Latera numerorum dicuntur quorum multiplicatione numeri producuntur.

Superficialis appellatur [f.64r] numerus qui duobus lateribus continetur.

Solidus vero qui sub tribus ex quorum multiplicatione continua habet procreari.

Quadratus est numerus superficialis equalibus lateribus contentus.

Cubus est solidus equalibus consistens lateribus.

Similes dicuntur numeri superficiales sive solidi quorum latera sunt proportionalia etcetera.

Si numerorum quotlibet continue proportionalitatis duo extremi fuerint contra se primi, eos omnes secundum suam proportionem minimos esse necesse est etcetera.

Sint continue proportionales a, b, c duoque extremi qui sint a, c sint contra se primi. Dico quod in eadem proportione reperientur non totidem minores. Si autem contingit, sint d, e, f eritque per 15 septimi a ad c sicut d ad f et quia a et c sunt minimi in sua proportione per 23 eiusdem, sequitur per 21 ut a numeret d et c, f maiores scilicet minores. Quod esse non potest.

Numeros quotlibet continue proportionalitatis secundum proportionem datam minimos invenire.

Unde manifestum erit quia, si fuerint tres numeri continue proportionalitatis secundum eam minimi, extremi duo erunt quadrati. Quod si fuerint quatuor, erunt extremi cubi.

Sint date proportionis minimi a et b ducaturque a in se et fiat c et in b et fiat d, b quoque in se et proveniat e eruntque c, d, e continue proportionales in proportione a ad b per 18 et 19 septimi. Et quia c et e sunt contra se primi per 28 eiusdem, erunt c, d, e secundum datam proportionem minimi per premissam. Ducatur iterum a in omnes illos et proveniant f, g, h et b in e et proveniat k et erunt etiam f, g, h, k continue proportionales in proportione a ad b per 18 et 19 septimi, minimi quoque per 28 eiusdem et premissam. Hac via et ratione invenientur 5 vel 6 vel quotlibet.

Si numeri quotlibet continue proportionalitatis secundum suam proportionem fuerint minimi, [f.64v] duos eorum extremos contra se primos esse necessario comprobatur.

Hec tertia est conversa prime. Sint enim a, b, c, d continue proportionales et secundum suam proportionem minimi. Dico quod a et d extremi erunt ad invicem primi. Minimi enim in proportione a ad b sunt e et f eruntque per 22 septimi contra se primi. Per hos ergo duos secundum doctrinam premisse inveniantur totidem continue proportionales et minimi quot sunt numeri propositi. Primo quidem tres qui sunt g, h, k, deinde 4 qui sunt l, m, n, p et ad hunc modum continue per additionem unius quousque fiant tot quot sunt numeri propositi ut sunt hic l, m, n, p. Sequitur ergo l, m, n, p equales esse a, b, c, d eo quod in eadem proportione sunt utrique minimi et quia l et p sunt contra se primi per 28 septimi, erunt quoque a et d illis equales contra se primi. Quod est propositum.

Similitudinem assignatarum proportionum in minimis numeris secundum ipsas proportiones continuatim proportionalibus invenire.

Assignate proportiones in minimis terminis inveniantur ut docet 34 septimi. Sintque prima inter a et b, secunda inter c et d, tertia inter e et f, sit quoque de pluribus si fuerint plures. Volo has proportiones in 4 minimis numeris continuare. Sumo ergo g minimum quem numerant b et c et quotiens b numerat ipsum g totiens a numeret h, d quoque totiens numeret k quotiens c, g. Itaque si e numeret k, sit ut f totiens numeret l eruntque h, g, k, l quos querimus. Constat enim per 18 septimi quod sit h ad g sicut a ad b et g ad k sicut c ad d, at k ad l sicut e ad f. Minimi quoque, nam si alii sint minimi ut m, n, p, q, oportebit per 21 septimi bis assumptam ut uterque duorum b et c numeret p, quare et g numerabit eundem per corollarium 35 septimi. Quod est inconveniens. Sunt igitur h, g, k, l minimi. At vero si e non numeret k, sit m minimus numeratus ab eis scilicet e et k quem m quotiens numerat k totiens h numerat n et g totiens p. Eruntque per 18 septimi n, p, m in proportione h, g, k, quare n ad p ut a ad b et p ad m ut c ad d, sed et quotiens e numerat m totiens f numerat q et erit per eandem m ad q sicut e ad f. Manifestum est igitur quod assignate proportiones continuate sunt in 4 numeris qui sunt n, p, m, q. Qui si non fuerint minimi, sint (si possibile est) alii qui sint r, s, t, x. Quia itaque per 21 septimi bis assumptam uterque duorum numerorum b et c numerat s, sequitur per corollarium 35 septimi ut g numerat eundem, quare etiam k numerabit t. At quia per 21 septimi e numerat eundem t, non erit m minimus quem numerant k et e. Hac ratione quartam illis et quotlibet alias sine omni offendiculo continuare poteris.

Omnium duorum numerorum compositorum proportio unius ad alterum est ex laterum suorum producta proportionibus.

Quod proponit 24 sexti de superficiebus equidistantium laterum, proponit hec de numeris compositis. Sint duo numeri compositi a et b, latera autem a sint c et d, latera b sint e et f. Dico itaque quod proportio a ad b constat ex ea que est c ad e et ea que est d ad f. Sit enim ut ex d in e fiat g. Quia ergo ex d in c fit a et ex f in e fit b, per conversionem diffinitionis laterum erit per 18 septimi a ad g sicut c ad e et per 19 eiusdem g ad b [f.65r] sicut d ad f. Quare per diffinitionem proportio a ad b composita est ex ea que est c ad e et ea que est d ad f. Quod est propositum.

. Nec est necessarium ut continuemus proportiones laterum (videlicet eam que est c ad e et eam que est d ad f) in minimis numeris repertis secundum doctrinam precedentis ut docent quidam. Hoc enim est proposito preter necessarium. Arguunt enim posito quod illi minimi sint h, k, l ita quod sit h ad k sicut c ad e et k ad l sicut d ad f proportionem h ad l esse compositam ex propositorum laterum proportionibus sumptoque g fieri ex d in e arguunt a ad g ut h ad k, quia ut c ad e, et g ad b ut k ad l quia ut d ad f. Ideoque per equam proportionalitatem et a ad b ut h ad l. Concludunt igitur a ad b componi ex quibus h et l verum quidem sed non necessario assumpto.

Si numerorum quotlibet continue proportionalium primus secundum non numeret, nullus eorum numerabit ultimum.

Sint a, b, c, d, e continue proportionales. Dico quod si a non numeret b, nullus eorum numerabit e. Manifestum autem est quod si ipsum numeret, omnes numerabunt e et simpliciter quilibet precedens quemlibet sequentem. Si autem non numerat ipsum, patet quod d non numerabit e nec simpliciter aliquis eorum proximo sequentem quia sunt positi continue proportionales. Sed quod nullus alius ut c numeret ipsum e sic constat: Sumantur secundum doctrinam secunde huius totidem minimi continue proportionales in eadem proportione quot sunt ipse c et omnes sequentes qui sint f, g, h eruntque per 3 huius et f et h contra se primi. Et quia per equam proportionem c ad e ut f ad h cum f numeret non h nec c numerabit e. Eodem modo nec aliquis aliorum, quare liquet quod propositum est.

Si numerorum continue proportionalium primus ultimum numeret, idem ipse et secundum numerabit.

Sint qui prius continue proportionales. Dico si a numeret e, ipse numerabit b. Alioquin ex premissa non numeraret e. Quod est contrarium et impossibile. Non solum autem numerabit b, sed et omnes et quisque eorum quemlibet ipsum sequentem.

Si inter duos numeros numeri quotlibet in continua proportionalitate ceciderint, totidem inter omnes duos in eadem proportione relatos cadere necesse est.

Sint a et b inter quos cadunt c et d in continua proportione habentes se in proportione e ad f. Dico quod totidem cadunt inter e et f et in eadem proportione quot inter a et b. Sint enim g, h, k, l totidem minimi quot sunt a et b et qui inter eos cadunt sumpti quemadmodum docet secunda huius continue proportionales in eadem proportione. Eruntque per 3 g et l contra se primi et per equam proportionalitatem erit g ad l sicut a ad b ideoque et sicut e ad f. Et quia ipsi sunt in sua proportione minimi per 23 septimi, sequitur per 21 eiusdem ut g numeret e et l, f equaliter. Totiens igitur [f.65v] numeret h, m et k, n positisque m et n inter e et f constat per 18 septimi e, m, n, f esse continue proportionales quemadmodum sunt g, h, k, l et ideo quemadmodum a, c, d, b. Quare patet quod dictum est.

. Ex hac constat nullam superparticularem posse per equalia dividi. Si enim hoc esset, oporteret inter duos numeros sola unitate distantes numerum cadere medium quod esse non potest. Ideoque tonus in musica quem sesquioctava continet proportio, in duo vera semitonia dividi non potest, sed necessario dividitur in minus semitonium et maius.

Si inter duos numeros contra se primos numeri quotlibet continua proportionalitate ceciderint, inter utrumque eorum et unitatem totidem continua proportionalitate cadere necesse est.

Sint a et b contra se primi inter quos cadent in continua proportionalitate c et d. Dico quod totidem erunt continue proportionales inter a et unitatem itemque totidem inter b et unitatem. Sint enim in illa proportione minimi e et f sumpti ut docet 34 septimi, ex quibus sumantur tres continue proportionales et minimi in eorum proportione prout docet secunda huius qui sint g, h, k. Deinde 4 qui sint l, m, n, p et hoc totiens fiat quousque sic sumpti fiant totidem quot sunt numeri propositi, ut hic l, m, n, p. Constat itaque (cum sint a, c, d, b in sua proportione minimi per primam huius sintque l, m, n, p totidem et minimi in eadem, non sit autem possibile esse aliquid minus minimo) quod numeri l, m, n, p equales erunt numeris a, c, d, b quisque suo relativo. Est igitur l equalis a et p, b. Manifestum autem ex secunda huius quod ex f in se fit k et ex eodem in k, p, per diffinitionem igitur eius quod est multiplicari erit f in k, k quoque in p quotiens unitas in f. Itaque unitas, f, k, p sunt continue proportionales. Similiter autem unitas, e, g, l. Sumptis ergo a et b loco l et p sibi equalium erunt inter a et unitatem g et e et inter b et unitatem k et f continue proportionales totidem quot sunt inter a et b. Quod est propositum.

Si inter utrumque eorum et unitatem quotlibet numeri continua proportionalitate ceciderint, ambobus numeris totidem continua proportionalitate interesse necesse est.

Sint duo numeri a et b sintque c et d inter a et unitatem, e quoque et f inter b et unitatem continue proportionales. Dico totidem esse inter a et b continue proportionales. Hec est conversa prioris excepto quod ad subiectum premisse appositum erat a et b esse contra se primos, quod non apponitur hic ad passionem quapropter universalior est passio huius subiecto illius. Quia igitur quotiens unitas in d totiens est d in c et totiens c in a, constat quod ex d in se fit c et ex eodem d in c, a. Similiter quoque ex f in se et in e fient e et b. [f.66r] Ducatur itaque d in f et productus sit g itemque idem d ducatur in g et e et sint producti h et k. Constat igitur ex 18 septimi quod c ad g ut d ad f et ex 19 quod g ad e ut d ad f, quare c, g, e sunt continue proportionales in proportione d ad f. Item per 18 iterum sunt a ad h sicut c ad g et h ad k sicut g ad e et per 19 k ad b sicut d ad f, igitur sunt a, h, k, b continue proportionales. Quare constat propositum.

Si fuerint ambo quadrati, erit proportio unius ad alterum tamquam sui lateris ad latus illius proportio duplicata. Si vero ambo fuerint cubi, erit proportio alterius ad alterum tamquam sui lateris ad latus alterius proportio triplicata.

Sint duo quadrati a et b et duo cubi c et d, latera tam quadratorum quam cuborum sint e quidem a et c, f vero b et d. Dico quod proportio a ad b erit sicut e ad f duplicata, c vero ad d sicut eadem triplicata. Manifestum enim est quod ex e in se fit a et ex ipso e in a, c, sic quoque ex f in se fit b et ex ipso in b, d. Ducatur igitur e in f et proveniat g et in g et b et proveniant h et k. Eritque per 18 septimi a ad g sicut e ad f et per 19 g ad b sicut e ad f, igitur ex diffinitione a ad b sicut e ad f duplicata. Quod est primum. Secundum eodem modo constat. Sunt enim per 18 iterum c ad h sicut a ad g et h ad k sicut g ad b et per 19 k ad d sicut e ad f. Quare c, h, k, d sunt etiam continue proportionales in proportione e ad f, per diffinitionem igitur erit c ad d sicut e ad f triplicata. Quod est secundum etcetera.

Si numerorum continue proportionalitatis quisque in se ipsum ducatur, qui inde producentur sub continua proportionalitate esse. Quod si item in ipsos productos principia sua ducantur, inde quoque productos continue proportionalitatis esse necesse est, idem quoque in omnibus hoc modo productis extremitatibus.

Sint a, b, c continue proportionales quorum quisque in se ducatur et proveniant quidem ex a, d; ex b vero e et ex c, f. Dico quod d, e, f sunt continue proportionales. Quod si item a ducatur in d et proveniat g, b quoque in e et proveniat h et c in f et proveniat k. Dico etiam quod g, h, k erunt continue proportionales. Sit enim ex a in b, l et ex c in eundem m eruntque per 18 et 19 [f.66v] septimi d, l, e, m, f continue proportionales in proportione a, b, c. Itaque per equam proportionalitatem argue d ad e sicut e ad f. Quod est primum. Reliquum sic: Ducatur a in l et e et proveniant n et p, c quoque ducatur in e et m et proveniant q et r eruntque per easdem g, n, p, h, q, r, k continue proportionales in proportione primorum. Per equam igitur proportionalitatem conclude g ad h sicut h ad k. Quod est reliquum. Eadem erit ratio quotienscumque primi in productos ducantur etcetera.

Si quis quadratus numerus alium quadratum numeret, latus quoque suum latus illius numerare probatur. Si vero latus suum latus illius numeret, quadratus numerat quadratum.

Sint duo numeri a et b quadrati lateraque eorum c et d. Dico quod si a numerat b, c quoque numerabit d et econverso. Constat enim quod ex c in se fit a, ex d quoque in se b. Fiat igitur e ex c in d eruntque per 18 et 19 septimi a, e, b continue proportionales in proportione c ad d. Si igitur a numerat b, idem ipse per 7 huius numerabit e, quare et c, d. Quod est primum. Conversa sic patet: Si c numerat d, a numerabit e propter id quod proportio a ad e sicut c ad d. Et si numerat e, ipse numerabit b propter hoc quod sunt continue proportionales.

Si cubus alium cubum numeret, latus quoque suum latus alterius numerabit. Si vero latus suum latus alterius numeret, cubus numerabit cubum.

Sint duo numeri a et b cubi lateraque eorum c et d. Dico quod si a numerat b, c quoque numerabit d et econverso. Ducatur c in se et fiat e, d quoque in se et fiat f. Constat igitur quod ex c in e fit a et ex d in f, b. Fiat itaque g ex c in d eruntque per 18 et 19 septimi e, g, f continue proportionales in proportione c ad d. Sed et h et k proveniant ex c in g et f, per easdem igitur erunt a, h, k, b continue quoque proportionales in eadem proportione. Itaque si a numerat b, idem per 7 huius numerabit h, quare et c, d, est enim c ad d sicut a ad h. Constat igitur prima pars. Conversa patet, sicut conversa prioris. Nam si c numerat d, a quoque numerabit h quem si numerat necesse est ut numeret b. Quod est propositum etcetera.

15 Si numerus quadratus quendam alium quadratum non numeret, nec latus suum latus illius numerabit. Si vero latus suum latus illius non numeret, quadratus is quadratum illum non numerare ex necessitate convincitur.

Hec 15 proponit negationes converti, que affirmationibus quas 13 huius converti proposuit opponuntur. Ut si sint duo numeri quadrati a et b quorum latera c et d. Si a non numerat b, c quoque non numerabit d. Econverso etiam si c non numerat d, nec a, b. Sit enim primo ut a non numeret b. Si itaque c numeret d, per secundam partem 13 huius et a numerabit b. Quod est contrarium positioni. Sicque patet primum. Secundum quoque sic: Sit ut c non numeret d, itaque si a numeret b, per primam partem 13 necesse est ut c numeret d. Necesse est igitur ut numeret ipsum cum non numerat ipsum. Quod est impossibile.

. Quemadmodum autem necesse est converti negationes oppositas affirmationibus quas 13 demonstravit converti, sic quoque necesse est eas negationes que opponuntur illis affirmationibus quas premissa converti demonstravit convertantur. Unde si cubus non numerat cubum, nec latus eius numerabit latus illius. Econverso quoque si latus unius non numerat latus alterius, nec ipse cubus numerabit alterum cubum. Demonstratur autem hoc per premissam a destructione consequentis, sicut quod propositum est per 13 ideoque hoc auctor non proposuit, sed per id quod demonstratum est ipsum dedit intelligi.

Si duo numeri superficiales fuerint similes, necesse est tertium numerum secundum continuam proportionalitatem eis interesse, eritque proportio unius numeri ad alterum sibi similem velut unius lateris sui ad latus alterius se respiciens proportio duplicata.

Sint duo numeri a et b superficiales et similes. Dico quod inter ipsos cadet unus numerus in continua proportione. Latera enim a sint c et d, b vero latera sint e et f. Eritque ex conversione diffinitionis numerorum similium c ad e sicut d ad f. Constat autem quod ex c in d fiat a et ex e in f, b, fiat itaque g ex e in d eritque per 19 septimi a ad g sicut c ad e et per 18 eiusdem g ad b sicut d ad f, quare a ad g sicut g ad b. Est itaque g continua proportionalitate medius inter a et b. Quod est propositum. Corollarium autem patet cum sit a ad b per diffinitionem sicut a ad g duplicata, que a ad g eadem est illi que est c ad e.

17 Si secundum continuam proportionalitatem tertius numerus duobus numeris intersit, illi duo numeri superficiales sunt et similes. [f.67v]

fig.302 VIII.17

Hec est conversa premisse. Ut si inter a et b sit c sub continua proportionalitate constitutus, a et b erunt superficiales et similes. Sint enim d et e minimi in proportione qua continuantur a, c, b qui per 21 septimi numerabunt a et c equaliter. Sitque ut secundum f et per eandem numerabunt c et b equaliter, et sit ut secundum g. Erunt igitur per diffinitionem a et b superficiales et erunt etiam per diffinitionem d et f latera numeri a, e quoque et g latera numeri b. Quod autem ipsi sint similes, sic habeto: Cum enim ex d in g fit c et ex e in f fit idem c, erit per secundam partem 20 septimi d ad e sicut f ad g. Per diffinitionem igitur a et b sunt similes. Quod est propositum.

Hoc autem ultimum quod est a et b esse similes potest etiam haberi per 18 et 19 septimi et per has ypotheses quod a, c, b sint continue proportionales in proportione d ad e minimorum numerantium a et c secundum f et c et b secundum g.

Si fuerint duo numeri solidi similes, necesse est eis duos numeros secundum continuam proportionalitatem interesse. Eritque proportio unius solidi ad alterum sibi similem velut cuiuslibet sui lateris ad latus alterius respiciens se proportionaliter proportio triplicata.

Sint duo numeri a et b solidi similes. Dico quod inter ipsos cadent duo numeri in continua proportione. Sint enim latera numeri a: c, d, e, latera vero b sint f, g, h eruntque ex conversione diffinitionis numerorum similium c ad f et d ad g sicut e ad h. Sic igitur ex c in d, k et ex f in g, l eruntque ex diffinitione k et l superficiales et similes, quare per 16 huius unus numerus cadet inter eos medius secundum proportionem c ad f qui sit m. Manifestum autem est quod ex e in k fit a et ex h in l, b. Si igitur ex e in m et l fiant n et p, erunt per 18 septimi a ad n sicut k ad m et n ad p sicut m ad l, quare a, n, p sunt continue proportionales in proportione c ad f. Et quia per 19 eiusdem p ad b sicut e ad h et ideo sicut c ad f, sequitur ut 4 numeri a, n, p, b sint continue proportionales secundum proportionem c ad f. Sunt itaque inter a et b duo numeri n et p medii in continua proportionalitate suorum laterum interpositi. Quod est propositum. Corollarium autem patet cum proportio a ad b sit per diffinitionem sicut a ad n triplicata que est eadem illi que est c ad f.

Si eis secundum continuam proportionalitatem duo numeri interiacent, quilibet duo numeri solidi sunt atque similes.

Hec est conversa premisse. Ut si inter a et b sint duo numeri c et d medii in continua proportione, erunt a et b solidi et similes. Sumantur enim tres minimi in eadem proportione continue proportionales qui sunt e, f, g eruntque per 17 e et g superficiales et similes. Sint ergo h et k latera e, at l et m latera g eritque per corollarium 16 huius e ad f sicut h ad l aut sicut k ad m. Manifestum autem est ex 3 quod e et g sunt contra se primi [f.68r] ideoque per 23 septimi in sua proportione minimi. Et quia per equam proportionalitatem sunt a ad d et c ad b sicut e ad g, sequitur per 21 septimi ut ipsi numerent a et d equaliter, quod sit secundum n. Et item c et b equaliter quod sit secundum p. Quia igitur ex h in k fit e et ex e in n fit a, sequitur per diffinitionem ut a sit solidus eiusque latera h, k, n. Similiter quoque quia ex l in m fit g et ex g in p, b, sequitur etiam ut b sit solidus et eius latera l, m, p. Ipsos autem esse similes, sic constabit: Cum ex g in n fiat d et ex eodem in p, b, erit per 18 septimi n ad p sicut d ad b. Et quia sic erant h ad l et k ad m, per diffinitionem manifestum est a et b esse similes. Quod est propositum.

Si trium numerorum continue proportionalium primus fuerit quadratus, tertium quoque quadratum esse.

Sint tres numeri continue proportionales a, b, c sitque a quadratus. Dico quod c est etiam quadratus. Sunt enim per 17 a et c superficiales et similes. Cum igitur a sit quadratus per ypothesim, erit c quadratus.

Si quatuor numerorum continue proportionalium primus fuerit cubus, quartum cubum esse necesse est.

Sint 4 numeri continue proportionales a, b, c, d sitque a cubus. Dico quod d est etiam cubus. Constat enim per 19 quod a et d sunt solidi similes et quia a est cubus per ypothesim, erit etiam d cubus.

Si duorum numerorum quorum proportio sit sicut quadrati ad quadratum fuerit unus quadratus, alterum quoque quadratum esse.

Sint duo numeri a et b in proportione duorum quadratorum qui sunt c et d sitque a vel b quadratus. Dico reliquum esse quadratum. Cum enim c et d sint quadrati, sequitur eos esse superficiales similes ideoque per 16 cadet unus medius inter eos in continua proportionalitate, quare per 8 et inter a et b. Per 20 igitur constat propositum etcetera.

Si duorum numerorum quorum proportio ad alterum sit sicut cubi ad cubum alteruter fuerit cubus, alterum cubicum esse.

Sint duo numeri a et b in proportione duorum cuborum qui sunt c et d sitque a vel b cubus. Dico reliquum esse cubum. [f.68v] Necesse est enim quod c et d sint solidi similes quippe omnes cubi sunt similes et solidi, itaque per 18 inter ipsos cadent duo medii in continua proportione. Totidem igitur per 8 cadent inter a et b, itaque per 21 manifestum est quod dicitur.

Numerorum superficialium similium est proportio unius ad alterum sicut proportio quadrati ad quadratum.

Sint a et b superficiales et similes. Dico quod unius ad alterum est proportio sicut quadrati ad quadratum. Erit enim per 16 inter eos unus medius in continua proportionalitate qui sit c. Sumptis itaque tribus minimis in proportione eorum qui sint d, e, f erunt per corollarium 2 d et f quadrati et quia per equam proportionalitatem est a ad b sicut d ad f, constat verum esse quod proponitur.

Omnium duorum solidorum similium est proportio unius ad alterum sicut alicuius cubi ad aliquem cubum.

Sint a et b solidi similes. Dico quod proportio unius eorum ad alterum est sicut alicuius cubi ad alium cubum. Sunt quidem per 18 inter eos duo numeri medii secundum continuam proportionem qui sint c et d. In eorum proportione sint minimi 4 e, f, g, h quorum e et h erunt cubi per corollarium secunde. Quia igitur per equam proportionalitatem est a ad b sicut e ad h, liquet propositum.