Superficies similes sunt, quarum anguli unius angulis alterius equales lateraque equos angulos continentia proportionalia.

Ut si trigonus a b c fuerit equiangulus trigono d e f fueritque angulus a equalis angulo d et angulus b equalis angulo e et proportio a b ad d e sicut a c ad d f et b c ad e f, ipsi erunt similes.

Superficies mutuorum laterum sunt, inter quarum latera incontinua proportionalitas retransitive habetur.

At si duorum quadrilaterum a b c, d e f proportio a b lateris primi ad d e latus secundi fuerit sicut proportio e f lateris secundi ad b c latus primi, illa duo quadrilatera dicuntur mutuorum laterum sive mutekefia.

Linea dicitur dividi secundum proportionem habentem medium et duo extrema quando eadem est proportio totius ad maiorem sui sectionem que est maioris ad minorem.

Si duarum rectilinearum superficierum equidistantium laterum sive triangulorum fuerit altitudo una, tanta erit [f.45v] alterutra earum ad alteram quanta sua basis ad basim alterius.

Sint duo paralellograma a b c, d e f equalis altitudinis. Dico esse proportionem eorum sicut b c ad e f. Ponam illa duo paralellograma super lineam unam que sit g m eruntque propter hoc quod sunt equalis altitudinis inter lineas equidistantes quarum sit altera k n, deinde ex linea g m sumam g c multiplicem secundum quemcumque numerum voluero ad b c et dividam eam in partes equales b c in punctis h et b a quibus et puncto g ducam equidistantes linee a b que sint g k et h l et complebo superficies equidistantium laterum k h et l b. Eritque unaqueque earum per 36 primi equalis a c, quare sicut linea g c est multiplex linee b c ita superficies k c superficiei a c. Similiter quoque ad lineam e f sumam ex linea g m lineam f m multiplicem secundum quemcumque numerum voluero ad e f et complebo superficiem equidistantium laterum ducta linea m n equidistanter linee d e. Eritque superficies n f ita multiplex superficiei d f sicut linea m f linee e f. Et quia per 36 primi si linea g c est maior linea f m, superficies k c est maior superficie n f, et si minor, minor et si equalis, equalis, erit per diffinitionem incontinue proportionalitatis eadem proportio basis b c ad basim e f que est superficiei a c ad superficiem d f. Quod est propositum. Deinde de triangulis equalis altitudinis idem probabis et eodem modo per 38 primi ductis lineis ab extremitatibus earum quas ad bases sumes multiplices ad vertices triangulorum.

Si linea recta duo trianguli latera secans reliquo fuerit equidistans, eam illa duo latera proportionaliter secare. Si vero proportionaliter secet, eam reliquo lateri equidistare necesse est.

Sit triangulus a b c cuius duo latera a b et a c secet linea d e equidistanter tertio lateri quod est b c. Dico quod erit proportio a d ad d b sicut a e ad e c et econverso si fuerit proportio a d ad d b sicut a e ad e c, linea d e erit equidistans linee b c. Protraham enim duas lineas e b et d c eritque per 37 primi triangulus e d b equalis triangulo d e c propter id quod ipsi sunt ambo super lineam d e inter lineas equidistantes. Itaque per secundam partem 7 quinti proportio trianguli a d e ad utrumque illorum erit una. Sed proportio eius per premissam ad triangulum e d b est sicut linee a d ad lineam d b et ad triangulum d e c sicut linee a e ad lineam e c. Nam ipse cum utroque illorum est equalis altitudinis, quare proportio a d ad d b sicut a e ad e c. Quod est primum. Et si hoc fuerit, erit per premissam ipsius a d e ad utrumque illorum proportio una, quare per secundam partem 9 quinti ipsi sunt ad invicem equales. Et quia ipsi sunt super eandem basim videlicet lineam d e et ex eadem parte, erit per 39 primi linea d e equidistans linee b c. Quod est secundum propositum etcetera.

Si ab aliquo angulorum trianguli linea recta ad basim ducta angulum illum per equalia [f.46r] secet, duas partes ipsius basis reliquis eiusdem trianguli lateribus proportionales esse. Si vero due partes basis quas linea ab angulo ducta distinguit reliquis trianguli lateribus proportionales fuerint, lineam illam angulum per equalia dividere necessario comprobatur.

Sit trigonus a b c cuius angulum a dividat linea a d per equalia. Dico quod proportio b d ad d c est sicut b a ad a c et econverso. Protraham enim b e equidistantem a d et producam c a quousque concurrat cum e b in puncto e. Eritque per primam partem 29 primi angulus e b a equalis angulo b a d et per secundam partem eiusdem angulus e angulo d a c, quare angulus e est equalis angulo e b a, ergo per 6 primi e a est equalis a b et ideo per primam partem 7 quinti proportio e a ad a c est sicut b a ad a c. Sed per premissam e a ad a c sicut b d ad d c, ergo b a ad a c sicut b d ad d c. Quod est primum. Secunda pars que est conversa prime probabitur converso modo. Manente enim eadem dispositione si fuerit proportio b a ad a c sicut b d ad d c, quare per premissam e a ad a c sicut b d ad d c erit eadem proportio e a ad a c que est b a ad a c, ergo per primam partem 9 quinti e a et a b sunt equales, quare per 5 primi duo anguli e et e b a sunt equales, ergo per primam et secundam partem 29 primi angulus b a d est equalis angulo d a c. Quod est secundum.

Omnium duorum triangulorum quorum anguli unius angulis alterius sunt equales, latera equos angulos respicientia sunt proportionalia.

Sint duo trianguli a b c, d e f equianguli sitque angulus a equalis angulo d et angulus b angulo e et angulus c angulo f. Dico quod proportio d e ad a b et d f ad a c est sicut e f ad b c. Ponam enim ambos triangulos super lineam unam que sit e c ita quod duo anguli unius qui erunt super hanc lineam sint equales duobus alterius qui erunt super eandem, non quidem medius medio aut extremo extremus, sed medius unius extremo alterius. Et ponam duos eorum medios angulos in eodem puncto coire. Sitque a f c ipse idem triangulus a b c et quia angulus a f c est equalis angulo e et angulus d f e angulo c per ypothesim, erit per primam partem 28 primi linea a f equidistans d e et d f equidistans a c. Complebo igitur superficiem equidistantium laterum que sit g f eritque per 34 primi g a equalis d f et g d equalis a f. Quia ergo per secundam huius g a ad a c sicut e f ad f c et per eandem e f ad f c sicut e d ad d g, erit per 7 quinti d f ad a c et per eandem e d ad f a sicut e f ad f c. Quod est propositum etcetera.

Omnium duorum triangulorum quorum cunctorum laterum sese respicientium est proportio [f.46v] una, anguli lateribus proportionalibus contenti equi sibi invicem probantur esse.

Hec est conversa prioris nec fecit ex ea et premissa unam conclusionem sicut fecit in secunda et tertia huius, quia nec eadem figuratione nec eisdem mediis demonstratur quibus precedens. Sint itaque duo trianguli a b c, d e f sitque proportio a b ad d e et a c ad d f sicut b c ad e f. Dico quod angulus a est equalis angulo d et angulus b angulo e et angulus c angulo f. Constituam super lineam e f in opposita parte trianguli d e f angulum f e g equalem angulo b et angulum e f g equalem angulo c. Eritque per 32 primi angulus g equalis angulo a, ergo per premissam proportio a b ad e g et a c ad g f sicut b c ad e f, quare a b ad d e sicut ad e g et a c ad d f sicut ad f g, ergo per secundam partem 9 quinti d e est equalis e g et per eandem d f equalis f g quare per 8 primi duo trianguli d e f et g e f sunt equianguli, quare ergo triangulus g e f est etiam equiangulus triangulo a b c. Constat propositum.

Omnes duo trianguli quorum unus angulus unius uni angulo alterius equalis lateraque illos duos equos angulos continentia proportionalia, sunt inter se invicem equianguli.

Maneat prior dispositio et sit solum angulus b equalis angulo d e f et proportio a b ad d e sicut b c ad e f. Dico adhuc duos triangulos a b c, d e f esse equiangulos. Cum enim sit per 4 huius propter ypotheses premisse conclusionis a b ad e g sicut b c ad e f, erit a b ad d e sicut ad e g, quare per secundam partem 9 quinti d e est equalis e g. Quia ergo duo latera d e et e f trigoni d e f sunt equalia duobus lateribus e g et e f trigoni g e f et angulus e unius angulo e alterius quia uterque est equalis angulo b, ipsi erunt per 4 primi equianguli et quia e g f est etiam equiangulus a b c, patet propositum.

Si fuerint duo trianguli, quorum unus angulus unius uni angulo alterius equalis duoque suorum reliquorum angulorum lateribus proportionalibus contenti, duorum vero demum reliquorum uterque aut neuter recto angulo minor, necesse est illos duos triangulos omnibus suis angulis inter se invicem equiangulos esse.

Sint duo trianguli a b c, d e f sitque angulus a equalis angulo d et proportio a c ad d f sicut c b ad f e et uterque duorum angulorum b et e aut neuter sit minor recto. Dico eos esse equiangulos. Si enim angulus c unius est equalis angulo f alterius, patet propositum per premissam. [f.47r] Sin autem, sit c maior fiatque angulus a c g equalis eidem eritque per 32 primi triangulus a g c equiangulus triangulo d e f, quare per 4 huius proportio a c ad d f sicut g c ad e f. Sed sic fuit b c ad e f, ergo per 9 quinti g c et b c sunt equales, ergo per 5 primi angulus b est equalis angulo b g c. Si ergo neuter duorum angulorum b et e fuerit minor recto, accidet duos angulos unius trianguli non esse minores duobus rectis. Quod esse non potest per 32 primi. Quod si uterque fuerit minor recto, erit angulus a g c maior recto per 13 primi, quare et angulus e sibi equalis est etiam recto maior. Quod est contra ypothesim. Quare destructo opposito remanet propositum. Oportet autem utrumque reliquorum angulorum aut neutrum esse minorem recto, possibile enim est in eodem triangulo ut in triangulo a b c lineam g c esse equalem b c et erit a c ad utramque earum una proportio per 7 quinti. Nec tamen erunt trianguli a g c et a b c equianguli quamvis unus angulus unius sit equalis uni angulo alterius, immo idem ut angulus a et proportio linee a c prout est latus magni ad a c prout est latus parvi sicut b c lateris magni ad g c latus parvi, utraque enim equalis. Et hoc est propter hoc quod angulus g minoris est maior recto et angulus b maioris minor. Nam in omni triangulo duum equalium laterum uterque angulorum qui sunt ad basim est minor recto etcetera.

Si ab orthogonii angulo recto ad basim linea perpendicularis ducatur, fient duo trianguli partiales toti triangulo et sibi invicem similes.

Unde etiam manifestum est quia in omni triangulo rectangulo si ab eius angulo recto ad basim perpendicularis ducatur, erit ipsa perpendicularis inter duas sectiones ipsius basis proportionalis. Itemque utrumque latus inter totam basim atque sibi conterminalem basis portionem.

Sit trigonus a b c orthogonius eiusque angulus a rectus a quo ducatur a d perpendicularis ad basim. Dico quod uterque duorum triangulorum partialium qui sunt a b d, a d c similis est totali triangulo a b c et unus eorum alteri. Est enim uterque ipsorum equiangulus totali per 32 primi eo quod uterque est orthogonius et in uno angulo communicat cum totali, quare et sibi invicem sunt equianguli ita quod angulus b est equalis angulo d a c et angulus b a d angulo c et duo anguli qui sunt ad d sibi invicem et angulo a totali equales, quare per 4 huius latera equos eorum angulos respicientia sunt proportionalia, ergo per diffinitionem sunt similes. Quod est propositum. Utrumque corollarium ex hiis evidenter apparet.

Duabus lineis propositis tertiam inter eas sub proportionalitate continua collocare.

Sint due linee proposite a b et c inter quas volo unam lineam in continua proportionalitate collocare. Adiungo unam earum alteri sitque tota ex eis composita a d ita quod b d sit equalis c et super totam describo semicirculum a e d et produco b e usque ad circumferentiam perpendicularem ad lineam a d. Dico [f.47v] lineam b e esse quam querimus. Produco enim lineas e a et e d eritque per 30 tertii angulus e totalis rectus, quare per primam partem corollarii premisse proportio a b ad b e sicut b e ad b d. Quod est propositum.

Duabus lineis datis tertiam eis in continua proportionalitate subiungere.

Sint due linee proposite a b et c quibus volo tertiam in continua proportionalitate subiungere. Coniungam lineam c angulariter, ut contingit, cum linea a b sitque a d sibi equalis, produco lineam a b usque ad e donec fiat b e equalis a d et protracta linea b d a puncto e duco lineam sibi equidistantem quam et lineam a d produco quousque concurrant in puncto f. Dico igitur lineam d f esse quam querimus. Est enim per secundam huius proportio a b ad b e sicut a d ad d f, sed a b ad b e sicut ad a d per secundam partem 7 quinti, quare a b ad a d sicut a d ad d f. Quod est propositum.

. Quod si propositis tribus lineis voluimus invenire quartam ad quam sit proportio tertie sicut prime ad secundam, ex prima et secunda fiat linea una et toti composite tertia angulariter adiungatur et a communi termino prime et secunde ducatur linea ad extremitatem tertie et ab altero termino secunde ducatur huic linee equidistans quousque concurrat cum tertia in continuum rectumque protracta. Eritque per secundam huius linea quam hec equidistans abscindet que queritur quemadmodum si in hac figura fuerit prima a b, secunda b e, tertia a d, erit quarta d f. Quod est propositum.

Ab assignata linea quotamcumque iubearis partem abscindere.

Sit a b linea assignata, ab ea volo aliquotam partem utpote tertiam abscindere. Coniungo ei angulariter, ut contingit, lineam indefinite quantitatis que sit a c a qua reseco tres equas portiones que sint a d, d e et e c, produco lineas c b et d f sibi equidistantes. Dico a f esse tertiam a b. Est enim per secundam huius proportio c d ad d a sicut b f ad f a, quare coniunctim c a ad d a sicut b a ad f a. Cum igitur c a sit tripla ad d a, patet a f esse tertiam a b. Quod est propositum.

Duabus lineis propositis altera indivisa, altera per partes divisa, indivisam quidem ad modum divise dividere.

Sint due linee quas angulariter, ut contingit, coniungam a b et a c sitque a b divisa in tres vel qualescumque portiones signatis in ea punctis d et e. Volo secundum easdem proportiones dividere lineam a c. Cum igitur ipsas angulariter coniunxero, protraham lineam b c et equidistantes ei d f et e g. Dico istas equidistantes dividere lineam a c in partes proportionales partibus a b. Protraham enim f h equidistantem a b que secet e g in puncto k eritque per secundam huius proportio g f ad f a sicut e d ad d a et c g ad g f sicut h k ad k f, quare et sicut b e ad e d per 34 primi et secundam partem 7 quinti. Quod est propositum. Oportet autem secundam huius totiens repetere quot erunt partes linee a b minus una, at vero 34 primi et 7 quinti minus duabus.

Si due superficies equidistantium laterum, quarum unus angulus unius uni angulo alterius [f.48r] equalis, equales fuerint, latera duos equos angulos continentia mutekefia esse. Si vero latera duos equos angulos continentia mutua fuerint, duas superficies equales esse necesse est.

Sint due superficies a b c d et c e f g equidistantium laterum et equales sitque angulus c unius equalis angulo c alterius. Dico proportionem b c ad c g esse sicut e c ad c d. Et si proportio b c ad c g fuerit sicut e c ad c d et predicti anguli fuerint adhuc equales, dico illas duas superficies equidistantium laterum esse equales. Coniungam enim eas angulariter videlicet angulum c unius cum angulo c alterius ita quod duo latera earum que sunt b c et c g fiant linea una. Eruntque similiter duo reliqua latera d c et c e linea una. Alioquin sequeretur per presentem ypothesim, que est, angulum c unius esse equalem angulo c alterius et per 15 primi partem esse equalem toti. Complebo itaque superficiem equidistantium laterum productis lineis a d et f g quousque concurrant in h. Eritque per primam partem 7 quinti utriusque superficiei a c et c f ad superficiem c h proportio una et quia per primam huius proportio superficiei a c ad superficiem c h sicut linee b c ad lineam c g et superficiei c f ad eandem superficiem c h sicut e c ad c d, manifesta est prima pars proposite conclusionis. Secunda pars sic patet. Per primam enim huius est proportio b c ad c g sicut a c ad c h et e c ad c d sicut c f ad eandem c h. Et quia positum est quod proportio b c ad c g sicut e c ad c d, erit utriusque duarum superficierum a c et e g ad superficiem c h una proportio, ergo per primam partem 9 quinti a c est equalis c f. Sicque patet secunda pars.

Si duo trianguli, quorum unus angulus unius uni angulo alterius equalis, equales fuerint, latera duos angulos equos continentia erunt mutekefia. Si vero latera duos equos angulos continentia fuerint mutua, duo trianguli equales esse comprobantur.

Sint duo trianguli a b c, c d e equales sitque angulus c unius equalis angulo c alterius. Dico proportionem a c ad c e esse sicut d c ad c b. Et si fuerit proportio a c ad c e sicut d c ad c b et predicti anguli fuerint adhuc equales, dico illos duos triangulos esse equales. Coniungam enim eos angulariter ita quod latera a c et c e fiant linea una eruntque similiter b c et c d linea una. Aliter sequeretur partem esse equalem toti per 15 primi. Et protraham lineam b e eritque per primam partem 7 quinti utriusque dictorum triangulorum ad triangulum c b e proportio una. [f.48v] Et quia per primam huius primi eorum ad ipsum est sicut a c ad c e et secundi eorum ad eundem sicut d c ad c b, manifesta est prima pars proposite conclusionis. Secunda pars econverso constabit. Quia a c ad c e est sicut primi trianguli ad triangulum b c e et d c ad c b sicut secundi ad eundem per primam huius, et quia positum est ut sit a c ad c e sicut d c ad c b, erit utriusque dictorum triangulorum ad triangulum b c e una proportio, quare per primam partem 9 quinti ipsi sunt equales. Sicque patet pars secunda.

Si fuerint 4 linee proportionales, quod sub prima et ultima rectangulum continetur, equum erit ei quod sub duabus reliquis. Si vero quod sub prima et ultima continetur equum fuerit ei quod sub duabus reliquis continetur rectangulum, 4 lineas proportionales esse convenit.

Sint 4 linee a, b, c, d proportionales sitque proportio a ad b sicut c ad d. Dico quod superficies contenta sub a et d equalis est superficiei contente sub b et c. Et si superficies contenta sub a et d est equalis superficiei contente sub b et c, dico quod proportio a ad b est sicut c ad d. Fiant enim superficies contenta sub a et d et superficies contenta sub b et c. Si ergo proportio est a ad b sicut c ad d, latera illarum superficierum erunt mutekefia, sed et anguli ab eis contenti equales, quia utraque est rectorum angulorum, quare per secundam partem 13 huius ipse sunt equales. Quod est primum. Secundum patet per primam partem eiusdem. Si enim ipse sunt equales, quia omnes anguli earum sunt recti, latera earum erunt mutekefia, quare proportio a ad b sicut c ad d. Quod est secundum etcetera.

Si fuerint tres linee proportionales, quod sub prima et tertia rectangulum continetur, equum erit ei quod a secunda quadrato describitur. Si vero quod sub prima et tertia continetur equum est ei quadrato quod a secunda producitur, ipse tres linee erunt proportionales.

Sit proportio linee a ad lineam b sicut linee b ad lineam c. Dico quod superficies contenta sub a et c equalis est quadrato b. Et si superficies contenta sub a et c est equalis quadrato b, dico quod proportio a ad b est sicut b ad c. Hoc autem est evidens per precedentem posita alia linea que sit equalis b ita quod b sit in ratione secunde et tertie etcetera. [f.49r]

Si fuerint duo trianguli similes, proportio alterius ad alterum est tamquam proportio cuiuslibet sui lateris ad suum relativum latus alterius duplicata.

Manifestum etiam ex hoc, quod omnium trium linearum continue proportionalium quanta est prima ad tertiam, tanta erit superficies constituta super primam ad superficiem constitutam super secundam, cum fuerit ei similis in lineatione et creatione.

Sint duo trianguli a b c, d e f similes eruntque per diffinitionem equianguli et laterum proportionalium. Sit ergo angulus a equalis angulo d et angulus b angulo e et angulus c angulo f eritque proportio a b ad d e et a c ad d f sicut b c ad e f. Dico quod proportio trianguli a b c ad triangulum d e f est sicut proportio b c ad e f duplicata. Subiungatur enim secundum doctrinam 10 huius duabus lineis b c et e f tertia in continua proportionalitate que sit g c protracta aut resecata c b si c g fuerit ea maior aut minor. Et producatur linea g a eritque per secundam partem 14 huius triangulus a g c equalis triangulo d e f propter id quod proportio a c ad d f est sicut e f ad c g et angulus c equalis angulo f, quare per secundam partem 7 quinti trianguli a b c ad utrumque illorum erit una proportio, sed per primam huius proportio trianguli a b c ad triangulum a g c est sicut b c ad c g. At vero proportio b c ad g c sicut b c ad e f duplicata per 10 descriptionem quinti, ergo proportio trianguli a b c ad triangulum d e f est sicut proportio b c ad e f duplicata. Quod est propositum. Si autem g c sit equalis b c, erit per secundam partem 14 huius triangulus a b c equalis triangulo d e f, equalis autem proportio componitur ex equali duplicata vel triplicata vel quotienscumque sumpta. Istam eandem passionem possemus eodem modo et per eadem media demonstrare de superficiebus equidistantium laterum similibus sumpta solum 13 presentis loco 14. Non demonstrat autem eam quia per sequentem demonstratur universaliter de omnibus superficiebus similibus. Quare per corollarium quod universaliter proponitur de omnibus superficiebus similibus nondum patet nisi de triangulis, sed demonstrata sequente patens erit de omnibus. Posuit autem ipsum hic et non in sequente quia est corollarium huius, non autem sequentis. Ex modo enim demonstrationis huius sua veritas manifestata est, non ex modo illius.

Omnes due superficies similes multiangule sunt divisibiles in triangulos similes atque numero equales, eritque proportio alterius earum ad alteram sicut cuiuslibet sui lateris ad suum relativum [f.49v] latus alterius proportio duplicata.

Sint gratia exempli duo pentagoni a c d, h f k similes. Dico quod ipsi sunt divisibiles in triangulos similes numero equales, et proportio alterius eorum ad alterum est sicut a b ad f g proportio duplicata. Ducantur enim linee a c et a d itemque f h, f k eritque per presentem ypothesim et per 6 huius triangulus a b c equiangulus triangulo f g h et triangulus a e d triangulo f l k. Similiter quoque per hanc communem scientiam: si ab equalibus equalia demas, que residua sunt erunt equalia, erit triangulus a c d equiangulus triangulo f h k. Nam ipsi pentagoni positi sunt equianguli et laterum proportionalium. Et quia trianguli in quos dividuntur sunt ad invicem equianguli, ut probatum est, erunt etiam similes per 4 huius et diffinitionem similium superficierum. Quare cum ipsi sint numero equales, patet primum. Secundum sic. Protrahantur b d que secet a c in puncto m et g k que secet f h in puncto n eritque triangulus b c d equiangulus triangulo g h k per 6 huius et presentem ypothesim, quare et triangulus a b m triangulo f g n et a m d, f n k, ergo per 4 huius proportio b m ad g n est sicut a m ad f n et a m ad f n sicut m d ad n k, quare per 11 quinti b m ad g n sicut m d ad n k, ergo permutatim b m ad m d sicut g n ad n k. Sed per primam huius a b m ad a m d et b c m ad c m d sicut b m ad m d et per eandem f g n ad f n k et g n h ad h n k sicut g n ad n k, ergo per 13 quinti a b c ad a c d sicut f g h ad f h k, quare permutatim a b c ad f g h sicut a c d ad f h k. Eadem ratione probabis quod et sicut a e d ad f l k, ergo per 13 quinti totius pentagoni ad totum pentagonum sicut a b c ad f g h. Per premissam igitur est proportio pentagoni a c d ad pentagonum f h k sicut proportio a b ad f g duplicata. Quod est propositum. Ex quo rursus patet corollarium precedentis.

Aliter potest demonstrari secundum. Cum enim trianguli in quos pentagoni dividuntur sint ad invicem similes, erit per precedentem proportio a b c ad f g h sicut b c ad g h duplicata et a c d ad f h k sicut c d ad h k duplicata et a e d ad f l k sicut d e ad k l duplicata. Quia igitur omnes hee proportiones duplicate sunt equales propter hoc quod positum est simplas esse equales, erit per 13 quinti totius pentagoni ad totum pentagonum sicut lateris unius ad suum relativum latus alterius proportio duplicata. Quod est propositum.

Supra datam lineam date superficiei similem superficiem describere.

Sit data linea a b supra quam volo constituere superficiem similem date superficiei que sit pentagona et sit c d e f g. Divido hunc pentagonum in triangulos ductis lineis d f et d g et super punctum a constituo angulum equalem angulo c ducta linea a h et super punctum b constituo alium angulum qui sit a b h equalem angulo c d g. Protracta linea b h quousque concurrat cum a h in puncto h eritque per 32 primi angulus a h b equalis angulo c g d et ideo per 4 huius latera duorum triangulorum g c d et h a b proportionalia. Facio quoque angulum h b k ducta linea b k equalem angulo g d f et angulum k b l ducta linea b l equalem angulo f d e et angulum b h k ducta linea h k equalem angulo d g f et angulum b k l ducta linea k l equalem angulo d f e. Eritque perfectus pentagonus qui constituendus erat [f.50r] supra lineam a b. Est enim equiangulus dato pentagono propter equalitatem angulorum triangulorum in quos est uterque divisus, sed et laterum proportionalium propter proportionalitatem laterum ipsorum triangulorum que ex 4 huius evidenter apparet, quare per diffinitionem similium superficierum pentagonus constitutus supra lineam a b est similis pentagono dato. Quod est propositum.

Si fuerint similes uni superficiei, quaslibet superficies sibi invicem similes esse necesse est.

Sit uterque pentagonorum a b c, d e f similis pentagono g h k. Dico eos esse similes sibi invicem. Est enim uterque eorum equiangulus pentagono g h k per conversionem diffinitionis similium superficierum, quare sunt equianguli ad invicem. Similiter quoque per conversionem eiusdem diffinitionis proportio a b ad g h sicut a c ad g k et g h ad d e sicut g k ad d f, ergo per equam proportionalitatem a b ad d e sicut a c ad d f. Eodem modo probabis reliqua latera pentagonorum a b c, d e f continentia equos angulos esse proportionalia. Per diffinitionem itaque similium superficierum ipsi sunt similes ad invicem. Quod est propositum.

Si fuerint quotlibet linee proportionales atque super binas et binas similes superficies designentur, ipse quoque superficies erunt proportionales. Si vero super binas et binas similes superficies constitute fuerint proportionales, ipsas quoque lineas proportionales esse necesse est.

Sint 4 linee proportionales a, b, c, d sitque proportio a ad b sicut c ad d. Dico quod si similes superficies constituantur supra a et b utpote duo pentagoni similes et alie similes constituantur supra c et d utpote duo trianguli similes, erit proportio pentagonorum sicut triangulorum. Quod si fuerint pentagoni similes et similiter etiam trianguli similes fueritque proportio pentagoni ad pentagonum sicut trianguli ad triangulum, dico quod erit proportio a ad b sicut c ad d. Subiungatur enim lineis a et b, e et lineis c et d, f in continua proportionalitate sicut docet 10 huius, erit per 22 quinti per equam proportionalitatem a ad e sicut c ad f. Quia ergo per corollarium 17 huius proportio pentagonorum est sicut a ad e et triangulorum sicut c ad f, erit proportio pentagonorum sicut triangulorum. Et hoc est primum.

Secundum sic patet. Sint duo pentagoni similes et duo trianguli similes sitque proportio pentagonorum sicut triangulorum. Dico quod proportio a ad b est sicut c ad d. Sit enim c ad g sicut a ad b. Hoc enim qualiter fiat dictum est supra 10 huius et supra g fiat sicut docet 19 huius superficies similis illi que est constituta supra lineam c. Eritque per premissam similis ei que constituta est supra lineam d eritque etiam per primam partem huius 21 que proportio pentagoni a ad pentagonum b eadem trianguli c ad triangulum g, sed eadem erat etiam trianguli c ad triangulum d, ergo per secundam partem 9 [f.50v] quinti triangulus d est equalis triangulo g. Et quia sunt similes, erit linea g equalis linee d per primam partem 17 huius cum supra lineas c, d et g sint trianguli vel per secundam partem 18 cum fuerint quelibet figure alie multiangule. Equalitas enim non producitur ex aliqua proportione duplicata vel triplicata vel quotienslibet sumpta nisi ex equali, erit itaque c ad d sicut a ad b. Quod est propositum.

Cuncte superficies equidistantium laterum que circa diametrum consistunt, toti paralellogramo atque sibi invicem sunt similes.

Sit ut in paralellogramo b d cuius diameter a c consistant superficies g h et f k equidistantium laterum circa diametrum. Dico eas esse similes toti paralellogramo et sibi invicem. Est enim per secundam huius b g ad g c et d h ad h c sicut a e ad e c, ergo coniunctim b c ad c g et d c ad c h sicut a c ad c e quare per 11 huius b c ad c g sicut d c ad c h, sed etiam sicut a b ad e g cum a b sit equalis d c et e g, h c. Eodem modo erit a d ad e h sicut a b ad e g et d c ad h c. Quia ergo ista paralellograma sunt equiangula, constat per diffinitionem similium superficierum g h esse simile b d. Simili quoque modo probatur f k esse simile eidem propter hoc quod b a ad a k et d a ad a f est sicut c a ad a e per secundam huius et coniunctam proportionalitatem, quare per 20 huius f k est etiam simile g h. Sicque patet totum.

Si in suo spatio paralellogramum partiale disiunctum toti paralellogramo simile atque secundum suum illius esse fuerit, circa eiusdem diametrum consistit.

Sit ut in hoc paralellogramo b d sit disiunctum paralellogramum f g quod sit sibi simile et secundum suum esse idest participans cum eo in angulo c. Dico quod paralellogramum f g consistit circa diametrum paralellogrami b d et est hec conversa precedentis. Producam enim a e c que si fuerit diameter paralellogrami b d constat propositum. Sin autem, sit a h c diameter eius et producatur h k equidistans f c eritque per premissam paralellogramum f k simile paralellogramo b d, ergo per conversionem diffinitionis similium superficierum proportio b c ad k c est sicut d c ad f c. Sed per eandem conversionem dicte diffinitionis proportio b c ad g c sicut d c ad f c propter id quod paralellogramum f g positum est simile paralellogramo b d, ergo per 11 quinti proportio b c ad g c est sicut b c ad k c, utraque enim est sicut d c ad f c, quare per secundam partem 9 quinti g c est equalis k c, pars videlicet toti. Quod est impossibile. Erit igitur a e c diameter paralellogrami b d. Quod est propositum.

24 Omnium duarum superficierum equidistantium laterum, quarum unus angulus unius uni angulo alterius est equalis, proportio alterius ad alteram est que producitur ex duabus proportionibus suorum laterum duos equos angulos continentium etcetera. [f.51r]

Sint due superficies equidistantium laterum a c et e d sitque angulus b unius equalis angulo b alterius. Dico quod proportio unius ad alteram producta est ex proportione a b ad b d et c b ad b e. Disponam enim has duas superficies penitus sicut disposui eas in 13 huius adiuncto ad utramque paralellogramo c d. Et ponam ut proportio linee f ad lineam g sit sicut a b ad b d et g ad h sicut c b ad b e. Qualiter enim hoc fiat, dictum est supra 10 huius. Eritque per primam huius et 11 quinti a c ad c d sicut f ad g et c d ad d e sicut g ad h, quare per 22 quinti erit in equa proportionalitate a c ad d e sicut f ad h et quia f ad h producitur ex f ad g et g ad h ut dictum est in fine expositionis 11 diffinitionis quinti, erit ut a c ad d e producatur ex eisdem. Quare constat propositum.

Date superficiei similem aliique proposite equalem designare.

Sint superficies due proposite rectilinee a pentagona, b exagona. Volo facere unam superficiem similem a et equalem b. Utramque propositarum superficierum resolvo in triangulos, a quidem in triangulos c, a, d; b vero in triangulos e, b, f, g et super basim superficiei a que sit h k constituo secundum doctrinam 44 primi superficiem equidistantium laterum rectangulam equalem c que sit h l et l m equalem a et m n equalem d ut sit tota superficies equidistantium laterum h n constituta super basim h k equalis pentagono a. Eodemque modo super lineam k n que est secundum latus huius superficiei constituam aliam superficiem rectangulam equalem exagono b quia facio k o equalem e et o p equalem b et p q equalem f et q r equalem g ut sit tota rectangula superficies n r equalis exagono b. Et pono per 9 huius lineam s t proportionalem inter lineam h k et lineam k r et super eam secundum doctrinam 19 huius constituo superficiem v similem superficiei a. Dico ipsam esse quam querimus et equalem superficiei b. Cum enim tres linee h k, s t et k r sint continue proportionales et super primam et secundam sint constitute superficies similes videlicet a et v, erit per corollarium 17 huius a ad v sicut h k ad k r, quare per primam partem huius sicut h n ad n r. Et ideo per primam partem 7 quinti sicut a ad n r et propter hoc per secundam partem eiusdem sicut a ad b. Itaque per secundam partem 9 quinti v est equalis b. Quod est propositum.

Quod etiam possumus ex permutata proportionalitate facile probare quod cum sit a ad v sicut h n ad n r, erit permutatim a ad h n sicut v ad n r. Et quia a est equalis h n, erit v equalis n r, quare v est etiam equalis b per hanc communem scientiam: quecumque uni et eidem sunt equalia, inter se sunt equalia.

Non est autem necessarium ut superficies h l, l m et m n equidistantium laterum equales triangulis c, a, d aut superficies k o, o p, p q et q r equales triangulis e, b, f, g sunt rectangule. Sed ut angulus extrinsecus superficiei l m sit equalis angulo intrinseco superficiei l h et extrinsecus m n intrinseco m l, similiter quoque ut extrinsecus superficiei k o sit equalis intrinseco superficiei h n et extrinsecus o p intrinseco k o sicque de ceteris. Cum enim sic fuerit, erit unaqueque linearum k n et sibi opposita h m itemque h r et sibi opposita n q linea una per ultimam partem 29 primi. Et per 14 eiusdem quotiens oportuerit equaliter repetitas propter id quod omnes superficies h l, l m et m n itemque k o, o p, p q, q r sunt equidistantium laterum et angulus extrinsecus cuiusque sequentis est equalis intrinseco eam precedentis, quare due superficies h n et n r equidistantium laterum erunt et inter lineas equidistantes et equalis altitudinis. Cetera ergo argue ut prius.

Super dimidium date linee paralellogramum designatum maius est eo paralellogramo, cui [f.51v] date linee applicato deest ad completionem linee simile et super diametrum consistens super dimidium collocati.

Sit data linea a b super cuius dimidium c b constituatur paralellogramum c d cuius diametrum b e et ad lineam a b applicetur paralellogramum a f cuius unum latus secet e c in puncto g ita quod ad complementum totius linee a b desit superficies f b que sit similis superficiei c d et consistens circa diametrum eius. Dico tunc quod paralellogramum c d est maius paralellogramo a f. Est enim per primam huius a g equale g b et per 43 primi c f equale f d, ergo per hanc communem scientiam: si equalibus equalia addas etc. erit gnomo constans ex tribus paralellogramis que sunt c f, f b et f d equalis paralellogramo a f, quare paralellogramum c d est maius paralellogramo a f in paralellogramo e f. Quod est propositum. Idem etiam esset si superficies a f fieret altior superficie c d ut videre potes in secunda figura in qua etiam per primam huius a g est equale g b. Demptis itaque utrimque duobus supplementis superficiei f b excedet paralellogramum c d paralellogramum a f in paralellogramo f e. Quod est propositum.

Trilatera superficie proposita equum ei secundum quamlibet assignatam lineam paralellogramum designare, cui desit ad complendam lineam alii superficiei proposite simile paralellogramum. Quod secundum eiusdem suum esse paralellogramo super dimidium date linee collocando minime maius existat.

Sit assignata linea a b et propositus triangulus c propositumque paralellogramum d. Volo autem super lineam a b designare paralellogramum equale triangulo c ita quod desit ad complendam lineam a b paralellogramum simile d et sit ita conditionatum quod triangulus c non sit maior paralellogramo simili d collocato super dimidium linee a b. Alioquin ad impossibile laboraretur per premissam. Divido itaque lineam a b per equalia in puncto e et secundum doctrinam 19 huius super eius medietatem e b constituo paralellogramum e f simile d et compleo super totam lineam a b paralellogramum b g. Quia ergo c non est maior paralellogramo e f, sed equalis ei aut minor sicut positum est. Si fuerit ei equalis, erit paralellogramum e g quale intenditur per 36 primi coadiuvante prima parte 9 et per diffinitionem similium superficierum et 20 huius. Si autem minor, sit minor in superficie aliqua cui equalis et similis d fiat secundum doctrinam 25 huius que sit h eritque h similis e f per 20 huius, quare per conversionem diffinitionis equiangula sibi et laterum proportionalium. Protraham in paralellogramo e f diametrum b k et resecabo k f latera et e k superficiei e f ad mensuram laterum superficiei h protractis lineis l m et n o equidistantibus lateribus superficiei e f secantibus se in puncto p ut superficies k p sit equalis et similis superficiei h eritque per 23 huius punctum p in diametro k b. [f.52r] Protracta itaque o n usque ad a g dico paralellogramum a p esse quale proponitur. Deest enim sibi ad complementum linee a b paralellogramum p b quod per 22 et 20 huius est simile paralellogramo d. Sed ipsum etiam paralellogramum a p est equale triangulo c. Est enim per primam huius a n equale n b, ergo per 43 primi et hanc communem scientiam: si equalibus equalia addas etc., paralellogramum a p est equale gnomoni n b l. Et quia iste gnomo est equalis triangulo c propter id quod paralellogramum e f positum fuit esse maius triangulo c in paralellogramo h quod est equale paralellogramo k p, patet propositum.

Super datam lineam date superficiei trilatere equum paralellogramum constituere, quod addat super completionem date linee superficiem equidistantium laterum date superficiei equidistantium laterum similem.

Sit ut prius data linea a b et datus triangulus c datumque paralellogramum d. Volo super lineam a b constituere paralellogramum equale triangulo c quod addat super totam lineam a b paralellogramum simile d. Divido lineam a b per equalia in puncto e et super eius medietatem e b facio e f simile d secundum quod docet 19 huius. Et secundum doctrinam 25 huius facio k l cuius diametrum g h similem d et equalem duabus superficiebus e f et c eritque per 20 huius k l similis e f. Superposita igitur superficie k l superficiei e f ita quod ambe communicent in angulo g, erit per 23 huius superficies e f consistens circa diametrum superficiei k l, quare punctum b est in diametro g h. Complebo igitur paralellogramum a h quod dico esse quale proponitur. Quod constat protractis linea f b usque ad m et linea e b usque ad n, est enim per primam huius a k equale k b et ideo per 43 primi est etiam equale n f. Addito ergo utrique e h erit per communem scientiam a h equale gnomoni e h f, sed iste gnomo est equalis triangulo c quia paralellogramum k l positum fuit equale duabus superficiebus c et e f, ergo paralellogramum a h est equale c et addit ad complementum linee a b paralellogramum m n quod per 22 et 20 huius est simile paralellogramo d. Quare constat perfectum esse quod volumus.

. Possumus autem ad lineam datam adiungere paralellogramum equale non solum trilatere superficiei proposite, sed et cuilibet rectilinee figure proposite quecumque ipsa fuerit cui paralellogramo desit ad complendam lineam datam superficies similis superficiei equidistantium laterum proposite sicut docet premissa observata conditione eius ne laboretur ad impossibile per antepremissam vel quod addat ad complendam lineam superficiem equidistantium laterum similem superficiei proposite sicut proponit conclusio presens, propositam enim superficiem cui equale paralellogramum debet ad lineam datam adiungi quod addat aut diminuat ad completionem linee paralellogramum simile paralellogramo dato resolvemus in triangulos et ipsis mediantibus describemus superficiem equidistantium laterum totali superficiei proposite equalem. Hoc autem qualiter fiat si scire volueris, require 25 huius, de hinc super duplum basis eius equalis altitudinis triangulum constituemus quem si 44 primi diligenter inspexeris paralellogramo prius designato invenies esse equalem, quare et superficiei proposite. Huic ergo triangulo si equale paralellogramum ad lineam datam adiunxeris quod addat ad complementum linee aut minuat paralellogramum simile paralellogramo dato secundum quod docent hec et premissa quod propositum erat te perfecisse non dubites. [f.52v]

Quamlibet lineam propositam secundum proportionem habentem medium duoque extrema secare.

Sit proposita linea a b quam volo dividere secundum proportionem habentem medium et duo extrema. Ex ipsa describo quadratum b c et ad eius latus a c adiungo secundum quod docet premissa paralellogramum c d equale quadrato b c quod addat ad complementum linee a c paralellogramum a d quod sit simile b c. Sitque latus paralellogrami c d quod equidistat a c, d e et secet lineam a b in puncto f. Dico lineam a b esse divisam in puncto f sicut proponitur. Est enim a d quadratum propter id quod est simile b c, quare a f est equalis f d. Sed et f e est equalis a b propter id quod est equalis a c per 34 primi. Et quia c d equale b c dempto utrimque c f erit a d equale e b et angulus f unius angulo f alterius, ergo per 13 huius latera sunt mutekefia, ergo e f ad f d sicut a f ad f b et quia e f est equalis a b et f d, a f, erit a b ad a f sicut a f ad f b, ergo per diffinitionem est divisa ut proponitur.

Idem etiam potest demonstrari ex 11 secundi. Dividatur enim a b in puncto f secundum quod docet 11 secundi sitque e b quod continetur sub tota a b et eius parte f b ita quod f e sit equalis a b et a d sit quadratum a f. Est itaque per predictam 11 secundi e b equale a d quod restat argue ut prius. Vel sic: Cum a b sit divisa in puncto f secundum quod docet 11 secundi quod fit ex a b prima in f b tertiam est equale quadrato a f secunde, ergo per secundam partem 16 huius proportio a b prime ad a f secundam est sicut a f secunde ad f b tertiam. Per diffinitionem itaque divisa est a b ut proponitur etcetera.

Si fuerint duo trianguli super unum angulum constituti, quorum duo latera angulum illum continentia duobus aliis eorum lateribus equidistent, fuerintque illa quatuor latera secundum equidistantiam relata proportionalia, illos duos triangulos super unam lineam rectam constitutos esse necesse est.

Sint duo trianguli a b c, d c e constituti super angulum a c d sitque a c equidistans d e et d c, a b et sit proportio a c ad d e sicut a b ad d c. Dico quod due bases eorum scilicet b c et c e sunt linea una. Est enim angulus a equalis angulo d quia uterque eorum est equalis angulo a c d per primam partem 29 primi, ergo per presentem ypothesim et 6 huius ipsi trianguli sunt equianguli et angulus b est equalis angulo d c e et angulus a c b angulo e, quare per 32 primi tres anguli qui sunt ad c sunt equales duobus rectis, ipsi enim equantur tribus angulis utriusque duorum triangulorum, ergo per 14 primi b e est linea una. Quod est propositum.

In omni triangulo rectangulo superficies [f.53r] lateris quod subtenditur angulo recto equalis est superficiebus duorum laterum angulum rectum continentium pariter acceptis, cum fuerint similes ei in lineatione et creatione.

Quod proposuit penultima primi de superficiebus quadratis proponit hec penultima sexti de omnibus superficiebus similibus. Unde hec est illa tanto universalior quanto superficies laterata quadrato. Sit itaque triangulus rectangulus a b c cuius angulus a sit rectus. Dico quod superficies constituta super latus b c est equalis duabus superficiebus constitutis super a b et a c cum omnes tres superficies fuerint similes in figura et situ. Ducam perpendicularem a d ad lineam b c eritque per secundam partem corollarii 8 huius proportio b c ad c a sicut c a ad d c et c b ad b a sicut b a ad d b. Si itaque super quamlibet trium linearum b c, c a et a b fiat superficies similis aliis in figura et situ, erit per corollarium 17 huius proportio superficiei constitute super b c primam ad constitutam super c a secundam sicut b c prime ad d c tertiam et item eiusdem superficiei constitute super b c primam ad constitutam super a b secundam sicut b c prime ad d b tertiam per idem corollarium. Quare per conversam proportionalitatem superficiei a c ad superficiem c b sicut c d ad c b et similiter superficiei a b ad superficiem b c sicut b d ad b c et ponatur superficies a c prima, superficies c b secunda et c b quarta et c d tertia et a b superficies quinta et b d sexta et arguatur per 24 quinti quod proportio superficiei constitute super b c ad duas superficies constitutas super c a et a b simul sicut b c ad c d et d b simul. Quia igitur b c est equalis duabus lineis c d et d b simul sumptis, erit superficies constituta super b c equalis duabus superficiebus constitutis super c a et a b simul sumptis. Quod est positum.

. Conversam quoque huius possumus facile demonstrare per modum demonstrationis ultime primi. Sit enim triangulus a b c sitque superficies constituta super b c equalis duabus superficiebus constitutis super duas lineas a b et a c sibi similibus. Dico quod angulus a est rectus. Ponam enim angulum c a d rectum et lineam a d equalem a b et claudo superficiem ducta linea d c eritque per hanc 31 superficies constituta super c d equalis duabus constitutis super duas lineas c a, a d sibi similibus, et quare etiam constitute super b c sibi simili. Hec enim posita est equalis duabus constitutis super duas que sunt a b et a c sibi similibus. Erit ergo linea b c equalis c d, quare per 8 primi angulus a est rectus. Quod est propositum.

Si in circulis equalibus supra centrum sive supra circumferentiam anguli consistant, erit angulorum proportio tamquam proportio arcuum illos angulos suscipientium.

Sint circuli a b c cuius centrum d et e f g cuius centrum h equales super quorum centra fiant duo anguli b d c et f h g et super eorum circumferentias alii duo qui sint b a c et f e g. Dico quod proportio angulorum tam eorum qui sunt supra centra quam eorum qui sunt supra circumferentias est sicut arcus b c ad arcum f g. Continuabo enim illis duobus arcubus alios arcus equales sive secundum eundem numerum sive secundum diversos sitque arcus k b equalis b c et uterque duorum arcuum l m et f l equalis f g et producam lineas k d, k a, m h, l h, m e, l e eruntque per 26 tertii anguli qui sunt ad d ad invicem equales. Similiter quoque et qui sunt ad h ad invicem equales. Idem etiam de hiis qui sunt ad a et de hiis qui sunt ad e. Sicut igitur arcus k c est multiplex arcus b c ita angulus k d c anguli b d c et angulus k a c anguli b a c. Similiter sicut arcus m g [f.53v] est multiplex arcus f g ita angulus m h g anguli f h g et angulus m e g anguli f e g. Sed si arcus k c est equalis arcui m g, angulus k d c est equalis angulo m h g et angulus k a c angulo m e g et si maior, maiores et si minor, minores per 26 tertii. Per diffinitionem itaque incontinue proportionalitatis proportio arcus b c ad arcum f g est sicut anguli b d c ad angulum f h g et sicut anguli b a c ad angulum f e g. Quod est propositum. Idem intellige in eodem circulo.

Explicit liber sextus.