Unitas est qua unaqueque res dicitur una.

Numerus est multitudo ex unitatibus composita.

Naturalis series numerorum dicitur in qua secundum unitatis additionem fit ipsorum computatio.

Differentia numerorum appellatur numerus quo maior habundat a minore.

Numerus primus dicitur, qui sola unitate metitur.

Numerus compositus dicitur, quem alius numerus metitur.

Numeri contra se dicuntur primi, qui nullo modo excepta sola unitate numerantur.

Numeri ad invicem compositi sive communicantes dicuntur, quos alius numerus quam unitas metitur nullusque eorum est ad alium primus.

Numerus per alium multiplicari dicitur qui totiens sibi coacervatur quotiens in multiplicante est unitas.

Productus vero dicitur qui ex eorum multiplicatione crescit.

Numerus alium numerare dicitur qui secundum aliquem multiplicatus illum producit.

Pars est numerus numeri minor maioris cum minor maiorem numerat. Et qui numeratur numerantis multiplex appellatur.

Denominans est numerus secundum quem pars sumitur in suo toto.

Similes dicuntur partes que ab eodem numero denominantur.

Prima et simpla numeri pars est unitas.

Quando duo numeri partem habuerint communem, tot partes maioris dicetur esse minor quotiens eadem pars fuerit in minore, tote vero quotiens ipsa fuerit in maiore.

Numeri ad numerum dicitur proportio minoris quidem ad maiorem in eo quod maioris pars est aut partes. Maioris vero ad minorem secundum quod eum continet et eius partem vel partes.

Cum fuerint quotlibet numeri continue proportionales dicetur proportio primi ad tertium sicut primi ad secundum duplicata, ad quartum vero triplicata.

Cum continuate fuerint eedem vel diverse proportiones, dicetur proportio primi ad ultimum ex omnibus composita.

Denominatio dicitur proportionis minoris quidem numeri ad maiorem pars vel partes ipsius minoris que in maiore sunt. Maioris autem ad minorem totum vel totum et pars vel partes prout maior superfluit.

Similes sive una alii eadem dicuntur proportiones que eandem denominationem recipiunt. Maior vero que maiorem. Minor autem que minorem.

Numeri vero quorum proportio una, proportionales appellantur.

Termini sive radices dicuntur quibus in eadem proportione minores sumi impossibile est.

Petitiones sunt 4:

Cuilibet numero quotlibet posse sumi equales proutlibet vel multiplices.

Quolibet numero aliquem quantumlibet sumere posse maiorem.

Seriem numerorum in infinitum posse procedere.

Nullum numerum in infinitum posse diminui.

Communes animi conceptiones sunt 10:

Omnis pars minor est suo toto.

Quicumque eiusdem sive equalium fuerint eque multiplices, ipsi quoque erunt equales.

Quibus idem numerus eque multiplex fuerit sive quorum eque multiplices fuerint equales, et ipsi etiam erunt equales.

Omnis numeri pars est unitas ab ipso denominata.

Omnis pars est minor que maiorem habet denominationem, maior vero que minorem.

Quilibet numerus totus est ab unitate quota pars ipsius est unitas.

Quicumque numerus in unitatem ducitur, seipsum producit. Unitas quoque in quemcumque ducta producit eundem.

Quicumque numerus numerat duos numeros, numerat quoque [f.54r] compositum ex illis.

Quicumque numerus numerat aliquem, numerat omnem numeratum ab illo.

Quicumque numerus numerat totum et detractum, numerat residuum.

Si a maiore duorum numerorum minor detrahatur donec minus eo supersit, ac deinde de minore ipsum reliquum donec minus eo relinquatur, itemque a reliquo primo reliquum secundum quousque minus eo supersit, atque in huiuscemodi continua detractione nullus fuerit reliquus qui ante relictum numeret usque ad unitatem, eos duos numeros contra se primos esse necesse est.

Sint duo numeri a b et c d, c d minor detrahaturque c d ex a b quotiens potest et sit residuum e b qui erit minor c d. Alioquin posset ex ipso adhuc detrahi c d. Detrahatur et ipse e b ex c d quotiens potest sitque residuum f d, sed et f d detrahatur ex e b quotiens potest et sit residuum g b quod sit unitas, dico tunc duos numeros a b et c d esse contra se primos. Si enim sunt compositi, numerabit eos communiter per diffinitionem aliquis numerus preter unitatem qui sit h. Et quia h numerat c d, numerabit a e per penultimam conceptionem. Et quia idem numerat a b, numerabit etiam e b per ultimam conceptionem, ergo et c f per penultimam, quare et f d per ultimam, ergo et e g per penultimam, ergo et g b per ultimam et quia g b est unitas, sequitur numerum partem esse unitatis vel sibi equalem. Quod est impossibile. Erunt igitur a b et c d contra se primi. Quod est propositum.

. Quod si duo numeri a b et c d sint contra se primi, non erit in hac mutua detractione status antequam ad unitatem perveniatur. Et est istud conversum eius quod auctor proponit. Si enim in hac mutua detractione fuerit status antequam veniatur ad unitatem sit ut g b sit numerus qui detrahatur ab f d et nihil sit residuum, igitur g b numerat f d , ergo per penultimam conceptionem numerat et e g. Et quia etiam numerat se ipsum, numerabit per antepenultimam conceptionem totum e b, ergo per penultimam numerat c f, sed ostensum est prius quod numerat f d, ergo per antepenultimam numerat totum c d. Quare per penultimam numerat a e. Et quia ostensum est prius quod etiam numerat e b, sequitur per antepenultimam ut etiam numeret a b. Quia igitur numerus g b numerat utrumque duorum numerorum a b et c d, numeri a b et c d sunt compositi. Non igitur contra se primi, quod est contra ypothesim. Per hanc vero viam propositis quibuscumque duobus numeris investigamus utrum ipsi sint contra se primi. Si enim tali facta mutua detractione perveniatur ad unitatem, ipsi sunt contra se primi. Si autem sit status antequam perveniatur ad unitatem, ipsi sunt compositi.

Propositis duobus numeris ad invicem compositis maximum numerum communem eos numerantem invenire.

Unde manifestum est quia omnis numerus duos numeros numerans numerat numerum maximum [f.54v] ambos numerantem.

Sint duo numeri compositi a b et c d, minor c d. Quia ergo numerat eos communiter aliquis numerus per diffinitionem, volo invenire maximum numerum eos communiter numerantem secundum modum et similitudinem prioris. Minuo minorem de maiore quoad possum videlicet c d de a b et sit residuum e b. Itemque e b de c d quoad possum et sit residuum f d. Et quia huius diminutio non potest fieri infinities per ultimam petitionem nec potest etiam ad unitatem devenire in proposito per precedentem quia tunc essent numeri propositi contra se primi, quod est contra ypothesim. Sit ut cum detraxero f d ex e b quoad potero quod nihil sit residuum, dico tunc f d esse maximum numerum numerantem a b et c d. Quod enim numeret eos patet per penultimam et antepenultimam conceptionem alternatim quotiens oportuerit repetitas sicut in demonstratione converse precedentis. Numerat enim f d, e b quia cum ab ipso detrahitur quoad potest nihil sit residuum, ergo et c f per penultimam conceptionem, ergo et c d per antepenultimam, quare et a e per penultimam, igitur et a b per antepenultimam. Quod autem nullus maior f d numeret a b et c d, sic patet. Si enim fieri potest, sit numerus g maior f d numerans utrumque duorum numerorum a b et c d. Igitur quia g numerat c d, numerabit per penultimam conceptionem a e. Et quia numerat a b, numerabit per ultimam e b, ergo per penultimam numerat c f et quia etiam numerat c d, numerabit per ultimam f d, maior videlicet minorem. Quod est impossibile. Ex hoc secundo processu liquet corollarium.

Propositis tribus numeris ad invicem compositis maximum numerorum eos communiter numerantium invenire.

Priusquam hanc tertiam conclusionem demonstremus, demonstrandum arbitramur ipsius antecedens videlicet propositis tribus numeris qualiter poterimus certificare an ipsi sint ad invicem compositi. Sint itaque tres numeri a, b, c de quibus volo videre utrum ipsi sint ad invicem compositi. Per primam igitur inquiro an duo primi qui sunt a et b sunt ad invicem primi. Quod si sic, non erunt a, b, c ad invicem compositi per diffinitionem. Si autem a, b sint ad invicem compositi, sit per precedentem d maximus numerus eos numerans qui si numerat c, erunt per diffinitionem a, b, c compositi ad invicem. Si autem non numerat ipsum, sed ipsi c et d quidem sunt contra se primi, non erunt a, b, c ad invicem compositi. Nam quicumque numeraret eos, numeraret etiam d per corollarium precedentis. Sicque essent d et c compositi. Quod est contra ypothesim. Si autem c et d sint compositi, erunt et a, b, c ad invicem compositi. Sit enim per premissam e maximus numerans c et d qui etiam per penultimam conceptionem numerabit a et b, quare per diffinitionem a, b, c sunt ad invicem compositi. Simili quoque modo scietur propositis quotlibet pluribus quam tribus an omnes sint ad invicem compositi.

Propositis itaque tribus qui sunt ad invicem compositi qui etiam sint a, b, c volo invenire maximum numerum numerantem omnes. Sumam secundum doctrinam premisse d maximum numerantem a et b qui si numerat c, ipse est quem querimus. Alioquin per corollarium precedentis sequeretur maiorem numerare minorem. Si autem non numerat c, erunt tamen c et d ad invicem compositi per ypothesim et corollarium precedentis et diffinitionem, sit igitur maximus numerans eos e. Dico e esse maximum numerantem a, b, c. Quod enim eos numeret, patet per hanc ultimam ypothesim que est ipsum esse maximum numerantem c et d et per penultimam conceptionem. Et quod nullus maior eo numeret eos, sic patet. Sit enim si potest fieri f maior e qui numeret a, b, c, qui cum numeret a et b, [f.55r] numerabit per corollarium premisse d. Et quia etiam numerat c, numerabit per idem corollarium e maior videlicet minorem. Quod est impossibile. Non erit igitur numerus aliquis maior e numerans a, b, c. Quod est propositum.

. Simili quoque modo invenietur maximus numerus numerans quotlibet plures tribus ad invicem compositos. Unde non oportuit Euclidem de pluribus tribus hoc docere, quia idem est modus et ars in tribus et pluribus.

. Ex ultimo autem huius demonstrationis processu poterimus etiam illud corollarium huic tertie conclusioni adiicere: Unde manifestum est quod omnis numerus numerans quotlibet ad invicem compositos numerat maximum numerantem eos omnes et etiam maximos numerantes binos et binos eorum.

Omnium duorum numerorum inequalium minor maioris aut pars est aut partes.

Sint duo numeri a et b, b minor. Dico quod b est pars vel partes a. Aut enim b numerat a aut non. Si numerat, pars eius est per diffinitionem. Si autem non numerat ipsum, aut ergo sunt ad invicem primi aut non. Si non sunt ad invicem primi, habebunt per diffinitionem partem communem que quotiens fuerit in b tot partes a dicetur b esse per diffinitionem. Si autem sint ad invicem primi, quia tamen omnis numeri pars est unitas ab ipso denominata, patet idem per unitates.

Si fuerint 4 numeri quorum primus tota pars secundi quota tertius quarti, erunt primus et tertius pariter accepti tota pars secundi et quarti pariter acceptorum quota primus secundi.

Volens Euclides hos libros de numeris aliquo precedentium non indigere, sed per se ipsos stare, partem eius quod proposuit per primam quinti de quantitatibus in genere, proponit per hanc quintam huius septimi de numeris. Sint igitur 4 numeri a, b, c, d sitque b tota pars a quota d, c. Dico quod b et d pariter accepti sunt tota pars a et c pariter acceptorum quota b est a. Divisis enim a et c secundum quantitatem b et d argumentare sicut in prima quinti. Erit enim ut totidem sint partes a quot c per positionem et ut aggregatum ex prima parte a et prima c sit equale aggregato ex b et d similiter quoque et aggregatum ex secunda parte a et secunda c et quia hec aggregatio totiens potest fieri quotiens continetur b in a, sequitur ut numerus equalis aggregato ex b et d totiens contineatur in aggregato ex a et c quotiens b continetur in a. Quare constat propositum.

Si fuerint quatuor numeri quorum primus tote partes secundi quote tertius quarti, erunt primus et tertius pariter accepti tote partes secundi et quarti pariter acceptorum quote primus secundi.

Quod proposuit premissa de parte, proponit ista de partibus. Sint itaque ut prius 4 numeri a, b, c, d sitque ut b sit tot et tote partes a quot et quote d est c. [f.55v] Dico quod b et d pariter accepti erunt tot et tote partes a et c pariter acceptorum quot et quote b est a. Dico autem tot et totas quia partium pluralitas duobus numeris diffinitur quorum alter numerator dicitur, alter denominator ut cum dicimus tres quinte, ternarius numerat, quinarius denominat. Quia igitur b est partes a, sit ut partes eius sint numerate ab h et denominate a k eritque similiter per positionem d partes c numerate ab h et denominate a k. Una itaque partium b sit e et una partium d sit f. Eritque propter ypothesim e pars b denominata ab h et pars a denominata a k. Similiter quoque et f erit pars d secundum h et pars c secundum k. Compositus ergo ex e et f sit g eritque per premissam g pars b et d pariter acceptorum secundum h. Itemque per eandem erit pars a et c pariter acceptorum secundum k, quare per 16 diffinitionem erunt b et d pariter accepti partes a et c pariter acceptorum numerate ab h et denominate a k eo quod eorum communis pars est g minoris secundum h et maioris secundum k et quia sic erat b a, constat propositum.

. Potes autem quod per hanc et premissam proponit de 4 numeris ad quotlibet numeros ampliare. Quod si quotlibet numeri minores ad totidem maiores comparentur fuerintque singuli singulorum tota pars aut partes quota vel quote primus secundi, erunt quoque omnes pariter accepti tota pars aut partes omnium pariter acceptorum quota vel quote primus secundi. Quod facile probatur per hanc et premissam quotiens oportuerit repetitas. Et si crederemus esse intentionem Euclidis assumere ex prius demonstratis aliqua ad demonstrationem eorum que hic proponit, ex 13 quinti facile demonstrassemus hanc sextam. Nunc autem quia videtur oppositum (aliter enim supervacue proposuisset multa de numeris que demonstrata sunt in quinto de quantitatibus in genere) necesse habuimus propriis uti demonstrationibus tamquam ex prioribus nihil sumentes, solis huius septimi contenti principiis, propter quod et petitiones et communes animi conceptiones propositi proprias non inconvenienter huius septimi principio apposuimus.

Si fuerint duo numeri quorum unus alterius pars detrahaturque ab ambobus ipsa pars, erit reliquus tota pars reliqui quota totus totius.

Quod proponit hic Euclides de numeris, proposuit superius in quinta quinti de quantitatibus in genere. Sit itaque ut quota pars est totus a totius b tota sit c detractus ab a, d detracti a b. Dico quod tota erit e residuus a, f residui b quota est totus a totius b. Sit enim per petitionem e tota pars g quota c est d eritque per 5 tota pars a compositi ex g et d quota est c, d quare et quota est a, b, ergo per secundam conceptionem compositus ex g et d est equalis b. Dempto itaque ab utroque numero d erit g equalis f. Quare erit e tota pars f quota est a, b, tota enim erat e, g. Quod est propositum.

Si a duobus numeris, quorum alter alterius partes, propositis partes ille subtrahantur, erit reliquus reliqui eedem partes que totus totius.

Hec est quasi conversa sexte. Ut si sit quot et quote partes est totus a totius b tot et tote c detractus ab a, d detracti a b, erit e residuus a tot et tote partes f residui b quot et quote est a, b. Sit enim g una partium a et h una partium c eritque propter ypothesim g tota pars a quota h, c et tota b quota h, d. Detrahatur igitur h de g et remaneat [f.56r] k eritque k per premissam tota pars e quota g, a et tota f per eandem quota g, b. Quia igitur e et f habent partem communem que est k, erit per 16 diffinitionem e partes f tot quidem quota pars est k, e et tote quota est k, f. Et quia tot et tote erat a, b, patet propositum.

Si fuerint quatuor numeri quorum primus secundi tota pars quota tertius quarti, erit permutatim tota pars aut partes primus tertii, quota pars aut partes secundus quarti etcetera.

Sit a primus tota pars b secundi quota c tertius d quarti sintque a et b minores c et d. Aliter enim esset econverso ei quod proponit. Dico quod quota pars vel partes est a, c tota vel tote est b, d. Dividantur enim b quidem secundum quantitatem a, d vero secundum c eruntque per presentem ypothesim tot partes b quot d. Et quia unaqueque partium b est equalis a et unaqueque d, c est autem a, c pars aut partes per presentem ypothesim et per 4 erit unaqueque partium b sue comparis ex partibus d ut prima prime, secunda secunde sicque de ceteris tota pars aut partes quota vel quote est a, c. Per 5 igitur vel 6 sub disiunctione quotiens oportuerit repetitas erit tota pars aut partes b, d quota vel quote est a, c. Quod est propositum.

Si fuerint quatuor numeri quorum primus tote partes secundi quote tertius quarti, erit permutatim primus tota pars aut partes tertii, quota vel quote secundus quarti.

Sint 4 numeri ut prius quorum similiter minores sint a et b sitque a tote partes b quote c est d. Dico quod quota pars aut partes est a, c tota vel tote est b, d. Dividantur enim minores in partes illas qui sunt a et c eruntque per presentem ypothesim tot partes a quot c. Et quia unaqueque ex partibus a est tota pars b quota quelibet ex partibus c est d (hoc enim habemus ex nostra ypothesi) erit permutatim per premissam ut quota pars aut partes est b, d tota vel tote sit unaqueque ex partibus a sue comparis ex partibus c, per 5 igitur vel 6 sub disiunctione quotiens oportuerit repetitas erit tota pars aut partes b, d quota vel quote est a, c. Quod est propositum.

Si fuerint 4 numeri proportionales quorum primus secundo et tertius quarto sit maior, erit secundus tota pars aut partes primi quota vel quote quartus tertii. Quod si secundus fuerit tota pars [f.56v] aut partes primi quota vel quote quartus tertii, 4 numeros proportionales esse conveniet.

Sit proportio a ad b sicut c ad d sintque a et c maiores. Dico quod quota pars aut partes est b, a tota vel tote est d, c et econverso. Erit enim per conversionem diffinitionis similium proportionum ut quotiens b in a totiens sit d in c et si qua pars aut partes b superfluunt in a tota pars aut partes d superfluunt in c. Si itaque contineatur b in a sine superfluitate partis quia totiens sine superfluitate continetur d in c, erit per diffinitionem similium partium quota pars b, a tota d, c. Quod si quotienslibet continetur b in a cum superfluitate partis quia totiens continetur d in c cum superfluitate similis partis. Distincto a secundum b ut superfluat e atque c secundum d ut superfluat f, erit tota pars e, b quota f, d. At quia totiens continetur b in differentia a ad e quotiens d in differentia c ad f, erit per communem scientiam totiens e in a quotiens f in c. Cum igitur a et b habeant e partem communem, similiter c et d, f sitque e in b quotiens f in d itemque e in a quotiens f in c, erit per 16 diffinitionem b tot et tote partes a quot et quote d, c. Si autem b quotienslibet contineatur in a cum superfluitate quotlibet partium, quia totiens continetur d in c cum superfluitate totidem et similium partium, distincto a secundum b ut superfluat e, similiter c secundum d ut superfluat f, erit e tot et tote partes b quot et quote f, d. Sumpta una itaque ex ipsis argumentandum ut prius. Sicque patet primum.

Secundum sic: Sit b, a tota pars aut partes quota vel quote d, c. Dico quod erit proportio a ad b sicut c ad d. Si enim est tota pars, constat propositum. Si autem tote partes divisis eis secundum partes illas patebit totiens esse b in a quotiens d in c et totam partem aut partes b superfluere in a quota vel quote d superfluunt in c, per diffinitionem itaque est proportio a ad b sicut c ad d. Sicque liquet totum.

Si a duobus numeris secundum suas proportiones duo numeri detrahantur, erit proportio reliqui ad reliquum tamquam proportio totius ad totum.

Quod proposuit Euclides in 19 quinti de quantitatibus in genere, proponit hic de numeris ut si sit proportio totius a ad totum b sicut c detracti ab a ad d detractum a b, erit e residui a ad f residuum b sicut a ad b. Si enim a sit minor b, erit per presentem ypothesim et per conversionem diffinitionis c tota pars aut partes d quota vel quote est a, b, per 7 igitur vel 8 erit e tota pars aut partes f quota vel quote est a, b, per diffinitionem igitur erit et proportio una. Quod est propositum. Quod si a sit maior b, erit per primam partem premisse quota pars aut partes b, a tota vel tote d, c, quare per 7 vel 8 tota vel tote erit f, e. Itaque per secundam partem premisse e ad f sicut a ad b. Quare constat propositum.

. Cedunt autem huic 7 et 8, hec enim sola quod ambe ille continet. Volunt autem quidam secundam partem huius probare per 19 quinti. Sed si hoc modo intenderet Euclides, cum ista proponat particulariter quod illa universaliter, vane (illa demonstrata in quinto) proposuisset hanc hic in septimo et quia iterum non demonstrant eam simpliciter per 19 quinti. At vero nec modum demonstrationis possunt affirmare ad demonstrationem huius cum illa demonstretur de quantitatibus in genere per propor [f.57r] tionalitatem permutatam que infra demonstratur in numeris. Existimo autem et rationabiliter convinci videtur Euclidem (quem vultum demonstratoris arismetici, gratia decimi in quo sine numerorum aliqua precognitione transire non poterat constat assumere) idcirco plurima eorum que in quinto de quantitatibus in genere demonstravit, hic repetere demonstranda de numeris, quoniam per alia principia propria, videlicet numerorum, que magis nota sunt intellectui quam ea per que processit in quinto, ipsa demonstrare intendit. Principia enim quinti propter malitiam quantitatum incommunicantium difficilia sunt, principia vero numerorum magis ultro se intellectui applicant faciliusque quam illa. Egent enim illa intellectu magis disposito etcetera.

Si fuerint quotlibet numeri proportionales, quantus erit unus antecedens ad suum consequentem, tanti erunt omnes antecedentes pariter accepti ad omnes consequentes pariter acceptos.

Quod proponit Euclides per 13 quinti de quantitatibus in genere, proponit per hanc de numeris. Ut si sint a, b; c, d; e, f proportionales, dico quod est proportio a ad b ea que est a c e pariter acceptorum ad b d f pariter acceptos. Si enim a, c, e sint minores b, d, f, erit per conversionem diffinitionis quota pars aut partes a, b tota vel tote c, d et e, f. Per 5 ergo vel per 6 quotiens oportuerit repetitas erit quota pars vel partes a, b tota vel tote a c e pariter accepti b d f pariter acceptorum, quare per diffinitionem proportio una. Si autem a, c, e sint maiores b, d, f, erit per primam partem 11 quota pars vel partes b, a tota vel tote d, c et f, e. Per 5 ergo vel per 6 quotiens oportuerit repetitas erit quota pars vel partes b, a tota vel tote b d f pariter accepti a c e pariter acceptorum. Itaque per secundam partem 11 proportio a ad b sicut a c e pariter acceptorum ad b d f pariter acceptos. Quod est propositum.

Si fuerint 4 numeri proportionales, permutatim quoque proportionales erunt.

Modum arguendi qui dicitur proportionalitas permutata quam demonstravit Euclides per 16 quinti in quantitatibus in genere, hic proponit demonstrandum in numeris ut si proportio a ad b sit sicut c ad d, erit permutatim a ad c sicut b ad d. Erit enim a maior b aut minor, similiter quoque aut maior c aut minor. Sit itaque primo minor utroque, erit ergo per presentem ypothesim et conversionem diffinitionis a tota pars aut partes b quota vel quote c, d. Per 9 itaque vel 10 erit permutatim a tota pars aut partes c quota vel quote b, d, quare per diffinitionem proportio una. Sit igitur a maior utroque eritque per primam partem 11 ut quota pars aut partes est b, a tota vel tote est d, c, quare per 9 vel 10 tota pars aut partes erit d, b quota vel quote c, a, igitur per secundam partem 11 erit a ad c sicut b ad d. Sit tertio a maior b et minor c eritque per primam partem 11 tota pars aut partes b, a quota vel quote d, c, quare per 9 vel 10 quota vel quote est a, c tota vel tote erit b, d, per diffinitionem itaque proportio una. Ultimo quoque sit a minor b maiorque c eritque ut tota pars aut partes sit c, d quota vel quote est a, b. [f.57v] Per 9 igitur vel 10 erit tota vel tote d, b quota vel quote c, a, quare per secundam partem 11 b ad d sicut a ad c. Sicque constat propositum. Huic autem cedunt 9 vel 10 quia hec sola quod ambe ille proponit.

Si fuerint quotlibet numeri aliique secundum eorum numerum omnesque duo ex prioribus secundum proportionem omnium duorum ex posterioribus, in proportione equalitatis proportionales erunt.

Modum arguendi qui dicitur equa proportionalitas quam demonstravit Euclides per 22 quinti de quantitatibus in genere, proponit hic demonstrandum de numeris directe proportionalitatis. Equam autem proportionalitatem, quam demonstravit per 23 quinti de quantitatibus indirecte proportionalitatis, non proponit demonstrandum in numeris, sed eam demonstrabimus infra super 19 huius. Nec est necessarium ut predemonstremus in numeris quod demonstratum est per 11 quinti de quantitatibus in genere videlicet si quotlibet proportiones in numeris fuerint uni equales vel eedem ipsas esse sibi equales vel easdem. Hoc enim manifestum est per diffinitionem ut si a ad c et e ad f sit sicut b ad d, erit tam a, c quam e, f tota pars aut partes quota vel quote b, d aut totiens continebit a, c et e, f quotiens b, d et tota pars aut partes superfluent c in a et f in e quota vel quote d in b. Quia ergo quota pars aut partes est a, c tota vel tote est e, f aut quotiens a continet c totiens e, f et quota pars aut partes c superfluunt in a tota vel tote f in e eritque per diffinitionem a ad c sicut e ad f.

Sint igitur ut proponitur numeri a, b, e et alii totidem c, d, f sitque a ad b sicut c ad d et b ad e sicut d ad f. Dico quod erit in equa proportionalitate a ad e sicut c ad f. Erit enim permutatim per premissam a ad c sicut b ad d, sed et b ad d sicut e ad f, quare a ad c sicut e ad f, igitur per eandem a ad e sicut c ad f. Idem erit sumptis pluribus sicque constat propositum.

. Quoniam autem Euclides ceteras 4 species proportionalitatis que sunt conversa, coniuncta, disiuncta, eversa non proponit demonstrandas in numeris, conveniens arbitramur eas quas auctor tamquam facile demonstrabiles pretermisit demonstrare.

Primum itaque demonstrabimus conversam ut si a ad b sicut c ad d, dico quod erit econverso b ad a sicut d ad c. Si enim fuerit a minor b, tunc quoque c minor d et tota pars aut partes a, b quota vel quote c, d. Quare per secundam partem 11 erit b ad a sicut d ad c. Si autem fuerit a maior b, erit quoque et c maior d et per primam partem 11 b tota pars aut partes a quota vel quote d, c. Per diffinitionem igitur b ad a sicut d ad c.

Disiunctam proportionalitatem ostendere.

Ut si sit a b ad b sicut c d ad d, erit a ad b sicut c ad d. Erit enim permutatim a b ad c d sicut b ad d et per 12 sicut a ad c. Quia ergo a ad c sicut b ad d, erit permutatim a ad b sicut c ad d.

Coniuncte proportionalitati demonstrationem afferre.

Ut si sit a ad b sicut c ad d, erit a b ad b sicut c d ad d. Erit enim permutatim a ad c sicut b ad d, quare per 13 a b ad c d sicut b ad d, ergo permutatim erit a b ad b sicut c d ad d.

Eversam proportionalitatem restat in numeris stabilire.

Ut si sit a b ad b sicut c d ad d, erit a b ad a sicut c d ad c. Erit enim permutatim a b ad c d sicut b ad d, quare per 12 sicut a ad c. Permutatim igitur erit a b ad a sicut c d ad c. [f.58r] Patet itaque totum.

Ex hiis quoque leve est demonstrare in numeris quod Euclides proponit per penultimam quinti de quantitatibus in genere videlicet quod si proportio primi ad secundum fuerit sicut tertii ad quartum, quinti quoque ad secundum sicut sexti ad quartum, erit proportio primi et quinti pariter acceptorum ad secundum sicut tertii et sexti ad quartum.

Ut si sit a ad b sicut c ad d itemque e ad b sicut f ad d, erunt a et e pariter accepti ad b sicut c et f pariter accepti ad d. Erit enim per conversam proportionalitatem b ad e sicut d ad f, quare per equam proportionalitatem a ad e sicut c ad f, ergo coniunctim a et e ad e sicut c et f ad f. Itaque per equam proportionalitatem a et e ad b sicut c et f ad d. Quod est propositum. Eodem quoque modo probabis econverso: si b ad a sicut d ad c itemque b ad e sicut d ad f, erit b ad a et e sicut d ad c et f. Erit enim per conversam proportionalitatem a ad b sicut c ad d, quare per equam a ad e sicut c ad f et coniunctim a et e ad e sicut c et f ad f, igitur econverso e ad a et e sicut f ad c et f. Per equam itaque proportionalitatem erit b ad a et e sicut d ad c et f. Quod erat propositum. Ex hoc quoque manifestum est quod si fuerit proportio quotlibet numerorum ad primum sicut totidem aliorum ad secundum, erit aggregati ex omnibus antecedentibus ad primum ad primum sicut aggregati ex omnibus antecedentibus ad secundum ad secundum. Itemque econverso si fuerit proportio primi ad quotlibet numeros sicut secundi ad totidem alios, erit primi ad aggregatum ex omnibus consequentibus ad ipsum sicut secundi ad aggregatum ex omnibus consequentibus ad ipsum etcetera.

Si numeret unitas aliquem numerum quotiens quilibet tertius aliquem quartum, erit quoque permutatim ut quotiens unitas numerat tertium totiens secundus numerat quartum.

Ut si sit unitas ad a sicut b ad c, erit permutatim unitas ad b sicut a ad c. Non superfluit autem hec permutata proportione demonstrata. Non enim ex illa potest concludi quod hic proponitur. Nam illa demonstrata est de 4 numeris proportionalibus, unitas vero non est numerus per diffinitionem. Hoc ergo modo pateat propositum. Dividatur a per unitates et c secundum quantitatem b eruntque per presentem ypothesim tot partes a quot c. Et quia unaqueque partium a est unitas et unaqueque partium c est equalis b, erit ut quotiens unitas in b totiens unaqueque partium a in sua compari ex partibus c. Per modum itaque demonstrationis 5 sequitur totiens esse a in c quotiens unitas est in b. Quod est propositum.

Si duorum numerorum uterque ducatur in alterum, qui inde producentur erunt equales.

Sicut si ex a in b proveniat c et ex b in a proveniat d, erunt c et d equales. Cum enim b multiplicatus per a producat c, erit per conversionem diffinitionis b in c quotiens unitas in a, ergo per premissam erit a in c quotiens unitas in b. Et quia totiens a est etiam in d quia ex b in a fit d, sequitur ut totiens sit a in c quotiens in d per conceptionem, igitur c et d sunt equales.

. Possumus [f.58v] autem hanc conclusionem alio modo proponere: si duorum numerorum uterque ducatur in alterum, idem numerus utrobique proveniet. Ut si ex a in b proveniat c, idem etiam ex b in a proveniet. Quia enim ex a in b fit c, erit ut prius per conversionem diffinitionis b in c totiens quotiens unitas in a. Et permutatim per premissam a in c quotiens unitas in b. Quia igitur a totiens sibi coacervatur in c quotiens in b est unitas, sequitur per diffinitionem quod ex b in a fit c etcetera.

Si unus numerus in duos ducatur, tantus erit duorum inde productorum alter ad alterum, quantus duorum multiplicatorum alter ad alterum.

Multiplicet a utrumque duorum numerorum b et c et proveniant d et e. Dico quod erit proportio d ad e sicut b ad c. Sequitur enim per conversionem diffinitionis eius quod est multiplicari ut b in d et c in e sit quotiens unitas in a, quare per diffinitionem proportio d ad b est sicut e ad c. Equaliter enim eos continent quia quotiens a unitatem, ergo permutatim d ad e sicut b ad c. Quod est propositum etcetera.

Si duo numeri unum multiplicent, erit proportio duorum inde productorum tamquam duorum multiplicantium.

Ex conversione antecedentis premisse concluditur hic eadem passio que in premissa. Ut si uterque duorum numerorum b et c multiplicet a et proveniant d et e, erit d ad e sicut b ad c. Erit enim per antepremissam ut ex a in b et c fiant d et e. Quare per premissam d ad e sicut b ad c. Quod est propositum.

. Potes autem quod proponit per hanc et premissam de duobus numeris ad quotlibet numeros ampliare: Quod si unus multiplicet quotlibet, erit productorum et multiplicatorum una proportio. Similiter quoque si quotlibet multiplicent unum, erit productorum et multiplicantium una proportio, quod per hanc et premissam quotiens oportuerit repetitas facile probabis. Hic autem (ut supra polliciti sumus) demonstrare volumus equam proportionalitatem in quotlibet numeris duorum ordinum indirecte proportionalitatis quam demonstrat Euclides per 23 quinti in quantitatibus in genere. Dicimus igitur quoniam

Si quotlibet numeri totidem aliis fuerint indirecte proportionales, extremi quoque in eadem proportione proportionales erunt.

Ut si sit a ad b sicut d ad f [f.59r] et b ad e sicut c ad d, erit a ad e sicut c ad f. Ducatur enim c in d et f et proveniant g et h. Eritque per premissam g ad h sicut d ad f, quare et sicut a ad b. Ducatur item f in d et proveniat k. Eritque per hanc 19 g ad k sicut c ad f et quia ex f in d fit k, fiet idem econverso per 10 ex d in f. Quia igitur ex c et d in f fiunt h et k, erit per hanc 19 h ad k sicut c ad d, quare sicut b ad e. Et quia iam ostensum est quod est g ad h sicut a ad b, erit per 15 a ad e sicut g ad k. Sed sic etiam erat c ad f, est igitur a ad e sicut c ad f. Quod est propositum. Idem probabis si fuerint in utroque ordine numeri plures tribus quemadmodum probatur in 23 quinti de quantitatibus pluribus tribus.

Si fuerint 4 numeri proportionales, quod ex ductu primi in ultimum producetur equum erit ei quod ex ductu secundi in tertium. Si vero quod ex primo in ultimum producetur equum est ei quod ex secundo in tertium, illi 4 numeri sunt proportionales.

Quod proposuit Euclides per 15 sexti de 4 lineis proportionalibus, proponit hic de 4 numeris proportionalibus. Verbi gratia: Sit proportio a ad b sicut c ad d fiatque ex a in d, e et ex b in c, f. Dico quod e et f sunt equales et econverso. Ducatur enim a in b et fiat g eritque per 18 g ad e sicut b ad d et quia per 17 ex b in a fit g et ex eodem in c fit f, erit per 18 g ad f sicut a ad c. Sed permutatim per 14 est a ad c sicut b ad d, ergo erit g ad f sicut g ad e, equales igitur sunt f et e. Quod est primum.

Nec oportet predemonstrare: Si unius numeri ad duos sit una proportio quod ipsi sunt equales, aut si ipsi sint equales, quod unius ad ipsos sit una proportio. Si enim est una proportio g ad e et ad f aut ipse erit tota pars aut partes e quota vel quote idem est f et tunc per conceptionem patet e et f esse equales. Aut totiens g continebit e quotiens f et superfluent in eo tota pars vel partes e quota vel quote in eodem superfluent f et tunc etiam per conceptionem patet eos esse equales. Quod si ipsi fuerint equales, patet per conceptionem quod aut g erit tota pars aut partes e quota vel quote f et tunc per diffinitionem erit ipsius g ad utrumque eorum proportio una. Aut equaliter continebit utrumque cum superfluitate similium et tot numero partium et tunc etiam per diffinitionem erit eius ad utrumque e et f proportio una.

Secundum sic patet. Sit e productus ex a in d equalis f producto ex b in c. Dico quod proportio a ad b est sicut c ad d. Et est hec conversa prime partis. Sit enim ut prius g qui fit ex a in b et quia e et f sunt equales, erit g ad utrumque eorum proportio una. Et quia ut prius per 18 g ad f sicut a ad c et ad e sicut b ad d, erit a ad c sicut b ad d, quare permutatim a ad b sicut c ad d.

. Non proponit autem Euclides de tribus numeris continue proportionalibus quod ille qui ex ductu primi in tertium producitur sit equalis quadrato medii. Et si ille qui ex primo in tertium producitur fuerit equalis quadrato medii, quod illi tres numeri sint continue proportionales sicut proponit in 16 sexti de tribus lineis. Hoc enim facile demonstratur [f.59v] per hanc 20 medio loco illorum trium numerorum equali assumpto quemadmodum in sexto de tribus lineis probatur per 4 assumpta quarta equali medie.

Numeri secundum quamlibet proportionem minimi numerant quoslibet in eadem proportione minor minorem et maior maiorem equaliter.

Sint a et b minimi numeri in sua proportione sitque c ad d sicut a ad b. Dico quod a numerat c et b, d equaliter. Cum sit enim a ad b sicut c ad d, erit permutatim a ad c sicut b ad d. Erit igitur a, c tota pars vel partes quota vel quote b, d. Si itaque fuerit pars, constat propositum. At si partes, sit e una partium a et f una partium b et quia tota pars est e, c per ypothesim quota f, d, erit per diffinitionem proportio e ad c sicut f ad d, quare permutatim e ad f sicut c ad d, quare etiam sicut a ad b. Non sunt itaque a et b minimi sue proportionis. Quod est contrarium positis.

Similiter quoque: Quotlibet numeri sive in eadem proportione sive in diversis minimi numerant omnes in eadem proportione quisque suum correlativum equaliter.

Ut si sint a, b, c minimi in eadem proportione vel in diversis sintque in eadem vel in eisdem d, e, f ita quod sit d ad e ut a ad b et e ad f ut b ad c. Dico quod a numerat d et b, e et c, f equaliter. Quia enim est a ad b ut d ad e, erit permutatim a ad d ut b ad e. Et quia b ad c ut e ad f, erit etiam permutatim b ad e ut c ad f, quare b ad e et c ad f sicut a ad d. Et quia a, b, c sunt minores d, e, f, erit b, e et c, f tota pars aut partes quota est a, d. Si itaque pars, constat propositum. At si partes, sit g una partium a et h una partium b et k una partium c eritque per presentem ypothesim tota pars h, e et k, f quota g, d, quare per diffinitionem h ad e et k ad f sicut g ad d, permutatim igitur erit g ad h ut d ad e et h ad k ut e ad f. Quare g ad h ut a ad b et h ad k ut b ad c. Quia ergo g, h, k sunt minores a, b, c et etiam in eadem proportione, sequitur contrarium positi.

Si fuerint duo numeri secundum suam proportionem minimi, ipsi erunt ad invicem primi.

Sint duo numeri a et b secundum suam proportionem minimi. Dico quod ipsi sunt contra se primi. Si enim non, numeret eos c secundum d et e, eritque per 18 d ad e sicut a ad b et quia d et e sunt minores a et b, sequitur a et b non esse sue proportionis minimos. Quod est contrarium positioni.

Similiter quoque: Si fuerint quotlibet numeri in continuatione suarum proportionum (sive eadem sive diverse [f.60r] fuerint) minimi, nullus numerus numerabit omnes.

Ut si sint a, b, c minimi in continuatione proportionum suarum, dico quod nullus numerabit omnes. Sin autem, numerat eos d, a quidem secundum e, b vero secundum f et c secundum g eritque per 18 e ad f sicut a ad b et f ad g sicut b ad c, quare ergo e, f, g sunt minores a, b, c et secundum proportionem eorum non erunt a, b, c quales positi sunt. Quod est inconveniens.

Quamquamque autem nullus numerat a, b, c si fuerint minimi, potest tamen esse ut quoslibet duos ex eis numeret unus. Ducto enim quolibet numero in aliquem ad se primum ac utroque eorum in aliquem tertium ad utrumque primum provenient tres numeri quorum quique duo erunt compositi. Nullus tamen numerabit omnes. Sint enim a, b, c tres numeri quorum quisque sit primus ad alios ducaturque a in b et c et provenient d et e. Itemque b in c et proveniat f. Dico quosque duos ex d, e, f esse ad invicem compositos, tamen nullus numerabit omnes. Duos quosque patet esse compositos, a enim numerat d et e, b vero d et f, et c, e et f. Quod autem nullus numeret omnes, patebit prius demonstrato quod a est maximus numerans d et e,b quoque maximus numerans d et f et c maximus numerans e et f. Hoc autem sic constat: Si enim a non est maximus numerans d et e, sit itaque g numeretque d secundum h et e secundum k eritque per secundam partem 20 a ad g sicut h ad b itemque per eandem a ad g sicut k ad c. Quia ergo a est minor g, erit h minor b et k minor c. Et quia h ad k sicut b ad c utraque enim est sicut d ad e, per 18 bis assumptam sunt autem h et k minores b et c. Erit per immediate sequentem et per hanc ypothesim quod b et c sunt contra se primi reperire minimis minores. Quod quia est impossibile, erit a maximus numerans d et e. Eodemque modo probabitur quod b sit maximus numerans d et f et c maximus numerans e et f. Si quis ergo numeret d, e, f, per corollarium secunde ter assumptum ipse numerabit a, b, c, sed quisque eorum primus erat ad reliquos. Accidit igitur impossibile.

Quilibet numeri contra se primi sunt secundum suam proportionem minimi.

Hec est conversa premisse ut si sint duo numeri a et b contra se primi, ipsi erunt secundum suam proportionem minimi. Sin autem, sint minimi in eadem proportione (si possibile est) c et d. Constat itaque per 21 quod c numerat a et d, b equaliter, sit igitur ut secundum e. Eritque per 17 ut viceversa e numerat a et b, a quidem secundum c et b secundum d, non sunt igitur a et b contra se primi. Quod est contra ypothesim.

Similiter quoque: Quotlibet numeri quos unus non numerat secundum continuationem suarum proportionum sunt minimi.

Ut si sint a, b, c quilibet numeri quos omnes nullus numerat. Dico quod ipsi sunt in continuatione suarum proportionum minimi. Alioquin sint minimi d, e, f qui per 21 numerabunt a, b, c quisque suum relativum equaliter. Sit ergo ut secundum g eritque per 17 ut viceversa g numeret a, b, c secundum d, e, f, quare accidit contrarium positioni.

Si fuerint duo numeri contra se primi, si quis eorum unum numeret, ad alterum esse primus necessario comprobatur.

Sint a et b contra se primi, c vero numeret a. Dico quod c primus est ad b. Alioquin numeret eos d qui per penultimam conceptionem numerabit etiam a. Non sunt ergo a et b contra se primi, d enim numerat ambos. [f.60v]

Si fuerint duo numeri ad alium quemlibet primi, qui ex ductu unius in alterum producetur ad eundem erit primus.

Sit uterque duorum numerorum a et b primus ad c et ex a in b fit d. Dico quod d est primus ad c. Aliter enim numeret eos e, d quidem secundum f, eritque per secundam partem 20 a ad e sicut f ad b. Et quia a et c sunt primi et e numerat c, ipse erit per 24 primus ad a. Quare per 23 a et e sunt secundum suam proportionem minimi, sequitur ergo per 21 ut e numeret b et quia positum est quod ipse numeret c, non erunt b et c contra se primi. Quod est contra ypothesim.

Si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex uno eorum in se ipsum producitur ad reliquum est primus.

Sint contra se primi a et b et ex a in se fiat c. Dico quod c primus est ad b. Sit enim d equalis a eritque d primus ad b et ex a in d fiet c, per premissam igitur patet c primum esse ad b. Quod proposuimus.

Si duobus numeris ad alios duos comparatis uterque ad utrumque fuerit primus, qui ex duobus prioribus ad eum qui ex duobus posterioribus producetur erit primus.

Sint a et b priores, c et d posteriores sitque uterque duorum a et b primus ad utrumque duorum c et d et ex a in b fit e et ex c in d, f. Dico quod e primus est ad f. Hoc autem 25 ter assumpta evidenter concludit. Cum enim fiat e ex a in b quorum uterque primus est ad c et ad d, erit per ipsam e primus ad c et item per ipsam primus ad d. Quia item f fit ex c in d quorum uterque primus est ad e, erit rursus per ipsam f primus ad e. Quod est propositum.

Si fuerint duo numeri contra se primi ducaturque eorum uterque in se ipsum, erunt inde producti etiam contra se primi. Itemque si in utrumque productorum suum ducatur principium, erunt quoque producti contra se primi.

Sint a et b contra se primi ducaturque uterque in se et proveniant ex a quidem c, ex b vero d itemque ducatur a in c et proveniat e et b in d et proveniat f. Dico c et d esse contra se primos itemque e et f contra se primos. Est enim per 26 c primus ad b, per eandem igitur erit d primus ad a et ad c. Sicque constat primum quod est c et d esse contra se primos. Reliquum sic: Est enim uterque duorum numerorum a et c primus ad utrumque duorum b et d. Itaque per 27 erit e primus ad f. Quod est reliquum. Non solum autem erit e primus ad f, sed etiam per 25 ad b et ad d itemque per eandem f ad a et c sicque si infinities duceretur utrumque productorum in suum principium, essent omnes producti contra se primi et non solum sed quilibet eductus ab a ad quemlibet eductum a b. [f.61r]

Si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex ambobus coacervatur ad utrumque eorum erit primus. Si vero ex ambobus coacervatus ad utrumque eorum fuerit primus, duo quoque numeri ad invicem erunt primi.

Sint a et b contra se primi. Dico quod ex eis compositus a b ad utrumque eorum est primus et econverso. Nam si d numerat totum a b et alterum eorum, numerabit per communem scientiam et reliquum. Quare non erunt contra se primi. Sed hoc positum fuerat, patet ergo primum. Secundum sic: sit a b primus ad utrumque suorum componentium qui sunt a et b. Dico quod a et b sunt contra se primi. Posito enim quod d numeret utrumque duorum numerorum a et b, sequitur per communem scientiam quod etiam numeret a b ex eis compositum. Quare ad neutrum duorum numerorum a et b erit a b primus. Sed positum erat quod esset ad utrumque. Accidit igitur impossibile.

. Eodemque modo coacervatus ex duobus primus fuerit ad alterum, primus quoque erit ad reliquum. Ideoque et coacervati inter se. Sit enim compositus ex a et b primus ad a. Dico quod erit etiam primus ad b. Alioquin numeret eos d qui per conceptionem numerabit et a cum numeret totum et detractum. Hoc autem inconveniens. Erat enim compositus ex a et b primus ad a etcetera.

Omnis numerus compositus ab aliquo primo numeratur.

Sit a quilibet numerus compositus. Dico quod aliquis primus numerat ipsum. Quia enim est compositus, numerabitur ab aliquo numero qui sit b. Qui si fuerit primus, verum erit quod dicitur. Si autem compositus, sit c qui numeret eum qui etiam per communem scientiam numerabit a. Si ergo vel ipse fuerit primus, constat quod dicitur. At si compositus, necessario numerabit eum alius qui sit d qui etiam per communem scientiam numerabit a. De quo ratiocinare ut prius. Quia ergo, quotiens occurrit compositus, necesse est minorem assumere qui compositum occurrentem numeret, sequitur ut tandem deveniatur ad aliquem primum. Alioquin accidet impossibile et contrarium petitioni numerum in infinitum decrescere.

Omnis numerus aut est primus aut a primo numeratur.

Sit a quilibet numerus. Dico ipsum esse primum vel numerari a primo. Quia si non est primus, erit compositus, quilibet autem talis ab aliquo primo numeratur per premissam. a igitur vel est primus vel a primo numeratur. Quod proponitur.

Omnis numerus primus ad omnem quem non numerat est primus.

Sit a numerus primus non numerans b. Dico quod a et b sunt contra se primi. Si enim c numeret eos, non est verum quod a sit primus.

Si numerus ex duobus productus ab aliquo [f.61v] primo numeretur, necesse est eundem primum alterum illorum duorum numerare.

Sit c productus ex a in b et sit d numerus primus qui ponatur numerare c. Dico quod d numerat a vel b. Numeret enim c secundum e. Si ergo non numerat a, erit primus ad ipsum per premissam. Et ideo erunt secundum suam proportionem minimi per 23. Et quia a ad d sicut e ad b per secundam partem 20, sequitur ut d numeret b per 21. Quod est propositum.

. Unde manifestum est quod si aliquis numerus numeret productum ex duobus vel si eidem fuerit commensurabilis, commensurabilis quoque erit alteri eorum etcetera.

Numeros secundum proportionem numerorum assignatorum minimos invenire.

Unde manifestum est maximum numerum duos communiter numerantem secundum minimos illius proportionis eos numerare.

Sint a et b numeri propositi secundum quorum proportionem volumus invenire minimos. Si ergo fuerint contra se primi, sunt quales inquirimus per 23. Si autem compositi, sumatur (ut docet secunda) maximus communiter eos numerans qui sit c numeretque eos secundum d et e eruntque in eadem proportione per 18 quos dico esse quales querimus. Sin autem, sint f et g qui per 21 numerabunt a et b equaliter. Sit igitur ut secundum h eritque per secundam partem 20 c ad h sicut f ad d vel sicut g ad e, quare c est minor h. Itaque cum h numeret a et b, non fuit c maximus eos numerans, sed erat positum quod sic ergo etcetera.

. Similiter quoque possumus: Numeros secundum continuationem proportionum numerorum assignatorum minimos reperire.

Unde etiam manifestum est maximum numerum quotlibet communiter numerantem secundum minimos proportionum eorum eos numerare.

Ut si sint a, b, c secundum quorum proportiones volumus minimos invenire sive fuerint in eadem proportione sive in diversis. Si nullus numerus numeret eos omnes, ipsi sunt quos querimus per 23. Hoc enim ibi demonstratum est. Si autem unus numeret omnes, sumatur, ut docet 3, maximus eos communiter numerans qui sit d. Numeretque eos secundum e, f, g qui erunt in eadem proportione per 18. Dico eos esse quos querimus. Alioquin sint h, k, l qui per 21 numerabunt a, b, c equaliter, sit ut secundum m. Eritque per secundam partem 20 d ad m ut h ad e vel k ad f vel l ad g. Minor erit igitur d quam m quare cum m numeret a, b, c, non fuit d maximus eos numerans. Quare sequitur impossibile, fuit enim d maximus numerans a, b, c.

35 Quilibet duo numeri minimos numeros sue proportionis maior minorem et minor maiorem multiplicantes minimum ab ipsis numeratum producunt.

Unde manifestum est minimum quem duo numerant quemlibet ab eis numeratum numerare. [f.62r]

Sint duo numeri a et b minimique in eorum proportione c et d eritque per primam partem 20 ut ex a in d et b in c fiat idem numerus qui sit e quem dico esse minimum numeratum ab a et b. Aliter enim sit f quem numerent a et b secundum g et h eritque per secundam partem 20 h ad g sicut a ad b et sicut c ad d et per 18 erit c ad h sicut e ad f. Cum itaque per 21 c numeret h, e numerabit f, maior minorem. Quia ergo hoc est impossibile, constat verum esse quod dicitur.

Propositis quotlibet numeris minimum ab eis numeratum reperire.

Manifestum etiam ex hoc est minimum numerum quem quotlibet numerant quemlibet ab eis numeratum numerare.

Sint propositi numeri a, b, c, d. Volo invenire minimum numerum numeratum ab eis. Invenio itaque primo minimum numeratum ab a et b. Quod si a numerat b, non erit alius quam b. Si autem non numerat eum nec econverso, si ipsi sunt contra se primi qui ex uno in alterum provenit, erit minimus per 23 et premissam. Quod si sunt communicantes, sumantur minimi in eorum proportione, ut docet 34, et ex maiori in minorem eorum multiplicato proveniet e qui erit minimus numeratus ab eis per premissam. Simili quoque modo inveniatur minimus numeratus ab e et c qui sit f. Eritque f minimus numeratus ab a, b, c. Sed et minimus quem numerant f et d sit g eritque g minimus quem numerant numeri propositi. Quod enim omnes ipsum numerent, patet per conceptionem. Sed si non est minimus, ponatur ergo h quem quia numerant a et b, numerabit etiam ipsum per corollarium premisse e. Per idem quoque corollarium numerabit ipsum f, sed et g maior itaque numerat minorem. Quod est impossibile.

. Hec et premissa proponuntur in alio loco sub tribus conclusionibus quarum prima est equalis premisse, secunda componitur ex corollariis ambobus, tertia proponit de tribus quod hec de quotlibet numeris.

Est itaque prima: Datis duobus numeris minimum ab eis numeratum invenire.

Dati numeri sint a et b quorum minor, si numerat maiorem, est maior quem querimus. Alioquin eorum maior numeraret minorem se. Si autem neuter neutrum numeret, si ipsi sunt contra se primi, erit qui ex a in b provenit (qui sit c) minimus omnium quem numerant a et b. Nam si minorem eo numeraverint, esto d quem numerent secundum e et f eritque per secundam partem 20 a ad b sicut f ad e. Et quia a et b sunt sue proportionis minimi per 23, numerabit a, f per 21. Et quia per 18 est c ad d sicut a ad f, nam ex b in a et f fiunt c et d, sequitur c numerare d, sed erat d minor c. Quare impossibile. Si autem a et b sint communicantes, negociare propositum ut in 35.

Secunda trium conclusionum ex ambobus corollariis est confecta: Si plures numeri numerum unum numerent, necesse est ut minimus quem numerant eundem numerum numeret.

Ut si sit quilibet numerus quem [f.62v] numerant a et b et d minimusque ab eisdem numeratus c, erit ut c numeret d. Cum sit enim d maior c, si c non numerat ipsum, numerabit tamen aliquid eius sitque plurimum quod numerat e et residuum sit f eritque f minus c. Quia igitur a et b numerant c, numerabunt per communem scientiam et e, sed numerabunt et d, itaque per aliam communem scientiam numerabunt f. Inconveniens ergo sequitur scilicet quod c non fuit minimus quem numerant a et b. Idem convinces et eodem modo de quolibet numerato a quotlibet pluribus quod scilicet minimus ab illis quotlibet pluribus numeratus eundem numeret.

Ultima trium conclusionum est: Propositis tribus numeris minimum numerorum ab eis numeratorum invenire.

Tres numeri propositi sint a, b, c minimusque quem numerant a et b sit d qui sumetur ut prima trium conclusionum docet. Si igitur c numerat d, scito d esse quem querimus. Si enim a, b, c minorem eo numerant, sit enim e quem per premissam conclusionem numerabit d. Quod est impossibile. Si autem d non numerat c, sumatur e minimus numeratus ab eis. Quod autem e numeretur ab a, b, c patet, quia c numerat ipsum et d similiter, ergo et a, b qui numerant d. Quare e numerabitur ab a, b, c eritque e minimus quem numerant a, b, c. Sin autem, sit f quem per premissam conclusionem numerabit d, sed et c numerat f, quia a, b, c numerant eum. Quare c, d numerabunt eum, quare per premissam e numerabit eum et est maior eo, sed et e maior minorem. Quod esse non potest. Idem invenies et eodem modo quotlibet propositis. Quod est propositum etcetera.

Si numerus aliquis alium numerum numeret, erit in numerato pars a numerante denominata.

Huius sensus est quod omnis numerus numeratus a ternario habet tertiam et numeratus a quinario habet quintam sicque de ceteris. Ut si b numeret a, erit in a pars denominata a b. Numeret enim ipsum quotiens unitas in c eritque per 16 ut c quoque totiens numerat a quotiens unitas in b, quare tota pars est c, a quota unitas, b. Et quia unitas est pars omnis numeri ab ipso denominata per communem scientiam erit c pars a denominata a b. Quod est propositum.

Si numerus aliquis partem quotamcumque habeat, numerabit ipsum numerus ad illam partem dictus.

Hec est conversa premisse cuius est intentio quod omnis numerus habens tertiam numeratur a ternario et habens quintam a quinario sicque de ceteris. Ut si b sit pars a denominata a c, sequitur ut c numeret a. Quia enim b est pars a denominata a c, sed et unitas est pars c denominata ab ipso c per conceptionem, sequitur ut quotiens unitas numerat c totiens b numerat a. Itaque per 16 quotiens unitas, b totiens c numerat a, quare constat propositum.

Aliter idem cum b sit pars a, sit tota pars unitas, c eritque per hanc communem scientiam unitatem esse partem omnis numeri ab ipso denominatam c denominans b in a et quia b in a quotiens unitas in c, evidenter sequitur propositum per 16.

Numerum minimum propositarum denominationum habentem partes invenire.

Ex quo manifestum est quod minimus numerus [f.63r] numeratus a quotlibet est minimus habens partes denominatas ab ipsis.

Sint a, b, c, d denominantes partes propositas et e minimus numeratus ab eis sumptus secundum 36. Ipsum e dico esse quem querimus. Sint enim secundum quos numerant ipsum f, g, h, k eritque per 16 et hanc communem scientiam: unitas est pars omnis numeri ab ipso dicta, ut viceversa f, g, h, k numerent e secundum a, b, c, d, quare sunt partes eius ab illis dicte. Est igitur e habens partes propositarum denominationum minimus etiam quoniam si alter fuerit ut l, sint partes l dicte ab eis m, n, p, q. Eruntque per 16 et predictam communem scientiam a, b, c, d viceversa partes l dicte a m, n, p, q. Quare non erat e minimus quem numerant a, b, c, d. Quod est inconveniens.

. Habito minimo si cura est habere secundum aut quotumcumquelibet; si secundum, quidem sume duplum minimi; si tertium, triplum et ad hunc modum in aliis. Cum enim omnis multiplex e numeretur ab a, b, c, d per hanc communem scientiam: Omnis numerus numerans alium numerat omnem numeratum ab illo, necesse est per 37 ut omnis multiplex e habeat partes denominatas ab a, b, c, d. Si itaque duplus e non fuerit secundus habens partes propositarum denominationum, erit alius quem sicut sequitur esse maiorem e, sit minorem duplo et quia illum numerant a, b, c, d per 38, sequitur per corollarium 36 quod e numeret eundem. Quod est impossibile. Cum enim numeret se, numeraret per hanc communem scientiam: omnis numerus numerans totum et detractum, numerat residuum, differentiam illius ad se que cum sit minor se, maior numerus numeraret minorem quod esse non potest. Sequitur itaque duplum e esse secundum numerum habentem propositarum denominationum partes. Similiter quoque argues triplum e esse tertium probato duplo e esse secundum. Alioquin quia esset triplo minor et duplo maior, sequeretur e numerare aliquem inter ipsius duplum et triplum quod ut prius patet impossibile esse. Probato autem triplo esse tertium ad huius similitudinem probabis quadruplum esse quartum et sic in ceteris.

. Si autem libeat: Minimum numerum habentem partes propositarum denominationum sumptarum continue reperire.

Ut minimum numerum habentem tertiam que tertia habeat, quartam et que etiam quarta habeat, quintam aut septimam aut qualitercumque contingat eas ab eisdem vel diversis denominari, multiplicari oportet denominatorem prime partis in denominatorem secunde et ex eis productum in denominatorem tertie, scilicet in 5, productum quoque in denominatorem quarte si addatur sicque de ceteris si addantur usque ad ultimam a prima vel usque ad primam ab ultima et qui provenerit, erit qui inquiritur ut in proposito 60 vel 84. Hoc autem ita esse demonstrative sic habeto. Sint numeri partes propositas denominantes a, b, c, d. Volumus invenire numerum minimum qui habeat partem denominatam ab a ita quod illa pars habeat partem denominatam a b et illa aliam denominatam a c, sed et hec aliam dictam a d. Ducatur itaque d in c et proveniat e et e in b et proveniat f, f quoque ducatur in a et proveniat g quem dico esse quem querimus. Cum enim ipse g proveniat etiam ex a in f, per 17 erit f pars g dicta ab a. At quia f provenit per eandem ex b in e, erit e pars f dicta a b, sed et propter hoc erit d pars e dicta a c. Et quia unitas est pars d dicta ab ipso d, patet g habere partes ut proponitur. Si ergo non fuerit minimus, sit h sitque k pars eius dicta ab a et l pars k dicta a b et m pars l dicta a c, n quoque pars m dicta a d, eritque per 18 g ad f ut h ad k et f ad e ut k ad l et e ad d ut l ad m, sed et d ad unitatem ut m ad n. Ergo per 15 erit in proportione equalitatis g ad unitatem ut h ad n, ergo permutatim erit g ad h ut unitas ad n, quare cum h sit minor g, erit n unitate minor. Sequitur igitur impossibile partem numeri minorem esse unitate, erit itaque g minimus habens partes ut proponitur.

Quo invento si cura fuerit habere secundum aut quotumcumquelibet per minimi multiplices (ut prius dictum est) sumendi erunt. Hec autem 39 in alio secundum hunc modum proponitur: Propositis partibus quotiscumquelibet minimum numerum [f.63v] eas continentium invenire.

Ut si partes proposite sint a, b, c sintque eas denominantes d, e, f et sumatur minimus quem numerant d, e, f qui sit g. Hunc dico esse quem querimus. Erunt enim in eo proposite partes per 37 qui si non fuerit minimus eas continens, sit ergo h quem numerabunt d, e, f. Per 38 igitur non erit g minimus numeratus ab eis. Quod est inconveniens quia erat.

. Intelligo vero partes a, b, c indeterminate poni et non sub quantitate certa. Aliter enim non esset necessarium ut minimus numerus quem numerant d, e, f esset minimus continens partes propositas. Plurimas enim contingit partes reperire quas numerus numeratus ab eorum denominatoribus non continet. Verbi gratia: Tres numeri 120, 90, 72 sunt eiusdem numeri partes, primus quidem tertia, secundus vero quarta et tertius quinta nec tamen minimus, quem numerant denominatores eorum, qui est 60, partes istas continet. Instandum igitur est (si partes sub certa quantitate ponantur) prime consequentie huius demonstrationis. Non enim sequitur ut arguit per 37 si ternarius hunc numerat, ergo hic numerus positus est eius tertia, sed ergo habet tertiam quapropter idem est quod proponitur secundum utrumque modum. Sed secundum primum convenientius videtur quod intenditur proponi. Attendere autem oportet quod, cum omnis pars habeat quantitatem et denominationem in toto, contingit ponere quotlibet et quaslibet partes secundum quantitatem et inquirere quis minimus eas continet et sub quibus denominationibus. Minimum autem eas continentem constat esse minimum numeratum ab eis secundum quos vero numerant sunt qui illas in illo denominant. Contingit iterum ponere quotlibet et quaslibet denominationes et inquirere in quo minimo hee denominationes reperiuntur et secundum quas quantitates. Minimum quoque constat esse minimum numeratum ab illis, secundum quos vero numerant, sunt qui quantitates determinant. Utrobique autem idcirco inquiritur minimus, quia infiniti sunt hinc quidem qui has partes continent. Inde vero in quibus hee denominationes reperiuntur. Contingit rursus ponere quotlibet partes et totidem denominationes vel quotlibet denominationes et totidem partes. Non autem quaslibet cum quibuslibet, sed certas cum certis. Si enim ponam partes 3, 4, 5 et denominationes earum 6, 7, 8 et inquiram quis numerus continet has partes sub istis denominationibus, similis ero inquisitori vano querenti impossibile. Certas igitur contingit ponere partes cum denominationibus certis et non ut contingit et inquirere quis numerus positas partes sub positis denominationibus continet, non autem quis minimus, unicus enim est. Nam sive proposita fuerit una pars et una denominatio sive plures et plures, non erit sumere plures numeros quod propositum erit continentes. Solus enim est cuius ternarius est quinta, non plures. Solus quoque cuius ternarius octava et senarius quarta, non plures. Ideoque proponentem partes et denominationes ipsarum in toto non est querere quis minimus continet has partes sub istis denominationibus, sed quis minimus continet proponentem autem partes tantum. Contingit querere quis minimus eas continet et a quibus in eo denominantur. Solas quoque proponentem denominationes contingit querere que partes ab illis dicte et in quo minimo reperiuntur. Convenientius autem videtur partes per denominationes inquirere quam denominationes per partes, diversitatem quidem denominationum non partium comitatur proportionum diversitas. Explicit liber septimus.