Figura intra figuram dicitur inscribi, quando ea que inscribitur eius in qua scribitur latera unoquoque suorum angulorum ab interiore parte contingit.

Circumscribi vero figura figure perhibetur, quotiens ea quidem figura eius cui circumscribitur suis omnibus lateribus omnes angulos contingit.

Intra datum circulum date linee recte que diametro minime maior existat equam [f.25v] rectam lineam coaptare.

Sit linea data a b circulusque datus c d e cuius diameter c d qua c d non est maior linea a b. Volo intra datum circulum coaptare lineam equalem a b que si fuerit equalis diametro constat propositum. Si autem minor, ex diametro sumatur d f sibi equalis et super punctum d secundum quantitatem linee d f describatur circulus f e g secans datum circulum in punctis g et e. Ad alterum quorum ducatur linea a puncto d ut d e vel d g eritque utralibet earum equalis linee a b eo quod utraque est equalis linee d f per diffinitionem circuli. Quare habemus propositum etcetera.

Intra assignatum circulum triangulum triangulo assignato equiangulum collocare.

Sit signatus triangulus a b c assignatusque circulus d e f. Volo intra hunc circulum collocare unum triangulum equiangulum triangulo a b c. Equilaterum enim non est necessarium esse sed est possibile. Produco g d h contingentem circulum in puncto d super quam facio angulum h d f ducta linea d f equalem angulo c et angulum g d e ducta linea d e equalem angulo b. Et protraho lineam e f eritque per 31 tertii angulus e equalis angulo c quia uterque est equalis angulo h d f, c quidem per positionem, e vero per 31 tertii. Eadem ratione erit angulus f equalis angulo b, quare per 32 primi d tertius erit equalis a tertio. Quare habemus propositum scilicet triangulum.

Circa assignatum circulum assignato triangulo equiangulum describere.

Sint ut prius assignatus triangulus a b c assignatusque circulus d e f cuius centrum g. Circa hunc circulum volo describere unum triangulum equiangulum triangulo a b c, equilaterum enim non est necessarium hoc esse possibile. Producam basim b c in utramque partem ut fiant duo anguli et a centro g producam lineam g d ad circumferentiam et constituam angulum d g e ducta linea g e equalem angulo b extrinseco et d g f ducta linea g f equalem c extrinseco. Et a punctis d, e, f producam in utramque partem lineas orthogonaliter que ex corollario 15 tertii erunt contingentes circulum quas contingentes protraham quousque concurrant in punctis h, k, l. Necesse est enim ipsas concurrere. Cum enim uterque angulorum qui sunt ad d et uterque eorum qui sunt ad e sit rectus, si intelligatur protrahi linea d e, erunt duo anguli qui sunt ad partem h minores duobus rectis. Quare per penultimam petitionem in partem illam protracte concurrent linee l d h, k e h. Eadem ratione concurrent due linee h d l, k f l cum uterque angulorum qui sunt ad f sit quoque rectus. Quia ergo in quadrilatero h d e g duo anguli d et e sunt recti, erunt duo anguli g et h equales duobus rectis, cuiusque enim quadrilateri 4 anguli sunt equales 4 rectis ut monstratum est 32 primi. Et quia duo anguli b intrinsecus et extrinsecus sunt similiter equales duobus rectis per 13 primi, at vero b extrinsecus positus est equalis g, erit b intrinsecus equalis h. Simili quoque ratione erit c intrinsecus equalis l. Et quia duo [f.26r] anguli b et c intrinseci sunt minores duobus rectis per 32 primi, erunt similiter duo anguli h et l minores duobus rectis. Quare per penultimam petitionem due linee h e et l f protracte concurrent in puncto k fietque triangulus h k l. Et quia angulus h est equalis angulo b intrinseco et angulus l angulo c intrinseco, erit per 32 primi angulus k equalis angulo a. Quare habemus propositum.

Intra datum triangulum circulum describere.

Sit assignatus triangulus a b c. Volo intra ipsum circulum describere. Hec est quasi conversa secunde. Divido eius duos angulos a et b per equalia, a quidem ducta linea a d, b vero ducta linea b d que concurrant in puncto d a quo ducam perpendiculares ad tria latera ipsius d e quidem ad a b, d f ad b c et d g ad a c. Et quia duorum triangulorum e a d et g a d angulus a unius est equalis angulo a alterius et uterque angulorum e et g rectus et latus a d commune, erit per 26 primi linea d e equalis linee d g. Eadem ratione cum duorum triangulorum e b d et f b d angulus b unius sit equalis angulo b alterius et uterque angulorum e et f rectus, latus quoque d b commune, erit per eandem linea e d equalis linee d f. Quare tres linee d e, d f, d g sunt equales. Posito ergo centro in d et descripto circulo secundum quantitatem unius earum transibit per 9 tertii per reliquarum duarum linearum extremitates. Et quia per corollarium 15 tertii unaqueque linearum a b, b c et c a erit contingens circulum, patet perfectum esse propositum etcetera.

Circa trigonum assignatum, sive illud sit orthogonium sive ambligonium sive oxigonium, circulum describere.

Sit trigonus assignatus a b c. Volo circa ipsum describere circulum. Hec est quasi conversa tertie. Divido eius duo latera a b et a c per equalia a b quidem in puncto d et a c in puncto e a quibus punctis produco perpendiculares ad lineas a b et a c quas protraho quousque concurrant in puncto f. Sintque d f et e f, concurrent enim quoniam cum uterque angulorum d et e sit rectus, si intelligatur protrahi linea d e, fient duo anguli ad partem in quam protrahuntur minores duobus rectis. Quare concurrent per penultimam petitionem, igitur a puncto f qui est punctus concursus quem dico esse centrum circuli quesiti, protraho lineas ad singulos angulos que sint f a, f b, f c et quia in triangulo a d f duo latera a d et d f sunt equalia duobus lateribus b d et d f trianguli b d f et angulus d unius angulo d alterius, quia uterque rectus, erit per 4 primi f a equalis f b. Eadem ratione erit f a equalis f c comparatis lateribus et angulis duorum triangulorum a e f et c e f, ergo per 9 tertii punctum f erit centrum circuli quesiti. Hec est universalis demonstratio ad omnes species trigoni.

Quia tamen auctor videtur velle medium variare disiungendo inter orthogonium, ambligonium et oxigonium de quolibet eorum sigillatim est demonstrandum. Sit ergo trigonus propositus orthogonius sitque angulus a rectus, latus b c respiciens hunc angulum rectum divido per equalia in f a quo puncto quem dico esse centrum circuli ad medium punctum utriusque duorum reliquorum laterum qui sit d duco lineam f d. [f.26v] Et quia linea f d dividit duo latera a b et b c trianguli a b c per equalia, ipsa erit equidistans tertio videlicet linee a c. Hoc enim demonstratum est supra 39 primi et quia angulus a positus est rectus, erit per secundam partem et per tertiam 29 primi uterque angulorum qui sunt ad d rectus. Ducatur igitur linea f a, erit per 4 primi linea a f equalis linee b f comparatis ad invicem lateribus et angulis triangulorum a d f, b d f. Et quia linea b f est equalis linee c f, erunt tres linee b f, a f, c f ad invicem equales, quare per 9 tertii erit f centrum circuli quesiti.

Sit rursus trigonus a b c ambligonius sitque angulus a obtusus, latus b c respiciens hunc angulum obtusum divido per equalia in puncto h a quo ad media puncta duorum reliquorum laterum que sint d et e duco lineas h d et h e eritque d h equidistans a c et e h equidistans a b propter id quod demonstratum est supra 39 primi videlicet quod linea secans duo latera alicuius trianguli per equalia tertio est equidistans, quare per secundam partem 29 primi erit uterque angulorum b d h, c e h equalis angulo a et ideo uterque obtusus. Ductis igitur perpendicularibus d f ad lineam a b et e f ad lineam a c quousque concurrant in puncto f quem dico esse centrum circuli. Manifestum est enim eas concurrere propter causam prius dictam. Secabit utraque earum lineam b c que respicit obtusum et concurrant extra triangulum a b c, igitur a puncto f qui est punctus concursus earum produco lineas f a, f b, f c que per 4 primi bis assumptam erunt equales comparatis primo lateribus et angulis duorum triangulorum a d f, b d f, deinde aliorum duorum a e f, c e f, quare per 9 tertii f est centrum circuli quesiti.

Esto iterum ut trigonus a b c sit oxigonius. Divisis omnibus eius lateribus per equalia videlicet latus a b in puncto d et latus a c in puncto e et b c in puncto h protraho lineas d e, d h et e h eritque d h equidistans a c et e h, a b propter id quod demonstratum est supra 39 primi, quare per secundam partem 29 primi uterque angulorum b d h, c e h erit equalis angulo a et ideo acutus. Ductis igitur perpendicularibus d f ad lineam a b et e f ad lineam a c manifestum est eas concurrere intra triangulum a b c. Sitque punctus concursus f quem dico esse centrum circuli. Produco enim lineas f a, f b, f c que per 4 primi bis assumptam ut prius erunt equales, quare per 9 tertii erit f centrum circuli quesiti. Per predicta patet quod si triangulus fuerit orthogonius, centrum circuli circumscribendi cadet in medio lateris quod opponitur angulo recto. Si fuerit ambligonius, centrum cadet extra triangulum. Si autem fuerit oxigonius, cadet intra triangulum.

Intra datum circulum quadratum describere.

Sit datus circulus a b c d cuius centrum e. Volo intra ipsum describere quadratum. Protraho in ipso duas diametros a c et b d secantes se orthogonaliter supra centrum e quarum extremitates coniungo. Protractis lineis a b, b c, c d et d a quas dico continere quadratum quesitum. Ipse enim erunt equales ad invicem per 4 primi ter assumptam propter id quod 4 linee e a, e b, e c et e d sunt equales et 4 anguli qui sunt ad e recti. Sed et unusquisque 4 angulorum a, b, c, d est rectus per primam partem 30 tertii propter id quod quilibet eorum est in semicirculo. Erit igitur a b c d quadratum per diffinitionem. Quod est propositum.

Circa propositum circulum quadratum [f.27r] describere.

Sit propositus circulus a b c d cuius centrum e. Volo circa ipsum describere quadratum. Protraho in ipso duas diametros a c et b d secantes se orthogonaliter supra centrum e a quarum extremitatibus duco in utramque partem lineas orthogonaliter quousque quelibet earum concurrat cum duobus lateribus sintque puncta concursus earum f, g, h, k eritque per corollarium 15 tertii uterque angulorum qui sunt ad unumquemque 4 punctorum a, b, c, d rectus. Quia ergo in quadrilatero a f b e tres anguli a, b et e sunt recti, erit quartus angulus qui est f rectus. Habet enim quodlibet quadrilaterum 4 angulos equales 4 rectis ut demonstratum est supra 32 primi. Eadem ratione quilibet angulorum g, h, k erit rectus, ergo per secundam partem 28 primi due linee f g et k h itemque due f k et g h sunt equidistantes, ergo per 34 primi f k est equalis g h et f g et k h. Et quia per eandem f k est equalis b d et f g, a c, at vero b d est equalis a c, erunt 4 linee f k, g h, f g, et k h equales. Sed et 4 anguli f, g, k et h sunt recti ut probatum, ergo f g k h est quadratum per diffinitionem. Quod est propositum.

Intra quadratum assignatum circulum describere.

Sit quadratum assignatum a b c d. Volo intra ipsum describere circulum. Hec est quasi conversa sexte. Divido unumquodque latus eius per equalia a d quidem in puncto e, b a in puncto f, c b in puncto g et d c in puncto h. Et produco lineas e g, f h secantes se in puncto k quem dico esse centrum circuli. Erit enim f h equidistans et equalis a d per 33 primi propter id quod a f et d h sunt equales et equidistantes. Similiter per eandem et e g et a b. Quia omnes medietates 4 laterum ipsius quadrati sunt ad invicem equales, erunt per 34 primi 4 linee k e, k f, k g, k h equales, ergo per 9 tertii k est centrum circuli quesiti.

Circa assignatum quadratum circulum describere.

Sit quadratum assignatum a b c d. Volo circa ipsum circulum describere. Hec quasi conversa 7. Protraho in ipso duas diametros a c et b d secantes se in puncto e quem dico esse centrum circuli. Cum enim linee a d et a b sint equales, erunt per 5 primi anguli a d b, a b d equales. Et quia angulus a totalis est rectus, erit per 32 primi uterque eorum medietas recti. Simili quoque modo probabitur quemlibet partialium angulorum a predictis diametris et lateribus quadrati propositi contentorum esse medietatem recti. Quia igitur angulus e a d est equalis angulo e d a, erit per 6 primi linea a e equalis linee e d. Eadem ratione erit e a equalis e b et e c equalis e d. Quare per 4 linee e a et e b, e c et e d sunt equales. Erit per 9 tertii e centrum circuli quesiti. Quod est propositum.

Duum equalium laterum triangulum designare cuius uterque duorum angulorum quos basis optinet reliquo duplus existat.

Intentio est describere unum triangulum duorum equalium laterum [f.27v] et tertii inequalis cuius uterque angulorum, qui super latus quod est reliquis inequale existunt, ad tertium duplus existat. Ad hoc autem faciendum sumatur linea quelibet que sit a b que dividatur secundum quod docet 11 secundi in puncto c ita quod illud quod fit ex b a in b c sit equale quadrato a c. Factoque puncto a centro secundum ipsius quantitatem describatur circulus b d e intra quem per primam huius coaptatur linea b d equalis linee a c et producantur due linee d a, d c. Dico triangulum a b d esse qualis proponitur. Circumscribatur circulus per 5 huius triangulo d a c qui sit d a c. Quia ergo linea d b est equalis linee a c, erit quod fit ex a b in b c equale quadrato linee b d. Quare per ultimam tertii linea b d est contingens circulum d a c et per 31 eiusdem angulus c d b est equalis angulo c a d. Posito ergo communi angulo c d a erit totus angulus b d a equalis duobus angulis c a d, c d a. Sed per 32 primi angulus b c d est equalis eisdem quia extrinsecus ad ipsos, ergo angulus b d a est equalis angulo b c d et quia angulus a d b est equalis angulo a b d per 5 primi eo quod latera a d et a b sunt equalia, erit angulus b c d equalis angulo c b d, ergo per 6 primi linea c d est equalis linee b d, quare et linee c a, ergo per 5 primi angulus c a d est equalis angulo c d a. Quia ergo uterque angulorum c d b et c d a est equalis angulo c a d, erit totus angulus b d a et ideo angulus a b d sibi equalis duplus ad angulum b a d. Quod est propositum.

. Forsan dicet adversarius circulum d c a circumscriptum trigono partiali secare circulum b d e in aliquo puncto arcus b d ita quod simul secabit lineam b d. Unde ipsa non erit circulo applicata sicut in demonstratione supponitur, sed ipsum secans. Sit ergo si possibile est ut ponit adversarius et a puncto b ducatur ad ipsum circulum minorem contingens b f et ducantur linee f a, f d eritque per penultimam tertii quod fit ex a b in b c equale quadrato b f, ergo b f est equalis b d. Quare per 5 primi angulus b f d est equalis angulo b d f et quia per 31 tertii angulus b f a est equalis angulo a d f, erit angulus b d f maior angulo a d f. Quod est impossibile, cum ipse sit pars eius.

Aliter possumus istud refellere et ostendere quod ille minor circulus nullo modo secabit lineam b d. Forsan enim diceret quod secaret eam non secando arcum d b maioris circuli. Si enim possibile est quod secet eam lineam, sit hoc in puncto h eritque quod fit ex a b in b c equale ei quod fit ex d b in b h. Monstratum enim est supra penultima tertii quod si ab aliquo puncto extra circulum signato quotlibet linee secantes ad circulum ducantur que sub totis et earum portionibus extrinsecis continentur equalia sunt ad invicem. Et quia quod fit ex a b in b c est equale quadrato b d, erit quod fit ex d b in b h equale quadrato d b. Quod est impossibile per secundam secundi. Quare constat propositum.

Et nota quod minor circulus necessario secabit maiorem et abscindet ab eo arcum unum equalem arcui b d et maior abscindet similiter ab eodem unum arcum equalem arcui d c. Quod sic probatur. Si enim minor non secat maiorem, contingit ergo ipsum in puncto d. Et quia per 11 tertii circulorum se contingentium centra et punctus contactus sunt in linea una, erit centrum minoris circuli in linea a d propter hoc quod in ea est centrum maioris et punctus contactus, ergo per 17 tertii angulus a d b est rectus, quare similiter angulus a b d sibi equalis. Quod est impossibile per 32 primi. Secet ergo ipsum in punctis e, d. Dico arcum e d maioris esse equalem arcui d b et arcum e d minoris esse equalem arcui d c. Produco lineas d e, c e et e a eritque per 26 tertii unusquisque 4 angulorum qui sunt d e c, c e a, d a c et a d c equalis alii propter id quod duo arcus d c et c a sunt equales per 27 eiusdem, quare totalis angulus a e d duplus est ad angulum b a d et ideo equalis [f.28r] utrique angulorum a b d et a d b. Et quia angulus a e d est equalis angulo a d e per 5 primi propter id quod a e et a d sunt equales a centro ad circumferentiam, erunt duo anguli e et d trianguli a e d equales duobus angulis d et b trianguli a b d. Ergo per 32 primi reliquus angulus a unius est equalis reliquo angulo a alterius, ergo per 25 tertii arcus e d maioris est equalis arcui d b et per eandem arcus e d minoris est equalis arcui d c. Et hoc est quod proposuimus etcetera.

Intra datum circulum equilaterum atque equiangulum pentagonum describere.

Sit datus circulus a b c. Volo intra ipsum describere pentagonum unum equilaterum atque equiangulum. Designo triangulum unum qualem premissa proponit, qui sit z cui alium equiangulum intra datum circulum describo sicut docet secunda huius, qui sit a b c. Sitque uterque angulorum a b c et a c b duplus ad angulum c a b. Utrumque eorum divido per equalia ductis lineis b e, c d eruntque per 25 tertii 5 arcus in quos 5 puncta a d b c e dividunt circulum ad invicem equales propter id quod 5 anguli qui in dictos arcus cadunt sunt ad invicem equales. Continuatis igitur illis 5 punctis per lineas rectas que sunt a d, d b, b c, c e et e a erit pentagonus a d b c e inscriptus dato circulo qualis proponitur. Est enim equilaterus per 28 tertii cum 5 arcus quorum eius 5 latera sunt corde, sint ad invicem equales. Et etiam equiangulus per 26 eiusdem eo quod 5 arcus d a e, a e c, e c b, c b d et b d a in quos anguli ipsius pentagoni cadunt, sunt ad invicem equales. Sicque constat propositum.

Circa propositum circulum pentagonum equilaterum atque equiangulum designare.

Sit propositus circulus a b c cuius centrum f. Volo circa ipsum designare pentagonum equilaterum atque equiangulum. Supra circumferentiam ipsius circuli quasi secundum doctrinam premisse sibi inscripsissem pentagonum, 5 puncta angularia notabo que sunt a, d, b, c, e ad que a centro ducam lineas f a, f d, f b, f c, f e et ab eisdem punctis educam perpendiculares ad istas lineas in utramque partem quousque concurrant in punctis g, h, k, l, m. Eruntque hee linee contingentes circulum per corollarium 15 tertii et ad ista puncta concursus ducam a centro lineas f g, f h, f k, f l, f m. Et quia monstratum est supra penultima tertii quod si ab aliquo puncto extra circulum signato due linee contingentes ad ipsum circulum ducantur, quod ipse erunt equales, erit linea g a equalis linee g d et h d, h b et sic de ceteris. At quoniam 5 arcus in quos 5 puncta a, d, b, c, e dividunt circulum sunt ad invicem equales, erunt per 26 tertii 5 anguli a f d, d f b, b f c, c f e, e f a consistentes supra hos arcus in centro f sibi invicem equales. Sunt autem duo latera a g et f a trianguli f g a equalia duobus lateribus d g et f d trianguli f g d et latus g f commune, ergo per 8 primi anguli duorum eorum qui sunt ad f itemque eadem ratione duo anguli qui sunt ad g sunt ad invicem equales. Eadem ratione duo anguli qui sunt ad f in triangulis d f h [f.28v] et h f b itemque duo anguli qui sunt ad h sunt ad invicem equales. Similiter quoque singuli trium reliquorum angulorum qui sunt b f c, c f e, e f a et singuli trium qui sunt k, l, m dividentur per equalia: primi quidem per lineam f k, secundi per lineam f l, tertii vero per lineam f m. Et quia hii tres anguli qui sunt b f c, c f e, e f a sunt sibi ad invicem equales et aliis duobus qui sunt a f d, d f b equales, eorum dimidia erunt que sunt 10 anguli facti in centro f ad invicem equalia. Quia igitur duo anguli a et f trianguli g a f sunt equales duobus angulis a et f trianguli m a f et latus a f commune, erit per 26 primi angulus g unius equalis angulo m alterius et latus g a equale lateri a m. Eadem ratione erit angulus g in triangulo g f d equalis angulo h in triangulo d f h et latus g d equale lateri d h, quare quia g a est dimidium g m et g d dimidium g h et g a, g d sunt equalia, erunt per communem scientiam g m et g h eorum dupla equalia. Similiter quoque probabimus g m equale m l et m l, l k et l k, k h quare pentagonus g h k l m est equilaterus. Sed et equiangulus cum enim duo anguli qui sunt ad g sunt ad invicem equales, et duo qui sunt ad m similiter ad invicem equales et g partialis sit equalis m partiali, utrumque enim probatum est prius, erit per eandem communem scientiam g totalis equalis m totali. Et eadem ratione probabis equalitatem in ceteris angulis quare est etiam equiangulus. Sicque constat propositum.

Intra equilaterum atque equiangulum pentagonum assignatum circulum describere etcetera.

Sit signatus pentagonus equilaterus atque equiangulus, quia de aliis non est necessarium hoc esse possibile, a b c d e. Volo sibi inscribere circulum. Hec est quasi conversa 11. Duos eius propinquos angulos qui sunt a et e divido per equalia ductis lineis a f et e f donec concurrant in puncto f intra ipsum pentagonum quem dico esse centrum circuli. Concurrent enim propter id quod dimidium totalis anguli a et similiter totalis anguli e minus est angulo recto. Sed et infra pentagonum. Si enim non, concurrent aut extra ipsum pentagonum aut in latere pentagoni aut in eius angulo qui utrique angulorum divisorum opponitur. Concurrant primo extra in puncto f et ducatur linea b f. Et quia duo latera e a et a f trianguli e a f sunt equalia duobus lateribus b a et a f trianguli b a f et angulus a unius angulo a alterius, erit per 4 primi basis e f equalis basi f b. Et quia angulus a partialis est equalis angulo e partiali propter id quod totalis a, e totali, erit per 6 primi f a equalis f e, quare f a est equalis f b, ergo per 5 primi duo anguli b totalis et a partialis sunt equales, quare a partialis est maior a totali. Quod est impossibile.

Concurrant ergo in puncto f super latus b c. Eritque arguendo per premissas et premisso modo angulus a partialis equalis angulo a totali. Quod etiam est impossibile. Quod si forsan concurrant in angulo c, erit per easdem et eodem modo c b equalis c a et ideo adhuc ut prius angulus a partialis equalis angulo a totali. Quod quia esse non potest, sit ergo punctus concursus qui est f intra pentagonum a quo duco 5 perpendiculares ad eius 5 latera que sint f g, f h, f k, f l, f m. Et ad duos eius angulos propinquos altrinsecus angulis per equalia divisis qui sunt b et d duco lineas f b, f d. Et quia duo anguli a et m trianguli a f m sunt equales duobus angulis a et g trianguli a f g et latus a f commune, [f.29r] erit per 26 primi f m equalis f g. Per eandem quoque probabis f l equalem f m sumptis duobus triangulis e f l, e f m. Quia iterum duo latera a f et a b trianguli a f b sint equalia duobus lateribus a f et a e trianguli a f e et angulus a unius angulo a alterius, erit per 4 primi angulus b partialis equalis angulo e partiali. Et quia b totalis equalis est e totali et e totalis divisus est per equalia, erit etiam b totalis divisus per equalia. Eodem modo probabis d totalem divisum per equalia propter equalitatem d partialis et a partialis sumptis triangulis e a f et e d f. Quia ergo duo anguli g et b trianguli g f b sunt equales duobus angulis h et b trianguli h f b et latus f b commune, erit per 26 primi f h equalis f g. Eodem modo probabis f k equalem f l sumptis triangulis l f d, k f d. Quoniam ergo 5 linee f g, f h, f k, f l, f m sunt equales, erit f centrum circuli per 9 tertii quem describemus secundum quantitatem unius earum et tanget omnia latera pentagoni propter equalitatem linearum et nullum eorum secabit per primam partem 15 tertii. Sicque constat propositum.

Circa datum pentagonum quod sit equilaterum et equiangulum circulum describere.

Sit ut prius datus pentagonus equilaterus atque equiangulus, quia de aliis non est necessarium hoc esse possibile, a b c d e. Volo circa ipsum describere circulum. Hec est quasi conversa 12. Duos eius propinquos angulos qui sunt a et e divido per equalia ductis lineis a f et e f quousque concurrant intra ipsum pentagonum in puncto f. Concurrent enim et intra pentagonum ut probatum est in premissa. Et a puncto concursus duco ad reliquos angulos lineas que sint f b, f c, f d. Et quia duo latera a f et a b trianguli a f b sunt equalia duobus lateribus a f et a e trianguli a f e et angulus a unius angulo a alterius, erit per 4 primi f b equalis f e et angulus b partialis angulo e partiali. Et quia b totalis est equalis a totali et e totalis divisus est per equalia, erit similiter b totalis divisus per equalia. Hoc quoque modo probabis utrumque angulorum c et d divisum esse per equalia et 5 lineas f a, f b, f c, f d, f e esse equales quare per 9 tertii f erit centrum circuli. Sicque patet propositum.

Intra propositum circulum exagonum equilaterum atque equiangulum describere.

Ex hoc itaque manifestum est, quia latus exagoni equum est dimidio diametri circuli cui inscribitur.

Sit propositus circulus a b c d cuius centrum e. Volo sibi inscribere exagonum equilaterum atque equiangulum. Produco diametrum a e c et secundum quantitatem semidiametri e c facto centro puncto c describo circulum e b d secantem priorem in duobus punctis b, d a quibus produco duas diametros in circulo primo que sint b e g, d e f. Trium ergo diametrorum extremitates coniungo 6 lineis que sint a f, f b, b c, c d, d g et g a quas dico continere exagonum quesitum. Erit enim ut demonstrat prima primi uterque triangulorum b e c, c e d equilaterus, quare et equiangulus per 5 eiusdem, [f.29v] ergo per 32 primi duo anguli b e c et c e d cum uno equali uni eorum sunt equales duobus rectis propter id quod quisque eorum est tertia duorum rectorum, sed ipsi per 13 eiusdem cum angulo d e g sunt equales duobus rectis, ergo angulus d e g est equalis utrique eorum, quare per 15 eiusdem 6 anguli qui sunt ad e sunt ad invicem equales, ergo per 25 tertii arcus in quos cadunt sunt equales. Quare et eorum corde per 28 eiusdem que sunt latera ipsius exagoni, equilaterus igitur. Sed et equiangulus per 26 tertii propter id quod 6 arcus in quos angularia puncta exagoni dividunt circulum bini et bini sumpti sunt ad invicem equales ut arcus a f b arcui f b c et ideo angulus f qui consistit in primo est equalis angulo b qui consistit in secundo. Idem in ceteris. Quare constat propositum.

Corollarium: ex hoc patet quod dimidium diametri et latus exagoni sunt latera eiusdem trianguli equilateri ut e c et c b vel c d.

. Et nota quod non proponit circa propositum circulum exagonum equilaterum atque equiangulum designare nec intra talem exagonum aut circa talem circulum describere quemadmodum fecit de triangulo, quadrato et pentagono. Non quia non sit necessarium hoc esse possibile, sed quia hec tria per eadem precepta fiunt in pentagono equilatero et equiangulo et in omni figura equilatera et equiangula quecumque fuerit. Unde quamcumque figuram equilateram et equiangulam scimus circulo inscribere, eandem circulo extra et circulum sibi intra et extra, hiisdem mediis per que hec in pentagono fecimus describemus.

Nota etiam quod omnis figura equilatera circulo inscripta aut circumscripta est etiam necessario equiangula. De inscripta patet per 27 et 26 tertii sumptis arcubus circuli quibus latera inscripte figure corde sunt binis et binis. In hos enim arcus ipsius figure anguli cadunt. De circumscripta autem ductis a circuli centro lineis ad omnes eius angulos et ad loca contactus facile probabis. Si plene intellecte demonstrationi 13 huius diligens intellectus accesserit, erit enim ut omnes ipsius figure angulos linee a centro venientes per equalia dividant. Sumptis itaque quibuslibet duobus proximis lateribus cum linea ad angulum ab eis contentum et cum duobus ad eorum extremitates a centro venientes duos triangulos ab eis contentos equiangulos ad invicem per 4 primi esse probabis. Sicque faciendo de omnibus patebit eos esse equiangulos per hanc communem scientiam quorum dimidia sunt equalia, tota quoque esse equalia etcetera.

Intra datum circulum quindecagonum equilaterum atque equiangulum designare. Deinde circa quemlibet circulum assignatum quindecagonum equilaterum atque equiangulum atque intra datum quindecagonum circulum describere.

Sit circulus a b c. Volo sibi inscribere quindecagonum equilaterum et equiangulum. Deinde etiam circumscribere atque intra talem quindecagonum propositum circulum describere. Non proponit autem circa talem quindecagonum circulum describere quia hoc satis dat intelligere per alia que proponit. In dato circulo iuxta doctrinam secunde huius protraho latus trianguli equilateri quod sit a c et iuxta doctrinam 11 latus pentagoni equilateri atque equianguli quod sit a b. Et quia arcus a c est totius [f.30r] circumferentie tertia, cuius arcus a b est quinta, erit superfluum inter eos quod est arcus b c due tertie arcus a b vel due quinte arcus a c sive due quintedecime totius circumferentie. Nam in omni toto excedit tertia quintam in duabus tertiis ipsius quinte vel in duabus quintis ipsius tertie sive in duabus quintisdecimis totius. Hoc enim patet in quinta et tertia primi numeri habentis quintam et tertiam qui est 15, eius enim tertia que est 5 excedit eius quintam que est tria in duabus unitatibus que sunt due tertie ipsius ternarii vel due quinte ipsius quinarii qui est tertia sive due quintedecime ipsius quindecimi qui est totum. Divido igitur arcu b c per equalia in d, patet utrumque duorum arcuum c d et d b esse tertiam arcus a b vel quintam arcus a c sive quintamdecimam totius circumferentie. Subtensis igitur eis cordis c d et d b coaptatisque continue intra datum circulum sibi equalibus per primam huius complebitur figura proposita.

Cetera vero duo que proponit cum tertio quod dat intelligere videlicet quindecagonum circulo circumscribere ac circulum quindecagono inscribere ac etiam circumscribere ex 12 et 13 et 14 huius plene intellectis facile perficies.

. Et nota quod quamcumque figuram equilateram circulo scimus inscribere duplo plurium laterum scimus circulo inscribere et circumscribere et ipsi circulum. Divisis enim arcubus quibus latera eius que scitur inscribi subtenduntur per equalia et a punctis mediis ad extremitates laterum ipsius figure ductis lineis fiet intra circulum figura duplo plurium laterum que erit equilatera per 28 tertii, ergo et equiangula. Hoc enim demonstratum est supra 15 huius quod omnis figura equilatera circulo inscripta est etiam equiangula. Et quia hanc circulo scimus inscribere, sciemus cetera tria per 12, 13 et 14 huius. Quia igitur scimus inscribere triangulum equilaterum, sciemus per hoc etiam et exagonum et per exagonum duodecagonum ac per duodecagonum figuram 24 basium laterum et sic in infinitum duplando. Et licet per triangulum possit ut diximus inscribi exagonus, posuit tamen huius propriam demonstrationem ex qua porisma perutile. Et similiter quia scimus inscribere quadratum, sciemus per hoc inscribere omnem figuram cuius laterum numerus est pariter par. Per pentagonum quoque sciemus decagonum et figuram 20 laterum sicque continue duplando. Idem quoque intellige de quindecagono. Per ipsum enim scientur figure 30 et 60 et omnium continue duplorum laterum. Ceterarum autem figurarum de quibus ista non docet vel que per has non habentur, difficilis est scientia et parum utilis ut sunt eptagona, nonagona, undecagona. Quod si scriremus triangulum duum equalium laterum designare cuius uterque angulorum ad basim triplus esset ad reliquum, sciremus eptagonum ut supra pentagonum circulo inscribere. Quod si uterque quadruplus esset ad reliquum, sciremus nonagonum, et si quintuplus, undecagonum. Idemque in ceteris figuris imparium laterum posito utroque angulorum ad basim multiplici ad reliquum per eum numerum qui est medietas maximi paris sub impari numero laterum ipsius figure contenti.