Omne paralellogramum rectangulum sub duabus lineis angulum rectum ambientibus dicitur contineri.

Paralellogramum est superficies equidistantium laterum. Paralellogramum rectangulum est habens omnes angulos rectos et producitur ex uno duorum laterum eius ambientium unum ex suis angulis in reliquum et ideo sub illis dicitur contineri.

Omnis paralellogrami spatii ea quidem que diametros secat per medium paralellograma circa eandem diametrum consistere dicuntur. Eorum vero paralellogramorum que circa eandem diametrum consistunt quodlibet unum cum supplementis duobus gnomo nominatur. [f.12r]

Que paralellograma dicuntur consistere circa diametrum et que sunt supplementa expositum est in demonstratione 43 primi. Sit enim ut paralellogramum a b c d cuius diametros a d dividant due linee e f et g h ducte equidistanter lateribus oppositis dicti paralellogrami secantes se super diametrum a d in puncto k eritque ipsum paralellogramum divisum in 4 paralellograma et unumquodque duorum paralellogramorum que sunt a g e k et k f h d que diameter secat per medium dicuntur consistere circa diametrum. Reliqua vero duo que diameter non secat, dicuntur supplementa que duo supplementa cum utroque dictorum paralellogramorum consistentium circa diametrum componunt figuram quandam que gnomo appellatur cui deest ad complementum paralellogrami paralellogramum unum reliquum circa diametrum consistens quod si ei addatur supra diametrum totalis compositi consistet eritque simile totali. Unde paralellogramum addito ergo gnomone quamvis crescat minime tamen alteratur quemadmodum dixit Aristoteles in predicamentis suis.

Si fuerint due linee quarum una in quotlibet partes dividatur, illud quod ex ductu alterius in alteram fiet equum erit eis que ex ductu linee indivise in unamquamque partem linee particulatim divise rectangula producentur.

Lineam in aliam lineam ducere est supra terminos unius earum duas lineas orthogonaliter alii equales erigere et superficiem equidistantium laterum rectangulam complere que sub illis duabus lineis per diffinitionem dicitur contineri. Sint due linee a b et c quarum a b in quotlibet partes dividatur que sunt a d, d e et e b. Dico quod illud quod fit ex c in totam a b equum est illis paralellogramis rectangulis simul iunctis que fiunt ex c in a d et d e et e b. Super puncta a et b erigam lineas a f et b g perpendiculares super lineam a b quarum utraque sit equalis linee c et complebo rectangulam superficiem a f g b ducta linea f g que per diffinitionem producitur ex c in a b et sub ipsis dicitur contineri. Protraham quoque a punctis d, e lineas d h et e k equidistantes lateribus a f et b g eritque utraque earum equalis c. Quare per 34 primi utraque earum est equalis a f, per diffinitionem igitur rectangulum a d f h producitur ex c in a d et sub illis dicitur contineri et rectangulum d h e k ex c in d e et rectangulum e k b g ex c in e b et quia hec rectangula simul iuncta sunt equalia totali rectangulo a f b g, patet verum esse propositum.

Si fuerit linea in partes divisa, illud quod ex ductu totius linee in se ipsam fit equum erit hiis que ex ductu eiusdem in omnes partes suas.

Sit linea a b divisa in a c, c d et d b. Dico quod illud quod fit ex ductu totius a b in se, quod fit a e b f, equum est hiis que fiunt ex ipsa tota in unamquamque dictarum partium. Quod palam patebit ductis c g et d h equidistanter a e et b f.

Aliter sumatur k equalis a b eritque per premissam quod fit ex ductu k in totam a b equum ei quod fit ex ductu k in omnes partes a b. Et quia ex k in a b tantum fit quantum ex a b in se et ex k in omnes partes a b quantum ex a b in easdem partes propter id quod k et a b sunt equales, patet propositum etcetera. [f.12v]

Si fuerit linea in duas partes divisa, illud quod fit ex ductu totius in alterutram partem equum erit hiis que ex ductu eiusdem partis in se ipsam et alterius in alteram.

Sit linea a b divisa in a c et b c. Dico quod illud quod fit ex tota a b in eius partem a c equum est quadrato eiusdem partis et ei quod fit ex eadem parte a c in c b. Fiat quadratum linee a c quod fit a c d f et perficiatur superficies a b d e patebitque propositum.

Aliter sumatur g equalis a c et quia b a in a c tantum est quantum a c in a b, econverso et a c in a b et in c b et in seipsam quantum g in easdem. At g in totam a b quantum in a c et in c b per primam huius. Patet propositum scilicet quod tantum erit a c in a b quantum in se et in c b. Quare econverso a b in a c quantum a c in se et in c b. Quod volumus demonstrare.

Si fuerit linea in duas partes divisa, illud quod ex ductu totius in seipsam fit equum est hiis que ex ductu utriusque partis in seipsam et alterius partis in alteram bis.

Ex hoc manifestum est, quod in omni quadrato due superficies quas diametros secat per medium sunt ambe quadrate.

Sit linea a b divisa in a c et c b. Dico quod quadratum totius a b equum est duobus quadratis duarum linearum a c et c b et duplo eius quod fit ex una earum in alteram. Describam quadratum alterius partialium sitque c d b e quadratum linee c b cui adiungam gnomonem secundum ductum alterius linee a c scilicet quod faciam hoc modo in quadrato descripto. Protraham diametrum b d et a puncto a educam perpendicularem super lineam a b que sit a k quam a k et diametrum b d producam usquoque concurrant in puncto f et a puncto f educam f h equidistantem linee a b quam f h et b e producam usquoque concurrant in puncto g et producam c d usque ad h et e d usque ad k. Et quia duo latera d e et e b trianguli d e b sunt equalia, erunt per 5 primi duo anguli e d b, e b d equales et quia angulus e est rectus, erit per 32 primi uterque eorum medietas recti. Eadem ratione uterque duorum angulorum c d b, c b d erit medietas recti. Quare per secundam partem 29 primi erit unusquisque 4 angulorum qui sunt h f d, h d f, k f d, k d f medietas recti, ergo per 6 primi f g et g b sunt equales. Similiter quoque f a et a b pari ratione f h et h d, itemque f k et k d quare utraque duarum superficierum a b g f et k d f h est quadrata et quia totale quadratum quod est quadratum linee a b constat ex duobus quadratis que consistunt circa diametrum que sunt quadrata duarum linearum a c et c b et ex duobus supplementis quorum unumquodque productum ex a c in c b. Patet propositum.

Aliter. Sit linea a b ut prius divisa in a c et c b eritque per secundam huius quod fit ex tota a b in se equum ei quod fit ex ipsa in a c et c b, sed ex ipsa in a c tantum fit quantum ex a c in se et ex a c in b c per 3 huius. Itemque ex ipsa a b tota in c b tantum fit quantum ex c b in se et ex c b in a c per eandem, ergo quod fit ex tota a b in se equum est ei quod fit ex a c in se et in c b et ex c b [f.13r] in se et in a c. Quod est propositum. Sed hac via non patet corollarium sicut via precedenti patet. Unde prima est magis consona auctori.

Si linea recta per duo equalia duoque inequalia secetur, quod sub inequalibus totius sectionis rectangulum continetur, cum eo quadrato quod ab ea que inter utrasque sectiones describitur, equum est ei quadrato quod a dimidio totius linee in se ducto describitur.

Sit linea a b divisa per equalia in puncto c et per inequalia in puncto d. Dico quadratum c b esse equale ei quod fit ex a d in d b et quadrato c d. Describam quadratum c b quod fit c b f e in quo protraham diametrum e b et ducam d g equidistantem que secet diametrum e b in puncto h et a puncto h educo equidistantem linee a b que sit h k secans lineam b f in puncto m et lineam c e in puncto l et protraham a k equidistantem c e. Eritque per corollarium premisse utraque superficierum duarum l g et d m quadrata et per 43 primi duo supplementa c h et h f equalia, ergo addito quadrato d m utrique erit paralellogramum c m equale paralellogramo d f et quia a l est equale c m per 36 primi, erit a h equale gnomoni qui circumstat quadratum l g, ergo addito utrique quadrato l g erit a h cum quadrato l g equale quadrato c f. Quod est propositum.

Si recta linea in duo equalia dividatur, alia vero in longum ei linea addatur, quod ex ductu totius iam composite in eam que adiecta est, cum eo quod ex ductu dimidie in seipsam, equum est ei quadrato, quod ab ea que constat ex adiecta et dimidia in seipsam ducta describitur etcetera.

Sit linea a b divisa per equalia in puncto c eique addatur linea b d. Dico quod quadratum c d quod fit c d e f equale est ei quod fit ex tota a d in b d et quadrato c b. Producam in quadrato predicto diametrum d e et ducam lineam b g equidistantem d f que secet diametrum d e in puncto h a quo producam equidistantem linee a b que sit m k secans d f in puncto m et c e in puncto l. Et producam a k equidistantem c l eritque per 36 primi a l equalis c h. At c h est equalis h f per 43 primi, quare a l est equalis h f, ergo addito c m utrobique erit a m equalis toti gnomoni circumstanti l g, quare l g addito utrobique erit a m cum l g equale toti quadrato c f et quia utraque duarum superficierum l g et b m est quadrata per corollarium 4 huius, patet propositum.

Si linea in duas partes dividatur, quod ex ductu totius in se ipsam cum eo quod ex ductu alterius partis in se ipsam equum est eis que ex ductu [f.13v] totius linee in eandem partem bis, et ex ductu alterius partis in se ipsam.

Sit linea a b divisa in duas partes in puncto c. Dico quod quadratum totius a b cum quadrato c b equum est ei quod fit ex a b in b c bis cum quadrato a c. Describatur quadratum totius quod sit a b d e et ducatur diameter b d et c f equidistans b e secans diametrum in puncto g et ducatur k g h equidistans a b. Et quia quadratum a e cum quadrato c h tantum sunt quantum quadratum k f cum duabus superficiebus a h et c e, patet propositum.

Si linea in duas partes dividatur eique in longum equalis uni dividentium adiungatur, quod ex ductu totius iam composite in se ipsam fiet, equum erit hiis que ex ductu prioris linee in eam que adiecta est quater et ei quod ex ductu alterius dividentis in se ipsam.

Sit a b divisa in puncto c qualitercumque contingat cui addatur b d equalis c b. Dico quod quadratum totius a d quod fit a d e f est equale ei quod fit ex a b in b d quater cum quadrato a c. Hoc autem patebit ducta diametro d e et lineis c g et b h equidistantibus linee d f et secantibus diametrum in punctis k, l per que puncta ducantur p q k r et m l n o equidistantes a d. Erit enim per corollarium 4 huius unaqueque superficierum r g, n q et b m quadrata et quia c b posita est equalis b d, erit utraque superficierum c l et l p quadrata. Eruntque 4 quadrata dividentia quadratum c p equalia et quia totus gnomo circumstans quadrato r g est quadruplus ei quod fit ex a b in b d quia quadruplus ad superficiem a l, patet propositum.

Si linea in duo equalia duoque inequalia dividatur, que fiunt ex ductu inequalium in se ipsa pariter accepta duplum sunt utrisque pariter acceptis que quidem ex dimidia eaque que utrique sectioni interiacet quadratis describuntur.

Sit linea a b divisa per equalia in c et per inequalia in d. Dico quod quadratum a d et quadratum d b simul iuncta dupla sunt quadrato a c et quadrato c d simul iunctis. Super lineam a b erigo lineam c e perpendicularem et equalem utrique linearum a c et c b et produco e a et e b. Eritque per 32 primi uterque angulorum a et b et uterque angulorum partialium qui sunt ad e medietas recti totusque e rectus et produco d f equidistantem c e [f.14r] et perpendicularem super lineam a b eritque uterque angulorum d rectus et angulus d f b medietas recti per 32 primi sive per secundam partem 29 primi. Quare per 6 primi latera d f et d b sunt equalia. A puncto f duco f g equidistantem a b eritque per secundam partem 29 primi uterque angulorum g rectus et angulus e f g medietas recti quare per 6 eiusdem latera e g et g f sunt equalia. Et quia per penultimam eiusdem quadratum e f est equale quadrato e g et quadrato g f, ipsum erit duplum ad quadratum g f, quare ad quadratum c d. Itemque per eandem quadratum e a est equale quadrato a c et quadrato c e, ipsum erit duplum ad quadratum a c. Et quia quadratum a f est equale quadrato e f et a e per eandem, ipsum erit duplum ad quadratum a c et quadratum c d, sed quadratum a f est iterum per eandem equale quadrato a d et quadrato d f, ergo quadratum a d et quadratum d f dupla sunt ad quadratum a c et ad quadratum c d et quia quadratum d f est equale quadrato d b, erunt quadrata duarum linearum a d et d b dupla quadratis duarum linearum que sunt a c et c d. Quod est propositum etcetera.

Si linea in duo equa dividatur eique in longum alia linea addatur, quadratum quod describitur a tota cum addita et quadratum quod ab ea que addita est utraque quadrata pariter accepta, ei quadrato quod a dimidia eique, quod ab ea producitur que ex dimidia adiectaque consistit, utrisque quadratis pariter acceptis dupla esse necesse est etcetera.

Sit linea a b divisa per equalia in c et addita sibi linea b d. Dico quod duo quadrata duarum linearum a d et b d pariter accepta dupla sunt duobus quadratis duarum linearum a c et c d pariter acceptis. Erigo c e perpendicularem super lineam a b et equalem utrique linearum a c et c b et perficio triangulum a e b ductis lineis a e et e b eritque ut in premissa uterque angulorum a et b et uterque eorum qui sunt ad e medietas recti per 32 primi totusque e rectus. A puncto e produco e f equalem et equidistantem c d et produco f d et b e usquoque concurrant in puncto g et produco lineam a g eritque per ultimam partem 29 primi angulus c e f rectus, sed angulus c e b est medietas recti, ergo angulus b e f est similiter medietas recti. Et quia per 33 eiusdem f d est equidistans c e, erit per 34 eiusdem angulus f rectus, ergo per 32 eiusdem erit angulus e g f medietas recti. Itemque per eandem angulus d b g similiter medietas recti propter id quod angulus b d g est rectus, ergo per 6 eiusdem duo latera e f et f g sunt equalia. Itemque duo que sunt d b et d g sunt equalia, ergo per penultimam eiusdem quadratum e g duplum est ad quadratum e f, quare ad quadratum c d. Itemque per eandem quadratum a e duplum est ad quadratum a c et quia quadratum a g est per eandem equale quadrato a e et e g, [f.14v] similiter quoque et quadrato a d et d g. At quia quadratum d g est equale quadrato b d, erunt duo quadrata duarum linearum a d et d b pariter accepta dupla duobus quadratis duarum linearum a c et c d pariter acceptis. Quod est propositum. Hec autem et omnes premisse veritatem habent in numeris sicut in lineis.

Datam lineam sic secare, ut quod sub tota et una portione rectangulum continetur equum sit ei quod fit ex reliqua sectione quadratum.

Sit linea data a b quam volumus sic dividere ut quod ex tota et eius minore portione producitur equum sit quadrato maioris. Describo ipsius quadratum quod sit a b c d et latus b d divido per equalia in e et produco a e et e b produco usque ad f ita quod e f sit equalis a e et ex b f portione extrinseca describo quadratum quod ex latere a b resecat portionem equalem b f que sit b h et quadratum descriptum sit b f h g. Dico quod a b sic est divisa in puncto h quod illud quod fit ex tota a b in eius portionem a h est equale quadrato h b. Et produco g h usque ad k que erit equidistans a c. Quia ergo linea d b divisa est per equalia in e et est sibi addita linea b f, erit per 6 huius quod fit ex d f in b f cum quadrato e b equale quadrato e f, quare et quadrato e a, quare per penultimam primi quadratis duarum linearum e b et b a, ergo dempto ab utrisque quadrato linee e b erit quod fit ex d f in b f et ipsum est superficies d g equale quadrato linee a b, ergo dempto ab utrisque paralellogramo h d erit quadratum h f equale paralellogramo h c et quia quadratum h f est quadratum linee h b et paralellogramum h c producitur ex c a quod est equale a b in a h, patet factum esse propositum. Ad hoc autem faciendum in numeris non labores quod est impossibile numerum sic dividi ut hec undecima proponit sicut scies sexta tertiidecimi te docente etcetera.

In hiis triangulis qui obtusum habent angulum tanto ea que obtusum subtendit angulum ambobus reliquis lateribus que obtusum continent angulum amplius potest, quantum est quod continetur bis sub uno eorum atque ea que sibi directe iuncta ad obtusum angulum a perpendiculari extra deprehenditur etcetera.

Sit triangulus a b c habens angulum a obtusum. A puncto c ducatur perpendicularis ad lineam b a que necessario cadet extra triangulum a b c. Alioquin angulus obtusus esset rectus aut minor recto per 16 primi. Sit ergo c d perpendicularis super lineam a b et producam usque ad d. Dico quod quadratum lateris b c quod subtenditur angulo obtuso tanto maius est duobus quadratis duarum linearum a b et a c ambientium ipsum angulum obtusum quantum est illud quod fit ex b a in a d bis. Potentia enim linee [f.15r] respectu sui quadrati est unde tantum dicitur posse linea quelibet quantum in se ducta producit. Erit enim per 4 huius quadratum b d equale duobus quadratis duarum linearum b a et a d et duplo eius quod fit ex b a in a d quia quadratum b c per penultimam primi est equale quadrato b d et quadrato d c, ipsum erit equale quadratis trium linearum b a, a d et d c et duplo eius quod fit ex b a in a d. Sed quadratum a c per eandem est equale quadratis duarum linearum a d et d c, ergo quadratum b c est equale quadratis duarum linearum a b et c a et duplo eius quod fit ex b a in a d. Ergo quare b c tanto amplius potest duabus lineis b a et a c quantum est duplum eius quod fit ex b a in a d. Iam enim diximus quod tantum dicitur posse linea quelibet quantum in se ducta producit. Et hoc est propositum.

Omnis oxigonii tanto ea que acutum respicit angulum ambobus lateribus angulum acutum continentibus minus potest, quantum est quod bis continetur sub uno eorum cui perpendicularis intra superstat eaque sui parte que perpendiculari anguloque acuto interiacet.

Quod hic proponitur de latere subtenso alicui angulo acuto in triangulo oxigonio veritatem habet de latere subtenso cuilibet angulo acuto in omni triangulo sive fuerit orthogonius sive ambligonius sive oxigonius. Sit ergo in triangulo a b c quicumque triangulus fuerit angulus c acutus qui si fuerit oxigonius, ducatur perpendicularis ab utroque angulorum a vel b ad utramque basim b c vel a c quia cum sic fuerit semper cadet perpendicularis intra triangulum. Si autem sit ambligonius aut orthogonius ab angulo obtuso vel recto ducatur perpendicularis ad latus oppositum quam manifestum est cadere intra triangulum. Et ut simpliciter dicam cum in omni triangulo sint duo anguli acuti, necessario erit alter duorum angulorum qui sunt a et b acutus. Ducam ergo perpendicularem ad lineam illam que duobus acutis interiacet. Sit ergo ut angulus b etiam sit acutus. Ducam ergo ad b c perpendicularem a d que ut dictum est cadet intra triangulum. Dico itaque quod quadratum a b quod subtenditur angulo acuto c tanto minus est duobus quadratis duarum linearum a c et c b quantum est duplum eius quod fit ex b c in d c. Vel dico quod quadratum a c quod etiam subtenditur angulo b quem posuimus acutum quicquid fuerit de angulo a tanto minus est duobus quadratis duarum linearum a b et b c quantum est duplum eius quod fit ex c b in d b. Erit enim per 7 huius quadratum b c cum quadrato d c equale ei quod fit ex b c in d c bis et quadrato b d, quare addito utrique quadrato a d erit quadratum b c cum quadratis duarum linearum a d et d c equale quadratis duarum linearum a d et b d et duplo eius quod fit ex c b in c d. At quia per penultimam primi quadratum a c est equale quadratis duarum linearum a d et d c, erit quadratum b c cum quadrato a c equale quadratis duarum linearum a d et b d et duplo eius quod fit ex b c in c d. Sed per eandem penultimam primi quadratum a b equum est quadratis duarum linearum a d et b d, ergo quadratum b c cum quadrato a c equum est quadrato a b et duplo eius quod fit ex b c in c d. Quare tanto minus potest a b duobus lateribus b c et a c quantum est duplum eius quod fit ex b c [f.15v] in c d. Quod est propositum. Simili modo probabis latus a c, quod subtenditur angulo b acuto, posse tanto minus duobus lateribus a b et b c quantum est duplum eius quod fit ex c b in b d. Nota autem per hanc et precedentem et penultimam primi cognitis lateribus omnis trianguli cognoscitur area ipsius et auxiliantibus tabulis de corda et arcu cognoscuntur omnes eius anguli.

Dato trigono equum quadratum describere.

Sit datus trigonus a cui volumus equum quadratum describere. Designabo superficiem equidistantium laterum et rectorum angulorum equalem trigono dato secundum quod docet 42 primi. Sitque superficies illa b c d e cuius si latera fuerint equalia habemus quod querimus. Ipsa enim erit quadrata. Si autem latera sint inequalia, adiungam minus ipsorum laterum maiori secundum rectitudinem sitque linea c f equalis minori duorum laterum quod est c e adiuncta maiori quod est b c secundum rectitudinem. Totam b f dividam per equalia in puncto g et facto g centro super lineam b f secundum quantitatem linee g b describam semicirculum h b f et latus e c producam quousque secet circumferentiam in puncto h. Dico quod quadratum linee c h est equale trigono dato. Producam lineam g h et quia linea b f divisa est per equalia in g et per inequalia in c, erit per 5 huius quod fit ex b c in c f cum quadrato c g equale quadrato g f, quare et quadrato g h, quare per penultimam primi et duobus quadratis duarum linearum g c et c h, ergo dempto utrique quadrato c g erit quod fit ex b c in c f quod est equale superficiei b e eo quod c f est equale c e equale quadrato linee c h, quare quadratum c h est equale trigono a. Quod est propositum.

. Et nota quod per hoc invenitur latus tetragonicum cuiuslibet parte altera longioris et simpliciter omnis figure rectis lineis contente quecumque fuerit quoniam omnem talem figuram in triangulos resolvemus et cuiusque illorum triangulorum invenimus tetragonicum latus secundum doctrinam istius et inveniemus per penultimam primi lineam unam que possit in omnia latera tetragonica inventa. Verbi gratia: volo invenire latus tetragonicum rectilinee figure irregularis a b c d e f, resolvo eam in tres triangulos qui sunt a b f, c d e, c e f. Invenioque secundum doctrinam istius tria latera tetragonica illorum trium triangulorum que sunt g h, h k et k l et erigo h k perpendiculariter super g h et produco g k, eritque per penultimam primi quadratum g k equale quadratis duarum linearum g h et h k et tertium latus k l erigo perpendiculariter super lineam g k et produco lineam g l. Eritque per penultimam primi g l latus tetragonicum totius figure rectilinee proposite etcetera.