itaque per 23 eiusdem erunt minimi in sua proportione. Quia autem e ex ypothesi numerat d sit ut secundum f, constat vero quod ex a in c fiat d, ergo per secundam partem 20 septimi erit a ad e sicut f ad c quare per 21 eiusdem e numerabit c et sit ut secundum g. Et quia ex a in b fit c, sequitur quoque per easdem et eodem modo ut e numerat b, esto ergo quod secundum h et quoniam rursus ex a in se fit b, necesse est iterum per easdem ut e numerat a. Sed positum erat non numerare, ergo accidit impossibile.

Si numeris ab unitate continue proportionalibus minor maiorem numerat secundum aliquem in illa proportionalitate dispositum.

Sint ab unitate usque ad f continue proportionales. Dico nullum ipsorum numerare f nisi secundum aliquem aliorum. Constat enim quod e numerat ipsum f secundum a. Est enim e ad f ut unitas ad a, sed et d numerat eundem f secundum b, est namque per equam proportionalitatem d ad f ut unitas ad b. De c quoque patet eodem modo quod secundum se numerat eum. Converso quoque a numerat eum secundum e eo quod sicut unitas ad e ita a ad f, b vero secundum d. Est enim ut unitas ad d ita b ad f. Verum igitur est quod proponitur. Quippe quotus quisque, qui proponitur ultimum numerare, fuerit sub ultimo secundum totum supra unitatem numerare ipsum convincitur per equam proportionalitatem et diffinitionem.

Quotlibet numeris ab unitate continue proportionalibus si qui unitatem sequitur fuerit numerus primus, maximum eorum nisi de numeris in illa proportionalitate dispositis nullus numerabit.

Sint ut prius usque ad d continue proportionales ab unitate sitque a numerus primus. Dico quod nullus numerabit ultimum nec simpliciter aliquem eorum nisi aliquis eorum qui antecedunt ultimum vel eum qui ponitur numerari. Sit enim (si possibile est) e diversus ab eis qui numeret d qui si fuerit primus, per 11 numerabit a. Non igitur est a primus, quod est contra ypothesim. [f.71v] Si autem ipse fuerit compositus, necesse est per 30 septimi ut aliquis primus numeret eum qui non erit nisi a. Nam si est alius ab a ut f, cum necesse sit ipsum numerare d, arguetur etiam eundem numerare a per 11. Sic quoque a non erit primus. Est igitur a primus numerans e. Quoniam autem e numerat d sit ut secundum g eritque per secundam partem 20 septimi a ad e sicut g ad c. Sitque d ex a in c, quare cum a numeret e, et g numerabit c sitque ut secundum h. Sequiturque ut a numeret g sicut sequebatur ut numeraret e. Alioquin si g quidem est primus cum numeret c, sequitur per 11 ipsum numerare a. Si autem compositus, per eandem sequitur numerum primum numerantem g numerare a. Quod est inconveniens. Itaque a numerat ipsum. Sequitur ergo per secundam partem 20 septimi ut h quoque numeret b eo quod tam ex a in b quam ex g in h constat produci c. Numeret h itaque ipsum secundum k. Constat autem (ut prius de g) quod a numerat h. Nam si non, non erit a primus, itaque per secundam partem 20 septimi sequitur ut k numerat a. Sit enim tam ex a in se quam ex h in k, b. Manifestum est autem k non esse a, nullus enim numerorum g, h, k est aliquis ex a, b, c, d. Si enim g esset aliquis ex eis, cum ipse numeret d secundum e, esset per premissam e quoque aliquis ex eis, sed non erat nec igitur g. Similiter cum h numeret c secundum g, non erit h aliquis ex a, b, c. Nam si esset, esset et per premissam g, ostensum est autem quod non, nec igitur h. Eadem ratione nec k cum enim ipse numeret b secundum h si ipse esset a, convinceretur per premissam h quoque esse a. At non erat, nec igitur k erit a, numerat autem ipsum. Non est itaque a primus. Quod est impossibile.

Aliter idem. Si e diversus ab a, b, c, d numerat d, sit ut secundum f et quia a numerus primus numerat d, productum ex e in f, sequitur ex 33 septimi quod ipse numerat e vel f. Numeret ergo e, quia igitur tam ex a in c quam ex e in f fit d, erit per secundam partem 20 septimi a ad e sicut f ad c. Numerat itaque f, c sit ut secundum g eritque per 33 septimi ut a quoque numerat f vel g sitque ut f. Sequiturque per secundam partem 20 eiusdem ut g numeret b sitque ut secundum h. Ut prius igitur a numerabit g vel h et sit ut numeret g. h ergo per secundam partem 20 numerabit a. Si itaque h non est equalis a, non erit a primus. Quod est contra ypothesim. Si autem equalis, erit unusquisque numerorum g, f, e aliquis ex a, b, c, d per premissam quotiens oportet assumptam. Non est igitur e diversus ab eis. Quod est contra ypothesim. Ita constat verum esse quod proponitur.

Si propositus fuerit numerus minimus quem numerant primi assignati, non numerabit eum aliquis numerus primus preter illos assignatos.

Sit a numerus minimus numeratus a numeris primis qui sint b, c, d. Dico quod alius primus preter eos non numerabit a. Sin autem, sit e primus numerans eum secundum f. Quia ergo quilibet numerorum b, c, d numerat a productum ex e in f, est autem quilibet eorum primus, sequitur ex 33 septimi ut quilibet eorum numeret e vel f, sed e nullus numerat cum sit primus, quilibet ergo eorum numerat f. Cum itaque sit f minor a utpote qui numerat eum secundum e, non erit a minimus numeratus ab illis b, c, d. Quod est inconveniens. [f.72r]

Si quotlibet numeri continue proportionales secundum suam proportionem fuerint minimi, quicumque aliquem illorum numerat alteri terminorum illius proportionis erit commensurabilis.

Sint a, b, c, d, e continue proportionales et minimi secundum proportionem f ad g qui sint in sua proportione minimi et ponatur h numerare c. Dico quod h est commensurabilis f vel g. Sumantur enim in eadem proportione 4 minimi qui sint k, l, m, n. Constat autem ex secunda octavi quod ex f in m fit c. Alioquin contingeret esse minus minimo quod esse non potest. Itaque per corollarium 33 septimi erit h commensurabilis f vel m. Quod si f, constat propositum. Si autem m, sumantur in eadem proportione tres minimi qui sint p, q, r. Eritque ex secunda octavi ut m fiat ex f in r ne minus minimo esse aliquid cogamur concedere, quare per predictum corollarium h est commensurabilis f vel r. Sed non erat f, sic enim constabat propositum. Commensurabilis igitur est r qui cum ex secunda octavi fiat ex g in se, sequitur ex dicto corollario ut h sit commensurabilis g. Quod est propositum etcetera.

Si fuerint quotlibet numeri continue proportionales in sua proportione minimi, quilibet eorum ad compositum ex reliquis primus esse necessario comprobatur.

Sint a, b, c, d continue proportionales et minimi. Dico compositum ex a, b, c primum esse ad d. Si enim non, numerabit aliquis numerus qui sit e compositum ex a, b, c et d, per premissam igitur erit e communicans alteri terminorum illius proportionis qui sint f et g. Erit itaque numerus aliquis numerans e et alterum duorum f, g qui sit h. Quia ergo h numerat e, numerabit d et compositum ex a, b, c. Et quia numerat f vel g quorum uterque numerat utrumque mediorum et simpliciter omnes si plures duobus sint, ex secunda octavi sequitur ut ipse numeret b et c, ergo et a quare numerat totum a b c. Non sunt igitur a et d contra se primi. Quod est inconveniens per 3 octavi. Similiter quoque constabit compositum ex a, b, d primum esse ad c. Si enim ut prius e numerat ambos, sequetur per premissam ut aliquis numerus qui etiam sit h, numerat e et alterum duorum f, g. Itaque h numerat c et totum a, b, d, sed et b cum utraque radicum numeret omnes medios, igitur et compositum ex a et d. Et quia necessario numerat alterum duorum a, d cum numeret alterum duorum f, g, numerabit et reliquum. Non sunt igitur a et d contra se primi et ita idem quod prius.

.

Demonstrant autem idem aliter de tribus continue proportionalibus et minimis sine adminiculo premisse, probant enim ex quibusque duobus compositum primum esse ad reliquum.

Sint itaque tres continue proportionales et minimi a, b, c quorum termini d et e. Dico tunc compositum ex a et b primum esse [f.72v] ad c et compositum ex b et c ad a. Itemque ex a et c ad b. Manifestum enim est ex secunda octavi quod ex d in se fit a et in e fit b et ex e in se c et ex 22 septimi quod d et e sunt contra se primi. Itaque ex prima parte 29 eiusdem erit totus d e primus ad utrumque eorum d et e. Quia igitur uterque duorum numerorum d et d e primus est ad e, erit per 25 eiusdem qui ex d in d e producitur (et ipse est compositus ex a et b) primus ad e, sequitur ergo per 26 eiusdem ut etiam compositus ex a et b sit primus ad c. Sit enim c ex e in se. Simili quoque demonstratione probabis compositum ex b et c primum esse ad a. At vero compositum ex a et c primum esse ad b sic habeto. Cum sit enim uterque duorum d et e primus ad totum d e, erit per 25 septimi qui ex d in e producitur (et ipse est b) primus ad d e. Itaque per 26 eiusdem qui ex d e in se provenit, et ipse est qui componitur ex a et c et duplo b, primus erit ad b. Sequitur ergo compositum ex a et c primum esse ad b. Necesse est enim ut ex duobus compositus cum primus fuerit ad unum eorum ex quibus componitur sit primus ad reliquum. Demonstratum autem est hoc supra 29 septimi. Oportet autem stabilire ad robur istius demonstrationis compositum ex a et b produci ex d in compositum ex d et e supposito quod ex d in se fit a et ex eodem in e, b. Itemque quod ex d e in se producatur compositum ex a et c et duplo b supposito eo quod prius et quod ex e in se fit c. Huius itaque gratia proponimus hec demonstranda.

Quod fit ex ductu unius numeri in quotlibet tantum est quantum quod ex ductu eiusdem in compositum ex illis.

Idem proponit prima secundi de lineis. Sit enim ut ex a in b et in c et in d proveniant e, f et g. Dico quod ex a in compositum ex b et c et d proveniet compositum ex e et f et g. Sequitur enim ex conversione diffinitionis eius quod est multiplicari ut tota pars sit b, e et tota c, f, sed et d tota g quota est unitas, a. Per 5 itaque septimi tota quoque pars erit compositus ex b et c et d compositi ex e et f et g quota est unitas, a. Ergo per diffinitionem ex a in compositum ex b et c et d fit compositus ex e et f et g. Quod est propositum.

Quod fit ex ductu quotlibet numerorum in unum, equum est ei quod fit ex composito eorum in eundem.

Hoc est conversum eius quod modo demonstratum est. Ut si ex b et c et d in a fiant e et f et g, fiet quoque compositus ex composito in eundem, quod ex 17 septimi et predemonstrato facile concluditur.

Quod fit ex ductu quotlibet numerorum in quotlibet alios equum est ei quod fit ex composito horum in compositum illorum.

Ut si a, b, c multiplicent d, e, f quilibet quemlibet iunganturque producta, dico aggregatum [f.73r] ex productis esse equale producto ex composito ex a et b et c in compositum ex d et e et f. Est enim per premissam quod fit ex composito ex a, b, c in d quantum quod ex singulis in illum d sic et in e et in f. Ex composito autem horum a, b, c in quemlibet illorum d, e, f per antepremissam fit quantum quod ex composito in compositum. Itaque constat propositum.

Numero in quotlibet partes diviso tantum est quod fit ex toto eo in se quantum quod ex eo in omnes suas partes.

Idem proponit secunda secundi de lineis. Ut si a dividatur in b et c et d. Dico quod tantum fit ex a in se quantum in omnes illos b, c, d. Posito enim e equali a constat ex prima harum incidentium tantum fieri ex e in a quantum in omnes partes a. Sed per conceptionem ex e in a fit quantum ex a in se et ex e in partes a quantum ex a in easdem. Manifestum ergo est verum esse quod dicitur.

Numero in duo diviso quod fit ex toto in alterum dividentium tantum est quantum quod ex eodem in se et in alterum.

Idem proponit tertia secundi de lineis. Sit enim a divisus in b et c. Dico tantum fieri ex a in c quantum ex c in se et in b. Nam quod ex a in c est quantum quod ex c in a per 17 septimi. Sumpto itaque d equali c erit a in c quantum d in a. At per primam harum d in a est quantum in b et c. Quia ergo d in b et in c est quantum c in b et in se propter equalitatem c et d, constat propositum etcetera.

Numero in duo diviso quod ex ductu totius in se est tantum quantum quod ex ductu utriusque dividentium in se et alterius eorum bis in alterum.

Idem proponit quarta secundi de lineis. Ut si a dividatur in b et c, dico tantum fieri ex a in se quantum ex b in se et c in se et ex b bis in c. Est enim per quartam harum quod ex a in se quantum quod ex eo in b et in c. Ex eo autem in b per premissam est quantum ex b in se et in c, at ex a in c per eandem est quantum ex c in se et in b. Et quia ex c in b tantum est quantum ex b in c per 17 septimi, liquet esse verum quod proponitur. Quod est propositum.

Numero per duo equalia duoque inequalia diviso quod fit ex maiori inequalium in minorem cum quadrato intermedii equum est quadrato medietatis totius. [f.73v]

Idem proponit de lineis 5 secundi. Ut si a b dividatur in duos numeros equales qui sint a c et c b itemque in duos inequales quorum sit maior a d et minor d b. Dico quod illud quod fit ex toto a d in d b cum quadrato c d equale est quadrato c b. Per premissam enim quadratum c b est equale quadrato c d et quadrato d b et ei quod fit ex b d in c d bis. Sed ex b d in se et in c d tantum fit quantum in c b per primam harum et ideo quantum in a c. Itaque ex b d in se et in c d bis quantum quod ex b d in a d. Per eandem igitur quadratum c b superat id quod fit ex b d in a d in quadrato c d. Constat ergo propositum.

Cum fuerit numerus in duo equa divisus eique alius numerus adiunctus, quod fit ex ductu totius compositi in adiunctum cum quadrato medietatis equum est quadrato compositi ex dimidio et adiuncto.

Idem proponit 6 secundi de lineis. Sit enim a b divisus in duos equales numeros qui sint a c et c b addaturque ei numerus b d. Dico illud quod fit ex toto a d in d b cum quadrato b c esse equale quadrato c d. Est enim ex 6 harum quadratum c d equale quadrato d b et quadrato b c et ei quod fit ex d b in b c bis. Sed per primam harum ex b d in se et in b c bis est quantum ex b d in d a. Sunt enim a c et c b equales. Itaque quadratum c d superat id quod fit ex b d in d a in quadrato c b. Quod est propositum

Cum numerus in duo dividitur, quod fit ex toto in se cum eo quod ex altero dividentium in se est equum ei quod fit ex toto in eundem bis cum eo quod ex altero in se.

Idem proponit 7 secundi de lineis. Sit enim numerus a divisus in b et d. Dico quadratum a cum quadrato d tantum esse quantum quod fit ex a in d bis cum quadrato b. Constat quidem ex sexta harum quod quadratum a tantum est quantum quadratum d et quadratum b et quod fit ex d in b bis. Itaque quadratum a cum quadrato d tantum est quantum quod fit ex d bis in se et bis in b cum quadrato b. Sed ex d bis in se et bis in b fit quantum ex d bis in a per primam harum, ergo quod fit ex d bis in a cum quadrato b est quantum quadratum a cum quadrato d. Quare patet propositum etcetera.

Cum fuerit numerus in duo divisus eique equalis uni dividentium additus, quadratum totius compositi [f.74r] equum est quadruplo eius quod fit ex priori in additum cum quadrato alterius.

Idem proponit 8 secundi de lineis. Sit enim numerus a b divisus in a c et c b cui addatur b d qui ponatur equalis c b. Dico quadratum a d tantum esse quantum est id quod fit ex a b in b d quater cum quadrato a c. Est namque per 6 harum quadratum a d equum quadrato a b et quadrato b d et ei quod fit ex a b in b d bis. Et quia quadratum b d est equale quadrato c b, erit quadratum a d equale quadrato a b et quadrato c b et ei quod fit ex a b in b d bis. Per premissam autem est quadratum a b cum quadrato c b quantum quadratum a c cum eo quod fit ex a b in b c bis. Itaque quadratum a d tantum est quantum quod ex a b in b d bis et ex a b in b c bis cum quadrato a c. Et quia ex a b in b c tantum fit quantum in b d, constat verum esse quod propositum est.

Cum fuerit numerus in duo equalia duoque inequalia divisus quadrata amborum inequalium pariter accepta duplum sunt quadrato medietatis et quadrato eius quo maior portio excedit minorem pariter acceptis.

Idem proponit 9 secundi de lineis. Sit enim a b divisus per duos equales qui sint a c et c b et per duos inequales qui sint a d et d b. Dico quod quadrata duorum numerorum a d, d b pariter accepta sunt duplum duobus quadratis duorum numerorum a c et c d pariter acceptis. Est enim per 6 harum quadratum a d quantum quadratum a c et quadratum c d et duplum eius quod fit ex a c in c d. Quia autem a c est equalis c b, erit quadratum a d quantum quadratum b c et quadratum c d et etiam duplum eius quod fit ex b c in c d. Itaque quadratum a d cum quadrato b d sunt quantum quadratum b c et quadratum c d et duplum eius quod fit ex b c in c d cum quadrato b d. Duplum autem eius quod fit ex b c in c d cum quadrato b d est equale quadrato b c et quadrato c d per 9 harum. Ergo quadrata duorum numerorum a d et d b sunt quantum quadrata duorum numerorum b c et c d duplicata. Et quia b c et c a sunt equales, propositum patet.

Cum fuerit numerus in duo equa divisus aliusque adiunctus, quadratum totius compositi cum quadrato adiuncti sunt duplum ad quadratum medietatis [f.74v] ipsius cum quadrato compositi ex medietate et adiuncto.

Idem proponit 10 secundi de lineis. Sit enim numerus a b divisus in duos equales a c et c b sitque sibi adiunctus numerus b d. Dico quadratum a d cum quadrato b d duplum esse ad quadratum a c cum quadrato c d. Cum sit enim numerus c d in duo divisus sibique sit a c equalis uni dividentium additus, erit per 10 harum quadratum a d quantum quod fit ex c d in c a quater cum quadrato b d. Quia vero a c est equalis c b, erit quadratum a d quantum quod fit ex d c in c b quater cum quadrato b d. Itaque quadratum a d cum quadrato d b erit quantum quod fit ex d c in c b quater cum duplo quadrati b d. Hoc autem per 9 harum duplum est ad quadratum c d cum quadrato c b. Cum igitur sit quadratum c b equale quadrato a c, constat propositum.

Numerum aliquem ita dividere ut quod sub toto et una eius portione continetur equum sit quadrato alterius est impossibile.

Quod 11 secundi proponit faciendum in lineis, demonstrat hec impossibile esse in numeris. Sit enim quilibet numerus a b. Dico impossibile esse ipsum sic dividi ut proponitur. Sic enim divideretur secundum proportionem habentem medium et duo extrema ut patet ex diffinitione et 20 septimi. Si autem potest, dividatur in c sitque a b ad b c sicut b c ad c a. Erit itaque a c minor c b, detrahatur igitur ab eo equalis sibi qui sit c d. Quia igitur est proportio totius a b ad totum b c sicut b c detracti ab a b ad c d detractum ab b c, erit eadem a c residui a b ad b d residuum b c. Quare b c ad c d sicut c d ad d b. Erit igitur c d maior d b. Detracto itaque d e de c d ut sit d e equalis d b, erit etiam proportio b c ad c d sic c d ad d e, quare sicut d b residui c b ad c e residuum c d. Potest igitur c e detrahi ab e d, non erit itaque finis istius detractionis. Quod est impossibile.

Nunc autem ad propositum revertamur.

17 Si fuerint duo numeri contra se primi, quantus est primus eorum ad secundum tantum esse secundum ad tertium quemquam est impossibile.

Sint a et b contra se primi. Dico impossibile esse aliquem eis in continua proportionalitate adiungi. Si enim potest, sit c. Quia igitur a ad b sicut b ad c, sunt autem a et b in sua proportione minimi per 23 septimi. Sequitur per 21 eiusdem ut a numeret b qui cum etiam numeret se, non erunt a et b contra se primi. Quod est contrarium positioni.

Si quotlibet numerorum continue proportionalium duo extremi fuerint contra se primi, quantus est primus ad secundum tantum esse ultimum ad aliquem alium est impossibile.

Sint a, b et c continue proportionales sintque a et c [f.75r] contra se primi. Dico quod in eadem proportione non potest eis adiungi alius. Si enim potest, sit d. Quia igitur est a ad b sicut c ad d, erit permutatim a ad c sicut b ad d. Sunt autem a et c in sua proportione minimi per 23 septimi, itaque per 21 eiusdem a numerat b quare etiam numerat c. Numerorum enim continue proportionalium, si primus numerat secundum, ipse numerat omnes et simpliciter quilibet precedens quemlibet sequentem. At quia etiam numerat se, non erunt a et c contra se primi. Quod est inconveniens.

Propositis duobus numeris an sit eis tertius continue proportionalis perscrutari.

Sint a et b duo numeri propositi. Volo inquirere an eis possit tertius sub continua proportionalitate adiungi. Igitur si ipsi sint contra se primi, impossibile est per 17. Si vero compositi, ducatur b in se et proveniat c quem si a numerat, erit. Si vero non numerat, non erit. Numeret enim eum secundum d qui erit quem querimus per secundam partem 20 septimi. Sit ergo ut non numeret eum, est tamen ut a ad b sicut b ad d. Itaque quia ex b in se fit c, sequitur per primam partem 20 septimi ut ex a in d fit idem, igitur a numerat c secundum d, sed erat positum quod non. Quare sequitur impossibile. Quod est propositum.

Datis tribus numeris continue proportionalibus an sit aliquis quartus eis continue proportionalis inquirere.

Sint continue proportionales a, b, c. Volo inquirere an alius eis sub continua proportionalitate possit adiungi. Igitur si a et c sint contra se primi, impossibile est per 18. Si autem compositi, sit d qui provenit ex b in c quem si numerat a, erit. Si vero non numerat, non erit. Numeret enim eum secundum e qui erit quem querimus per secundam partem 20 septimi. Sit ergo ut non numerat a eum. Est tamen ut a ad b sic c ad e, itaque quia ex b in c fit d, sequitur per primam partem 20 septimi ut ex a in e fit idem d, ergo a numerat d secundum e. Sed positum erat quod non.

Idem potes perscrutari quotlibet continue proportionalibus propositis. Si enim duo extremi sint contra se primi, finem habet intentio per 18. Si autem compositi, ducto secundo in ultimum si productum numeret primus, is secundum quem eum numerat est quem queris per secundam partem 20 septimi. Si autem primus productum non numerat, nullus erit. Quolibet enim posito per primam partem eiusdem secundum ipsum positum numerabit primus productum. Quod positum erat non numerare.

Datis quotlibet numeris primis aliquem primum ab eis diversum esse necesse est etcetera.

Nihil aliud intenditur nisi quod numeri primi sint infiniti demonstrare. Sint enim a, b, c numeri primi. Dico esse aliquem primum diversum ab eis. Sit quidem d f minimus quem numerant cui addita unitate fiat d g. Aut ergo d g est primus aut compositus. Si primus, constat propositum. Si compositus, numerat eum aliquis primus qui sit h quem non est possibile esse aliquem ex primis scilicet a, b, c propositis. Si enim esset aliquis eorum cum quilibet ipsorum numeret d f, ipse quoque numeraret eundem. At quia numerat d g, oportet ipsum numerare f g qui est unitas. Quod est impossibile. Idem sequitur posito d f quolibet numero quem numerant a, b, c. Quare constat propositum. [f.75v]

Si coacerventur quotlibet numeri pares, totus quoque ab eis coacervatus erit par.

Sit quisque numerorum a, b, c par. Dico ex eis compositum esse parem. Habet enim ex conversione diffinitionis quisque eorum medietatem. Sint ergo eorum medietates d, e, f. Quia igitur sicut a ad d sic b ad e et c ad f, erit ex 13 septimi sicut a ad d ita totus a b c ad totum d e f. Itaque d e f est medietas a b c, ergo per diffinitionem a b c est par. Quod est propositum.

Si numeri impares numero pares coacerventur, totus quoque ex eis coacervatus erit par.

Sit quilibet numerorum a, b, c, d impar. Dico ex eis compositum esse parem. Dempta enim a quolibet unitate constat residuos esse pares. Et quia ille unitates dempte componunt parem, cum sint numero pares, constat propositum per premissam.

Si numeri impares numero impares coacerventur, totum quoque ex eis coacervatum imparem esse.

Sit quilibet numerorum a, b, c impar. Dico totum ex eis compositum esse imparem. Erit enim per premissam compositus ex a et b par. Et quia c dempta unitate est par, erit per antepremissam totus a b c dempta unitate par. Per diffinitionem itaque constat totum esse imparem etcetera.

Si a numero pari numerus par detrahatur, reliquus erit par.

Sit totus a par a quo detrahatur b qui quoque sit par et residuus sit c. Dico c esse parem. Sit enim d medietas a, e quoque sit medietas b detractoque e de d, sit reliquus f. Eritque per 12 septimi c ad f sicut a ad d, quare f est medietas, itaque c est par. Quod est propositum etcetera.

Si a numero impari detrahatur impar, reliquus erit par.

Sit a b numerus impar a quo detrahatur b c qui etiam sit impar. Dico reliquum qui est a c esse parem. Detrahatur enim ab utroque duorum numerorum a b et b c unitas que sit b d eritque uterque duorum residuorum qui sunt a d et d c par, per premissam itaque constat a c esse parem. Quod est propositum.

Si a numero impari numerum parem subtrahas, qui relinquitur [f.76r] impar est.

Sit a b impar a quo detrahatur a c qui sit par. Dico c b residuum esse imparem. Sit enim b d unitas eritque a d par et quia a c est par, erit per 25 c d par. Cum itaque sit d b unitas, erit c b impar. Quod est propositum.

Si de numero pari imparem tollas, qui relinquitur impar est.

Sit a b par a quo tollatur a c qui sit impar. Dico c b residuum esse imparem. Subtrahatur enim ab a c unitas que sit c d eritque a d par. Itaque per 25 d b quoque erit par. Quia igitur d c est unitas, sequitur c b esse imparem. Quod est propositum etcetera.

Si numerus impar in numerum parem ducatur, qui inde producetur erit par.

Ex 23 manifestum est quod dicitur etcetera.

Si in imparem ducatur impar, qui producetur erit impar.

Hec quoque ex 24 manifesta est.

Si numerus impar numerum parem numeret, numero pari eum numerabit.

Si enim numero impari eum numeraret, ex impari in imparem fieret par. Quod est inconveniens per premissam.

Si impar imparem numeret, impariter eum numerat.

Si enim pariter eum numeraret, ex impari numero in parem numerum fieret impar. Quod est inconveniens per 29.

Si numerus impar numerum parem metiatur, eiusdem quoque dimidium ipsum metiri necesse est.

Sit a numerus par cuius dimidium b sitque c numerus impar, qui numeret a. Dico quod c numerabit b. Numeret enim a secundum d eritque per 31 d numerus par. Esto igitur eius dimidium e ducaturque c in e et proveniat f. Eritque per 18 septimi a ad f sicut d ad e. Et quia est etiam a ad b sicut d ad e, sequitur b et f esse equales. Cum itaque c numeret f, idem c numerabit b. Quod est propositum.

Si numerus impar ad aliquem fuerit primus, idem ad eiusdem duplum erit primus.

Sit a numerus impar primus ad b cuius duplum sit c. Dico quod a est primus ad c. Sin autem, numeret eos d cumque a sit impar, [f.76v] sequitur d esse imparem. Quicumque enim imparem numerat, impar est. Per premissam itaque d numerabit b, non sunt igitur a et b contra se primi. Quod est contra ypothesim.

Numeri a duobus dupli sunt pariter pares tantum.

Sint unitas, a, b, c, d continue proportionales sitque a binarius. Dico omnes eos esse pariter pares eisque secundum hanc proportionem in infinitum auctis nullum alium esse pariter parem. De hiis quidem constat per diffinitionem cum per 12 quilibet precedens numeret quemlibet sequentem per aliquem eorum quos oportet esse omnes pares et nullus alius numeret aliquem eorum per 13 eo quod a, qui est binarius, unitatem sequens est primus. Quod autem nullus alius ab hiis sit pariter par sic constat: posito enim aliquo dividatur in duas medietates eiusque medietas in duas et hoc totiens fiat quousque numerus aut unitas divisionem impediat quod necesse est evenire per ultimam petitionem. Si ergo numerus hanc prohibeat, ipse erit impar qui cum numeret pariter parem positum, non erit pariter par qui positus est pariter par. Si autem unitas, non erit is alius a continue duplis ab unitate etcetera.

Numerus cuius medietas est impar, est pariter impar.

Sit a numerus cuius medietas, que sit b, sit impar. Dico a esse pariter imparem. Sit enim c binarius, manifestum itaque quoniam ex c in b fit a. Sit autem d quilibet numerus par numerans a qui numeret eum secundum e eritque per secundam partem 20 septimi e ad b sicut c ad d. Igitur e numerat b, nam quia c numerat d. Erit itaque e numerus impar, erat enim et b, per diffinitionem igitur a est pariter impar.

Omnis numerus a duobus non duplus, cuius medietas est par, est pariter par et impariter.

Sit numerus a non duplus a duobus cuius medietas, que sit b, ponatur par. Dico ipsum esse pariter parem et impariter. Sit enim c binarius de quo manifestum est quod ipse numerat a secundum b. Quia vero a non est duplus a duobus, necesse est si eius medietas, que est b, in alias duas medietates dividatur medietatisque medietas in alias duas ut tandem occurrat numerus impediens divisionem qui propter hoc quod divisionem non recipit erit impar. Sitque is in quo sistit divisio d. In numero quippe necesse est stari, quia si usque ad unitatem perveniret divisio, esset a de numeris duplis a binario de quibus non est. De d vero manifestum est quod ipse numerat a per hanc communem scientiam: omnis numerus numerans alium numerat omnem numeratum ab illo. Numeret ergo eum secundum e eritque e par. Alioquin cum d sit impar, sequeretur per 30 a esse imparem. Quia igitur b numerus par numerat a secundum c qui quoque est par (est enim binarius). At vero e numerus par numerat eundem secundum d qui est impar. Constat ex diffinitione numerum a esse pariter parem et impariter. Quod est propositum.

Si de secundo atque ultimo numerorum continue proportionalium equale primi dematur, [f.77r] quantum est reliquum secundi ad primum tantum esse reliquum ultimi ad coacervatum ex cunctis precedentibus necessario comprobatur.

Sint continue proportionales a b, c d, e f, g h dematurque de c d equalis a b qui sit c k et de g h qui sit g l. Dico tunc quod proportio k d ad a b est sicut l h ad compositum ex e f, c d et a b. Sumatur ex g h equalis e f qui sit g m, et equalis c d qui sit g n, eritque l n equalis k d. Manifestum autem est per 12 septimi quod cum sit g h ad g m sicut g m ad g n, erit h m residuum ad m n residuum sicut g h ad g m ideoque sicut e f ad c d. Simili quoque modo erit m n ad l n sicut c d ad a b, permutatim igitur erit h m ad e f et m n ad c d sicut n l ad a b. Itaque coniunctim per 13 septimi erit l h compositus ex h m, m n et n l ad compositum ex e f, c d et a b sicut l n ad a b ideoque sicut k d ad a b. Quod est propositum.

Cum coaptati fuerint numeri ab unitate continue dupli, qui coniuncti faciant numerum primum, extremus eorum in aggregatum ex eis ductus producit numerum perfectum.

Sint ab unitate continue dupli a, b, c, d, ex eis autem et unitate coacervatus sit e qui ponatur esse numerus primus in quem e multiplicetur d et proveniat f g. Dico f g esse numerum perfectum. Sumantur h, k, l continue dupli ad e ut tot sint e, h, k, l quot sint continue dupli ad unitatem sumpti eritque per equam proportionalitatem l ad e sicut d ad a. Quare per primam partem 20 septimi ex a in l provenit f g. Nam ipse f g provenit ex d in e. Et quia a est binarius, est f g duplus ad l. Sunt igitur e, h, k, l et f g continue proportionales. Dematur igitur ex h equalis e qui sit m h et residuus h n qui erit etiam equalis e. Itemque ex f g dematur eidem e equalis qui sit f n eritque per premissam n g quantum aggregatum ex e et h et k et l. Sed et f n cum sit equalis e est quantum aggregatum ex a et b et c et d et unitate. Itaque totus f g est quantus aggregatus ex omnibus hiis, scilicet a, b, c, d et unitate et illis e, h, k, l de quibus omnibus manifestum est quod numerant eum scilicet f g, c quidem secundum h et b secundum k quod ex prima parte 20 septimi convincitur adiuvante equa proportionalitate sicubi opus fuerit. Est enim ut d ad c sic h ad e et ut d ad b sic k ad e per equam proportionalitatem, quare et ex c in h et ex b in k necesse est provenire f g quem dudum produxerat d in e. Si igitur nullus alius ab hiis numerat f g, ipse erit per diffinitionem numerus perfectus. Quod autem nullus alius eum numeret, sic patet: Si enim hoc possibile est, sit p qui numeret eum secundum q eritque per 33 septimi ut e numeret alterum eorum ponaturque quod numeret p. Et quia per secundam partem 20 septimi est q ad d sicut e ad p, sequitur ut q numeret d, quare cum a qui sequitur unitatem sit primus (est enim binarius), erit q per 13 huius aut a aut b aut c quicumque autem horum fuerit, erit p aut l aut k aut h. Si enim q fuerit a, constat quod p erit l; quod si fuerit b, p erit k. Si autem c, p quoque erit h. Non est igitur p diversus ab illis ut fuerat positum. Relinquitur ergo quod f g sit numerus perfectus. Quod erat demonstrandum. [f.77v]